24.1.2垂直于弦的直径（第1课时）（教学课件）数学人教版九年级上册.

第二十四章 圆 24.1.2垂直于弦的直径（第1课时） 24.1 圆的有关性质 学 习 目 标 1 2 3 通过探究圆的对称性探索垂径定理。 掌握垂径定理，并能解决相关计算和证明问题。 经历探究垂直于弦的直径的过程，激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和积极性。 知识回顾 定义一： 在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 从运动和集合的观点理解圆的定义 定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 O 连接圆上任意两点的线段叫做弦。 经过圆心的弦叫做直径。 O 什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形． 线段 角 等腰三角形 矩形 菱形 等腰梯形 正方形 圆 知识回顾 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 导入新课 ●O 它有无数条对称轴 你能证明上面的结论吗？ 新知探究 探究点1 圆是轴对称图形 议一议 （1）证明一个图形是轴对称图形的常用方法是什么？怎样证明圆是轴对称图形？ ●O 只需证明图形上任意一点关于同一条直线(对称轴)的对称点也在这个图形上； 要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点A关于直径所在直线CD(对称轴)的对称点A′也在圆上。 A D ● ● C A′ 新知探究 探究点1 圆是轴对称图形 在△OAA'中， ∵OA=OA', ∴△OAA’是等腰三角形. 又AA'⊥CD, ∴AM=MA'.即CD是AA'的垂直平分线. 即：对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′， ∴⊙O关于直线CD对称。 议一议 ●O A D ● ● C A′ （1）你能说出证明的过程吗？ 如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点. 过点A作AA'⊥CD，交⊙O于点A'，垂足为M，连接OA，OA'. M ∟ ∴圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。 M 典例分析 探究点1 圆是轴对称图形 例1　如图，在 ⊙ O中， AB是⊙ O的直径,AB=14， ，M是 AB上一动点，则CM＋DM 的最小值是（ ） A. 7 cm B. 8 cm C. 12 cm D.14cm O ● A B 解：如图，作点C关于AB的对称点 ，连接C′D 与AB 相交于点M，此时，点M为CM＋DM 的最小值时的位置， 即点M与点O重合 由圆的对称性得， ， ∴ ， ∵ = ， AB为直径， ∴ CD为直径， 即 CD=CM＋DM=AB=14cm ∴CD=CM＋DM 的最小值是 14cm D 新知探究 探究点2 垂径定理 议一议 从上面的证明我们知道，如果⊙O的直径CD垂直于弦AA'，垂足为M，那么点A 和点A'是对称点。 (1)把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A'重合，你能得到哪些相等的线段和相等弧？ ●O A D ● C A′ M ∟ 直径CD平分弦AA'，且平分 ， . AM=A'M 点A与点A'重合； AM与A'M重合； 重合； 重合. ● 9 新知探究 探究点2 垂径定理 议一议 （2）由上面的推导过程，我们得到垂径定理，请你用自己的语言表达？ 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． · O A A′ C D M (3)这里弦所对的两条弧是指什么弧？ 弦AA′所对的“优弧”、“劣弧”或两个半圆 新知探究 探究点2 垂径定理 议一议 这个定理的条件是什么？结论是什么？对照下面的图怎样用几何符号语言表达？ 题 设 结 论 垂直于弦的直径 平分弦，并且平分弦所对的两条弧； · O A A′ C D M D （1）直径 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ③AE=BE, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC, ⌒ ⌒ 垂径定理三种语言 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ●O A A′ C D M└ CD⊥AA′ 如图∵ CD是直径, ∴AM=A′M, ⌒ ⌒ AC =A′C, ⌒ ⌒ AD =A′D. 条件 CD为直径 CD⊥AB CD平分弧ADB CD平分弦AB CD平分弧ACB 结论 新知探究 探究点2 垂径定理 归一归 文字表述 图形表述 几何表述 典例分析 探究点2 垂径定理 例2 赵州桥(图24.1-7)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位). 解析:如图所示，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线ＯＣ,D为垂足，OC与相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高. 典例分析 探究点2 垂径定理 例2 赵州桥(图24.1-7)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位). 解:如图所示，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线ＯＣ,D为垂足，OC与相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高. 由题设可知：　　 AB=37，CD=7.23， 所以AD=AB=37=18.5 OD=OC﹣CD=R﹣7.23. 在 Rt△OAD中，由勾股定理， 得OA²=AD²+OD², R²=18.5²+(R-7.23)². 解得　　R≈27.3. 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m. A B C D O h r d 赵州桥中，弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： 指圆心 O 到弦的距离 d + h = r 数量关系 总结 垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形 典例分析 探究点2 垂径定理 15 例3．如图，OA=OB ， AB交⊙O 于点C，D， OE是半径，且OE ⊥ AB于点F． (1)求证：AC=BD ． (2)若OF=2EF ，CD=8 ，求 ⊙O直径的长． 典例分析 探究点2 垂径定理 （1）证明： ∵ OE ⊥ AB，且 过圆心O ∴CF=DF ， ∵ OA=OB， OE ⊥ AB ， ∴AF=BF ， ∴ AF﹣CF=BF ﹣DF， ∴AC=BD ； （2）连接OC ，设⊙O 的半径是r， ∵ OF=2EF ，0F ＋ EF=OE=r ， ∴OF= r ， ∵CD=3 ， ∴ CF = CD=4， ∵在 △OCF中，= ＋ ， ∴ =＋， ∴ r=或 r=（舍去）， ∴ ⊙O 的直径是 ． 拓展提升 1．已知⊙O 的直径AB 为10， D为 上一动点（不与A 、B 重合），连接AD 、BD (1)如图1，若AD=8 ，求BD 的值； (2)如图2，弦 DC平分∠ADB ，过点 A作AE⊥CD 于点E ，连接BE ． ①当 △BDE为直角三角形时，求 BE的值； ②在点D 的运动过程中，请直接写出BE 的最小值． （1）解：∵AB 为 ⊙O的直径， ∴ ∠ADB=90 ° ，又AB=10 ，AD=8 ， ∴ BD= = =6； （2）解：①∵ ∠ADB=90 ° ，弦DC 平分∠ADB ， ∴∠ADC= ∠BDC=45° ， 当 ∠BED=90°时，如图，连接 OC，则 ∠AOC= ∠BOC=2∠ADC= 90°, ∵AE⊥CD ， ∴∠AED=∠AEC=∠AOC= 90°,， ∴点E和O重合，即△BDE 为等腰直角三角形，则 BE=AB=5； 拓展提升 1．已知⊙O 的直径AB 为10， D为 上一动点（不与A 、B 重合），连接AD 、BD (1)如图1，若AD=8 ，求BD 的值； (2)如图2，弦 DC平分∠ADB ，过点 A作AE⊥CD 于点E ，连接BE ． ①当 △BDE为直角三角形时，求 BE的值； ②在点D 的运动过程中，请直接写出BE 的最小值． ①当 ∠BDE =45°时，如图， ∵ ∠BDC=45° ， ∴∠BED = ∠BDE=45° ， 则△BDE 为等腰直角三角形，且 BE=BD， ∴ DE= =BE， ∵ ∠AED=90 ° ， ∠ADC =45° ， ∴ ∠ADE = ∠DAE =45° ，则AE=DE=2BE ， ∴ AD = =E=2BE ， ∵ =， ∴ 4 = ， 解得 BE=2（负值舍去）， 综上，满足题意的BE 的长为5或 2； 拓展提升 1．已知⊙O 的直径AB 为10， D为 上一动点（不与A 、B 重合），连接AD 、BD (1)如图1，若AD=8 ，求BD 的值； (2)如图2，弦 DC平分∠ADB ，过点 A作AE⊥CD 于点E ，连接BE ． ①当 △BDE为直角三角形时，求 BE的值； ②在点D 的运动过程中，请直接写出BE 的最小值． ②连接OC ，AC ，分别取AC 、OA 的中点F、H， 连接 FH，EF ，如图， 则FH ∥ OC ，FH=OC= ， OH=AH=OA = ， AC= = OA=5， ∴ ∠FHB＝∠BOC＝90°， BH=AB－AH= ， ∴BF= = ， ∵ ∠AEC=90°，F为AC 的中点， ∴ EF= AC= ， ∵BE ≥ BF－EF ， 当点B、E、F共线时取等号， ∴BE 的最小值为 ． 巩固练习 1. 如图，在 ⊙O 中，弦 AB 的长为 8 cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3 cm. 求 ⊙O 的半径. 教材P83练习 解：根据题中添加辅助线可知，在 Rt△AOE 中， AO = = = 5（cm）. 则 ⊙O 的半径为 5 cm. 真题感知 1．(2025•宜宾)如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则OD的长是(　　) A．3 B．2 C．6 D． A 解：∵半径OC⊥AB于点D， ∴ADAB8＝4， ∵OA＝OC＝5， ∴OD3． 2．(2025•内江)如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8，OC＝5．则DC的长是______ ． 解：∵OC⊥AB， ∴AD＝BDAB8＝4， 在Rt△OAD中，OA＝5，AD＝4， ∴OD3， ∴DC＝OC－OD＝5－3＝． 2 真题感知 （1）解：设圆的半径是r， 则由垂径定理知，EF⊥AB 于F，点F是 AB的中点， ∴AF=FB=AB=40，EF==ED﹣FD＝r﹣20 ， 由勾股定理知，＝ ＋ ， 则： ＝ ， 解得：r = 50 ； 即桥拱的半径为50米； 3.（2025·内蒙古通辽校联考）如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度 AB=80m米，桥拱到水面的最大高度DF为20米. 求：(1)桥拱的半径； (2)现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度． 真题感知 3.（2025·内蒙古通辽校联考）如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度 AB=80m米，桥拱到水面的最大高度DF为20米. 求：(1)桥拱的半径； (2)现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度． （2）解：设水面上涨后水面跨度MN 为60米， MN交ED 于H，连接 EM，如图2所示， 则 MH=NH=MN=30米， ∴ EH= =40（米）， ∵ EF=50 － 20=30（米）， ∴ HF=EH － EF=10（米）； 答：水面上涨的高度为10米． 课堂小结 1.圆的对称图性 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 E C O A B D 题设： ①CD是⊙O直径 ②CDAB 结论： ①平分弦 ②平分弦所对的两条弧 ①圆是轴对称图形， ②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 课后作业 习题24.1 8. 如下页图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是○O中弦CD的中点，EM经过圆心O交○O于点E，并且 CD = 4 m，EM = 6m，求○O的半径. 教材P83练习 解：设圆的半径是r，连接OC，OD ∵M是○O中弦CD的中点 ∴ EM⊥CD 则由垂径定理知，CM=CD=4=2（m） 在Rt△OMD中，OM=(6-r)m 由勾股定理得：＝ ＋ ＝ ＋ 解得： = 课后作业 习题24.1 教材P83练习 9.如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点， 求证：AC = BD. G ∟ 证明：过O点作OG⊥CD,垂足为G 由垂径定理得： AG = BG. CG = DG. ∴AG- CG = BG- DG. ∴A C= BD 感谢聆听! $