28.1圆的概念及性质讲义 2025-2026学年冀教版数学九年级上册

本讲义聚焦圆的概念及性质核心知识点，系统梳理圆的基本概念（圆心、半径、弦、直径、弧等）、周长与面积公式及推导过程，构建从概念理解到公式应用的学习支架，为基础薄弱学生搭建从概念认知到实际解题的过渡桥梁。 资料定位精准，聚焦基础薄弱学生提分需求，通过分类练习题（如概念辨析、弦的条数计算、周长面积应用）强化核心概念理解。面积公式推导环节引导学生分割扇形拼长方形，培养抽象能力与推理意识，结合图形题提升几何直观与空间观念。课中助力教师分层教学，课后便于学生针对性练习，有效弥补知识盲点。

28.1圆的概念及性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、圆的基本概念 1. 圆的定义：在一个平面内，线段 ( OA ) 绕它固定的一个端点 ( O ) 旋转一周，另一个端点 ( A ) 所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的端点 ( O ) 叫做圆心，线段 ( OA ) 叫做半径，通常用字母 ( r ) 表示。 2. 圆的表示：以点 ( O ) 为圆心的圆，记作“( ⊙O )”，读作“圆 ( O )”。 3. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 4. 直径：经过圆心的弦叫做直径，直径通常用字母 ( d ) 表示，直径是圆中最长的弦，且 ( d = 2r )。 5. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧（用三个字母表示），小于半圆的弧叫做劣弧（用两个字母表示）。 6. 等圆与等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 二、圆的周长 1. 圆的周长定义：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，通常用字母 ( C ) 表示。 2. 圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率，用字母表示，，是一个无限不循环小数。 3. 圆的周长公式： · （其中 ( d ) 为圆的直径） · （其中 ( r ) 为圆的半径） 三、圆的面积 1. 圆的面积定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，通常用字母 ( S ) 表示。 2. 圆的面积公式：（其中 ( r ) 为圆的半径）。推导过程通常是将圆分割成若干个小扇形，拼成一个近似的长方形，长方形的长近似于圆周长的一半（），宽近似于圆的半径（( r )），因此面积为。 型 习 练 题 圆的基本概念辨析 1．已知是半径为4的圆内的一条弦，则的长不可能是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 3．已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（   ） A．0.01 B．5 C．10 D．11 4．下列说法正确的是（   ） A．直径是弦，弦是直径 B．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 C．相等的弦所对的弧相等 D．在同圆中直径的长度是半径的2倍 5．下列说法中，不正确的是（  ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．等弧的长度一定相等 求圆中弦的条数 6．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 9．如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 10．如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 求过圆内一点的最长弦 11．若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 12．已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 13．小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（   ） A． B． C． D． 14．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 15．、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 圆的周长和面积问题 16．如图，在半径为的圆形铁片中挖去个半径为的小圆，剩余部分的面积为，则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 17．如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 18．如图所示，甲、乙两只蚂蚁同时从点A出发，甲沿着外侧的大圆爬行，乙在里面两个小圆沿“8”字形爬行．如果两只蚂蚁爬行的速度相同，那么先回到点A的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法确定 19．如图中圆环的面积为（     ） A． B． C． D． 20．一个半圆的周长10.28厘米，这个半圆的直径（    ）厘米 A．2 B．4 C．6 D．8 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1圆的概念及性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、圆的基本概念 1. 圆的定义：在一个平面内，线段 ( OA ) 绕它固定的一个端点 ( O ) 旋转一周，另一个端点 ( A ) 所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的端点 ( O ) 叫做圆心，线段 ( OA ) 叫做半径，通常用字母 ( r ) 表示。 2. 圆的表示：以点 ( O ) 为圆心的圆，记作“( ⊙O )”，读作“圆 ( O )”。 3. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 4. 直径：经过圆心的弦叫做直径，直径通常用字母 ( d ) 表示，直径是圆中最长的弦，且 ( d = 2r )。 5. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧（用三个字母表示），小于半圆的弧叫做劣弧（用两个字母表示）。 6. 等圆与等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 二、圆的周长 1. 圆的周长定义：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，通常用字母 ( C ) 表示。 2. 圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率，用字母表示，，是一个无限不循环小数。 3. 圆的周长公式： · （其中 ( d ) 为圆的直径） · （其中 ( r ) 为圆的半径） 三、圆的面积 1. 圆的面积定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，通常用字母 ( S ) 表示。 2. 圆的面积公式：（其中 ( r ) 为圆的半径）。推导过程通常是将圆分割成若干个小扇形，拼成一个近似的长方形，长方形的长近似于圆周长的一半（），宽近似于圆的半径（( r )），因此面积为。 型 习 练 题 圆的基本概念辨析 1．已知是半径为4的圆内的一条弦，则的长不可能是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解题的关键．根据圆内弦的性质，弦的长度不超过直径，直径为8，因此的长度不能大于8． 【详解】解：由题意知，该圆的直径为8， 圆中最长的弦为直径， ， 选项A中，故的长不可能为9，符合题意， 故选：A． 2．下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： A、经过一个点P的圆有无数个，正确； B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； C、半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； D、以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误． 故选：D． 3．已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（   ） A．0.01 B．5 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了圆的弦的性质． 根据圆的弦的性质，弦的长度不能超过直径．已知半径为5，直径为10，因此弦长不可能大于10． 【详解】解：∵的半径为5， ∴直径长为10． ∵弦的长度满足， ∴的长度不可能为11． 故选：D． 4．下列说法正确的是（   ） A．直径是弦，弦是直径 B．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 C．相等的弦所对的弧相等 D．在同圆中直径的长度是半径的2倍 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、直径、弧和半径的关系．根据圆的定义和性质逐一判断选项的正确性即可． 【详解】A．直径是经过圆心的弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故该选项错误，不符合题意； B．过圆内一点，若该点是圆心，可作无数条直径；若该点不是圆心，只能作一条直径（连接该点与圆心并延长），故该选项错误，不符合题意； C．相等的弦所对的弧不一定相等，因为弧有优弧和劣弧之分，只有在同圆或等圆中且对应同类型弧时才相等，故该选项错误，不符合题意； D．在同圆中，直径的长度是半径的2倍，故该选项正确，符合题意；． 故选：D． 5．下列说法中，不正确的是（  ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．等弧的长度一定相等 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键． 根据直径、弦、弧、等圆和等弧的定义和性质，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、过圆心的弦是圆的直径，这是直径的定义，则A正确； 选项B、在同一个圆中，当弦为直径时，所对的两条弧相等，且都为半圆，其他情况下一条弦所对的两条弧，是一条优弧和一条劣弧，两条弧不相等，因此同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，则B错误； 选项C、根据圆的周长公式半径，周长相等的圆，半径也相等，为等圆，则C正确； 选项D、等弧能完全重合，长度一定相等，则D正确； 故选：B． 求圆中弦的条数 6．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 7．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 8．如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 9．如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】A 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有，共2条． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键． 10．如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦． 【详解】解：图中有弦共3条， 故选C． 【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键． 求过圆内一点的最长弦 11．若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的弦长范围，熟练掌握“圆上两点间的弦长最大值为直径”是解题的关键． 根据圆的直径明确圆上弦的长度范围，从而判断选项． 【详解】解：∵ 的直径长为4，点A，B在上 ∴ 弦的长满足，选项A、B、C都满足条件， ∵ 选项D中， ∴ 选项D不符合条件． 故选：D． 12．已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故选B． 13．小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的认识，根据直径是圆中最长的弦即可求解． 【详解】解：半径为的圆，直径为， 在半径为的圆中测量弦的长度，的取值范围是：， 弦的长度可以是，不可能为、、． 故选：D． 14．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 15．、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的基本性质可直接进行求解． 【详解】∵圆中最长的弦为直径， ∴． ∴故选D． 【点睛】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键． 圆的周长和面积问题 16．如图，在半径为的圆形铁片中挖去个半径为的小圆，剩余部分的面积为，则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数表达式，圆的面积的计算，理解数量关系是关键． 根据圆的面积的计算方法列式求解即可． 【详解】解：， 故选：C ． 17．如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的性质与判定，可证明是等边三角形，得到，再根据圆的面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 18．如图所示，甲、乙两只蚂蚁同时从点A出发，甲沿着外侧的大圆爬行，乙在里面两个小圆沿“8”字形爬行．如果两只蚂蚁爬行的速度相同，那么先回到点A的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查圆的周长，明确两个小圆的周长等于大圆的周长是解题的关键． 由题意可知，甲蚂蚁走的路程是大圆的周长，乙蚂蚁走的路程是两个小圆周长的和，设大圆的直径是，左边的小圆的直径是，右边的小圆的直径是，观察图形可知，所以甲蚂蚁和乙蚂蚁走的路程相同，根据路程÷速度=时间，据此解答即可。 【详解】解：设大圆的直径是，左边的小圆的直径是，右边的小圆的直径是， 则甲、乙两只蚂蚁爬行的路程分别为：，， 观察图形可知， ∴， ∵两只蚂蚁爬行的速度相同， ∴同时到达． 故选：C． 19．如图中圆环的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆的面积的计算，利用大圆的面积减去小圆的面积即可得到答案． 【详解】解：图中圆环的面积为：． 故选：D 20．一个半圆的周长10.28厘米，这个半圆的直径（    ）厘米 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了圆的周长．半圆的周长等于圆的周长的一半再加直径，设圆的直径为d，由“一个半圆的周长是10.28厘米”即可求出圆的直径，从而问题得解． 【详解】解：设圆的直径为d厘米， 则， ， ， ； 答：这个半圆的直径是4厘米． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $