24.1.3 弧、弦、角-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

24.1.3 弧 知识梳理ZHISHI SHULI 1.顶点在圆心的角叫做 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦也 3.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们 所对的圆心角 ,所对的弦 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们 所对的圆心角 ,所对的弧 对点练习DUIDIAN LIANXI 知识点一 圆心角的概念及其计算 1.下面图形中的角是圆心角的是( A 0 B C 0 2.在如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是 A.∠ABC B.∠AOB C.∠OAB D.∠OBC 知识点二弧、弦、圆心角之间的关系 3.下列说法正确的是() A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等，所对的圆心角相等 6q 24.1圆的有关性质 弦、圆心角 4.如图，在⊙O中，点C是AB的中点，∠A= 50°，则∠BOC等于() A.40° B.50° C.70° D.80° (第4题图) (第5题图) 5.如图，AB,CD是⊙O的直径，DF,BE是弦，若 DF=BE,∠B=50°，则∠D的度数为() A.25° B.40° C.50° D.60° 6.已知六边形ABCDEF的各顶点都在圆上，且 各边都相等，则此六边形各边所对的圆心角 的度数是 7.如图，在⊙O中，AB=CD,求证：AD=BC 课后作业KEHOU ZUOYE 1.已知⊙O的半径为10cm,AB所对的圆心角的 度数是60°，则圆心O到弦AB的距离为() A.10√3cm B.3 cm C.5√3cm D./3 cm 2.在⊙O中，圆心角∠AOB=80°，圆心角 ∠COD=40°，则下列说法正确的是( ) A.AB-2 CD B.AB>2 CD C.AB<2 CD D.AB=2CD 数学九年级上册第二十四章圆 3.如图，AD是⊙O的直径，AB∥CD,AC的度7.如图，在□ABCD中，以A为圆心，AB为半 数为60°，则∠BAD的度数为 径作圆交AD于点F,交BC于点G,BA的延 长线交圆A于点E,求证：EF=FG (第3题图) (第4题图) 4.如图，AB,CD是⊙O的直径，若弦DE∥AB, 则弦AC与AE的大小关系为 5.如图，AB是⊙O的直径，AC 是弦，过AC的中点P作弦 PQ⊥AB,交AB于点D,求 证：PQ=AC. g能力提升ENGUTHENG→ 8.(改编题)如图，正方形ABCD的顶点都在 ⊙O上，M为AD的中点，连接BM,CM! (1)求证：BM=CM; (2)当⊙O的半径为2时，求BM 的长.（提示：可通过BM与 圆周长之比求解) 6.如图，已知AB是⊙O的直 径，M,N分别是AO,BO 的中点，CM⊥AB,DN⊥ M O N AB,求证：AC=DB. 70即∠C= 3∠AOE. OA∥PE, ∴.∠CPO=∠AOP 能力提升 ∠APO=∠AOP 7.解因为⊙O的半径为4，点A',B分别是点A,B关于 ..AP-AO ⊙O的反演，点，点B在⊙O上，OA=8, (2)解过点O作OH⊥AB于点H. 所以OA'·OA=16,解得OA'=2.同理可知，OB=4, 所以，点B的反演点B'与B重合.设OA交⊙O于点 由垂径定理，得AH=BH=号AB=12. M,连接B'M,如图 ,'.PH=AP+AH=AO+AH=13+12=25 因为∠BOA=60°，OM=OB', 在Rt△AH0中，OH=√OA-A平=√/132-12=5. 所以△OB'M为等边三角形， 在Rt△OPH中，OP=√O+P=√5+25=5√26. 又OA'=A'M=2, 所以A'B'⊥OM, 第2课时垂径定理的应用 所以在Rt△OB'A'中， 知识梳理 根据勾股定理，得OB2=OA2+A'B2, 1.两个三个 即16=4+A'B2,解得A'B'=2√3. 2.垂径定理勾股定理 对点练习 24.1.2垂直于弦的直径 1.B2.200 3.解如图，依题意得AB=6分米，CD=8分米，过，点O作 第1课时垂径定理及其推论 AB的垂线，垂足为E,交CD于点F,连接OA,OC,由垂 知识梳理 径定理，得AE-AB=3分米，CP=2CD=4分未， 1.轴对称对称轴 2.弦两条弧 3.弦两条弧 对点练习 设OE=x分米，则OF=(x一1)分米 1.B2.D3.D4.B5.C6.D7.C 在Rt△OAE中，OA2=AE+OE, 8.证明：OD平分弦AB,OE平分弦AC, 在Rt△OCF中，OC2=CF2十OF2. .OD⊥AB,OE⊥AC. .OA=OC, ..∠D+∠DMB=90°，∠E+∠ENC=90°. ,∴.32十x2=42+(x-1)2, .OD=OE, 解得x=4, ∠D=∠E. ..半径OA=/32+4=5(分米)， .∠DMB=∠ENC, '.直径MN=2OA=10(分米). 即∠AMN=∠ANM. 课后作业 .∴.AM=AN. 1.B2.A3.C4.85.2.6 课后作业 6.解（1)作图略 1.B2.C3.84.(6,0)5.25 (2)连接OC,交AB于点D.则OC⊥AB 6.解过点O作OE⊥AB于，点E,则OE⊥CD,连接OC,OA, 且OC平分线段AB. 由题意，得OE=6, AD=2AB=30m连接OA,设⊙的半径为rm ∴.CE=√OC-OE=√82-62=2√7， ∴.OC=OA=rm. AE=√OA-OE=√102-62=8. ..OD=OC-CD=(r-10)m. .AC=AE-CE=8-2√T. 在Rt△AOD中， 能力提升 ,OD2+AD2=0A2, 7.(1)证明：PG平分∠EPF, .(r-10)2十302=r2,解得r=50. .∠CPO=∠APO ∴.AB所在圆的半径为50m. 53 7.解如图，作OF⊥CD,垂足为F,交AB于点P,交孤 又，PQ⊥AB,且AB是直径， AB于点E,连接OB,OD,设⊙O的半径为r,依题意可 ∴PA=AQ, 知：PF=120-110=10(cm),EF=20-10=10(cm), ..PA=AQ=PC, DF-CD=30 cm. .PQ=AC,即PQ=AC. 6.证明如图，连接OC,OD. 在Rt△OFD中，OD=rcm,OF=(r-10)cm,DF=30cm, .r2=(r-10)2+302,.r=50cm. 在Rt△OPB中，OB=50cm,OP=50-20=30(cm), .BP=√/502-302=40(cm), .AB=2BP=80cm,即盆口圆的直径AB=80cm. 0 、BM M,N分别是AO,BO的中点， 0M=20A,0N=20B, 110 120 .'OA=OB, ∴.OM=ON. CM⊥AB,DN⊥AB,OC=OD, G 能力提升 ,.Rt△COM≌Rt△DON. 8.解(1)连接OA.设圆孤所在圆的半径为rm由题意，得 .∠COM=∠DON, 即∠COA=∠DOB, AD=2AB=30m,0D=0P-PD=(-18)m ..AC=DB. 在Rt△AD0中，由勾股定理，得2=302十(r-18)2, 7.证明如图，连接AG,则在□ABCD中，AD∥BC 解得r=34. .圆孤所在圆的半径为34m. (2)连接OA'.由题意，得 OE=OP-PE=34-4-30(m), 在Rt△A'EO中，由勾股定理，得 B A'E=√A0-OE=√342-30=16(m), ∴.∠GAF=∠AGB,∠B=∠EAF. .A'B=2A'E=32m. 又在⊙A中，AB=AG, 32>30. ∴.∠AGB=∠B. 不需要采取紧急措施， ∴∠GAF=∠EAF. 24.1.3弧、弦、圆心角 ..EF-FG. 知识梳理 能力提升 1.圆心角2.相等相等3.相等相等相等相等 8.(1)证明，四边形ABCD是正方形， 对点练习 ..AB=CD,..AB=CD. 1.A2.B3.B4.A5.C6.60 :M为AD的中点，AM=DM, 7.证明，AB=CD, ..AB+AM-CD+DM, ∴.AB=CD, 即BM=CM,∴.BM=CM. ∴AB-BD=CD-BD, (2)解：⊙0的半径为2，.⊙0的周长为4π， AD=BC,即AD=BC. AM-DM-T AD-AB, 课后作业 1.C2.A3.30°4.AC=AE ∴BM=AB+AM-AB, 5.证明：为AC的中点， ..PA=PC. B的长为受×X4= 54