28.3圆心角和圆周角（基础篇）练习2025-2026学年冀教版数学九年级上册

28.3圆心角和圆周角 (30分提至70分使用) 讲 义 概 览 圆心角 新课探索 圆周角 讲义内容 圆心角和圆周角概念辨析及简单运算 利用弧、弦、圆心角的关系求解 求圆弧的度数 题型练习 圆周角定理 半圆（直径）所对的圆周角是周角 90度的圆周角所对的弦是直径 新 课 探 索 ■ 一、圆心角 1.定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.圆心角与所对弧的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；反之，相 等的弧所对的圆心角相等。 3. 圆心角与所对弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；反之，相 等的弦所对的圆心角相等。 4.圆心角的度数：圆心角的度数等于它所对弧的度数。 二、圆周角 1.定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 3.圆周角定理的推论 。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对 的弧也相等。 。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 o推论3：圆内接四边形的对角互补。即：若四边形(ABCD)内接于（⊙O),则 ∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。 题 型 练 ■且 圆心角和圆周角概念辨析及简单运算 1.下列说法正确的是() A.圆的周长都相等 B.圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C.顶点在圆上的角叫做圆心角 D.由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 2.司南是我国古代辨别方向用的一种仪器.其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南 针的始祖.如图，司南中心为一圆形，圆心为点O,直径为20，根据八个方位将圆形八等 分（图2中点A~H),过点E作⊙0的切线与AG的延长线交于点M,连接EG.相邻两 个方位间所夹的圆心角度数为() 北 西北B H东北 西C .0 G东 西南D入 E 乐东速M 图1 图2 A.36° B.45° C.60° D.90° 3.图中∠ACB是圆周角的是() A B B C C D. A B B 4.如图，点A,B,C在⊙0上，点D在⊙0外，CD与⊙0交于点E,AC,BE于点F,下 列角中，弧AE所对的圆周角是() D A B A.∠ADE B.∠ABE C.∠AFE D.∠AOE 5.下列各图中，∠BAC为圆周角的是() C Q B A B. C Q o B D. 利用弧、弦、圆心角的关系求解 6.如图，⊙0是△ABD的外接圆，若∠A=135°，则∠BD0的度数为() A.45° B.60° C.90° D.135° 7.如图，AB、CD是O0的直径，AE=BD,若LAOE=35°，则LCOE的度数是() D B A.35° B.60° C.65° D.70° 8.如图，M为AB的中点，N为优弧ANB上的一点，则下列数量关系正确的是() B M A.∠AOM=∠ANB B.∠AOM=∠ANB C.∠AOM=∠ANB D.∠AOM=2∠ANB 9.如图，AB是O0的直径，BD=CD,∠B0D=60°，则∠AOC等于() B D A.30° B.45 C.60° D.90° 10.如图，AB是O0的直径，BC=BD,若∠A0C=110°，则∠BOD的度数为() B 0 A.140° B.70° C.65 D.55 求圆弧的度数 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交 AB、AC于点D、点E,则弧BD的度数为() B A.28° B.609 C.55° D.40° 12.如图，己知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为2：3：4：6，则丁扇形的圆心角的度 数为() 丙 甲 丁 A.48° B.72° C.144° D.96° 13.如图，AB是半圆O的直径，点C,D在半圆上，且D为BC的中点，若LCBA=50°， 则LBCD等于() A.40° B.30° C.25° D.20° 14.如图△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D,则AD 的度数为() B A.30° B.40° C.45° D.50 15,如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD,若∠ AOB与∠COD互补，弦CD=4,则弦AB的长为() A.42 B.35 C.25 D.2W6 圆周角定理 16.如图，在⊙0的内接四边形ABCD中，∠B0D=120°，那么∠BCD的度数为() D A.120° B.100° C.80° D.60° 17.如图，AB是⊙0的直径，∠A0C=60°，则∠ABC的度数为() 608 B 0 A.30° B.60 C.120° D.150° 18.如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，若∠BOD=80°，则∠BCD的度数是() A.100° B.120° C.130° D.140° 19.如图，四边形ABCD内接于⊙0，若∠B0D=130°，则∠DCE的度数是() A D C E A.130° B.70° C.65° D.50 20.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E,连结AC,AD,设∠BAC=a, ∠BAD=B,∠AEC=Y,则() B D A.a-B+y=90° B.B+y-a=90 C.a+B+y=180° D.a+B-y=90° 半圆（直径)所对的圆周角是周角 21.如图，在⊙0中，AB为直径，C,D为圆上的点，若∠CDB=54°，则∠CBA的大小 为() A.36° B.39° C.27° D.54° 22.如图，AB是⊙0的直径，CD是⊙0的弦，若∠CAB=40°，则∠ADC的度数是() 0 D A.40° B.50° C.60° D.70 23.如图，AB是⊙0的直径，CD是O0的弦，∠ACD=40°，则∠BAD为() D A.30° B.45° C.50° D.60° 24.如图，AB是⊙0的直径，CD是弦，若∠CDB=32°，则∠ABC等于() D A B A.68° B.64° C.58° D.549 25.如图，AB是⊙0的直径，若∠BAC=46°，则∠ADC的度数为() C A.46 B.45 C.54 D.44° 90度的圆周角所对的弦是直径 26.如图，用直角曲尺检查半圆形工件，合格的是() B D 27.ABC中，AC=3,BC=4,AB=5,若A,B,C三个顶点均在圆0上，则圆O的 半径为() A.5 B月 c.2 D.2 28.如图，用⊙0制作的表盘模型，其中点A,B分别与整钟点“3时”，“11时”重合，要使 ∠ABC=90°，则点C应位于表盘的() 12 111. 10.B 2 9 3 A 84 °4 -5 6 A.“7时”处 B.“8时”处 C.“9时”处 D.“10时”处 29.以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边AB 重合.点D为斜边AB上一点，作射线CD交AB于点E,如果点E所对应的读数为50°，那 么∠BCD=() E A.65 B.70° C.50° D.45° 30.筒车作为我国古代伟大的水利灌溉发明，在水利发展史上意义非凡.图②是从正面看到 的一个筒车（图①）的形状示意图，筒车⊙O与水面分别交于点A,B,连接PA,PB,点 M在AB的延长线上.若∠PBM=1I0°，则∠APC的度数为() M 0 水面 图① 图② A.20° B.30° C.55° D.70° 28.3圆心角和圆周角 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、圆心角 1. 定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2. 圆心角与所对弧的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；反之，相等的弧所对的圆心角相等。 3. 圆心角与所对弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；反之，相等的弦所对的圆心角相等。 4. 圆心角的度数：圆心角的度数等于它所对弧的度数。 二、圆周角 1. 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 3. 圆周角定理的推论 · 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 · 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径。 · 推论3：圆内接四边形的对角互补。即：若四边形(ABCD)内接于(⨀O)，则，。 型 习 练 题 圆心角和圆周角概念辨析及简单运算 1．下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 【答案】B 【分析】本题考查了圆的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据圆的周长、圆弧、圆心角、扇形的定义分别判断即可． 【详解】解：A、半径相等的圆的周长相等，原说法错误，不符合题意； B、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，正确，符合题意； C、顶点在圆心的角叫做圆心角，原说法错误，不符合题意； D、由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆心角，圆的等分，根据八个方位将圆形八等分，求出相邻两个方位间所夹的圆心角度数即可． 【详解】解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 3．图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．角的顶点在圆上，角的两边是圆的两条弦，这样的角是圆周角． 【详解】解：根据圆周角的定义，只有A选项符合， 故选：A． 4．如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧所对的圆周角是：或， 故选：B． 5．下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 根据由圆周角的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意； 故选：D． 利用弧、弦、圆心角的关系求解 6．如图，是的外接圆，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角定理及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角的定理及等腰三角形的性质是解题的关键． 由题意易得优弧的度数为，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴优弧的度数为， ∴劣弧的度数为，即， ∵， ∴； 故选：A． 7．如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据等弧所对的圆心角相等得到，再由对顶角相等得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径，即点O是与的交点， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，M为的中点，N为优弧上的一点，则下列数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，利用弧、弦、圆心角的关系求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据M为的中点，得出，再根据圆周角定理得出，从而可得． 【详解】解：如图，连接， ∵M为的中点， ∴， 又，N为优弧上的一点，， ∴， 故选：C． 9．如图，是的直径，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．先利用圆心角、弧、弦的关系得到，然后利用平角的定义计算的度数． 【详解】解：， ， ． 故选：． 10．如图，是的直径，．若，则的度数为（    ） A．140° B．70° C．65° D．55° 【答案】B 【分析】本题考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等的性质是解答本题的关键．由在同圆中等弧所对的圆心角相等得从而求得答案． 【详解】解：是的直径，， ， ， 故选：B． 求圆弧的度数 11．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 弧的度数为， 故选：． 12．如图，已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，则丁扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要根据扇形面积与圆心角的关系来求解丁扇形的圆心角． 【详解】已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，那么整个圆的面积可看作份 丁扇形的面积占6份，所以丁扇形面积占整个圆面积的比例为 ∵整个圆的圆心角是 ∴丁扇形的圆心角为． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积与圆心角的关系，掌握在同一个圆中，扇形的面积比等于圆心角的比，利用这一关系结合圆的圆心角为，计算扇形的圆心角是解题的关键． 13．如图，是半圆的直径，点C，D在半圆上，且D为的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系．先利用直径所对的圆周角是直角可得：，从而可得，然后利用圆内接四边形对角互补可得，再求得，最后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是半的内接四边形， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 14．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的度数为： 故选B． 【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键． 15．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．证明CD=BT，∠ABT=90°，再利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，延长AO交⊙O于T，连接BT． ∵∠AOB+∠BOT=180°，∠AOB+∠COD=180°， ∴∠COD=∠BOT， ∴， ∴CD=BT=4， ∵AT是直径，AT=6， ∴∠ABT=90°， ∴AB==， 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 圆周角定理 16．如图，在的内接四边形中， ，那么的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得，再根据圆内接四边形的性质可得的度数． 【详解】解在的内接四边形中，， ， ， 故选：A． 17．如图，是的直径，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，解题关键是掌握圆周角定理并能熟练运用求解． 利用圆周角定理求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， 故选：A． 18．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理与圆内接四边形的性质，解题的关键是利用圆周角定理求出圆周角，再结合圆内接四边形的对角互补计算角度． 先由圆周角定理求出的度数；再根据圆内接四边形的对角互补，计算的度数． 【详解】解：∵ 同弧所对的圆周角是圆心角的一半，， ∴ ． ∵ 四边形ABCD是的内接四边形， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 19．如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴． 故选：C 20．如图，是的直径，弦与交于点E，连结，，设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连结，由是的直径，得，则，而，且，，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：连结， 是的直径， ， ， ∴， ，且，， ， ， 故选：A 半圆（直径）所对的圆周角是周角 21．如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 利用圆周角定理证得、，根据直角三角形的两锐角互余，进行计算求解即可． 【详解】解：由于为直径， 则， ∵， ∴, ∴， 故选：A． 22．如图，是的直径，是的弦，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，连接．利用三角形内角和定理求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵是直径， ∴． ∵， ∴， ∴， 故选：B． 23．如图，是的直径，是的弦，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角，三角形内角和定理，掌握圆的相关性质是解题关键．由直径可得，由同弧所对的圆周角相等，得到，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：C． 24．如图，是的直径，是弦，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得，则可得，再根据圆周角定理求解即可得． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：． 故选：C． 25．如图，是的直径，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 连接，如图，利用圆周角定理得到，，然后利用互余计算出的度数即可． 【详解】解：连接，如图， 是的直径， ， ， ． 故选：D． 90度的圆周角所对的弦是直径 26．如图，用直角曲尺检查半圆形工件，合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“直径所对的圆周角等于”判断即可．本题主要考查圆周角的概念及“直径所对的圆周角等于”，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：A、圆周角所对的弦不是直径，故该工件不合格； B、角不是圆周角，故该工件不合格； C、圆周角所对的弦不是直径，故该工件不合格； D、圆周角所对的弦是直径，故该工件合格； 故选：D． 27．中，，，，若，，三个顶点均在圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据圆周角定理可得为圆的直径，由此即可得． 【详解】解：如图，在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵，，三个顶点均在圆上， ∴为圆的直径， ∴圆的半径为， 故选：B． 28．如图，用制作的表盘模型，其中点A，B分别与整钟点“3时”，“11时”重合，要使，则点C应位于表盘的（    ） A．“7时”处 B．“8时”处 C．“9时”处 D．“10时”处 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握直径对直角是解题的关键；根据直径对直角可知，当是直径时，，据此即可得解． 【详解】解：连接，延长交于C，连接， 是直径， ， 点C应位于表盘的“9时”处， 故选：． 29．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据题意可得：，然后根据圆周角定理可得：，再利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵ ∴点C在上， 由题意得：， ， ， 故选：A． 30．筒车作为我国古代伟大的水利灌溉发明，在水利发展史上意义非凡．图②是从正面看到的一个筒车（图①）的形状示意图，筒车与水面分别交于点，，连接，，点在的延长线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．连接，由邻补角的性质求得，利用圆周角定理求得，，据此求解作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $