27.2反比例函数的图像和性质 讲义 2025-2026学年冀教版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦反比例函数的图像和性质，通过思维导图构建知识支架，系统梳理双曲线的图像特征（分支位置与k的关系）、性质（增减性、对称性、无坐标轴交点），形成从概念到图像再到应用的连贯学习脉络。 资料以“30分提至70分”为目标分层设计，题型涵盖图像判断、参数求解等，通过图像分析培养几何直观（数学眼光），练习题强化推理意识与运算能力（数学思维），课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，提升模型应用意识（数学语言）。

27.2反比例函数的图像和性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 反比例函数的图像 反比例函数（）的图像是双曲线，它有两个分支，分别位于两个象限。 反比例函数图像的位置与 ( k ) 的关系 · 当 ( k > 0 ) 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限； · 当 ( k < 0 ) 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限。 反比例函数的性质 · 增减性： · 当 ( k > 0 ) 时，在每个象限内，( y ) 随 ( x ) 的增大而减小； · 当 ( k < 0 ) 时，在每个象限内，( y ) 随 ( x ) 的增大而增大。 · 对称性：反比例函数的图像既是中心对称图形（对称中心是原点），也是轴对称图形（对称轴是直线 ( y = x ) 和 ( y = -x )）。 · 与坐标轴的交点：反比例函数的图像与 ( x ) 轴、( y ) 轴都没有交点，因为 ( x ) 和 ( y ) 都不能为 0。 型 习 练 题 判断反比例函数图像 1．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 2．矩形面积为，相邻两边长为和，则y与x的函数图象大致是（    ） A．第一象限的直线 B．第一象限的双曲线 C．第一、三象限的双曲线 D．第二象限的曲线 3．如图，的边，边上的高，的面积为5，则y与x的函数图象大致是(　　) A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 已知图像，判断解析式 5．如图，该图像对应的函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 6．已知y是关于x的反比例函数，点是反比例函数图象上的点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 8．如图，反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是(   ) A．或 B． C． D． 9．反比例函数的图象经过点．，则下列与点A在同一图象的点是（   ） A． B． C． D． 已知双曲线分布的象限，求参数范围 10．若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．如图，这是反比例函数 的图象，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 12．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 13．若双曲线 的一支位于第三象限，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 判断反比例函数的增减性 14．关于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．当时，的值随值的增大而减小 B．当时，有最小值 C．当时， D．它的图象位于第一、三象限 15．对于反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 16．若反比例函数的图象经过点，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 17．关于函数有如下结论：①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限；③函数值y随x的增大而减小；④当时，y的取值范围为．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 18．已知反比例函数的图象上有两点，且 ， 则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 19．若点在反比例函数的图像上，则，，大小关系是（　　） A． B． C． D． 比较反比例函数值或自变量的大小 20．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 21．反比例函数的图象经过点，，则（   ） A． B． C． D．和的大小无法比较 22．点，在反比例函数的图像上，若，则，，0的大小关系为（    ） A． B． C． D． 23．已知，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2反比例函数的图像和性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 反比例函数的图像 反比例函数（）的图像是双曲线，它有两个分支，分别位于两个象限。 反比例函数图像的位置与 ( k ) 的关系 · 当 ( k > 0 ) 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限； · 当 ( k < 0 ) 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限。 反比例函数的性质 · 增减性： · 当 ( k > 0 ) 时，在每个象限内，( y ) 随 ( x ) 的增大而减小； · 当 ( k < 0 ) 时，在每个象限内，( y ) 随 ( x ) 的增大而增大。 · 对称性：反比例函数的图像既是中心对称图形（对称中心是原点），也是轴对称图形（对称轴是直线 ( y = x ) 和 ( y = -x )）。 · 与坐标轴的交点：反比例函数的图像与 ( x ) 轴、( y ) 轴都没有交点，因为 ( x ) 和 ( y ) 都不能为 0。 型 习 练 题 判断反比例函数图像 1．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，通过将各点坐标代入函数关系式 进行验证，满足等式的点即为图象所经过的点. 【详解】解：∵ 点 在反比例函数 图象上当且仅当 ， 对于选项 A：， ∵ ， ∴ 点 不在图象上； 对于选项 B：， ∵ ， ∴ 点 不在图象上； 对于选项 C：， ∵ ， ∴ 点 不在图象上； 对于选项 D：， ∵ ， ∴ 点 在图象上； 故选 ：D. 2．矩形面积为，相邻两边长为和，则y与x的函数图象大致是（    ） A．第一象限的直线 B．第一象限的双曲线 C．第一、三象限的双曲线 D．第二象限的曲线 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数在几何图形中的应用，矩形的性质根据矩形面积公式得出y与x的反比例关系，再结合反比例函数的图象性质判断． 【详解】解：∵矩形面积为，相邻两边长为和， ∴，即， ∴y是x的反比例函数， 矩形的边长为正数， ，， ∴y与x的函数图象大致是第一象限的双曲线， 故选：B． 3．如图，的边，边上的高，的面积为5，则y与x的函数图象大致是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象．现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．根据三角形的面积公式得到x和y的关系式，再判断是何种函数，由自变量的取值范围进而得到函数的图象． 【详解】解：∵的面积为5，，， 则， ∴， ∴的长为y， 边上的高为x是反比例函数， ∴函数图象是双曲线； ∵，， ∴该反比例函数的图象位于第一象限． 故选：A． 4．在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质进行解答即可． 【详解】解：∵函数的图象在第一、三象限， ∴函数的图象与坐标轴的交点个数是 故选：A． 已知图像，判断解析式 5．如图，该图像对应的函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图像．根据函数图像的形状和所处的位置判断即可． 【详解】解：函数的图像为双曲线，所以为反比例函数的图像， ∵图像位于第二、四象限， ∴对应的函数的解析式可能是． 故选：A． 6．已知y是关于x的反比例函数，点是反比例函数图象上的点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．“反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值”，据此即可求解﹒ 【详解】解：∵y是关于x的反比例函数，点是反比例函数图象上的点， ∴﹒ 故选：B． 7．如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，了解反比例函数的图象与系数的关系是解答本题的关键． 根据函数的图象的形状和所处的位置判断即可． 【详解】解：函数的图象为双曲线，所以为反比例函数的图象， ∵图象位于第二、四象限， ∴对应的函数的解析式可能是． 故选：C． 8．如图，反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是(   ) A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，直接根据反比例函数的图象即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴当时，或． 故选：A． 9．反比例函数的图象经过点．，则下列与点A在同一图象的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象与性质，反比例函数，先运用待定系数法求出的值，再逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，与点A在同一图象的点的乘积，即选项的值为，即为答案， A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B 已知双曲线分布的象限，求参数范围 10．若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查反比例函数的图象性质．解题关键是明确“反比例函数，当时图象在第二、四象限”；易错点是混淆k的正负所对应的象限． 首先反比例函数中，；其次由图象在第二、四象限，得，即；最后解不等式得． 【详解】∵反比例函数 的图象在第二、四象限， ∴ ， 解得 ， 故选：C． 11．如图，这是反比例函数 的图象，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象分布在二、四象限可得，求出的取值范围进而即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在二、四象限， ∴， ∴， ∴的值可以是， 故选：． 12．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质：对于，当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，由此可解． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 解得， 故选：A． 13．若双曲线 的一支位于第三象限，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查已知反比例函数所经过的象限求参数，根据双曲线的一支位于第三象限，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵双曲线 的一支位于第三象限， ∴， ∴， 故选：B． 判断反比例函数的增减性 14．关于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．当时，的值随值的增大而减小 B．当时，有最小值 C．当时， D．它的图象位于第一、三象限 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，包括图象所在象限、增减性及函数值范围，熟练掌握反比例函数的形式，是解题的关键．根据可知图象位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小． 【详解】解：∵， ∴图象位于第一、三象限，故D正确，不符合题意； ∵在每一象限内，随的增大而减小， ∴当时，随x增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，；当时，； ∵随增大而减小， ∴当时，，故C正确，不符合题意； 当时， ∵ ，随增大而减小， ∴当时，为最大值； 当无限接近于0时，值无限小，无最小值，故B错误，符合题意． 故选：B． 15．对于反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：∵反比例函数中，，∴图象位于第二、四象限；且在每个象限内，y随x的增大而增大． 对于A：当时，，∴点不在图象上，故不正确； 对于B：∵，∴图象在第二、四象限，不在第一、三象限，故不正确； 对于C：∵图象在第二、四象限，∴当时，y随x的增大而增大，不是减小，故不正确； 对于D：∵图象在第二、四象限，∴当时， y随x的增大而增大，故正确． 故选D． 16．若反比例函数的图象经过点，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的系数判断图象所在象限，以及在每一象限内的增减性． 先根据反比例函数判断函数所在象限，再分析各点所在象限的函数值正负，最后根据同一象限内的增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点、、， ∴（∵）， ， ， ∴． 又∵在第二象限内，随的增大而增大，且， ∴当从增大到时，值增大，即， ∴， 故选：D． 17．关于函数有如下结论：①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限；③函数值y随x的增大而减小；④当时，y的取值范围为．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，增减性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，得出函数图象一定经过点；又因为，则函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小；先求出当时，则，再结合函数图象性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴函数图象一定经过点， 故①符合题意； ∵此函数中， ∴函数图象在第一、三象限， 故②符合题意； ∵ ∴在每个象限内或在双曲线的每一支上，函数值y随x的增大而减小， 故③不符合题意； ∵， ∴当时，则 ∴当时，y的取值范围为， ∴故④不符合题意； 故选：B． 18．已知反比例函数的图象上有两点，且 ， 则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．当时，反比例函数在同一象限内y随x的增大而增大，此性质只适用于两点在同一象限，据此判断即可． 【详解】解：， ∴反比例函数在同一象限内y随x的增大而增大， 题目已知， 但无法确定两点是否在同一象限， ∴无法确定的大小关系． 故选：D． 比较反比例函数值或自变量的大小 19．若点在反比例函数的图像上，则，，大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，将点A、B、C三个点的横坐标分别代入解析式求出y的值即可得出结论． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴；；； ∴． 故选：D． 20．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质．根据反比例函数（）在第二象限内，随的增大而增大解答即可． 【详解】解：∵，且， ∴在第二象限内，随的增大而增大； ∵， ∴． 故选：A． 21．反比例函数的图象经过点，，则（   ） A． B． C． D．和的大小无法比较 【答案】A 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，把点，代入进行计算，再比较的大小，即可作答． 【详解】解：∵点和在反比例函数上， ∴，， ∵， ∴ 故选：A． 22．点，在反比例函数的图像上，若，则，，0的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数的性质求解更简便． 根据反比例函数的性质判断出、的正负情况，然后比较大小即可． 【详解】解：反比例函数的， 反比例函数图象位于第一、三象限， ， ，， ． 故选：A． 23．已知，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，熟知反比例函数图象和性质是解题的关键．根据，，，都在反比例函数的图象上，将点的坐标分别代入函数解析式即可比较大小． 【详解】解：∵，，，都在反比例函数的图象上， ∴将点的坐标分别代入得， ，，． ， ． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $