27.3反比例函数的应用（基础篇）讲义 2025-2026学年冀教版数学九年级上册

本讲义聚焦反比例函数的应用核心知识点，系统梳理从实际意义理解（两变量乘积为非零常数）、模型建立步骤（分析变量-设解析式-求k-定范围），到解决问题五步流程（审题-设元-列关系式-求解-检验），结合行程、工程、几何等应用场景及图像辅助作用，构建完整学习支架。 资料特色为分层提分设计（30分至70分适用），以实际问题（如机器狗速度与质量关系）培养数学眼光，通过模型建立步骤训练数学思维，图像与几何综合题（如面积计算）强化数学语言。课中助力教师系统授课，课后分类练习帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

27.3反比例函数的应用 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 反比例函数的实际意义与模型建立 · 实际意义理解：在实际问题中，当两个变量 ( x ) 和 ( y ) 的乘积为一个非零常数 ( k )（即 ( xy = k ) 或，）时，称 ( y ) 是 ( x ) 的反比例函数，其中 ( k ) 为比例系数。 · 模型建立步骤： 1. 分析问题中的两个变量，判断它们是否满足反比例关系（即乘积为常数）； 2. 设出反比例函数的一般形式（）； 3. 根据已知条件（一组对应值）代入函数式，求出比例系数 ( k )； 4. 得到具体的反比例函数解析式，并注明自变量 ( x ) 的取值范围（需符合实际意义）。 2. 利用反比例函数解决实际问题的基本步骤 · 审题：明确问题中的已知量、未知量以及变量之间的关系，找出关键信息。 · 设元：设出反比例函数中的变量 ( x ) 和 ( y )，并确定其实际含义。 · 列函数关系式：根据题意判断变量间为反比例关系，设，代入已知数据求出 ( k )，确定函数解析式。 · 求解：将所求问题中的已知条件代入函数解析式，计算出对应的未知量。 · 检验：检验结果是否符合函数解析式、是否满足实际意义（如自变量取值范围、结果的合理性等），最后作答。 3. 常见实际应用场景及示例 · 行程问题：当路程 ( s ) 一定时，速度 ( v ) 与时间 ( t ) 成反比例，即（( s ) 为常数，( t > 0 )）。 · 工程问题：当工作总量 ( W ) 一定时，工作效率 ( p ) 与工作时间 ( t ) 成反比例，即（( W ) 为常数，( t > 0 )）。 示例：一项工程，若 5 人合作需 12 天完成，则工作总量（人·天），工作效率（人数）( p ) 与时间 ( t ) 的关系为。 · 几何问题：当矩形面积 ( S ) 一定时，长 ( a ) 与宽 ( b ) 成反比例，即（( S ) 为常数，( b > 0 )）。 示例：一个矩形面积为，则长 ( a ) 与宽 ( b ) 的函数关系为。 4. 反比例函数图像在应用中的辅助作用 · 图像特征：反比例函数的图像是双曲线，当 ( k > 0 ) 时，图像在第一、三象限，在每个象限内 ( y ) 随 ( x ) 的增大而减小；当 ( k < 0 ) 时，图像在第二、四象限，在每个象限内 ( y ) 随 ( x ) 的增大而增大。 · 应用价值：通过图像可直观分析变量的变化趋势（如速度随时间的增减情况）、估计未知量的值（如给定时间估计速度），或根据图像上的点确定函数解析式（已知图像上一点坐标可求 ( k )）。 示例：若反比例函数图像过点 ( (2, 3) )，则，函数解析式为。 5. 注意事项 · 自变量取值范围：实际问题中，自变量 ( x ) 需满足非负性（如时间、长度、电阻等不能为负数或零），需根据场景明确标注（如 ( x > 0 )）。 · 比例系数 ( k ) 的意义：( k ) 的绝对值等于两个变量对应值的乘积，其符号反映函数图像所在象限及变量的增减关系（与实际问题中变量的正负性一致）。 · 结果合理性：求解后需检验结果是否符合实际，如时间不能为负数、人数需为正整数等，避免出现数学上正确但不符合实际的解。 型 习 练 题 已知比例系数求特殊图形的面积 1．如图，为反比例函数的图象上一点，连接，过点作的垂线，与反比例函数的图象交于点，作轴于点，轴于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握系数k的意义是解题关键； 根据反比例函数系数k的意义可知，，，进而可知两个三角形的面积比． 【详解】解：∵为反比例函数的图象上一点， ∴， 又∵为反比例函数的图象上一点， ∴， 故， 故选：D． 2．如图，在的图象上，有三点A，B，C，过这三点分别向y轴引垂线，垂足分别为，连接，的面积分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数 k 的几何意义，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．过图象上任意一点向 轴作垂线，该点、垂足及原点 O 构成的直角三角形面积恒为，与点的具体位置无关． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴设， 同理可得 ∴． 故选：D． 3．如图，已知A是反比例函数图像上的一点，过点A作轴，垂足为B，连接，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何求面积，解题关键是掌握反比例函数k的几何意义． 结合反比例函数关系，设出点A坐标，再根据三角形面积即可求出答案即可． 【详解】解析：∵A为反比例函数的图象上的一点， ∴设， ∵轴，， ∴，， ∴． 故选：B． 4．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键；根据反比例函数k的几何意义可知：，然后问题可求解． 【详解】解：如图， 由题意可知：四边形是矩形， 根据反比例函数k的几何意义可知：， ∴； 故选B． 5．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的系数的几何意义，由反比例函数的系数的几何意义可得，，进而根据解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， 故选：B． 求反比例函数解析式 6．已知，反比例函数的图象经过点，则下列各点也在此函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数解析式和反比例函数图象上点的特征，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．先根据点求出反比例函数的比例系数 k，得到函数解析式，再验证各选项的点是否满足解析式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， A、，故该点不在图象上，不符合题意； B、，故该点在图象上，符合题意； C、，故该点不在图象上，不符合题意； D、，故该点不在图象上，不符合题意． 故选：B． 7．在平面直角坐标系中，将点A向右平移3个单位长度得到点，若反比例函数（）的图象经过点A，则k的值是（ ） A．1或 B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查点的平移和反比例函数解析式的求法，掌握平移规律和代入法是解题关键． 根据点平移的性质，向右平移3个单位则横坐标加3、纵坐标不变，先求出点A的坐标，再代入反比例函数解析式求k． 【详解】解：∵将点A向右平移3个单位长度得到点 ∴，即， ∵反比例函数（）的图象经过点A， ∴， 故选：C． 8．已知y是x的反比例函数，当时，，则下列关于y与x之间的函数关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式．根据反比例函数的定义，设函数式为，代入当时，，进行求出的值，即可作答． 【详解】解：∵y是x的反比例函数， ∴设函数式为， ∵当时，， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 9．矩形面积为20，则长y与宽x的函数关系图象是（     ） A．第一象限的双曲线 B．第一象限的直线 C．第二象限的双曲线 D．全体象限的直线 【答案】A 【分析】根据矩形面积公式得出y与x的反比例关系，再结合反比例函数的图象性质判断即可． 【详解】解：∵ 矩形面积=长×宽， ∴ ， 此为反比例函数，图象为双曲线． 又∵ （长和宽均为正数）， ∴ 函数图象仅位于第一象限． 故选：A． 10．如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）与物距（蜡烛到小孔的距离）x（单位：）成反比例关系，当时，，则y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 利用待定系数法求出函数表达式即可； 【详解】解：由题意设：， 把时，，代入， 得； ∴关于的函数表达式为； 故选：C． 一次函数与反比例函数综合判断 11．函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数（的符号对应图象所在象限）、一次函数（系数对增减性和与坐标轴交点的影响）的图象特征是解题的关键． 根据，分别分析反比例函数的象限分布，以及一次函数的增减性和与坐标轴的交点，再匹配选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵ ，一次函数， ∴ 一次函数中，随的增大而增大（图象从左到右上升）， 令，得， ∵ ， ∴ 一次函数与轴的交点为，位于轴负半轴， 结合选项，只有D符合上述特征． 故选：D． 12．反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象的综合判断，解题的关键是掌握两类函数的图象与性质． 分两种情况讨论，分别得出两个函数图象的位置，再作出判断． 【详解】解：当时，，反比例函数的图象位于第二、四象限， 对于一次函数，，图象从左向右呈上升趋势；，图象与y轴交于正半轴．没有选项符合； 当时，，反比例函数的图象位于第一、三象限， 对于一次函数：，图象从左向右呈下降趋势；，图象与y轴仍交于正半轴．故B符合． 故选：A． 13．在同一平面直角坐标系中，当时，一次函数与反比例函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，先根据一次函数中的，得一次函数交于轴的负半轴，再结合，则经过第一、三象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数中的， ∴一次函数交于轴的负半轴， 故B和D选项不符合题意； ∵， ∴经过第一、三、四象限，经过第一、三象限， 故选：A． 14．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，理解题意，再进行分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、三、四象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，D选项不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、三、四象限， 故B、C选项都不符合题意； 故选：A． 15．一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象．根据m，n的符号讨论一次函数与反比例函数的图象所在的象限，再找出符合的选项即可． 【详解】解：当，时，，，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限； 当，时，，，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象位于第二、四象限，B选项符合； 当，时，，，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象位于第二、四象限； 当，时，，，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限． 故选：B． 实际问题与反比例函数 16．在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，如图． (1)求p与S之间的函数表达式； (2)当时，求物体承受的压强p的值 【答案】(1) (2)当时，物体承受的压强p的值为200 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设，把代入进行计算，即可作答． （2）理解题意，把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意，设． 观察函数图象，函数经过点，代入上式，得． 得． 故p与S之间的函数表达式为 （2）解：由（1）得p与S之间的函数表达式为， 当时，． 故当时，物体承受的压强p的值为200． 17．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图）载重后总质量时，它的最快移动速度． (1)求v与M之间的关系式； (2)当其载重后总质量时，求它的最快移动速度v． 【答案】(1)v与M之间的函数关系式为 (2)当其载重后总质量时，它的最快移动速度v为 【分析】本题考查反比例函数与实际问题，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）设v与M之间的函数关系式为（k为常数，且），待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入（1）中的关系式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设v与M之间的函数关系式为（k为常数，且）． 将，代入， 得， 解得， ∴v与M之间的函数关系式为； （2）当时，， ∴当其载重后总质量时，它的最快移动速度v为． 18．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数与上课时间（分钟）的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，前10分钟内注意力指数与时间的关系式为．10分钟以后注意力指数是时间的反比例函数． (1)求10分钟以后与的函数关系式； (2)如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲解这道题？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，反比例函数和一次函数的应用，弄清题意是解题的关键； （1）先将代入，得，进而代入求出反比例函数关系式； （2）分别将代入两个关系式，即可求出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：依题意，将代入，得， 设10分钟以后与的函数关系式为 将，代入，得， ∴反比例函数关系式为． （2）解：由（1）得反比例函数关系式为． 当时，，解得； 当时，，解得． ∴为了保证教学效果，本节课应该在时间段讲解这道题． 19．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以千米/小时的平均速度用6小时到达目的地． (1)当他按原路匀速返回时，求汽车速度（千米/小时）与时间（小时）之间的函数关系式； (2)若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过每小时公里，最低车速不得低于每小时公里，试问返程时间的范围是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数： （1）先计算甲乙两地的距离，根据路程不变得到速度与时间的函数关系式； （2）根据速度的范围计算返程时间． 【详解】（1）， 汽车速度（千米/小时）与时间（小时）之间的函数关系式：； （2）函数如图所示，，随的减小而增大， 当，， 当时，， ． 20．近视镜镜片的焦距（单位：米）和镜片的度数（单位：度）之间满足一定的关系，下表记录了一组数据： （单位：度） … 100 200 250 500 … （单位：米） … … (1)焦距（单位：米）和度数（单位：度）之间满足的关系为______； (2)利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为400度时，求镜片的焦距． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据可得； （2）求出时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知，即； （2）解：在中，当时，， ∴当镜片的度数为400度时，镜片的焦距为米 反比例函数与几何综合 21．如图，四边形放在平面直角坐标系中，已知，，、、，反比例函数的图象经过点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将四边形向上平移个单位后，问点是否落在该反比例函数的图象上？ 【答案】(1)， (2)平移后点落在该反比例函数的图象上 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，全等三角形的性质和判定，点的平移， 对于（1），先根据“角角边”证明≌，进而得出点C的坐标，再求出关系式即可； 对于（2），先求出平移后的点B的坐标，再代入关系式可得答案． 【详解】（1）解：过作， ，， 四边形为等腰梯形， ，，， ≌， ， ， ， ， 把代入反比例解析式得：， 则反比例解析式为； （2）解：由平移得：平移后的坐标为， 把代入反比例得：， 则平移后点落在该反比例函数的图象上． 22．在平面直角坐标系中，为双曲线上一点． (1)求的值； (2)在（1）的条件下： ①点和在双曲线上，比较与的大小； ②点在双曲线上，点的坐标为．若的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或者 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数上点的特征，求函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①将点代入函数解析式，求得，再比较大小即可；②利用，求得或，然后再代入求出横坐标即可． 【详解】（1）解：为双曲线上一点， ， ； （2）解：①点和在双曲线上， ， ， ； ②不妨设， 点的坐标为， ， ， ， 或， 当代入，得到； 当代入，得到； 或者． 23．直线与反比例函数的图像分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求直线的函数表达式； (2)观察图像，当时，直接写出的解集， (3)若点是轴上一动点，当的面积是8时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数结合，一次函数与坐标轴交点问题，一次函数与坐标轴围成的面积问题，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数上的点的特点求得的值进而求得点的坐标，待定系数法求直线解析式即可； （2）根据反比例函数和直线在第一象限的图象直接求得直线在双曲线上方时，的取值范围即可； （3）根据（1）的解析式求得点的坐标，设P点坐标为，则，根据三角形面积公式求解即可，进而解绝对值方程求得的值，即可求得点的坐标． 【详解】（1）点和点在图象上， ，， 即， 把，两点代入中得 ， 解得， ∴直线的解析式为：； （2）解：∵由（1）得点，点， ∴由图象可得当时，的解集为 （3）解：由（1）得直线的解析式为， 当时，， 点坐标为 设P点坐标为，则 的面积是8 ， ， ， 解得或， P的坐标为或， ∴点P的坐标为或时，的面积是8． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先利用点B在直线上求出点B的横坐标m，再将点B坐标代入反比例函数求k，进而得到解析式； （2）先联立直线与反比例函数解析式求点A坐标，再根据三角形面积关系求出点P的纵坐标，最后代入反比例函数求横坐标； （3）通过观察函数图象，确定直线在反比例函数下方时x的取值范围． 【详解】（1）解：点在直线上，将代入直线解析式得：， 解得， 点B的坐标为， 点在反比例函数的图象上，将点B坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）联立直线与反比例函数的解析式，得方程组， 解得或，当时，， 点A的坐标为； （3）结合函数图象可知：当或时，直线在反比例函数下方， 不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质及其交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用图象解不等式．利用已知条件通过代数运算求解未知参数是解题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，的边在一次函数图象上．且点在反比例函数的图象上．轴，点． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)若将向下平移，当点C落在图象上时，求平移的距离． 【答案】(1)一次函数解析式；反比例函数解析式 (2) 【分析】本题考查了反比例函数综合题，具体包括待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，图形平移的性质，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键． （1）将点代入一次函数解析式中即可求解b的值，再将点代入反比例函数解析式中即可求解k的值； （2）根据平行四边形的性质得到，求得轴，得到点A的纵坐标为2，当时，可求得点的坐标，设平移后的点，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点在一次函数图象上， ∴，解得， ∴一次函数解析式为， ∵点在一次函数图象上， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴轴， ∵点， ∴点A的纵坐标为2， 当时，， ∴， ∴， ∴点， ∵向下平移，当点C落在图象上， ∴设设点向下平移的距离为a，则平移后的点， ∴，解得， ∴平移的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.3反比例函数的应用 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 反比例函数的实际意义与模型建立 · 实际意义理解：在实际问题中，当两个变量 ( x ) 和 ( y ) 的乘积为一个非零常数 ( k )（即 ( xy = k ) 或，）时，称 ( y ) 是 ( x ) 的反比例函数，其中 ( k ) 为比例系数。 · 模型建立步骤： 1. 分析问题中的两个变量，判断它们是否满足反比例关系（即乘积为常数）； 2. 设出反比例函数的一般形式（）； 3. 根据已知条件（一组对应值）代入函数式，求出比例系数 ( k )； 4. 得到具体的反比例函数解析式，并注明自变量 ( x ) 的取值范围（需符合实际意义）。 2. 利用反比例函数解决实际问题的基本步骤 · 审题：明确问题中的已知量、未知量以及变量之间的关系，找出关键信息。 · 设元：设出反比例函数中的变量 ( x ) 和 ( y )，并确定其实际含义。 · 列函数关系式：根据题意判断变量间为反比例关系，设，代入已知数据求出 ( k )，确定函数解析式。 · 求解：将所求问题中的已知条件代入函数解析式，计算出对应的未知量。 · 检验：检验结果是否符合函数解析式、是否满足实际意义（如自变量取值范围、结果的合理性等），最后作答。 3. 常见实际应用场景及示例 · 行程问题：当路程 ( s ) 一定时，速度 ( v ) 与时间 ( t ) 成反比例，即（( s ) 为常数，( t > 0 )）。 · 工程问题：当工作总量 ( W ) 一定时，工作效率 ( p ) 与工作时间 ( t ) 成反比例，即（( W ) 为常数，( t > 0 )）。 示例：一项工程，若 5 人合作需 12 天完成，则工作总量（人·天），工作效率（人数）( p ) 与时间 ( t ) 的关系为。 · 几何问题：当矩形面积 ( S ) 一定时，长 ( a ) 与宽 ( b ) 成反比例，即（( S ) 为常数，( b > 0 )）。 示例：一个矩形面积为，则长 ( a ) 与宽 ( b ) 的函数关系为。 4. 反比例函数图像在应用中的辅助作用 · 图像特征：反比例函数的图像是双曲线，当 ( k > 0 ) 时，图像在第一、三象限，在每个象限内 ( y ) 随 ( x ) 的增大而减小；当 ( k < 0 ) 时，图像在第二、四象限，在每个象限内 ( y ) 随 ( x ) 的增大而增大。 · 应用价值：通过图像可直观分析变量的变化趋势（如速度随时间的增减情况）、估计未知量的值（如给定时间估计速度），或根据图像上的点确定函数解析式（已知图像上一点坐标可求 ( k )）。 示例：若反比例函数图像过点 ( (2, 3) )，则，函数解析式为。 5. 注意事项 · 自变量取值范围：实际问题中，自变量 ( x ) 需满足非负性（如时间、长度、电阻等不能为负数或零），需根据场景明确标注（如 ( x > 0 )）。 · 比例系数 ( k ) 的意义：( k ) 的绝对值等于两个变量对应值的乘积，其符号反映函数图像所在象限及变量的增减关系（与实际问题中变量的正负性一致）。 · 结果合理性：求解后需检验结果是否符合实际，如时间不能为负数、人数需为正整数等，避免出现数学上正确但不符合实际的解。 型 习 练 题 已知比例系数求特殊图形的面积 1．如图，为反比例函数的图象上一点，连接，过点作的垂线，与反比例函数的图象交于点，作轴于点，轴于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在的图象上，有三点A，B，C，过这三点分别向y轴引垂线，垂足分别为，连接，的面积分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知A是反比例函数图像上的一点，过点A作轴，垂足为B，连接，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 求反比例函数解析式 6．已知，反比例函数的图象经过点，则下列各点也在此函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，将点A向右平移3个单位长度得到点，若反比例函数（）的图象经过点A，则k的值是（ ） A．1或 B．2 C． D．1 8．已知y是x的反比例函数，当时，，则下列关于y与x之间的函数关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 9．矩形面积为20，则长y与宽x的函数关系图象是（     ） A．第一象限的双曲线 B．第一象限的直线 C．第二象限的双曲线 D．全体象限的直线 10．如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）与物距（蜡烛到小孔的距离）x（单位：）成反比例关系，当时，，则y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 一次函数与反比例函数综合判断 11．函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 12．反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 13．在同一平面直角坐标系中，当时，一次函数与反比例函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 14．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 15．一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能为（    ） A． B． C． D． 实际问题与反比例函数 16．在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，如图． (1)求p与S之间的函数表达式； (2)当时，求物体承受的压强p的值 17．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图）载重后总质量时，它的最快移动速度． (1)求v与M之间的关系式； (2)当其载重后总质量时，求它的最快移动速度v． 18．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数与上课时间（分钟）的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，前10分钟内注意力指数与时间的关系式为．10分钟以后注意力指数是时间的反比例函数． (1)求10分钟以后与的函数关系式； (2)如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲解这道题？ 19．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以千米/小时的平均速度用6小时到达目的地． (1)当他按原路匀速返回时，求汽车速度（千米/小时）与时间（小时）之间的函数关系式； (2)若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过每小时公里，最低车速不得低于每小时公里，试问返程时间的范围是多少？ 20．近视镜镜片的焦距（单位：米）和镜片的度数（单位：度）之间满足一定的关系，下表记录了一组数据： （单位：度） … 100 200 250 500 … （单位：米） … … (1)焦距（单位：米）和度数（单位：度）之间满足的关系为______； (2)利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为400度时，求镜片的焦距． 反比例函数与几何综合 21．如图，四边形放在平面直角坐标系中，已知，，、、，反比例函数的图象经过点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将四边形向上平移个单位后，问点是否落在该反比例函数的图象上？ 22．在平面直角坐标系中，为双曲线上一点． (1)求的值； (2)在（1）的条件下： ①点和在双曲线上，比较与的大小； ②点在双曲线上，点的坐标为．若的面积为8，求点的坐标． 23．直线与反比例函数的图像分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求直线的函数表达式； (2)观察图像，当时，直接写出的解集， (3)若点是轴上一动点，当的面积是8时，求出点的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 25．如图，在平面直角坐标系中，的边在一次函数图象上．且点在反比例函数的图象上．轴，点． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)若将向下平移，当点C落在图象上时，求平移的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $