24.1.1 圆-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

第二十四章圆 24.1圆的有关性质 24.1.1 圆 3.如图，AB,CD是⊙O的弦， 知识梳理ZHISHI SHUL OC,OD是⊙O的半径，则以 1.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端 A为端点的劣弧是 点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形 ;若AD与BC是等弧， 叫做 其固定的端点O叫做 则AC 线段OA叫做 以点O为圆心的圆， 4.若平面上的一点和⊙O的最近距离为4cm, 记作 ,读作“ 最远距离为10cm,则圆O的半径是 2.连接圆上任意两点的线段叫做 ,经过 cm. 圆心的弦叫做 知识点二圆中的半径相等 3.圆上任意两点间的部分叫做 ,简称 5.如图，已知AB,CD是⊙O的 圆的任意一条直径的两个端点把圆 两条直径，试判断AD与BC 分成两条弧，每一条弧都叫做 大于半 的关系， 圆的弧叫做 ,小于半圆的弧叫 做 4.能够重合的两个圆叫做 在同圆或等 圆中，能够互相重合的弧叫做 对点练习DUIDIAN LIANXI 知识点一 圆的有关概念 6.如图，五名小朋友站成一个圆 1.下列条件中，能确定一个圆的是( 圈，做一个抢小红旗的游戏，把 A.以点O为圆心 小红旗放在什么位置上，才能 B.以3cm长为半径 使这个游戏比较公平？说说你的理由. C.以点O为圆心，以3cm长为半径 D.经过已知点A 2.如图，在⊙O中，点A,O,D以 及点B,O,C分别在一条直线 上，则图中弦的条数是( A.2 B.3 C.4 D.5 63 数学九年级上册第二十四章圆 6.如图，已知AB是⊙O的直径， 课后作业KEHOU ZUOYE C为AB延长线上的一点，CE 1.有下列结论：①弦比直径短；②过圆心的线段 交⊙O于点D,且CD=OA,求 是直径；③半圆是弧；④长度相等的两条弧是 证：∠C=号∠A0E 等弧，其中正确的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B= 60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为() A.50° B.60° C.70° D.80° 3.下列图形中，各边的中点一定在同一个圆上 的是( 能力提升NENGU TISHENG今 A.矩形 7.（原创题)如图1，⊙O的半径为r(r>0),若点 B.平行四边形 P'在射线OP上，满足OP'·OP=r2,则称点 C.对角线相互垂直的四边形 P是点P关于⊙O的“反演点”.如图2，⊙O D.梯形 的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°， 4.如图，A,B是⊙O上两点，若四 OA=8.点A',B'分别是点A,B关于⊙O的 边形ACBO是平行四边形，⊙O 反演点，求AB'的长. 的半径为r,则点A与点B之间 的距离为 · 5.如图，AB,AC为⊙O的弦，连接 CO,BO并延长，分别交弦AB, AC于点E,F,∠B=∠C,求证： 图1 图2 CE=BF. 64能力提升 课后作业 5.解设点A,P,P,…,P。的坐标依次为(x,y), 1.D2.B (x3,y3),(x4,y4),…,(xa,yn)(n≥3，且n为正整数) 3.解答案不唯一，如可由图(1)通过轴对称或中心对称或 (1)P1(0,-1),P2(2,3), 旋转得到图(2)，再由图(2)通过轴对称或旋转得到 x=02=1,y=-1,+3-1. 2 2 图(3). .A(1,1).故答案为(1,1). 能力提升 (2)点P与P2关于点B成中心对称，且 4.解(1)因为每个小方格的面积为1，A,B图形中的图形 B(-1.6,2.1), 分别占18个格，22个格，故S1=18,S2=22. (2)选择一些图形作为基本图形，通过基本图形的组合， :2+=-1.6,82” 2 3十y3=2.1, 找出解答，下面所列的7个图形可认为是基本图形. 解得x3=-5.2,y3=1.2. .P3(-5.2,1.2). 又点P4与P3关于点C成中心对称，且C(一1,0)， (1)(2)(3)(4) .-5.2+=-1,12=0, ☑口口口 2 2 的☑ 解得x4=3.2,y4=-1.2. (5)(6)(7) .P4(3.2,-1.2). 同理可得P(-1.2,3.2)→P（-2,1)→P,(0,一1) P3(2,3).故答案为：(-5.2,1.2)；(2,3) (3)P1(0,-1)→P2(2,3)→P3(-5.2,1.2)→ P4(3.2,-1.2)→P5(-1.2,3.2)→P。(-2,1) P2(0,-1)→P3(2,3)…, .P,的坐标和P1的坐标相同，P。的坐标和P2的坐 标相同，即坐标以6为周期循环， 2018÷6=336…2, ∴.P2o18的坐标与P2的坐标相同，为P2o18(2,3). 在x轴上与，点P218,点C构成等腰三角形的点的坐标 为(-3√2-1,0)，(2,0)，(3√2-1,0)，(5,0) 本章整合 23.3课题学习 图案设计 考点逐项突破 对点练习 1.A2.B3.B4.90°5.3√26.637.4√2 1.C 8.解将S旋转180°，S2顺时针旋转90°，则S1,S2,S3拼 2.解两个图案都是由相同的“基本图案”—一个“弯曲 1 的箭头”组成的.“可回收垃圾”标志是把一个“弯曲的 成一个扇形，该扇形占整个大圆的4， 箭头”向内放置后旋转两次得到的，其中旋转角是 故S阴彩=πX1P=牙， 120°；“不可回收垃圾”标志是把一个“弯曲的箭头”向 9.解(1)如图 外放置后旋转两次得到的，其中旋转角也是120° 3.解如图，给出三组答案， Q (2)如图 (2) (3) 51 (3)如图. (2)证明由(1)知，BC=CD, 又∠BCD=a=60°， △CBD是等边三角形， ∠CBD=60°， 又∠ACB=120°， ∠CBD+∠ACB=180°， 10.解(1)线段A1B1,A2B2如图所示： .BD∥AC. 第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 43-21110112A31451 24.1.1圆 知识梳理 - 1.圆圆心半径⊙0圆O 2.弦直径 (2)由勾股定理得AA1=√42+1=√17， 3.圆弧弧半圆优孤劣弧 同理A,A2=√7+1下=5√2. 4.等圆等弧 所以AA1+A1A2=√17+5√2. 对点练习 考题聚焦体验 1.C 2.B 3.AC,AD,AB BD 1.B2.D3.B4.C 4.3或7 5.解(1)如图，△O1A1B1即为所求 5.解如图，连接AC,BD. (2)A1的坐标(-3,4). 'AB,CD是⊙O的两条直径， ..OA=OB=OC=OD,AB=CD. ∴，四边形ADBC是矩形. ∴.AD=BC,AD∥BC. 6.解把小红旗放在所围成的圆圈的圆心处，才能使这个 00 游戏比较公平.理由如下：当小红旗位于圆圈的圆心处 时，五个小朋友到小红旗的距离相等（都等于该圆圈的 6.解(1)，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重 半径)，这样谁能抢到小红旗，就要看各自的速度了，当 合，A为顶点，，旋转中心是点A, 然就比较公平 根据旋转的性质可知： 课后作业 ∠CAE=∠BAD=180°-∠B-∠ACB=140°. .旋转角度是140°. 1.B2.C3.C4.3r (2)由旋转可知：△ABC≌△ADE, 5.证明OB,OC是⊙O的半径， ∴.AB=AD,AC=AE,∠BAC=∠EAD=140°， ..OB=OC. ∴.∠BAE=360°-2∠BAC=360°-140°X2=80°， 又∠B=∠C,∠BOE=∠COF, C为AD的中点， .△EOB≌△FOC(ASA). AC=AE=合AB=号×4=2Xcm. ..OE=OF..'.CE=BF 6.证明如图，连接OD. 7.(1)解∠BCD=a=30°，∠ACB=120°， 因为CD=OA=OD, ∴∠ACD=90°， 所以∠C=∠COD. ,△EDC是△ABC旋转得到的， 又OD=OE ∴.△EDC≌△ABC..BC=CD=6, 所以∠OED=∠ODE. 在Rt△ADC中，根据勾股定理， 所以∠AOE=∠C+∠OED=∠CH 得AD=√CD2+CA=√62+82=10. ∠ODE=∠C+∠COD+∠C=3∠C, 52 即∠C= 3∠AOE. OA∥PE, ∴.∠CPO=∠AOP 能力提升 ∠APO=∠AOP 7.解因为⊙O的半径为4，点A',B分别是点A,B关于 ..AP-AO ⊙O的反演，点，点B在⊙O上，OA=8, (2)解过点O作OH⊥AB于点H. 所以OA'·OA=16,解得OA'=2.同理可知，OB=4, 所以，点B的反演点B'与B重合.设OA交⊙O于点 由垂径定理，得AH=BH=号AB=12. M,连接B'M,如图 ,'.PH=AP+AH=AO+AH=13+12=25 因为∠BOA=60°，OM=OB', 在Rt△AH0中，OH=√OA-A平=√/132-12=5. 所以△OB'M为等边三角形， 在Rt△OPH中，OP=√O+P=√5+25=5√26. 又OA'=A'M=2, 所以A'B'⊥OM, 第2课时垂径定理的应用 所以在Rt△OB'A'中， 知识梳理 根据勾股定理，得OB2=OA2+A'B2, 1.两个三个 即16=4+A'B2,解得A'B'=2√3. 2.垂径定理勾股定理 对点练习 24.1.2垂直于弦的直径 1.B2.200 3.解如图，依题意得AB=6分米，CD=8分米，过，点O作 第1课时垂径定理及其推论 AB的垂线，垂足为E,交CD于点F,连接OA,OC,由垂 知识梳理 径定理，得AE-AB=3分米，CP=2CD=4分未， 1.轴对称对称轴 2.弦两条弧 3.弦两条弧 对点练习 设OE=x分米，则OF=(x一1)分米 1.B2.D3.D4.B5.C6.D7.C 在Rt△OAE中，OA2=AE+OE, 8.证明：OD平分弦AB,OE平分弦AC, 在Rt△OCF中，OC2=CF2十OF2. .OD⊥AB,OE⊥AC. .OA=OC, ..∠D+∠DMB=90°，∠E+∠ENC=90°. ,∴.32十x2=42+(x-1)2, .OD=OE, 解得x=4, ∠D=∠E. ..半径OA=/32+4=5(分米)， .∠DMB=∠ENC, '.直径MN=2OA=10(分米). 即∠AMN=∠ANM. 课后作业 .∴.AM=AN. 1.B2.A3.C4.85.2.6 课后作业 6.解（1)作图略 1.B2.C3.84.(6,0)5.25 (2)连接OC,交AB于点D.则OC⊥AB 6.解过点O作OE⊥AB于，点E,则OE⊥CD,连接OC,OA, 且OC平分线段AB. 由题意，得OE=6, AD=2AB=30m连接OA,设⊙的半径为rm ∴.CE=√OC-OE=√82-62=2√7， ∴.OC=OA=rm. AE=√OA-OE=√102-62=8. ..OD=OC-CD=(r-10)m. .AC=AE-CE=8-2√T. 在Rt△AOD中， 能力提升 ,OD2+AD2=0A2, 7.(1)证明：PG平分∠EPF, .(r-10)2十302=r2,解得r=50. .∠CPO=∠APO ∴.AB所在圆的半径为50m. 53 7.解如图，作OF⊥CD,垂足为F,交AB于点P,交孤 又，PQ⊥AB,且AB是直径， AB于点E,连接OB,OD,设⊙O的半径为r,依题意可 ∴PA=AQ, 知：PF=120-110=10(cm),EF=20-10=10(cm), ..PA=AQ=PC, DF-CD=30 cm. .PQ=AC,即PQ=AC. 6.证明如图，连接OC,OD. 在Rt△OFD中，OD=rcm,OF=(r-10)cm,DF=30cm, .r2=(r-10)2+302,.r=50cm. 在Rt△OPB中，OB=50cm,OP=50-20=30(cm), .BP=√/502-302=40(cm), .AB=2BP=80cm,即盆口圆的直径AB=80cm. 0 、BM M,N分别是AO,BO的中点， 0M=20A,0N=20B, 110 120 .'OA=OB, ∴.OM=ON. CM⊥AB,DN⊥AB,OC=OD, G 能力提升 ,.Rt△COM≌Rt△DON. 8.解(1)连接OA.设圆孤所在圆的半径为rm由题意，得 .∠COM=∠DON, 即∠COA=∠DOB, AD=2AB=30m,0D=0P-PD=(-18)m ..AC=DB. 在Rt△AD0中，由勾股定理，得2=302十(r-18)2, 7.证明如图，连接AG,则在□ABCD中，AD∥BC 解得r=34. .圆孤所在圆的半径为34m. (2)连接OA'.由题意，得 OE=OP-PE=34-4-30(m), 在Rt△A'EO中，由勾股定理，得 B A'E=√A0-OE=√342-30=16(m), ∴.∠GAF=∠AGB,∠B=∠EAF. .A'B=2A'E=32m. 又在⊙A中，AB=AG, 32>30. ∴.∠AGB=∠B. 不需要采取紧急措施， ∴∠GAF=∠EAF. 24.1.3弧、弦、圆心角 ..EF-FG. 知识梳理 能力提升 1.圆心角2.相等相等3.相等相等相等相等 8.(1)证明，四边形ABCD是正方形， 对点练习 ..AB=CD,..AB=CD. 1.A2.B3.B4.A5.C6.60 :M为AD的中点，AM=DM, 7.证明，AB=CD, ..AB+AM-CD+DM, ∴.AB=CD, 即BM=CM,∴.BM=CM. ∴AB-BD=CD-BD, (2)解：⊙0的半径为2，.⊙0的周长为4π， AD=BC,即AD=BC. AM-DM-T AD-AB, 课后作业 1.C2.A3.30°4.AC=AE ∴BM=AB+AM-AB, 5.证明：为AC的中点， ..PA=PC. B的长为受×X4= 54