26.4解直角三角形的应用讲义 2025-2026学年冀教版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦“解直角三角形的应用”核心知识点，先系统梳理解直角三角形的依据，包括勾股定理、锐角关系及锐角三角函数，再明确已知两边或一边一锐角的基本类型，进而衔接实际问题中的仰角俯角、坡角坡度、方向角等概念及解题步骤，形成从基础原理到实际应用的学习支架。 资料融入思维导图辅助知识结构化梳理，强化几何直观与空间观念，通过实际问题建模步骤培养学生抽象能力与模型意识，分类练习题（仰俯角、方位角等）针对性强。课中助力教师构建清晰知识脉络，课后学生可按需练习查漏补缺，提升用数学思维解决实际问题的能力。

26.4解直角三角形的应用 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 解直角三角形的依据 · 在直角三角形中，，三边分别为 (a)（的对边）、(b)（的对边）、(c)（斜边），两锐角、： · 三边关系（勾股定理）： · 锐角关系： · 边角关系（锐角三角函数）： · ， · ，（注：部分教材可能不强调余切） 2. 解直角三角形的基本类型 · 已知两边： · 两直角边 (a)、(b)：由求，， · 一直角边和斜边（如 (a)、(c)）：由求，， · 已知一边和一锐角： · 一直角边和一锐角（如 (a)、）：，由得，由得 · 斜边和一锐角（如 (c)、）：，， 3. 实际问题中的基本概念 · 仰角与俯角：视线与水平线所成的角，视线在水平线上方为仰角，下方为俯角。 · 坡角与坡度（坡比）：坡面与水平面的夹角为坡角，坡度。 · 方向角：以正北或正南方向为基准，描述物体位置的角（如“北偏东”“南偏西”）。 4. 解题一般步骤 · 审题：明确已知量与未知量，找出直角三角形中的边角关系。 · 建模：将实际问题转化为解直角三角形模型，画出示意图标注已知条件。 · 计算：根据边角关系选择合适的三角函数公式求解，注意单位统一（如角度与三角函数值对应）。 · 检验：结果需符合实际意义，保留适当精度（如题目未说明，通常保留小数点后一位或整数）。 5. 典型应用场景 · 高度测量：利用仰角/俯角测量物体高度（如旗杆、山峰），公式：（(l) 为水平距离，为仰角）。 · 距离计算：利用方向角或直角三角形边长关系求两点间距离（如航海、测绘）。 · 坡度问题：根据坡度计算坡面高度、水平宽度或坡长 型 习 练 题 仰俯角问题 1．万佛楼位于陕西省榆林市境内，创建于清康熙二十七年．某数学小组的成员想利用所学知识测量万佛楼的高度（如图）．首先，该小组成员在点处测得万佛楼的顶端的仰角；随后，该小组成员从点处移动16米到达点处（即米），在点处竖立一根高为2米的标杆，此时，万佛楼在太阳光下的影子末端与标杆在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点处．经测量知米，已知，，点、、、在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该数学小组的成员求出万佛楼的高度．（参考数据：，，） 【答案】万佛楼的高度为18米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质．根据，可得①，再由②，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ，即①， ，， ②， 联立①②得：， 万佛楼的高度为18米． 2．某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．要测量学校一幢教学楼的高度如图所示，他们先在点测得教学楼的顶部的仰角为，然后向教学楼前进米到达点，又测得点的仰角为．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边及，构造方程关系式，进而即可求出答案． 【详解】解：由已知，可得：，， 在中，． 又在中， ∴ ∵ ∴ ∵ 3．如图，为了测量旗杆的高度，在距离旗杆底部11米的A处，用高1.50米的测角仪测得旗杆顶端C的仰角．求旗杆的高．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，） 【答案】14.2米 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，仰角俯角问题的三角函数的应用；过点D作于点E，则得四边形是矩形，得的长，在中，由正切函数可得的长，进而借助即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 则， ∴四边形是矩形， ∴米， 在中，有（米）， 故（米）， 答：旗杆的高度为14.2米． 4．如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某初三学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走160米（米），到达处，此时看塔顶，仰角为，求该主塔的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用–仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点A作，垂足为D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵是的一个外角，，， ∴， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴该主塔的高度是米． 5．为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动： 【制作仪器】 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．    【测量高度】 小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，）    【答案】树的高度为16.5 米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． 由题意得，，，解求出，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，，，， 在中，， ∴， ∴ 答：树的高度为16.5 米． 方位角问题 6．钓鱼岛自古以来是我国的固有领土，随着我们国家综合国力的强盛，国家对钓鱼岛的巡航已常态化．2017年9月11日，中国海警2401号船在地测得钓鱼岛在北偏东方向，现该海警船继续从地出发，以30海里/小时的速度向正北方向航行2小时后到达地． (1)若，求钓鱼岛在地的北偏东多少度方向上？ (2)在（1）的基础上，求海警船与钓鱼岛的距离的长．（结果保留根号） 【答案】(1)钓鱼岛在地的北偏东45度方向上 (2)海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依据三角形外角性质，以及邻补角互补进行列式，计算化简，则，即可得到钓鱼岛B在C地的北偏东45度方向上； （2）过B作于D，设，则，运用解直角三角形即可得到海警船与钓鱼岛的距离的长为海里． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得， ∴， 即钓鱼岛B在C地的北偏东45度方向上． （2）解：如图所示，过B作于D， 由（1）得， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 则． 在中，， 即， 解得：， 即， ∴中，， 则， ∴（海里）， 答：海警船与钓鱼岛的距离的长为海里． 7．如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？ 【答案】(1)不能穿过，理由见解析 (2)米 【分析】本题考查了分式方程的工程问题，方位角问题(解直角三角形的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设，先分别求得，，再利用解直角三角形求得 ，再根据列出关于的方程求解，通过比较，再得出结论； （2）设原计划每天完成修建a米公路，根据题意列出分式方程求解． 【详解】（1）解：不能穿过，理由如下： 如图，过作于， 设， ，，，， ，， 在中，， 在中，， ， ， ， 解得：(米)(米)， 不会穿过古建筑保护群； （2）设原计划每天完成修建a米公路， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：原计划每天完成修建米公路． 8．某路段规定：汽车的最高行驶速度不得超过．如图，一辆汽车在该段道路上由西向东行驶，距离路边处有一车速检测仪，测得该车从北偏西的点行驶到北偏东的点（点，，在同一水平面内）所用时间为．试求该车从点到点的平均速度，并说明该车是否超速．（参考数据：，，） 【答案】该车从点到点的平均速度为，该车超速 【分析】本题考查了解直角三角形，利用了锐角三角函数，直角三角形的性质，画出直角三角形得出的长是解题关键．过作于点，根据等腰直角三角形得出，进而利用三角函数解答即可． 【详解】解：如图，过作于点， 由题意得：， 在中，， ， （）， 在中，， （m）， （）， （）， ， 超速了． 答：该车从点到点的平均速度为，该车超速． 9．如图，在码头C正北方向距离28海里处有一灯塔A，在灯塔A处观测到一艘轮船在码头C的正西方向由西向东行驶，当船行驶到B处时，测得轮船在灯塔A的南偏西方向上．求轮船与码头之间的距离的长（结果保留整数）．（参考数据：） 【答案】轮船距离码头约为36海里 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得海里，，，则有，然后问题可求解． 【详解】解：根据题意，得海里． 在中，，， ， ∴， ∴（海里）； 答：轮船距离码头约为36海里． 10．一艘游艇在湖面上以12千米/小时的速度向正东方向航行，在处看到灯塔在游艇北偏东方向上，航行1小时到达处，此时看到灯塔在游艇北偏西方向上．求灯塔到航线的最短距离（结果保留根号）． 【答案】灯塔A到航线的最短距离为千米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形求解是解答的关键． 过A作于C，根据垂线段最短得知的长即为灯塔A到航线OB的最短距离，利用特殊角的三角函数求解即可． 【详解】解：过A作于C，则的长即为灯塔A到航线OB的最短距离， 根据题意，，千米， ∴， ， ∴，， ∴， 解得：（千米）， 故灯塔A到航线的最短距离为千米． 坡度坡比问题 11．如图是某水库大坝的横截面，坝高米，背水坡的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点与原起点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】背水坡新起点与原起点之间的距离为米 【分析】本题主要考查坡比解直角三角形，理解坡比是关键． 根据坡比得到米，设米，由坡比的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：∵米， ∴，则米， 设米， ∴，即， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴（米）， ∴背水坡新起点与原起点之间的距离为米． 12．数学“综合与实践”课上，数学老师带着学生利用皮尺和测角仪等工具，测量了学校教学楼的高度．如图，在教学楼的正前方有一斜坡，测得米，坡角，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为，其中点A，C，E在同一条直线上，图中各点均在同一平面内，求教学楼的高度．（结果保留根号） 【答案】米 【分析】此题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解本题的关键． 在中，利用锐角三角函数定义求出的长，过D作交于点F，可得出三角形为等腰直角三角形，设米，表示出，，，由题意得到三角形为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出的长． 【详解】解：在中，米，， ∴米 过D作交于点F， 在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为， ∴， ∵， ∴， 即为等腰直角三角形， 设米， ∵ ∴四边形为矩形， ∴米，即（米）， 在中，， ∴（米）， 米，米， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得 即 ， 解得： ， ∴（米） 13．如图，小明想测量楼的高度，他先从楼的底端C地走了100米到达坡度为的山坡的底端E处，又沿着山坡爬了到了山坡的顶端A处，在A处测得楼的顶端D的仰角为30度，则楼的高度是多少？（） 【答案】楼的高度是204米 【分析】本题考查解三角函数，矩形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 过点A作于点F，证明四边形是矩形，，求出，则，，继而求出，则，即可解答． 【详解】解：过点A作于点F，如图， 由题意，得 ，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 答：楼的高度是204米． 14．如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 【答案】(1)山顶点C到水平面的距离为 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把数值代入，进行计算得山顶点C到水平面的距离； （2）先证明四边形是矩形．得，结合，得，运用勾股定理得，同理得，即可作答． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为F． 在中， ∵，，， ∴． 答：山顶点C到水平面的距离为． （2）解：过点B作，，垂足分别为H、E． ∴ ∴四边形是矩形． ∴，， 在中， ∵的坡度为， ∴． ∴． 在中， ∵山坡的坡度为， ∴． ∴． ∴山坡的长为：． 答：山坡的长为． 15．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 【答案】斜坡下降的高度为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握掌握解直角三角形的应用是解题关键． 根据坡度与坡角的关系得到，利用的直角三角形的性质求得米，再根据坡度的概念，设米，则米，利用勾股定理构建一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：改造前，斜坡坡度， ， ， （米）， 改造后，斜坡坡度， ， 设米，则米， 在中，，且米， ，解得：， 米， 米， 斜坡下降的高度为米． 其它问题 16．如图①是一种常用于危险区域提示的告示牌，其主体由两片长度相等的支撑板组成，通过改变两片支撑板的夹角的度数可以调整告示牌的高度，图②是告示牌打开后的侧面示意图，经测量支撑板的长度，支撑板与地面的夹角，求点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质，结合正弦函数的应用解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，正弦函数的应用，熟练掌握性质和正弦函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，点处到地面的距离为， ∴于点D， ∵， ∴ 答：点到地面的距离为． 17．如图①是一款手机支架，当手机支架打开时如图②所示，其中，，，求的长．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确构造直角三角形进行求解． 过点作于点，可得是等腰直角三角形，再解求出，再由求解． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 答：的长为． 18．周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意得，把数值代入，求出，故，即可作答． （2）过点作，求出，在中，，再把数值代入进行计算，得出，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵安全链与铅垂线夹角为， ∴ 过点作 在中，， ， ∴， ， 点到地面的距离为； （2）解：过点作， ， ， 在中，， ， ， ， 由（1）得， ， 点到地面的距离为． 19．共享单车被誉为“新四大发明”之一，如图1所示是某公司2019年向市场提供的一种共享自行车的实物图，与的长分别为，，，的长为，点A，C，E在同一条直线上，且，如图2． (1)求的长； (2)求点E到的距离（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与三角函数的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． （1）在中利用勾股定理求即可． （2）过点E作，在中，利用三角函数求，即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，， ， 车架档的长是． （2）解：过点作，垂足为， ， ， 车座点到车架档的距离约为． 20．如图，、区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若点A到点B的距离． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)的长度为 (2)的长度为 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合，，得，即可作答． （2）先证明四边形是矩形，故，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：在中，，， 则， 答：的长度为； （2）解：∵，，． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 则， 答：的长度为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.4解直角三角形的应用 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 解直角三角形的依据 · 在直角三角形中，，三边分别为 (a)（的对边）、(b)（的对边）、(c)（斜边），两锐角、： · 三边关系（勾股定理）： · 锐角关系： · 边角关系（锐角三角函数）： · ， · ，（注：部分教材可能不强调余切） 2. 解直角三角形的基本类型 · 已知两边： · 两直角边 (a)、(b)：由求，， · 一直角边和斜边（如 (a)、(c)）：由求，， · 已知一边和一锐角： · 一直角边和一锐角（如 (a)、）：，由得，由得 · 斜边和一锐角（如 (c)、）：，， 3. 实际问题中的基本概念 · 仰角与俯角：视线与水平线所成的角，视线在水平线上方为仰角，下方为俯角。 · 坡角与坡度（坡比）：坡面与水平面的夹角为坡角，坡度。 · 方向角：以正北或正南方向为基准，描述物体位置的角（如“北偏东”“南偏西”）。 4. 解题一般步骤 · 审题：明确已知量与未知量，找出直角三角形中的边角关系。 · 建模：将实际问题转化为解直角三角形模型，画出示意图标注已知条件。 · 计算：根据边角关系选择合适的三角函数公式求解，注意单位统一（如角度与三角函数值对应）。 · 检验：结果需符合实际意义，保留适当精度（如题目未说明，通常保留小数点后一位或整数）。 5. 典型应用场景 · 高度测量：利用仰角/俯角测量物体高度（如旗杆、山峰），公式：（(l) 为水平距离，为仰角）。 · 距离计算：利用方向角或直角三角形边长关系求两点间距离（如航海、测绘）。 · 坡度问题：根据坡度计算坡面高度、水平宽度或坡长 型 习 练 题 仰俯角问题 方位角问题 坡度坡比问题 其它问题 学科网（北京）股份有限公司 $