24.3 正多边形和圆-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

24.3正多边形和圆 24.3 正多边形和圆 4.已知正n边形的边长为a,边心距为r,求正n 知识梳理ZHISHI SHUU 边形的半径R,周长P和面积S. 1.正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个 圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的 ,这个圆就是这个正多 边形的 2.把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正 多边形的 ,外接圆的半径叫做正多边 知识点二画正多边形 形的 ,正多边形每一边所对的圆心角 5.用等分圆周的方法给出如图的图案的画法， 叫做正多边形的 ,中心到正多边形 的一边的距离叫做正多边形的 对点练习DUIDIAN LIANXI 知识点一与正多边形有关的计算 (1) (2) 1.下列说法不正确的是( ) A.圆内接正n边形的中，心角为360 B.各边相等，各角也相等的多边形是正多 边形 C.各边相等的圆内接多边形是正多边形 D.各角相等的多边形是正多边形 课后作业KEHOU ZUOYE 2.如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点 1.如图，在⊙O中，OA=AB,OC⊥AB,则下列 P为劣弧CD上不同于点C的任意一点，则 结论错误的是( ∠BPC的度数为( ) A.弦AB的长等于圆内接正六 边形的边长 B.弦AC的长等于圆内接正十 二边形的边长 A.45° B.60° C.AC=BC C.75° D.90° D.∠BAC=30° 3.一个中心角等于24°的正多边形的边数为 2.一元硬币的直径约为24mm,则用它能完全覆 ;一个外角等于24°的正多边形的 盖住的正六边形的边长最大不能超过( 边数为 A.12 mm B.12√3mm C.6 mm D.6√3mm 83 数学九年级上册第二十四章圆 3.已知圆内接正三角形的面积为3，则该圆的 10.如图，已知⊙O的内接等腰 内接正六边形的边心距是( 三角形ABC,AB=AC,弦 BD,CE分别平分∠ABC, A.2 B.1 C.√3 D③ ∠ACB,BE=BC,求证：五 4.正n边形的中心角与它的一个内角的关系是 边形AEBCD是正五边形. 5.如图，两个正方形彼此相邻 且内接于半圆，若小正方形 的面积为16cm,则该半圆 的半径为 cm 6.若一个圆内接正方形的面积为36cm,则该 圆外切正方形的面积等于 cm2. 能力提升ENGU TISHENG 7.如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都 11.如图1，图2，图3，…，图n,M,N分别是 是⊙O的内接多边形，则∠BOM= ⊙O的内接正三角形ABC,正方形ABCD, 正五边形ABCDE,…,正n边形ABCDE …的边AB,BC上的点，且BM=CN,连 接OM,ON. (1)求图1中∠MON的度数； (第7题图) (第8题图) (2)图2中∠MON的度数是 ,图3中 8.(天津宝坻区期中)如图，圆内接正八边形 ∠MON的度数是 ABCDEFGH,若△ADE的面积为10，则正 (3)试探究∠MON的度数与正n边形边数 八边形ABCDEFGH的面积为 n的关系（直接写出答案）. 9.请你用等分圆周的方法给出下面的图案的 画法. 84由(1)可知，∠OFB=90°， 作圆，所得的图形就是符合要求的图形. BC是⊙O的直径， 图(2)的作法： ∴.∠CAB=90°. ①作圆的内接正五边形；②分别以正五边形的边长为 ∴∠CAB=∠OFB, 直径在圆内作半圆，所得的图形就是符合要求的图形， .AC∥OP 课后作业 能力提升 1.D2.A3.B4.互补5.4√56.727.48°8.40 7,解如图，设⊙O与△ABC的边或边的延长线的三个切9.解先把圆周六等分，连接各等分点以及各等分，点和圆 点分别是D,E,F,连接OE,OF, 心，然后在各个小三角形内作内角平分线，最后涂色即 .OE⊥BC,OF⊥AC, 可得到此图案. ∴.∠OEC=∠OFC=90, 10.证明在△ABC中，，AB=AC, ,∠ACB=90°，四边形CFOE是矩形， ∠ABC=∠ACB. OF=OE,.四边形CFOE是正方形， 又BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB, ..OF=OE=CE=CF=r,BD=BE=BC-CE=a-r, ..∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠ECB. 由切线长定理，得AD=AF,即b十r=c十(a一r), ..AD=CD=AE=BE. “r=c十a-b 又BE=BC,.BE=BC, 2 即AD=DC=CB=BE=EA. 故点A,E,B,C,D把⊙O五等分，即五边形AEBCD 是正五边形. 能力提升 11.解(1)连接OB,OC,如图. 24.3正多边形和圆 知识梳理 1.内接正多边形外接圆 2.中心半径中心角边心距 对点练习 ,BM=CN,∠MBO=∠NCO=30°，BO=CO, 1.D2.A3.1515 ,.△BMO≌△CNO. 4.解如图，OM⊥AB, ∴.∠MOB=∠NOC. :∠BON+∠NOC=120°， ..∠BON+∠MOB=∠MON=120°. (2)90°72 (3)∠MON=360° AM-BM-TAB- 2a. 24.4弧长和扇形面积 在Rt△AOM中， 第1课时弧长和扇形面积 R=VOM+AF=-√P+(3a-√P+C 知识梳理 正n边形的边长为a, 11= 2扇形Ss=然 ∴.正n边形的周长P=na. 对点练习 1 :S△A0B= AB OM-ar, 1.D2.63.2π4.A5.18 6.解：AC=BD 在正n边形中，这样的三角形共有n个，S= 2 nar. .∠CDA=∠DAB, 5.解图(1)的作法： 即CD∥AB. ①作圆的内接正方形；②分别以正方形的边长为直径 .S△Acn=S△ccD. 59 Sm事=S6m=nmR-60R 元R2 360 360 6 Sx=AC.0F=号×3x号-9， 4 课后作业 1.C2.C3.4π SAc-15XOA=子 360 4.解由扇形面积公式S=九xR 360,得240m=150πR 360 ∴.S别影=S扇形A0C一 .R2=576,解得R=24. 第2课时圆锥的侧面积和全面积 由扇形面积公式S=号R, 知识梳理 得240x=号1X24,解得1=20元 1.母线 2.扇形L2πr πrlπr(r十l) ∴扇形的半径为24，孤长为20π 对点练习 5.解由题意知，2AC=AB2=4, AC=2√2. 1D2B3号455.90 如图，连接OC,OE, 6.解如图，设圆锥的轴裁面为△ABC,过A作AOLBC于 则OC=OB,OC⊥OB,OE⊥BC O,设母线长AB=l,底面⊙O的半径为r,高AO=h. 0E=BE=BC=号AC=E. ∠B=45°， ∠E0B=45°. ÷Sa事=2(Saae-SA0Er)=2-交 (1):圆锥的侧面展开图是半圆， ∴2r=号×2x==2. (2)在Rt△ABO中， 能力提升 =r2+h2,l=2r,h=3, 6.解(1)答案不唯一，只要合理均可.例如： ∴.(2r)2=32+r2」 ①BC=BD:②OF∥BC;③∠BCD=∠A; 由r为正数，解得r=√3，l=2r=23. ④BC=CE+BE; 故S◆=S十Sa=πrl+2=πXW3X23+πX(W3)2=9. ⑤△ABC是直角三角形； 课后作业 ⑥△BCD是等腰三角形. 1.D2.A3.10π4.18 (2)连接OC,则OC=OA=OB. 5.解（1)设O为圆心，连接OA,OB, :∠D=30°， OC. ∠A=∠D=30°. .OA=OC=OB,AB=AC, .∠AOC=120° ∴.△ABO≌△ACO(SSS). AB为⊙O的直径， 又∠BAC=120°， .∠ACB=90°. .∠BAO=∠CAO=60. 在Rt△ABC中，BC=1, ,∴.△ABO是等边三角形 .AB=2,AC=√3. ,OF⊥AC, AB=号m ..AF=CF. .OA=OB, ,·S商卷ABC三 120元×（2m 360 .OF是△ABC的中位线. ∴0F=2BC=2 60