22.1.3 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

数学九年级上册第二十二章二次函数 22.1.3二次函数y=a( 第1课时 二次函数y 知识梳理ZHISHI SHUL 1.抛物线y=ax2十k的顶点坐标是 ,对称 轴是 ,当a>0时，抛物线开口向，顶 点是它的最 点，在对称轴左侧y随x的增 大而 ,在对称轴右侧y随x的增大而 ;当a<0时，抛物线开口向 ,顶点 是它的最点，在对称轴左侧y随x的增大 而，在对称轴右侧y随x的增大而 2.一般地，抛物线y=ax2+k(a≠0)与y=ax2 的形状 ,把抛物线y=ax2向 或 平移，可以得到抛物线y=ax2十k. 对点练习DUIDIAN LIANXI 知识点一二次函数y=ax2十k的图象和性质 1.抛物线y=x2十1的图象大致是( 不半净 2.设点（一1，y1),(2,y2),(3,y3)是抛物线y= 一x2十a上的三点，则y1,y2,y3的值从小到 大排列为 3.已知二次函数y=ax2十k的图象经过点(1， 1),(2,2). (1)求该二次函数的解析式，并写出这个二次 函数的图象的开口方向、对称轴及顶点 坐标； 28 一h)2十k的图象和性质 ax2十k的图象和性质 (2)判断点（一3,7）是否在这个二次函数的图 象上，并说明理由. 知识点二二次函数y=ax2十k的图象与y= ax2的图象的关系 4.函数y=22+1与y=2的图象的不同 之处是() A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状 5.如果将抛物线y=一2x2向上平移1个单位长 度，那么所得新抛物线的解析式是() A.y=-2(x+1)2 B.y=-2(x-1)2 C.y=-2x2-1 D.y=-2x2+1 6.若抛物线y=ax2十k与y=一5x2的形状、开 口方向都相同，且顶点坐标是(0,3)，则其解 析式是什么？它是由抛物线y=一5x2怎样 平移得到的？ 课后作业KEHOU ZUOYE 1.关于二次函数y=2x2十3，下列说法中正确 的是( A.它的开口方向是向下 B.当x<一1时，y随x的增大而减小 C.它的顶点坐标是(2,3) D.当x=0时，y有最大值是3 2.将抛物线y=x2一1向下平移8个单位长度 后与x轴的两个交点之间的距离为() A.4 B.6 C.8 D.10 3.已知抛物线y= 3x2+2,当1≤x≤5时，y 的最大值是( A.2 c 4.（天津滨海新区月考)若二次函数y=ax2十c, 当x取x1,x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当 x取x1十x2时，函数值为( ) A.a+c B.a-c C.-c D.c 5.若抛物线y=a.x2+k(a≠0)与y=一2x2+4关于 x轴对称，则a= ,k= 6.如图，在平面直角坐标系中， 抛物线y=ax2十3与y轴交 于点A,过点A与x轴平行 的直线交抛物线y=3x2于点B,C,则BC的 长为 7.已知点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y=x2一 1上，下列说法：①若y1=y2,则x1=x2;②若 x1=一x2,则y1=一y2;③若0<x1<x2,则 y1>y2;④若x1<x2<0,则y>y2,其中正确 的是 .(填序号) 8.已知直线y=2x与抛物线y=ax2+3相交于 点(2，b). (1)求a,b的值； 2 22.1二次函数的图象和性质 (2)若直线y=2x上纵坐标为2的点为A,抛 物线y=ax2+3的顶点为B,求S△AoB. 9.已知抛物线y=2十1具有如下性质：该抛 物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x 轴的距离相等，如图，点M的坐标为（√3,3）， P是抛物线y=2+1上一动点，则： (1)当△POF的面积为4时，求P点的坐标； (2)求△PMF周长的最小值.7.解(1)由题意，可得当售价为22万元/辆时， 故日销售利润心（元）与销售单价x(元/件)之间的函数 平均每网的错得量：2502×1+8=14（辆）。 解析式为：=(x-10)y=(x-10)(-10x+400)= -10x2+500x-4000. 平均每周的销售利润：(22一15)×14=98（万元）. 1x>0, (2)设每辆汽车降价x万元， (2)由 -10x+400≥0， 根据题意得(25-x-15)(8+2x)=90, 解得0<x≤40， 解得x1=1,x2=5, ,.自变量x可以取值的范围是0<x≤40 当x=1时，销售数量为8十2×1=10（辆）； 当x=5时，销售数量为8十2×5=18（辆）. 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 为了尽快减少库存，则x=5, 知识梳理 此时每辆汽车的售价为25一5=20（万元）. 1.y轴原点向上低高小 答：每辆汽车的售价为20万元. 2.(1)减小增大最小0 第二十二章二次函数 (2)增大减小最大0 对点练习 22.1二次函数的图象和性质 1.C2.A 3.列表如下： 22.1.1二次函数 x 3 知识梳理 y=- 4 3 -3 33 0 3 1.y=ax2十bx十c自变景二次项系数 一次项系数 常数项 0 2 2.(1)整式 (2)2(3)0 y=3x2 6 对点练习 描点、连线，画图如下： 1.A2.B3.C4.a≠2 5解(1y=(x-1+号是二次函数，二次项系数是1， =3x2 一次项系数是一2，常数项是 3 (2)s=3一2t2是二次函数，二次项系数是一2，一次项系 数是0，常数项是3 -4-3-2 234 (3)y=2x(x2十3x-1)不是二次函数. 6C-9是 4.C5.m<26.(2,-20) 课后作业 7.解(1)：抛物线y=ax2经过点A(-2,-8), 1.B2.C3.C4.5-31 .a·(-2)2=-8. 5.(1)0(2)≠0≠1 .a=-2. 6.S=t2-6t+720<t<6 ,此抛物线对应的函数解析式为y=一2x2 7.解根据题意可得m2十m一4=2，且m十2≠0， (2)顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴，开口向下. 解得m=一3或m=2. (3)把x=-1代入y=-2x2, 故满足条件的m的值为一3或2. 得y=-2×(-1)2=-2. 能力提升 -2≠-4，.点B(-1,-4)不在此抛物线上. 8.解(1)由图表中数据得出y与x是一次函数关系，设 (4)把y=-6代入y=-2x2,得-6=一2x2, 解析式为：y=x十b, 115k+b=250, 1k=一10， 解得x1=√3，x2=-√3. 则 解得 18k+b=220, b=400, ∴抛物线上纵坐标为一6的点的坐标分别为（√3，一6）， .y与x之间的函数解析式为：y=一10x+400. (-√3，-6)」 课后作业 6.解因为抛物线y=ax2十k与y=一5x2的形状相同、开 1.C2.C3.C4.A5.D 口方向也相同，所以a=一5. 6.-27.m>2 又因为抛物线的顶，点坐标为(0,3)，所以=3. 8.解法一由题意知，y1=4a,y2=9a,y3=a. 所以其解析式为y=一5x2+3.它是由抛物线y=一5x2 又a>0,故y2>y1>y3. 向上平移3个单位长度得到的 解法二因为抛物线y=ax2(a>0)的对称轴是y轴，点 课后作业 C(-1,ya)在函数y=ax2(a>0)的图象上，所以点 1.B2.B3.C4.D5.2-46.67.④ (1,y)也在该抛物线上. 8.解(1)因为点(2，b)在直线y=2x上，所以b=4. 因为a>0,所以当x>0时，y随x的增大而增大. 又因为(2，b)即(2,4)在抛物线y=ax2十3上， 又因为3>2>1，所以y2>y>y: 所以4如十3=4.所以a=子 能力提升 9.解：四边形ABCD是平行四边形， (2)在y=2x中，令y=2,则x=1,所以A(1,2). ∴.DC∥AB,DC=AB. 又因为抛物线y=是+3的项点B为0,3。 又点A,B的坐标分别为（一5,0），(3,0)， ∴.DC=AB=|-5|+3=8. 所以5am=0B14=号×3X1=2 ,y=ax2图象的对称轴是y轴， 能力提升 CE-DE-CD-4. 9解（①）设P点的坐标为(e,子+1)， 又，点E的坐标为(0,6)， 点F的坐标为(0,2)， ∴.，点C的坐标为(4,6). .OF=2, 把x=4,y=6代入y=ax2, “当△P0F的西积为4时，号×2Xz=4 得6=42a, 解得a=是 解得x=士4， y=}×(士40+1=5， 22.1.3二次函数y=a(x- ∴.点P的坐标为（一4,5）或(4,5). h)2十k的图象和性质 (2)如图，过，点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y= 第1课时二次函数y=a.x2+k 子+1于点P,比时△PMF的周长取最小值， 的图象和性质 F(0,2),M(W3,3), 知识梳理 ,∴.ME=3,FM=√/(W3-0)2+(3一2)2=2， 1.(0,k)y轴上低减小增大下高增大 ,.△PMF周长的最小值为ME+FM=3+2=5. 减小 2.相同上下 对点练习 1.C2.y<y2<y1 a+k=-1, (a=1, 3.解(1)根据题意，得{ 解得 第2课时二次函数y=a(x一h)的图象和性质 4a+k=2. k=-2. ∴二次函数的解析式为y=x2一2. 知识梳理 ∴这个二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点1.形状位置向左或向右h 坐标为(0，一2). 2.向上直线x=h(h,0)增大减小向下 (2)点（一3,7）在这个二次函数的图象上 直线x=h(h,0)减小增大 理由：当x=一3时，y=x2-2=(-3)2-2=7, 对点练习 点（一3,7）在这个二次函数的图象上. 1.D 4.C5.D 2.(-1,0)>-1-1大大0 42