23.2.3 关于原点对称的点的坐标-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

2.对称中心平分全等图形 第2课时利用图形的旋转设计图案 对点练习 知识梳理 1.D2.C3.△COB△CDA4.B 1.旋转中心旋转角 5.证明，△ABO与△CDO关于点O成中心对称， 2.(1)特殊点(2)中心角度方向(3)这些特殊点 ..OB=OD,OA=OC. (4)对应点 .AF-CE, 对点练习 .'.OF=OE. 1.C2.B3.472 在△DOF和△BOE中， 4.解如图，△DEO即为所求， :OB=OD,∠DOF=∠BOE,OF=OE, ,.△DOF2△BOE ∴.FD=BE 6.解如图，分别连接BB,CC,其交，点即为对称中心O 连接AO并延长到点A',使OA'=OA,得点A的对称 点A'.同理，作出点D的对称点D',依次连接A'B', CD',A'D',即得四边形A'B'CD', 5.B6.A 课后作业 1.A2.C3.A4.C5.B6.5或1 7.解如图 课后作业 1.C2.A3.△BOC与△EOF,△AOC与△DOF 4.255.2.5 6.解点P在边AC上，只需延长边CA,在直线AC上截 取A'P=PA,CP=PC;连接BP,并延长BP到B',使 能力提升 BP=PB;连接A'B',B'C.△A'B'C'就是所求作的三 8.解如图，将红色三角形纸片以顶点A为旋转中心，逆 角形.如图 时针旋转90°，使AF与AE重合，则△ABD的面积即 C 为红、蓝两张三角形纸片的面积之和， D B 能力提升 7.解(1)拼成的四边形HFGM是矩形.理由如下： 且AD=AC=30cm, 将含有∠B的部分向里折， ∠EAD=∠CAF, ∴.BF=FN,DB=DN 即△BAD为直角三角形. DF⊥BN. 故△BAD的面积为2×50×30=750(cm), ∴∠DFB=∠DFN. 又.AN⊥BC, 所以红、蓝两张三角形纸片的面积之和为750cm. .'BD=DA. 23.2中心对称 ,三角形①按图中箭头所指的方向旋转180°， H,D,F三，点在一条直线上 23.2.1中心对称 ∴.∠H=∠HFG=90° 知识梳理 同理，∠M=∠MGF=90°， 1.对称中心对称对称中心对称点 .四边形HFGM是矩形. (2)证明根据图形的转化， 8.解答案不唯一.例如下面的图①，图②，图③ 得出S△ABc=S延形HrGM Sgs-Hm,RG-AN,RGAN,受号AN,E Saw=ZAN·BC, ① 即三角形的面积公式为S= 火底X高. 1 23.2.2中心对称图形 知识梳理 能力提升 1.中心对称图形对称中心2.旋转 9.解(1)都是轴对称图形都是中心对称图形（答案不唯一） 对点练习 (2)如图.（答案不唯一) 1.B2.C3.B 4.解如图. 10.解能，至少移动两根小棒，如图是移动后所得的图形. 5.解能拼出3个中心对称图形，如图 23.2.3关于原点对称的点的坐标 知识梳理 相反 一x -y 对点练习 1.C2.C3.A 4.解(1)如图所示. 课后作业 (2)如图所示. 1.A2.D3.A4.B5.②③ (3)如图所示，点P的坐标为(2,0) 6.解(1)如图. (2)有4条对称轴，至少旋转90°能与自身重合 -01 23415 7.证明如图，连接AC,BD 5.C6.12 7.解点P(2x,y2十4)与点Q(x2十1，-4y)关于原点 对称，.2x十x2+1=0,y2+4-4y=0, 因为四边形ABCD是关于点O的中心对称图形，所以 解得x=-1,y=2.于是x十y=-1+2=1. 点O在AC,BD上，且AO=OC,OB=OD.所以四边形课后作业 ABCD是平行四边形. 1.A2.-83.A(-1,2),B(-3,-2)4.(3,-1) 50 能力提升 课后作业 5.解设点A,P,P,…,P。的坐标依次为(x,y), 1.D2.B (x3,y3),(x4,y4),…,(xa,yn)(n≥3，且n为正整数) 3.解答案不唯一，如可由图(1)通过轴对称或中心对称或 (1)P1(0,-1),P2(2,3), 旋转得到图(2)，再由图(2)通过轴对称或旋转得到 x=02=1,y=-1,+3-1. 2 2 图(3). .A(1,1).故答案为(1,1). 能力提升 (2)点P与P2关于点B成中心对称，且 4.解(1)因为每个小方格的面积为1，A,B图形中的图形 B(-1.6,2.1), 分别占18个格，22个格，故S1=18,S2=22. (2)选择一些图形作为基本图形，通过基本图形的组合， :2+=-1.6,82” 2 3十y3=2.1, 找出解答，下面所列的7个图形可认为是基本图形. 解得x3=-5.2,y3=1.2. .P3(-5.2,1.2). 又点P4与P3关于点C成中心对称，且C(一1,0)， (1)(2)(3)(4) .-5.2+=-1,12=0, ☑口口口 2 2 的☑ 解得x4=3.2,y4=-1.2. (5)(6)(7) .P4(3.2,-1.2). 同理可得P(-1.2,3.2)→P（-2,1)→P,(0,一1) P3(2,3).故答案为：(-5.2,1.2)；(2,3) (3)P1(0,-1)→P2(2,3)→P3(-5.2,1.2)→ P4(3.2,-1.2)→P5(-1.2,3.2)→P。(-2,1) P2(0,-1)→P3(2,3)…, .P,的坐标和P1的坐标相同，P。的坐标和P2的坐 标相同，即坐标以6为周期循环， 2018÷6=336…2, ∴.P2o18的坐标与P2的坐标相同，为P2o18(2,3). 在x轴上与，点P218,点C构成等腰三角形的点的坐标 为(-3√2-1,0)，(2,0)，(3√2-1,0)，(5,0) 本章整合 23.3课题学习 图案设计 考点逐项突破 对点练习 1.A2.B3.B4.90°5.3√26.637.4√2 1.C 8.解将S旋转180°，S2顺时针旋转90°，则S1,S2,S3拼 2.解两个图案都是由相同的“基本图案”—一个“弯曲 1 的箭头”组成的.“可回收垃圾”标志是把一个“弯曲的 成一个扇形，该扇形占整个大圆的4， 箭头”向内放置后旋转两次得到的，其中旋转角是 故S阴彩=πX1P=牙， 120°；“不可回收垃圾”标志是把一个“弯曲的箭头”向 9.解(1)如图 外放置后旋转两次得到的，其中旋转角也是120° 3.解如图，给出三组答案， Q (2)如图 (2) (3) 51 (3)如图. (2)证明由(1)知，BC=CD, 又∠BCD=a=60°， △CBD是等边三角形， ∠CBD=60°， 又∠ACB=120°， ∠CBD+∠ACB=180°， 10.解(1)线段A1B1,A2B2如图所示： .BD∥AC. 第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 43-21110112A31451 24.1.1圆 知识梳理 - 1.圆圆心半径⊙0圆O 2.弦直径 (2)由勾股定理得AA1=√42+1=√17， 3.圆弧弧半圆优孤劣弧 同理A,A2=√7+1下=5√2. 4.等圆等弧 所以AA1+A1A2=√17+5√2. 对点练习 考题聚焦体验 1.C 2.B 3.AC,AD,AB BD 1.B2.D3.B4.C 4.3或7 5.解(1)如图，△O1A1B1即为所求 5.解如图，连接AC,BD. (2)A1的坐标(-3,4). 'AB,CD是⊙O的两条直径， ..OA=OB=OC=OD,AB=CD. ∴，四边形ADBC是矩形. ∴.AD=BC,AD∥BC. 6.解把小红旗放在所围成的圆圈的圆心处，才能使这个 00 游戏比较公平.理由如下：当小红旗位于圆圈的圆心处 时，五个小朋友到小红旗的距离相等（都等于该圆圈的 6.解(1)，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重 半径)，这样谁能抢到小红旗，就要看各自的速度了，当 合，A为顶点，，旋转中心是点A, 然就比较公平 根据旋转的性质可知： 课后作业 ∠CAE=∠BAD=180°-∠B-∠ACB=140°. .旋转角度是140°. 1.B2.C3.C4.3r (2)由旋转可知：△ABC≌△ADE, 5.证明OB,OC是⊙O的半径， ∴.AB=AD,AC=AE,∠BAC=∠EAD=140°， ..OB=OC. ∴.∠BAE=360°-2∠BAC=360°-140°X2=80°， 又∠B=∠C,∠BOE=∠COF, C为AD的中点， .△EOB≌△FOC(ASA). AC=AE=合AB=号×4=2Xcm. ..OE=OF..'.CE=BF 6.证明如图，连接OD. 7.(1)解∠BCD=a=30°，∠ACB=120°， 因为CD=OA=OD, ∴∠ACD=90°， 所以∠C=∠COD. ,△EDC是△ABC旋转得到的， 又OD=OE ∴.△EDC≌△ABC..BC=CD=6, 所以∠OED=∠ODE. 在Rt△ADC中，根据勾股定理， 所以∠AOE=∠C+∠OED=∠CH 得AD=√CD2+CA=√62+82=10. ∠ODE=∠C+∠COD+∠C=3∠C, 5223.2中心对称 23.2.3关于原点对称的点的坐标 (3)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最 知识梳理ZHISHI SHUU 小，请直接写出点P的坐标， 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 无2 即点P(x,y)关于原点的对称点为P(,). 对点练习DUIDIAN LIANXI 知识点一 求关于原点对称的点的坐标 1.在平面直角坐标系中，点P(一3，一5)关于原 点对称的点的坐标是() A.(3,-5) B.(-3,5) C.(3,5) D.(-3,-5) 2.若点M(-a,a-3)关于原点对称的点是第二 象限内的点，则a满足( ) 知识点二利用关于原点对称的点的坐标求字 A.a>0 母的值 B.0<a≤3 5.在平面直角坐标系中，点A(3,一2)向左平移 C.a<0 5个单位长度后关于原点对称的点的坐标是 D.a<0或a>3 () 3.(改编题)如图，在平面直 A.(8,-2) B.(-2,-2) 角坐标系中，把△ABC绕 C.(2,2) D.(-8,2) 原点0旋转180°得到 6.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(a,3), △CDA,点A,B,C的坐标 点B的坐标为(4，b),若点A与点B关于原 分别为(-5,2)，(-2，-2)，(5，一2)，则点D 点对称，则ab= 的坐标为( 7.已知点P(2x,y2+4)与点Q(x2+1,-4y)关 A.(2,2) B.(2,-2) 于坐标原点对称，试求x+y的值， C.(2,5) D.（-2,5) 4.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1, 1),B(4,2),C(3,4) (1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度 后得到的图形△A1BC1; (2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的 图形△A2B2C2; 57 数学九年级上册第二十三章旋转 课后作业KEHOU ZUOYE 能力提升ENGUTSHEN6→ 5.(原创题)阅读理解： 1.如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系 我们知道，任意两点关于它们所连线段的中 中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC 点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两 经过平移后得到△A1BC.若AC上一点 点P(x1,y1),Q(x2,y2)的对称中心的坐标 P(1.2,1.4)平移后的对应点为P1,点P1绕 原点顺时针旋转180°，对应点为P2,则点P2 为图，”22》 的坐标为( ) 观察应用： (1)如图，在平面直角坐标系中，若点P(0, 一1)，P2(2,3)的对称中心是点A,则点A 的坐标为 A.(2.8,3.6) B.(-2.8,-3.6) C.(3.8,2.6) D.(-3.8,-2.6) 2.在平面直角坐标系中，已知点P(m,n),且 (2)另取两点B(-1.6,2.1),C(-1,0).有一 m十n=8,它关于原点对称的点为Q(a,b),则 电子青蛙从点P1处开始依次关于点A,B, a十b的值为 C做循环对称跳动，即第一次跳到点P关 3.如图，平行四边形的对称中心在 于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关 D3,2) 原点，AD∥BC,D(3,2), 于点B的对称点P3处，第三次再跳到点 C(1,-2),则其他点的坐标分别 C(1,-2) P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳 为 到点P4关于点A的对称点P处…则 4.如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与 点P3,P的坐标分别为 △A1B1C1关于点E成中心对称，则对称中心 点E的坐标是 拓展延伸： (3)求出点P2o18的坐标，并直接写出在x轴 上与点P2o18,点C构成等腰三角形的点 的坐标. 58