24.1.3 弧、弦、圆心角 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册

第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.3 弧、弦、圆心角 学习目标 1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.（重点） 2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.（重点） 3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.（难点） 复习引入 1.什么是中心对称图形? 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 2、由圆的轴对称性得到了圆的重要的垂径定理，垂径定理内容是什么？请画出基本图形 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 获取新知 1.圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪？ · 圆是中心对称图形 它的对称中心是圆心 2.把圆绕圆心O旋转任意一个角度后，还能和原来的图形重合吗? O α 重合. 因为圆是旋转对称图形， 具有旋转不变性 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 B A ∠AOB为圆心角 O · 圆心角∠AOB 所对的弦为AB， 所对的弧为AB. ⌒ 判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 不是 不是 不是 是 任意给一个圆心角，对应出现三个量： 圆心角 弦 弧 这三个量之间有什么关系呢？ B A O · 探究 圆心角∠AOB所对的弦为AB. 圆心角 ∠AOB 所对的弧为 . 如图，在⊙O中将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 显然∠AOB＝∠A'OB' AB＝A'B' AB ＝ A'B' ⌒ ⌒ B A A' B' ● O AB＝A'B' AB ＝ A'B' ⌒ ⌒ 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠AO'B'，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？ 由∠AOB＝∠AO'B'得到 B A ● O A' B' ● O' 定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ · · A' B' A B 不可以，如图 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． ①∠AOB = ∠COD ③ AB = CD A B O D C ② 弧、弦与圆心角的关系定理 1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等． 弧、弦与圆心角关系定理的推论 1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦. （1）如果AB=CD，那么_________， . （2）如果 ，那么_______, ______________. （3）如果∠AOB=∠COD，那么__________, __________. （4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD， OE与OF相等吗？ O C D F A B E ∠AOB=∠COD AB=CD ∠AOB=∠COD AB=CD 相等. 例题讲解 ∴ AB = AC，△ABC 是等腰三角形. 又∵∠ACB = 60°， ∴△ABC 是等边三角形，AB = BC = CA. ∴∠AOB =∠BOC =∠AOC. A B C O 2.如图，在☉O 中， = ，∠ACB = 60°， 求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC. 证明：∵ = ， 在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弦的弦心距相等吗? 思考： A' B' A B O · C' C 相等 相等的圆心角，所对的弧、弦和弦心距都相等。 课堂小结 弧、弦、圆心角的关系定理及推论 在同圆或等圆中 应用提醒 ①要注意前提条件； ②要灵活转化. 圆心角 概念：顶点在圆心的角 课堂练习 知识点1　圆心角的概念及其计算 1. 下列图形中的角是圆心角的是( ) A 2. 如图，已知☉O的半径为6，弦AB的长为6，则弦AB所对的圆心角∠AOB＝______. 60° 知识点2　弧、弦、圆心角之间的关系 3. 如图，在☉O中，＝，∠A＝30°，则∠B的度数为( ) A. 150° B. 75° C. 60° D. 15° B 4. (教材P85练习T2变式)如图，AB是☉O的直径，＝＝，∠COD＝32°，连接AE，则∠AEO＝______°. 48 5. 如图，A，B，C，D是☉O上的点，∠1＝∠2.有下列结论： ①＝；②＝；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC.其中正确的有____________.(填序号) ①②③④ 6. (2025·盘锦辽河油田中学月考)如图，在☉O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD.求证：CE＝BE. 证明：∵AB＝CD， ∴＝， ∴－＝－，即＝， ∴∠C＝∠B，∴CE＝BE. 证明：如图，连接AG. ∵在▱ABCD中，AD∥BC， ∴∠GAF＝∠AGB，∠B＝∠EAF. 又∵在☉A中，AB＝AG， ∴∠AGB＝∠B，∴∠EAF＝∠GAF，∴＝. 7. (2025·沈阳康平月考)如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，交AD于点F，交BC于点G，BA的延长线交☉A于点E.求证：＝. 易错点　不能正确理解弧、弦、圆心角之间的关系 8. (2025·鞍山千山区期中)如图，在☉O中，＝2，则AB与2CD之间的大小关系是( ) A. AB＞2CD B. AB＜2CD C. AB＝2CD D. 不能确定 B 9.【新情境·传统文化】自古以来，景德镇就是中国陶瓷文化的象征，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地.景德镇生产的某种瓷碗正面的形状示意图如图所示，是☉O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知AB＝18 cm，碗深CD ＝6 cm，则OA的长为_________. cm 10. 如图，AB为☉O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且 ＝. (1)求证：AE＝BF； 解：证明：如图，连接OA，OB. ∵OA＝OB，∴∠A＝∠B. ∵＝，∴∠AOE＝∠BOF. 在△AOE和△BOF中， ∴△AOE≌△BOF(ASA)，∴AE＝BF. 解：∵OM⊥AB，∴AM＝AB＝6. 设OM＝x，则OA＝ON＝x＋3. 在Rt△AOM中，由勾股定理， 得62＋x2＝(x＋3)2，解得x＝4.5，∴OM＝4.5. 10. 如图，AB为☉O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且 ＝. (2)作半径ON⊥AB于点M，若AB＝12， MN＝3，求OM的长. 11. (教材P85练习T1变式)根据我们所学习的“圆心角、弧、弦之间的关系”，我们可以得到圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等(弦心距指从圆心到弦的距离，如图1中的OC，OC'，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度).请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答问题： 如图2，O是∠EPF的平分线上的一点，以 点O为圆心的圆与角的两边所在的直线分 别交于点A，B，C，D. (1)求证：AB＝CD. 解：证明：如图1，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，则∠OMB＝∠OND＝90°. ∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON，∴AB＝CD. 11. (教材P85练习T1变式)根据我们所学习的“圆心角、弧、弦之间的关系”，我们可以得到圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等(弦心距指从圆心到弦的距离，如图1中的OC，OC'，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度).请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答问题： 如图2，O是∠EPF的平分线上的一点，以点 O为圆心的圆与角的两边所在的直线分别交 于点A，B，C，D. (2)若∠EPF的顶点P在圆上或圆内，(1)中的结 论仍成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明. 解：成立. 证明：如图2，当点P在☉O上时， 由(1)，知OM＝ON， ∴AB＝CD. 如图3，当点P在☉O内时， 由(1)，知OM＝ON， ∴AB＝CD. 综上所述，结论仍成立. 12. 如图，MN是☉O的直径，A是半圆上的一个三等分点，B是 的中点，P是直径MN上的一个动点.若MN＝2，则PA＋PB的最小值为_____. 2 【解析】如图，作点A关于MN的对称点A'，连接A'B，交MN于点P，连接OA'，OA，OB. ∵点A与点A'关于MN对称，A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A'ON＝∠AON＝60°，PA＝PA'. ∵B是 的中点，∴∠BON＝30°， ∴∠A'OB＝∠A'ON＋∠BON＝90°. 又OA＝OA'＝OB＝MN＝，∴A'B＝2， ∴PA＋PB＝PA'＋PB＝A'B＝2，∴PA＋PB的最小值为2. $$