24.4.1 弧长和扇形面积-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

24.4弧长和扇形面积 24.4弧长和扇形面积 第1课时 弧长和扇形面积 起始位置上时即停止转动，则点B转过的路径 知识梳理ZHISHI SHUU 长为 1.在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对 知识点二扇形的面积公式及应用 的弧长就是圆周长C=2πR,所以n°的圆心角 4.如图，从一块直径为2m的圆 所对的弧长为 形铁皮上剪出一个圆心角为 0 2.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧 90°的扇形，则此扇形的面积为 围成的图形叫做 .在半径为R的圆中， ( 因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆 A.罗m2 RmC元m D.2πm2 面积S=πR,所以圆心角为n°的扇形面积 是 5.如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABC 3.比较扇形面积公式与弧长公式，可以用弧长 DEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇 表示扇形面积： ,其中1为扇 形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形AFB(阴 形的弧长，R为半径 影部分)的面积为 知识点一弧长公式及应用 1.(天津校级月考)如图，⊙O的直径AB=6,若 6.如图，AB是半圆的直径，AB=2R,C,D为半 ∠BAC=50°，则劣弧AC的长为( 圆的三等分点，求阴影部分的面积 C A.2π B.8x C.3π D.4π 4 2.已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的 半径为 3.如图，在△ABC中，∠ACB= B 90°，∠B=30°，BC=6,三角形 绕直角顶点C逆时针旋转，当 点A的对应点A'落在AB边的 85 数学九年级上册第二十四章圆 5.如图，等腰直角三角形 课后作业KEHOU ZUOYE ABC的斜边AB=4,O 1.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此 是AB的中点，以O为 扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇 圆心的半圆分别与两 形”的面积为( 直角边相切于点D,E,求图中阴影部分的 A.元 B.1 C.2 D号 面积 2.如图，已知⊙O的半径是2，点A,B,C在⊙O 上，若四边形OABC是菱形，则图中阴影部分 的面积为( A5-28 B- c弩-2 D.暂- 6.如图，AB为⊙O的直径， 3.(改编题)如图，△ABC是正三角形，曲线 CD⊥AB,OF⊥AC,垂足分 CDE,DEF,…叫做“正三角形的渐开线”，其 别为E,F 中CD,DE,EF,…的圆心依次按A,B,C循 (1)请写出三条与BC有关 环，它们依次相连接，若AB=1,则曲线 的正确结论； CDEF的长是 (2)当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的 面积. 4.已知扇形的面积为240π，圆心角为150°，求 扇形的半径及弧长. 86由(1)可知，∠OFB=90°， 作圆，所得的图形就是符合要求的图形. BC是⊙O的直径， 图(2)的作法： ∴.∠CAB=90°. ①作圆的内接正五边形；②分别以正五边形的边长为 ∴∠CAB=∠OFB, 直径在圆内作半圆，所得的图形就是符合要求的图形， .AC∥OP 课后作业 能力提升 1.D2.A3.B4.互补5.4√56.727.48°8.40 7,解如图，设⊙O与△ABC的边或边的延长线的三个切9.解先把圆周六等分，连接各等分点以及各等分，点和圆 点分别是D,E,F,连接OE,OF, 心，然后在各个小三角形内作内角平分线，最后涂色即 .OE⊥BC,OF⊥AC, 可得到此图案. ∴.∠OEC=∠OFC=90, 10.证明在△ABC中，，AB=AC, ,∠ACB=90°，四边形CFOE是矩形， ∠ABC=∠ACB. OF=OE,.四边形CFOE是正方形， 又BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB, ..OF=OE=CE=CF=r,BD=BE=BC-CE=a-r, ..∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠ECB. 由切线长定理，得AD=AF,即b十r=c十(a一r), ..AD=CD=AE=BE. “r=c十a-b 又BE=BC,.BE=BC, 2 即AD=DC=CB=BE=EA. 故点A,E,B,C,D把⊙O五等分，即五边形AEBCD 是正五边形. 能力提升 11.解(1)连接OB,OC,如图. 24.3正多边形和圆 知识梳理 1.内接正多边形外接圆 2.中心半径中心角边心距 对点练习 ,BM=CN,∠MBO=∠NCO=30°，BO=CO, 1.D2.A3.1515 ,.△BMO≌△CNO. 4.解如图，OM⊥AB, ∴.∠MOB=∠NOC. :∠BON+∠NOC=120°， ..∠BON+∠MOB=∠MON=120°. (2)90°72 (3)∠MON=360° AM-BM-TAB- 2a. 24.4弧长和扇形面积 在Rt△AOM中， 第1课时弧长和扇形面积 R=VOM+AF=-√P+(3a-√P+C 知识梳理 正n边形的边长为a, 11= 2扇形Ss=然 ∴.正n边形的周长P=na. 对点练习 1 :S△A0B= AB OM-ar, 1.D2.63.2π4.A5.18 6.解：AC=BD 在正n边形中，这样的三角形共有n个，S= 2 nar. .∠CDA=∠DAB, 5.解图(1)的作法： 即CD∥AB. ①作圆的内接正方形；②分别以正方形的边长为直径 .S△Acn=S△ccD. 59 Sm事=S6m=nmR-60R 元R2 360 360 6 Sx=AC.0F=号×3x号-9， 4 课后作业 1.C2.C3.4π SAc-15XOA=子 360 4.解由扇形面积公式S=九xR 360,得240m=150πR 360 ∴.S别影=S扇形A0C一 .R2=576,解得R=24. 第2课时圆锥的侧面积和全面积 由扇形面积公式S=号R, 知识梳理 得240x=号1X24,解得1=20元 1.母线 2.扇形L2πr πrlπr(r十l) ∴扇形的半径为24，孤长为20π 对点练习 5.解由题意知，2AC=AB2=4, AC=2√2. 1D2B3号455.90 如图，连接OC,OE, 6.解如图，设圆锥的轴裁面为△ABC,过A作AOLBC于 则OC=OB,OC⊥OB,OE⊥BC O,设母线长AB=l,底面⊙O的半径为r,高AO=h. 0E=BE=BC=号AC=E. ∠B=45°， ∠E0B=45°. ÷Sa事=2(Saae-SA0Er)=2-交 (1):圆锥的侧面展开图是半圆， ∴2r=号×2x==2. (2)在Rt△ABO中， 能力提升 =r2+h2,l=2r,h=3, 6.解(1)答案不唯一，只要合理均可.例如： ∴.(2r)2=32+r2」 ①BC=BD:②OF∥BC;③∠BCD=∠A; 由r为正数，解得r=√3，l=2r=23. ④BC=CE+BE; 故S◆=S十Sa=πrl+2=πXW3X23+πX(W3)2=9. ⑤△ABC是直角三角形； 课后作业 ⑥△BCD是等腰三角形. 1.D2.A3.10π4.18 (2)连接OC,则OC=OA=OB. 5.解（1)设O为圆心，连接OA,OB, :∠D=30°， OC. ∠A=∠D=30°. .OA=OC=OB,AB=AC, .∠AOC=120° ∴.△ABO≌△ACO(SSS). AB为⊙O的直径， 又∠BAC=120°， .∠ACB=90°. .∠BAO=∠CAO=60. 在Rt△ABC中，BC=1, ,∴.△ABO是等边三角形 .AB=2,AC=√3. ,OF⊥AC, AB=号m ..AF=CF. .OA=OB, ,·S商卷ABC三 120元×（2m 360 .OF是△ABC的中位线. ∴0F=2BC=2 60