28.1 圆的概念及性质-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(冀教版2012)

第二十八章圆 大单元建构 圆的性质的应用 ● 圆的概念及性质 垂径定理 过三点的圆 圆 圆的计算● 圆心角及其性质 圆周角定理及其推论 圆心角和圆周角 圆内接四边形及其性质 孤长和扇形面积的计算 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 抽象能力 通过问题情境，理解圆、弧、弦、等圆、等弧、圆心角、圆周角的概念 通过探究圆周角、圆心角和它所对的弧的关系，掌握圆周角定理及其结论，能够理解圆内接四边 运算能力 形的对角互补，求圆的相关角度与线段长度；能熟练地求弧长和扇形的面积 几何直观 根据几何图形，探究圆周角定理、垂径定理等的应用，直观感受圆的各部分内在联系 经历“不在同一条直线上的三点”确定一个圆的过程，理解三角形的内心和外心的含义，并能证明 应用意识 垂径定理及其推论，能够用以上内容解决实际问题 利用推理与证明，利用垂径定理建立数学模型，并能解决生活中的很多实际问题，感受数学与现 模型观念 实生活的密切联系 -九年级·上册数学 126 28.1圆的概念及性质（答案34） 通基础> 6.如图所示，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则 >3>》>>2>》>2>>》>>>>>9 ∠MON等于 知识点1圆的定义 1.在平面内与点P的距离为1cm的点的个数 为() A.无数个 B.3个 C.2个 D.1个 易错对圆的相关概念理解不清，出现错解 2.下列由实线组成的图形中，为半圆的是( 7.如图所示，图中有 条画出的直径， 条画出的弦.以点A为一个端点的优 弧有 条，劣弧有 条 A B 知识京2圆的对称性 3.在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一 个操作：“将一张圆形纸片沿着它的任意一条 直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相 重合”.由此说明() A.圆的直径互相平分 8.如图所示，点M是⊙O上的任意一点，下列 B.过圆心的线段是直径 结论： C.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 ①以M为端点的弦只有一条； D.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线 ②以M为端点的直径只有一条； 都是它的对称轴 ③以M为端点的弧只有一条. 4.如图所示，在⊙O中，AB,CD为直径，连接 则() AC,AD,BC,BD,该图形的对称轴的条 A.①、②错误，③正确 数是() B.②、③错误，①正确 C.①、③错误，②正确 D.①、②、③错误 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 0 知识点3圆的有关概念 0cm 1 3 4 第8题图 第9题图 5.下列说法，不正确的是() 9.几何直观》圆片向右滚动一周后的位置如图 A.过圆心的弦是圆的直径 所示，这个圆片的直径大约是() B.等弧的长度一定相等 A.0.5 cm B.1 cm C.周长相等的两个圆是等圆 D.直径是弦，半圆不是弧 C.3.14cm D.无法确定 27 优计学案·课时通 10.创新意识》如图所示，从 通素养》9999 A地到B地有两条路可 走，一条路是大半圆，另 13.探究拓展》如图所示，⊙O的半径均为R. 一条路是4个小半圆.有一天，一只猫和一只 (1)请在图①中画出弦AB,CD,使图①为轴 老鼠同时从A地到B地.老鼠见猫沿着大半 对称图形而不是中心对称图形；请在图②中 圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿 画出弦AB,CD,使图②仍为中心对称图形. 着4个小半圆行走.假设猫和老鼠行走的速 (2)如图③所示，在⊙O中，AB=CD= 度相同，那么下列结论正确的是() m(0<m<2R),且AB与CD交于点E,夹角 A.猫先到达B地 为锐角a.求四边形ACBD的面积（用含m,a B.老鼠先到达B地 的式子表示). C.猫和老鼠同时到达B地 (3)若线段AB,CD是⊙O的两条弦，且 D.无法确定 AB=CD=√2R,你认为在以点A,B,C,D 11.如图所示，AB=3cm,用图形表示：到点A的 为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四 距离小于2cm,且到点B的距离不小于2cm 边形？请利用图④说明理由. 的所有点的集合（用阴影表示，注意边界上的 点是否在集合中，如果在，用实线表示，如果 不在，用虚线表示). 12.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD, AD=BC,将等腰梯形ABCD沿对角线AC 翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合. (1)点C是否在以AB为直径的圆上？请说 明理由。 (2)当AB=4时，求此梯形的面积. D 一九年级上册·数学：山 1287.(1)(4,15) 13.解：(1)答案不唯一，如图①，②所示 (2)4 D 第二十八章圆 28.1圆的概念及性质 0 1.A2.B3.D4.B5.D6.80 D 7.14448.C9.B10.C 11.解：如图所示 ① ② (2)过点A,B分别作CD的垂线，垂足分别为 M,N,如图③所示. :Saam=7CD·AM=2cD·AE·na 1 So-CD.BN-CD.BE,sin a 六Ss0m=Sam十Sm-含CD,AE:aa十 1 12.解：(1)点C在以AB为直径的圆上.理由：如图所 CD,BE·血a-号cD·(AE+BE)sna 示，连接MD.由折叠的性质知∠DAC=∠BAC, 1 1 AD-AM. 2CD AB.sin a=m sin a. ,AB∥CD, (3)存在.分两种情况说明如下： ∴.∠DCA=∠BAC. ①当AB与CD相交时，由(2)及AB=CD=√2R, ∴∠DAC=∠DCA. ∴.AD=CD. 知S四边形ACBD二 2AB·CD·sina=R2sina .'AD=AM, ②当AB与CD不相交时，如图④所示. ∴.CD=AM, ∴.四边形AMCD是平行四边形， ∴.MC=AD. .AM=BM, ∴.CD=BM. ∴.四边形BCDM是平行四边形， .'.MD=BC. ③ ④ .AD=BC, ∴.MC=MD=MA=MB, .AB=CD=2R,OC=OD=0A=OB=R, ∴点C在以AB为直径的圆上 .∠AOB=∠COD=90°. D 而S网边形ABCD=SRIAAOB+SR△OCD十S△AOD十 个 S△BOc=R2+S△AOD+S△BOC· 延长BO交⊙O于点E,连接EC,设∠1，∠2，∠3， AE M 则∠1+∠3=∠2+∠3=90°， (2)由(1)易得△AMD,△BCM是等边三角形， ∠1=∠2， AM=AB=2.如图所示，过点D作DELAB于 ∴.△AOD≌△COE(SAS). .S△AOD=S△0CE, 点E,则AE=EM=1.由勾股定理，得DE= .S△AOD+S△BOc=SAOCE+S△BOc=S△BCE· √22-12=3. 过点C作CH⊥BE,垂足为H, .∠CMD=180°-∠AMD-∠BMC=60°， 则SaaE=2BE·CH=R·CH, DM=CM, .△CDM为等边三角形， ∴.当CH=R时，S△CE取最大值R2. ∴.CD=DM=AD=2, 综合①、②可知，当∠1=∠2=90°， 棉形ABCD的面积为号×(2+)×，3-33。 即四边形ABCD是边长为√2R的正方形时， S四边形ABCD=R2十R2=2R2为最大值. 34