28.4 垂径定理-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(冀教版2012)

28.4垂径定理*（答案P38) (课程标准变动内容) 通基》999999%99 5.如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于 点E,点P在⊙O上，∠1=∠C. 知识点1垂径定理 (1)求证：CB∥PD 1.如图所示，在⊙O中，直径MN⊥AB,垂足为 点C,则下列结论不一定正确的是() (2)若BC=3,simP=号，求⊙0的直径 A.AC=CB B.AN=BN C.AM=BM D.OC=CN 知识点2垂径定理的推论 2.教材P165练习T2变式如图所示，AB是⊙O 的直径，弦CD⊥AB于E.若OD=5,AE=2, 6.如图所示，⊙O的直径CD过弦EF的中点G, 则CD长为( ∠DCF=-20°，则∠EOD等于() A.10° B.209 C.40° D.80° A.4 B.6 C.8 D.10 3.(2023·唐山丰润区期末)如图所示，AB是 第6题图 第7题图 ⊙O的弦，半径为OA=2,∠AOB=120°，则弦 7.模型观念》如图所示，AB为半圆直径，O为圆 AB的长为() 心，C为半圆上一点，E是AC的中点，OE交 弦AC于点D.若AC=8cm,DE=2cm,则 OD的长为() A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 易错固不能深刻理解垂径定理，不会正确添加 A.25 B.3√2 C.25 D.22 辅助线运用直角三角形解题，出现错解 4.如图所示，在⊙O中，弦AB=1,点C在AB上 8.如图所示，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为 移动，连接OC,过点C作CD⊥OC交⊙O于 8,则点O到弦AB的距离是( 点D,则CD的最大值为 A.2 B.3 C.4 D.√17 -九年级·上册数学：山 140 通能力9 取紧急措施.若拱顶离水面只有4米，即 PE=4米时，是否要采取紧急措施？ 9.(2023·廊坊广阳区月考)如图所示是一个隧 道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的 一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经 过圆心O交⊙O于点D,并且AB=4m, CD=6m,则⊙O的半径长为 m. 通素养》 10.(2023·廊坊三河期末)如图所示，⊙O的半 13.数学文化“筒车”是一种以水流作动力，取水 径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交 灌田的工具.明朝科学家徐光启在《农政全 ⊙O于点E,连接EC.若AB=8,CD=2,则 书》中用图画描绘了“简车”的工作原理.如图 EC的长为 所示，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O 为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且 当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下 盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分 圆上一点距离水面的最大距离) 11.应用意识》如图所示，某窗户由矩形和弓形 (1)求该圆的半径. 组成，已知弓形的跨度AB=3m,弓形的高 (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB EF=1m,现计划安装玻璃，请帮工程师求出 从原来的6米变为8米时，水面下盛水筒的 AB所在圆O的半径长， 最大深度为多少米？ 水面 12.数材P165习题A组T3变式》如图所示，有 座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高 PD=18米. (1)求圆弧所在的圆的半径r的长， (2)已知当洪水泛滥到跨度为30米时，要采 141 优计学案·课时通一DM=BM·tan∠2=5x3_5v3 ∴.∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°. 3 在△AOC中，OA=OC, .tan∠DCB= DM5√3 ∠AC0-180-∠A0c-180230°=75. CM 3 2 2 ∴.∠AEC=∠ACO,∴.AE=AC,同理BF=BD, ∴.AE=BF=CD. 阶段检测四（28.1~28.3) 1.B2.C3.A4.B5.D6.120 7.△ABD,△ACD,△BCD8.3√3 9.解：(1)经过A,B,C三个点不能画一个圆. 6.解：(1)证明：∠ACB=90°， 理由如下：假设经过A,B,C三个点可以作一个圆， .AD为⊙O的直径，.∠AED=90°， 圆心为O,则OA=OB=OC, ∴.∠ACB=∠AED. ∴点O在AB的垂直平分线上，点O也在BC的垂 :AD平分∠BAC,∴.∠CAD=∠EAD 直平分线上， 在△ACD与△AED中， 即过点O作两条直线与AC垂直，这与过直线外一 ∠ACD=∠AED, 点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾， ∠CAD=∠EAD, 假设不成立， AD=AD, ∴.经过A,B,C三个点不能画一个圆. .△ACD≌△AED(AAS),.AC=AE. (2)经过A,B,C三个点可以画一个圆.如图所示. (2)△ABC是直角三角形，且AC=6,BC=8, .AB=√AC2+BC=√62+82=10. .由(1)得∠AED=90°，.∠BED=90°. 设CD=DE=x,则DB=BC-CD=8-x,EB= AB-AE=10-6=4. 在Rt△BED中，根据勾股定理，得BD2=BE2十 ED2,即(8-x)2=x2+42, 解得x=3,.CD=3. 28.4 垂径定理 AC=6,△ACD是直角三角形， (课程标准变动内容) .AD2=AC2+CD2=62+32=45,.AD=3V5. 1.D2.C3.C4.2 即△ACD外接圆的直径为3√5. 7.解：∠DAE与∠DAC相等. 5.解：(1)证明：BD=BD,,∠C=∠P 理由：，DB=DC,.∠DBC=∠DCB. 又∠1=∠C, '∠DAE是四边形ABCD的一个外角， .∠1=∠P,∴.CB∥PD ∴.∠EAD+∠DAB=180°. (2)连接AC.,AB为⊙O的直径， .四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠ACB=90°.CD⊥AB, ∴.∠DAB+∠DCB=180°， .BC=BD,.∠P=∠A, .∠EAD=∠DCB,.∠DBC=∠DAE. 又∠DAC=∠DBC,.∠DAE=∠DAC &snA=snP-,即 BC 3 AB=5 8.证明：连接AC,BD BC=3,.AB=5,即⊙0的直径为5. 点C,点D是AB的三等分点， 6.C7.A8.B9.3 0 10.2√13 ∴.AC=CD=DB. 11.解：设OA=OE=rm. .'.AC=CD=DB. EF=-1m,∴.OF=(r-1)m. 又，∠AOB=90°， ,OE⊥AB, :∠A0C=∠COD=∠BOD=3∠A0B=3X 1 ∴AF=2AB=合×8=1.5(m. 90°=30°. 在Rt△OAF中，OF2+AF2=OA2, .OA=OB,.∠OAB=∠OBA=45°， 即(r-1)2+1.52=r2. 38 解得r=号，即AB所在圆0的半径长为号m AB=10, .∴.AD=BD=5,OD=CD 12.解：(1)连接OA,如图所示. 由题意得AD=号AB=30米.0D=-18)米， 设半径为r,则OD=2, 在Rt△AOD中，由勾股定理，得52+（ 在Rt△ADO中，由勾股定理，得r2=302+(r 18)2, 解得r=34米，即圆弧所在的圆的半径r的长为 解得r=10V 3 ,即⊙0的半径为103 3 34米. (2),弦AB垂直平分半径OC,∴.BO=BC (2)连接OA',如图所示 .BO=CO,.△OBC为等边三角形， .OE=OP-PE=30米， .∠BOC=60°， ∴.在Rt△A'EO中，由勾股定理，得A'E2= A'02-OE2,即A'E2=342-302, 60°XxX103 ∴.劣弧BC的长 310√5 解得A'E=16米. 1809 9 .A'B=32米. 60°×πX 10w3Y .32>30,.不需要采取紧急措施. 3 50 扇形BOC的面积为 360° 9t. 17.解：(1)(-2,0) (2)2590 (3)设圆锥的底面半径为r, 则2xr=90π×2√5 解得，=5 2 13.解：(1)如图所示，作OD⊥AB于点E,交⊙O于 180 点D, 本章综合提升 【本章知识归纳】 圆圆心半径⊙O圆O弦直径圆弧弧 优弧劣弧三点外接圆外心圆心角圆周角 相等一半直角直径互补平分垂直平分 水面 圆心垂直l=nπR 180 S=nTR: ”或S=Rm 元r2+πrl 则AE-号AB=3米，DE=1米 【思想方法归纳】 【例1】 设圆的半径为r米， 思路分析：设球心为点O,过点O作MN⊥AD交AD 在Rt△AOE中，AE2+OE2=OA2, 于点M,交BC于点N,连接OF,结合题意可解得 .32+(r-1)2=r2, OF=5cm,OM=3cm,根据勾股定理求得MF=4 解得r=5, cm,最后由垂径定理求得EF=8cm. .该圆的半径为5米 A (2②)当AB=8米时，AE=7AB=4米， 【变式训练1】 D 在Rt△AOE中，AE2+OE2=OA2, 【例2】 ∴.42+OE2=52,∴.0E=3米， 思路分析：(1)连接BD,由圆周角定理推出∠ADB= .DE=5-3=2(米)， 90°，∠BDC=∠BAC=a,即可得到∠ADC= 即水面下盛水筒的最大深度为2米。 ∠ADB+∠BDC=90°+a. 28.5弧长和扇形面积的计算 (2)由圆周角定理推出∠PCO=∠ADB=90°，令 1.D2.A3.D4.x5.D6.2π-4 PB=x,由勾股定理得到(6十x)2=(2x)2十6，求出 7.B8.120°9.510.C11.D12.A13.C x=4,得到PB=4,即可求出AP的长. 142-晋15.13x-36 解：(1)连接BD,如图所示. ,AB是⊙O的直径，∠ADB=90°. 16.解：(1)OC是半径，AB垂直平分半径OC, ,∠BDC=∠BAC=a, 39