24.4.2 圆锥的侧面积和全面积-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

第2课时 圆锥的 知识梳理ZHISHI SHULI 1.连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段 叫做圆锥的 2.如图，沿一条母线将圆锥侧面 剪开并展平，容易得到，圆锥 的侧面展开图是一个 设圆锥的母线长为1，底面圆 的半径为r,那么这个扇形的 半径为 ,扇形的弧长为 ,因此圆锥的 侧面积为 圆锥的全面积 为 对点练习DUIDIAN LIANXI 知识点圆锥的侧面积和全面积 1.已知圆锥的底面半径为4cm,高为5cm,则 它的表面积为() A.12πcm2 B.26πcm2 C.√4Iπcm2 D.(4√41+16)πcm2 2.小刚用一张半径为 24 24cm的扇形纸板做 一个如图所示的圆锥 形小丑帽子的侧面（接缝处忽略不计），如果 做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm, 那么这张扇形纸板的面积是( A.120πcm2 B.240πcm2 C.260πcm2 D.480πcm2 3.用半径为10cm,圆心角为120°的扇形纸片 围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆 半径为 cm. 4.已知圆锥的侧面展开图的弧长为6πcm,圆心角 为216°，则此圆锥的母线长为 cm. 87 24.4弧长和扇形面积 侧面积和全面积 5.右面是一个圆锥的轴截面，则此 圆锥的侧面展开图的圆心角的度 12 cm 数为 6.一个圆锥的高为3，侧面展开图 6 cm 是半圆，求： (1)圆锥的母线与底面半径之比； (2)圆锥的全面积. 课后作业KEHOU ZUOYE 1.（天津河西区校级模拟)若圆锥的轴截面为等 边三角形，则称此圆锥为正圆锥，正圆锥侧面 展开图的圆心角的度数为() A.90° B.120°C.150° D.180° 2.如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用 它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计）， 圆锥底面圆的直径是60cm,则这块扇形铁皮 的半径是() 270 --60cm A.40cm B.50 cm C.60 cm D.80 cm 数学九年级上册第二十四章圆 3.如图，把一个圆锥沿母线OA剪 开，展开后得到扇形AOC,已知圆 锥的高h为12cm,OA=13cm, 则扇形AOC中AC的长是 cm.(计算结果保留π) 4.现有弧长为30%圆周的一个扇形彩纸片，该 扇形的半径为40cm,小红为了在六一儿童 节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇 形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面 半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重 叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角的度数 为 40 cm 5.如图，有一个直径是1m的圆 120° 形铁皮，要从中剪出一个半径 为2m且圆心角是120°的扇 形ABC,求： (1)被剪掉后剩余阴影部分的面积； (2)若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆 锥底面圆的半径是多少米？ 8 6.如图，已知圆锥的母线长为4，底 面圆的半径为1，在圆锥的一条 母线SA的中点C处有一只蚊 子，在点A处有一只壁虎，为避免被蚊子发 现，壁虎绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中 点C处捕捉蚊子，试求壁虎爬行的最短距离. 能力提升euse6→ 7.（改编题)如图，一个纸杯的 母线延长后相交于一点，形 成的立体图形是圆锥，该圆 锥的侧面展开图是扇形 OAB,经测量，纸杯上开口圆 的直径是6cm,下底圆直径 为4cm,母线长EF=8cm.求扇形OAB的圆 心角及这个纸杯的全面积.（面积计算结果用 π表示)由(1)可知，∠OFB=90°， 作圆，所得的图形就是符合要求的图形. BC是⊙O的直径， 图(2)的作法： ∴.∠CAB=90°. ①作圆的内接正五边形；②分别以正五边形的边长为 ∴∠CAB=∠OFB, 直径在圆内作半圆，所得的图形就是符合要求的图形， .AC∥OP 课后作业 能力提升 1.D2.A3.B4.互补5.4√56.727.48°8.40 7,解如图，设⊙O与△ABC的边或边的延长线的三个切9.解先把圆周六等分，连接各等分点以及各等分，点和圆 点分别是D,E,F,连接OE,OF, 心，然后在各个小三角形内作内角平分线，最后涂色即 .OE⊥BC,OF⊥AC, 可得到此图案. ∴.∠OEC=∠OFC=90, 10.证明在△ABC中，，AB=AC, ,∠ACB=90°，四边形CFOE是矩形， ∠ABC=∠ACB. OF=OE,.四边形CFOE是正方形， 又BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB, ..OF=OE=CE=CF=r,BD=BE=BC-CE=a-r, ..∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠ECB. 由切线长定理，得AD=AF,即b十r=c十(a一r), ..AD=CD=AE=BE. “r=c十a-b 又BE=BC,.BE=BC, 2 即AD=DC=CB=BE=EA. 故点A,E,B,C,D把⊙O五等分，即五边形AEBCD 是正五边形. 能力提升 11.解(1)连接OB,OC,如图. 24.3正多边形和圆 知识梳理 1.内接正多边形外接圆 2.中心半径中心角边心距 对点练习 ,BM=CN,∠MBO=∠NCO=30°，BO=CO, 1.D2.A3.1515 ,.△BMO≌△CNO. 4.解如图，OM⊥AB, ∴.∠MOB=∠NOC. :∠BON+∠NOC=120°， ..∠BON+∠MOB=∠MON=120°. (2)90°72 (3)∠MON=360° AM-BM-TAB- 2a. 24.4弧长和扇形面积 在Rt△AOM中， 第1课时弧长和扇形面积 R=VOM+AF=-√P+(3a-√P+C 知识梳理 正n边形的边长为a, 11= 2扇形Ss=然 ∴.正n边形的周长P=na. 对点练习 1 :S△A0B= AB OM-ar, 1.D2.63.2π4.A5.18 6.解：AC=BD 在正n边形中，这样的三角形共有n个，S= 2 nar. .∠CDA=∠DAB, 5.解图(1)的作法： 即CD∥AB. ①作圆的内接正方形；②分别以正方形的边长为直径 .S△Acn=S△ccD. 59 Sm事=S6m=nmR-60R 元R2 360 360 6 Sx=AC.0F=号×3x号-9， 4 课后作业 1.C2.C3.4π SAc-15XOA=子 360 4.解由扇形面积公式S=九xR 360,得240m=150πR 360 ∴.S别影=S扇形A0C一 .R2=576,解得R=24. 第2课时圆锥的侧面积和全面积 由扇形面积公式S=号R, 知识梳理 得240x=号1X24,解得1=20元 1.母线 2.扇形L2πr πrlπr(r十l) ∴扇形的半径为24，孤长为20π 对点练习 5.解由题意知，2AC=AB2=4, AC=2√2. 1D2B3号455.90 如图，连接OC,OE, 6.解如图，设圆锥的轴裁面为△ABC,过A作AOLBC于 则OC=OB,OC⊥OB,OE⊥BC O,设母线长AB=l,底面⊙O的半径为r,高AO=h. 0E=BE=BC=号AC=E. ∠B=45°， ∠E0B=45°. ÷Sa事=2(Saae-SA0Er)=2-交 (1):圆锥的侧面展开图是半圆， ∴2r=号×2x==2. (2)在Rt△ABO中， 能力提升 =r2+h2,l=2r,h=3, 6.解(1)答案不唯一，只要合理均可.例如： ∴.(2r)2=32+r2」 ①BC=BD:②OF∥BC;③∠BCD=∠A; 由r为正数，解得r=√3，l=2r=23. ④BC=CE+BE; 故S◆=S十Sa=πrl+2=πXW3X23+πX(W3)2=9. ⑤△ABC是直角三角形； 课后作业 ⑥△BCD是等腰三角形. 1.D2.A3.10π4.18 (2)连接OC,则OC=OA=OB. 5.解（1)设O为圆心，连接OA,OB, :∠D=30°， OC. ∠A=∠D=30°. .OA=OC=OB,AB=AC, .∠AOC=120° ∴.△ABO≌△ACO(SSS). AB为⊙O的直径， 又∠BAC=120°， .∠ACB=90°. .∠BAO=∠CAO=60. 在Rt△ABC中，BC=1, ,∴.△ABO是等边三角形 .AB=2,AC=√3. ,OF⊥AC, AB=号m ..AF=CF. .OA=OB, ,·S商卷ABC三 120元×（2m 360 .OF是△ABC的中位线. ∴0F=2BC=2 60 20xX之气恶m. (2)在扇形ABC中，BC的长为180 “∠ACD=∠BCD-=Z∠ACB=45 ∴.∠ABD=∠ACD=45° 设底面圆的半径为rm, (2)如图，连接OD. 则2r==(m. 6.解将圆锥沿着母线SA展开得 扇形SAA1,如图，取SA的中 点C,连接AC,则线段AC是壁 虎爬行的最短路线.设展开图的 DP切⊙O于点D, 圆心角的度数是n° .OD⊥DP, ,圆锥的底面周长是展开的扇形的孤长， 即∠ODP=90° 2πX1=nπX4 180 DP∥AC,∠BAC=38, ..n=90,即∠S=90° ∴∠P=∠BAC=38. 在Rt△ASC中，SC=2,SA=4, ∠AOD是△ODP的外角， AC=√SC+SA=√W22+4=2W5. .∴.∠AOD=∠P+∠ODP=128°， ∴.壁虎爬行的最短距离为2√5】 ∴∠ACD=2∠AOD=64 能力提升 .OA=OC, 7.解由题意，知AB=6πcm,CD=4rcm. ∠AC0=∠A=38°. 设∠AOB=n°，AO=Rcm, ∴∠OCD=∠ACD-∠AC0=64°-38°=26°. 则CO=(R-8)cm, 10.C11.12元 根搭级长公或，将需=6,8》=4红 12.(1)证明如图，连接0C, 180 .OA=OC, 解得n=45,R=24. ∴扇形圆心角的度数为45° .∠BAC=∠OCA. 由R=24,得R-8=16. :∠BCD=∠BAC, ∴.∠BCD=∠OCA. .X4xX12(cm), AB是直径， Sau=×6x×24=72x(cm). .∠ACB=90°， .∠OCA+∠OCB=∠BCD+∠OCB=90°， .S联杯相=S扇形0AB一S扇移0cD=72π一32π=40π(cm2). ∴.∠OCD=90° 又：Sk=(告)】月 =4π(cm2), OC是半径， .CD是⊙O的切线. ∴.S版杯金=40π十4π=44π(cm2). (2)解如图，过O作OE⊥AC于E. 本章整合 设⊙O的半径为r, 则AB=2r. 考点逐项突破 ,∠D=30°，∠OCD=90°， 1.C2.A3.54.45.A6.4√27.B .OD=2r,∠COB=60°， 8.50° .r+2=2r. 9.解(1)AB是⊙O的直径， .r=2,∠AOC=120°， ∠ACB=90°. OB=OC,∠BOC=60°， .∠BAC+∠ABC=90°. △OBC为等边三角形， 又∠BAC=38°， .BC=r=2. .∠ABC=90°-38°=52°. 由勾股定理可知AC=2√3. 由D为AB的中点， 得AD=BD. 在R△A0E中，∠A=日∠B0C=30, 61 0E=2=1, ∠ADC=180°-∠B=180°-69°=111°， ∴.∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=180°-42°-111°=27， ÷Sac=×2gX1=月， .∠COD=2∠CAD=54°， S%0c=120元X4_4r :DE为切线， 36039 .OD⊥DE,.∠ODE=90°， “阴影部分的面积为暂尽。 .∠E=90°-∠D0E=90°-54°=36°. 考题聚焦体验 1.C2.D3.D4.C5.110 6.解(1)AB为⊙0的直径， .∠ACB=90°. 由C为AB的中点，得AC=BC, 图1 图2 ∴AC=BC,得∠ABC=∠CAB. 第二十五章概率初步 在Rt△ABC中，∠ABC+∠CAB=90°， ∠CAB=45. 25.1随机事件与概率 根据勾股定理，得AC+BC=AB2, 25.1.1随机事件 又AB=6,得2AC=36, .AC=3√2. 知识梳理 (2)FD是⊙O的切线， 1.必然事件不可能事件必然事件不可能事件 .OD⊥FD,即∠ODF=90°. 2.随机事件随机事件 ,OD⊥CB,垂足为E, 对点练习 1.B2.D3.A4.C5.红蓝 ∴∠CED=90,CE=CB. 课后作业 同(1)可得∠ACB=90°，有∠FCE=90°， 1.C2.C3.C4.小于5.3点 .∠FCE=∠CED=∠ODF=90°， 6.解(1)随机事件，因为明天可能刮南风，也可能刮北风 '.四边形ECFD为矩形， 等其他方向的风 FD=CE,FD=号CB. (2)不可能事件，因为任何有理数的平方均是一个非负数. (3)必然事件，因为地球有引力，所以该运动员掷出的 在Rt△ABC中，由AB=6,AC=2, 标枪会落地. 得CB=√AB-AC=4√2， (4)必然事件，因为这是一个肯定的正确事件， FD=2√2. 7.解(1)当n=2时，此时袋子里只有2个红球，2个黄 7.解(1)如图1，.AB=AC, 球，此时任意摸4个球，一定是2个红球和2个黄球，该 1 ·∠ABC=∠ACB=2(180°-∠BAC)= 事件是必然事件 (2)当n>2且取整数时，该事件是随机事件. 42)=69°， 8.解 BD为直径， ∠BCD=90°， :∠D=∠BAC=42°， ∴.∠DBC=90°-∠D=90°-42°=48°， ∴.∠ACD=∠ABD=∠ABC-∠DBC=69°-48°=21°. 鹰 (2)如图2，连接OD. 能力提升 .CD∥AB, 9.解本题答案不唯一，只要符合题意即可.例如：必然 .∠ACD=∠BAC=42°， 事件：两次掷出数字之和是整数；不可能事件：两次 四边形ABCD为⊙O的内接四边形， 掷出数字之和大于6；随机事件：两次掷出数字之和 .∠B+∠ADC=180°， 等于4. 62