26.4 第3课时 与坡度、坡角有关的实际问题-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(冀教版2012)

第3课时 与坡度、坡角有关的实际问题（答案P24) 通基础 >>2>>》>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 通能力 >》3>2>>>>>>>>>>> 知识点与坡度、坡角有关的实际问题 5.抽象能力》如图所示，某商场准备将自动扶梯 1.如图所示，河堤的横断面迎 B 改造成斜坡式.已知商场的层高AB为6m, 水坡AB的坡比是1：√2，堤 ∠ACB为45°，改造后扶梯AD的坡比是 高BC=6m,则坡面AB的 1：2,则改造后扶梯AD相比改造前AC增加 长度是( 的长度是( A.10m B.12√2m C.63m D.6√2m 2.(2023·保定月考)某人沿着坡度为1：2的山 坡前进了100√5米，则此人所在的位置升高 A.6 m B.(12-6√2)m 了( ) C.(6√2-4√3)m D.(6√5-6√2)m A.100米 B.50√5米 6.新情境》雪上项目有自由式滑雪、越野滑雪、 跳台滑雪、无舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等. C.50米 u0%5米 某滑雪运动员在坡度为5：12的雪道上下滑 3.某人沿着山坡走到山顶共走了1000米，他 65m,则该滑雪运动员沿竖直方向下降的高度 上升的高度为500米，则山坡的坡度为 为( ) 坡角为 A.13m B.25mC.325 12mD.156m 易错不理解坡度的概念，出现错解 7.为积极宣传国家相关政策，某村在一山坡顶端 4.如图所示，已知某水库大坝的横断面是梯形 的平地上竖立一块宣传牌AB.如图所示，为测 ABCD,坝顶宽AD是6米，坝高24米，背水坡 得宣传牌的高度，小明站在山脚C处测得宣传 AB的坡度为1：3，迎水坡CD的坡度为 牌的顶端A的仰角为36.9°，已知山坡CD的 1:2. 坡度i=1:2,AB的高度为4米，山坡顶端D (1)求背水坡AB的长度. 与宣传牌底端B的水平距离为2米，求斜坡 (2)求坝底BC的长度， AD CD的长度.（精确到1米）（参考数据： 1:3 1:2 sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈ 0.75,√5≈2.24) D B 369i=1:2 101 优计学案·课时通 通素养》9》% 9.探究拓展》如图所示，有两个长度相同的滑梯 (即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑 8.自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健 梯水平方向的长度DF相等： 身的人越来越多.为方便群众步行健身，某地 (1)求证：△ABC≌△DEF, 政府决定对一段如图①所示的坡路进行改造. (2)若滑梯的长度BC=10米，DE=8米，分别 如图②所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度 求出滑梯BC与EF的坡度， 为1：√3.将斜坡AB的高度AE降低AC= (3)在(2)的条件下，由于EF太陡，在保持EF 20米后，斜坡AB改造为斜坡CD,其坡度为 长不变的情况下，现在将点E沿ED方向向下 1:4,求斜坡CD的长.（结果保留根号） 移动，点F随之向右移动.在移动的过程中，直 接写出△DEF面积的最大值， ① 一九年级上册·数学：山 102∴.AB=CF=CE-EF=390-207.6=182.4(m), ∴.隧道AB的长度约为182.4m. 第2课时与方向角有关的实际问题 1.C2.D3.D 4.解：(1)线段BQ与PQ相等.理由如下：由题意，得 ∠PQB=90°-41°=49°，∠BPQ=90°-24.5°= 依题意，得∠BAC=15°，∠ABC=135°， 65.5°，∴.∠PBQ=180°-49°-65.5°=65.5°， ∠ACB=30°，∠ABD=45°， ∴.∠BPQ=∠PBQ,∴.BQ=PQ. 在Rt△ADC中，∠D=90°，∠ACB=30°， (2)连接AB.∠AQB=180°-49°-41°=90°， ∠PQA=90°-49°=41°， ADAC-30 km,tan 30 CD 3 ·AQ= P0240-3200(m). Fc0s41≈0.75 ∴.CD=30√6km. 在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠ABD=45°， 又.BQ=PQ=2400m, ∴∠BAD=45°，∠BAD=∠ABD, .AB2=AQ2+BQ2=32002+24002, ∴.AB=4000m,故A,B间的距离为4000m. ∴.AD=BD=30√2km,AB=√2AD=60km, 5.1006.(5√3+5) ∴.BC=(30√6-30√2)km, 7.解：(1)60 第一组用时：60÷40=1.5(h); (2)由题意，得∠CAB=65°-20°=45°，∠ACB= 第二组用时：(30√6一30√2)÷30=√6一√2≈ 60°，AB=60海里.如图所示，过点B作BE⊥AC于 2.449-1.414=1.035(h). 点E,∠AEB=∠CEB=90°. 1.035<1.5, 第二组学生先到达目的地. 第3课时与坡度、坡角有关的实际问题 1.C2.A3.1:√330° 4.解：(1)如图所示，分别过点A,D作AM⊥BC, 63 DN⊥BC,垂足分别为点M,N.根据题意，可知 AM=DN=24米，MN=AD=6米. 在Rt△ABE中，∠ABE=45°， ∴.△ABE是等腰直角三角形， 在R△ABM中.2行BM-2米 六AE=BE=A8·n45=60X号-0w2(海里 .AB2=AM2+BM2, .AB=√24+722=24√10（米）， 在Rt△CBE中，∠ACB=60°， 即背水坡AB的长度为24√10米。 tan∠ACB=BE (2)在Rt△DNC中， DN 1 CE' N=2…CN=48米， BE30√2 .BC=72+6+48=126(米)， ∴.CE tan60°-√3 =10√6（海里）， 即坝底BC的长度为126米. AD .AC=AE十CE=30W2十10√6≈66.9（海里）. 1:3 1:2 即A,C两港之间的距离约为66.9海里. 8.解：(1)由题意，得∠PAB=30°，∠PBD=60°， B MN ∴∠APB=∠PBD-∠PAB=30°. 5.D6.B (2)由(1)可知∠APB=∠PAB=30°， 7.解：如图所示，延长AB交CE于点E,过点D作 ∴.PB=AB=40(海里). DF⊥CE于点F,则四边形BDFE是矩形， 如图所示，过点P作PD⊥AB于点D, BD=EF=2米，BE=DF. 在Rt△CDF中， 在Rt△PBD中，PD=BPsin60°=20√3（海里）. 山坡CD的坡度i=1；2, .20√5>30， ∴.设DF=x米，则CF=2x米 ∴.海监船继续向正东方向航行是安全的. .CE=CF+EF=(2x十2)米，AE=AB十BE= (4+x)米 60 在Rt△ACE中，tan∠ACE=AE CE =tan36.9°≈ 0.75, 9.解：第二组学生先到达目的地.理由：如图所示，过点 A作AD⊥BC交CB的延长线于点D. 2+2=0.75,解得x=5, 24 .DF=5米，CF=10米， ∴.CE=BF=AB+AF=170+21.9= .CD=52+102=5√5≈11（米）， 191.9≈192(cm) 即斜坡CD的长度约为11米. 即花洒顶端C到地面的距离CE约为 192cm. 170 2.解：过点C作CE⊥地面于点E,如图 D B 所示. 5691s1:2 ,两楼水平距离为15米， C 下E 且AB=2米，CD=4米， 8.解：斜坡AB的坡度为1：√3， ∴.BE=15-2-4=9(米). 六tan∠ABE=1-V3 V3=3∠ABE=30. 在Rt△BCE中，coS30°=BE BC 1 .在Rt△AEB中，AB=200米， BC=BE· c0s30°=9X 2=63(米). ∴AE=2AB=100米. 答：斜坡BC的长度为63米. .AC=20米，.CE=AE-AC=80米. 斜坡CD的装度为1：，器=即器-号 甲 DE 4 15米 解得DE=320米，∴.CD=√CE2十DE= D √80+3202=80√17（米）. 7777 777777777777777 即斜坡CD的长是80√I7米， 3.解：(1)如图所示，过点C作CD⊥AB交AB的延长 9.解：(1)证明：在Rt△ABC与Rt△DEF中， 线于点D,则∠CDB=90. .BC=EF,AC=DF, 由题意可知AC=600米，∠CAD=90°-60°=30°， .Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). ∠BCD=45°， (2)Rt△ABC≌Rt△DEF,.AB=DE=8米. 1 由勾股定理，得AC=√BC2-AB=6米， .CD-TAC 2×600=300(米)，△BCD是等腰 .DF=AC=6米， 直角三角形， 六滑梯BC的坡度为AC=3, ∴.BD=CD=300米， AB4’ ∴.BC=√2CD=300√2≈300×1.414=424.2≈ DE 4 滑梯EF的坡度为DF=3 424(米)， 答：菜鸟驿站C与超市B的距离约为424米. (3)设EF的中点为G,连接DG,如图所示. (2)小南上美术网课会迟到.理由如下： :△DEF为直角三角形，DG=号EF=5米. ,△DEF在变化的过程中，EF始终为定值，若使 AD=tan30°= 在Rt△ACD中，tan∠CAD=CD 3 △DEF的面积最大，则点D到EF的距离最大， ∴.AD=3CD=3003(米)， ∴.当DG⊥EF时，点D到EF的距离最大，即 .AB=AD-BD=300√3-300≈219.6（米）， △DEF的面积最大， ∴.BC+AB≈424.2+219.6≈644（米）. ∴.△DEF面积的最大值为 2×10×5=25(平方米). 644÷80≈8.05（分钟），8.05>7， ∴小南上美术网课会迟到. 恤E 北 +东 C 45 60° 专题六构造直角三角形解决实际问题 B D 1.解：如图所示，过点C作CF⊥AB于点F, 4.解：(1)作DH⊥AE于点H,如图所示. 则∠AFC=90°. DH 1 在Rt△ACF中，AC=30cm,∠CAF=43°. 在Rt△ADH中，AH-2' as∠CAF-AC, ..AH=2DH. .AH2+DH2=AD2, ∴.AF=AC·cos∠CAF≈30×0.73=21.9(cm), ∴.(2DH)2+DH=(3√5)2，解得DH=3米. 25