28.3 第3课时 圆内接四边形及其性质-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(冀教版2012)

第3课时 圆内接四边形及其性质（答案P36) (含课程标准新增考查内容) 通基》%999999沙9 5.(2023·廊坊香河期末)如图所示，AB为⊙O 的直径，点C,D在⊙O上.若∠ADC=130°， 知识点1同弧（或等弧）所对的圆周角相等 则∠BAC的度数为() 1.如图所示，在⊙O中，弦AB,CD相交于点P, A.25° B.30° C.40° D.50 则一定与∠A相等的是() 6.(2023·承德兴隆期末)如图所示，四边形 A.∠B B.∠C C.∠D D.∠APD ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=130°， 则∠BOD= 0 第1题图 第2题图 2.如图所示，AB是⊙O的直径，C,D是圆上的 7.几何直观如图所示，已知A,B,C,D是⊙O 点.若∠D=20°，则∠BAC的度数为( ) 上的四点，延长DC,AB相交于点E,连接 A.20° B.60° C.70 D.80 BC,BC=BE. 3.新视野》如图所示，⊙O中两条弦AB,CD相 求证：△ADE是等腰三角形 交于点E,且AB=CD.若∠AEC=100°，求 ∠A的度数. 知识点2圆内接四边形 易错对圆内接四边形的性质理解不清，出现 4.如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边 错解 形.若∠D=3∠B,则∠B的度数为() 8.如图所示，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点 A.30° B.36 C.45 D.60 A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE.若 ∠D=78°，则∠EAC= 第4题图 第5题图 135 优计学案·课时通 通能力922 14.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O,点E 在对角线AC上，EC=BC=DC. 9.如图所示，B,C是⊙O上两点，且∠a=96°，点 (1)若∠CBD=40°，求∠BAD的度数. A是⊙O上一个动点（不与B,C重合），则 (2)求证：∠1=∠2. ∠A为( .0 A.48° B.132° C.48°或132° D.96° 10.(2023·廊坊安次区一模)如图所示，四边形 ABCD内接于⊙O,∠ABC=135°，AC=4, 则⊙O的半径为( ) 通素第》99999999999 15.如图所示，⊙O的内接四边形ABCD两组对 边的延长线分别交于点E,F (1)若∠E=∠F,求证：∠ADC=∠ABC. (2)若∠E=∠F=40°，求∠A的度数， (3)若∠E=30°，∠F=40°，求∠A的度数. A.4 B.2√2 C.3 D.42 11.如图所示，在△ABC中，AB=AC=√5， BC=2,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC 两边于点D,E,连接BD,DE,则△CDE的 0 面积为() A号 C6⑤ D26 5 5 第11题图 第12题图 12.推理能力》如图所示，点A,B,C,D均在⊙O 上，若∠AOD=65°，AO∥DC,则∠B的度数 为 13.在圆的内接四边形ABCD中，∠A,∠B,∠C 的度数之比为2：3：4，则∠D的度数 是 一九年级上册·数学：山 13614.解：(1)证明：连接OB,OC,如图所示. .AB=AC,..AB=AC. (AB=AC, 在△AOB与△AOC中，3OB=OC, OA=OA, ∴.△AOB≌△AOC(SSS), 15.解：(1)：OP∥CD, ∴.∠BAO=∠CAO,即AO平分∠BAC. ∴.∠OPC=∠PCD=15. (2)连接AO并延长交BC于点E,如图所示. .OP=OC, AB=AC,AO平分∠BAC, .∠OPC=∠OCP=15°， AE⊥BC,BE=EC=4, ∴.∠POC=180°-∠0PC ..AB2-BE2=AE2,OB2=OE2+BE2. ∠0CP=150°. 设OA=x,则(4√5)2-4=(x+OE)2,x2= (2)如图所示，根据题意补全图 0E2+42, 形，连接PA,PB,OD,OA,G 解得x=5,OE=3,.半径OA的长为5. OB,AB. A .OC=OD, ∴.∠ODC=∠OCD=∠OCP+∠PCD=30°， ∴.∠C0D=120. .AB=CD, ∴.∠AOB=∠COD=120°， .1 第2课时圆周角定理及其推论 ∠APB=2∠AOB=60° 1.B2.4∠C与∠D∠A与∠B 第3课时圆内接四边形及其性质 3.B4.A5.90°6.B7.35 (含课程标准新增考查内容) 8.解：(1)AB是⊙O的直径，∴.∠ADB=90°. 1.C2.C ,∠B=∠ACD=30°， 3.解：AB=CD,AB=CD, ∴.∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°. ..AB-BC=CD-BC,.'.AC=BD. (2)在Rt△ADB中，BD=√5AD=√3X√3=3. 9.B10.C11.A12.45°≤a≤90°13.10 ∠A=∠D,∴∠A=号∠ABC=50 14.解：(1)证明：连接OA,如图所示. 4.C5.C6.100° ,'PB=PM,.∠PMB=∠PBM. 7.证明：，四边形ABCD为圆的内接四边形， :∠PBM=号∠AOM=∠D, .∠A+∠BCD=180°. 又.∠BCE+∠BCD=180°，.∠A=∠BCE ∴∠PMB=∠D,∴.AD∥BM. .BC=BE, (2)如图所示，连接OB.设OC=x,BC=y. ∴∠BCE=∠E,∴.∠A=∠E, .MN⊥AB,∴.∠BCO=∠BCM=90°. .AD=DE,△ADE是等腰三角形. 在Rt△OBC和Rt△BCM中，由勾股定理， 8.27°9.C10.B11.A12.57.5°13.90 -, 14.解：(1)，CB=CD, 得 ∴.∠CDB=∠CBD=40°. （侣+-6 由圆周角定理，得∠CAB=∠CDB=40°， ∠CAD=∠CBD=40°， 解得x=7, ∴.∠BAD=40°+40°=80°. (2)证明：，CE=CB, ∴MC=5- 718 55 ∴.∠CBE=∠CEB, ,∠ADP=∠ABM, ∴.∠1+∠CBD=∠2+∠CAB. 18 ∠BAC=∠BDC=∠CBD, sin∠ADP=sin∠ABM=CM_5_3 .∠1=∠2. BM 6 5 15.解：(1)证明：∠E=∠F,∠DCE=∠BCF, 且∠ADC=∠E+∠DCE, 36 ∠ABC=∠F+∠BCF, ∴.AC⊥OD .∠ADC=∠ABC. (2),ODBC,O是AB的中点， (2)由(1)知∠ADC=∠ABC. .OD是△ABC的中位线， 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠ADC+∠ABC=180°， 0D-c-2X4-2cm. ∠ADC=∠ABC=90°，∠A=90°-∠E= 90°-40°=50°. （3):sinA-7∠A=30 (3)如图所示，连接EF. 在R△ABC中，∠A=30,BC=2AB, ,四边形ABCD是⊙O的 内接四边形， .'.AB=2BC=8 cm. .∠A+∠BCD=180°. 即⊙O的直径是8cm. 又，∠ECD+∠BCD=180°， 4.解：(1)证明：连接AD,如图所示. ∠ECD=∠A. AB是⊙O的直径，.∠ADB=90°， .∠ECD=∠1+∠2. AB=AC,∴.BD=DC. ∴.∠A=∠1+∠2. (2).BD=DC=4,..BC=DB+DC=8. :∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD=180°， 1 在Rt△ADC中，tanC=2' .2∠A+30°+40°=180°， ∴.∠A=55°. ∴AD=CD=4X号-2， 专题八圆周角和圆心角有关性质的应用 .AC=√AD2+CD2=√22+4=2√5 1.解：(1)△ABC是等边三角形 AB是⊙O的直径，.∠AEB=90. 证明：由圆周角定理，得∠ABC= :∠AEB=∠ADC=90°，∠C=∠C, ∠APC=60°， CE CB ∠CAB=∠CPB=60°， △CDA∽△CEB,CD-CA' .△ABC是等边三角形 (2)连接BO并延长交⊙O于点E, CE、 4 25CE-8X4165 2√5 5, 连接CE,如图所示 由圆周角定理，得∠E=∠BAC=60° AE-CE-4AC-骨后iAE的长为写后. ,BE是⊙O的直径，∴.∠BCE=90°. E 在Rt△BCE中，BE BC sin E=43. ∴.⊙0的半径为2√. 2.解：(1)证明：如图所示，连接OB, 设∠1，∠2. .'AB=OC,OB=OC, 5.解：(1)证明：，四边形ABCD内接于⊙O, ∴.AB=BO,.∠EAD=∠2， .∠A+∠BCD=180. ∴.∠1=∠2+∠EAD=2∠EAD. 又，∠BCD+∠DCE=l80°，∴.∠A=∠DCE. 又OE=OB,∠1=∠E, :∠1=∠2，AD=DC,∴.AD=DC .∠E=2∠EAD. (AB=CE, (2)∠EOD=∠E+∠EAD=3∠EAD=81°， 在△ABD和△CED中，∠A=∠DCE, .∠EAD=27°. AD=DC, ∴.△ABD≌△CED(SAS),∴.BD=ED. (2)过点D作DM⊥BE于点M,如图所示. .AB=4,BC=6,CE=AB, ..BE=BC+EC=10. 3.解：(1)证明：AB是⊙O的直径， BD-ED,DMLBE.:BM-ME-zBE-5. ∴.∠C=90°. .'.CM=BC-BM=1. .OD∥BC,.∠ADO=∠C=90°， ∠ABC=60°，∠1=∠2，∠2=30°， 37