第21章 一元二次方程 本章整合-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

2.a(1-x)a(1-x)2 对点练习 对点练习 1.A 1.A 2.解(1)设剪成两段后其中一段为xcm, 2.解设该种药品平均每次降价的百分率为x, 则另一段为(20一x)cm, 由题意得：400(1一x)2=324, 由题意，得()广+(0)°-17。 解得：x1=0.1,x2=1.9(不合题意，舍去)， 整理，得x2-20x十64=0，解得x1=16,x2=4, ∴.x=0.1=10%, 当x1=16时，20一x1=4;当x2=4时，20-x2=16. 答：该种药品平均每次降价的百分率为10%. 3.A 答：要使这两个正方形面积的和为17cm,则这条铁丝 4.解(1)26 剪成两段后的长度分别是4cm和16cm. (2)不能， (2)设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为 1200元. 理由：诺（任+(20）=12， 根据题意，得(40一x)(20十2x)=1200, 整理，得x2-20x十104=0， 整理，得x2一30x十200=0， 由b2-4ac=(-20)2-4X1×104=-16<0,知此方程 解得x1=10,x2=20. 无解，即不能剪成两段，使其围成的正方形的面积和为 要求每件盈利不少于25元， 12cm2 .x2=20应舍去， 3.B ∴.x=10. 4.解(1)设花边的宽为xm,则矩形地毯ABCD的长为 答：每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为 (6+2x)m,宽为(3+2x)m, 1200元. .矩形地毯ABCD的面积为(6+2x)(3十2x)m2. 课后作业 故答案为：(6十2x);(3+2x);(6+2x)(3十2x). 1.C2.C3.B4.200 (2)依题意得(6+2x)(3十2x)=40, 5.解(1)80-x200+10x800-200一(200+10x) 整理得2x2+9x-11=0, (2)根据题意，得80×200+(80一x)(200十10x)十 40[800-200-(200+10x)]-50×800=9000. 解得x1=1,x2三，（不合题意，舍去） 整理，得x2-20x+100=0, 答：花边的宽为1m, 解这个方程得x1=x2=10. 课后作业 当x=10时，80-x=70>50. 1.D 答：第二个月的单价应为70元 2.6 cm,8 cm,10 cm 能力提升 3.解设这种长方体箱子底部宽为xm, 6.解(1)每件商品降价x元后，可售出商品(500十20x)件。 则长为(x十2)m. 故答案为：(500十20x). 依题意，有x(x十2)×1=15. (2)根据题意得(50-x)(500+20x)=28000, 整理，得x2+2x一15=0， 解得x1=10,x2=15, 解得x1=一5（舍去），x2=3, 尽快清仓，x1=10舍去， 所以x十2=5. 答：x的值为15. 由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为(5十 (3)(50-x)(500+20x)=30000, 2)×(3十2)=35(m2).因此张大叔购回这张矩形铁皮 整理得：x2一25x十250=0， 共花了35×20=700（元）. b2-4ac=625一1000<0，方程无解， 4.解法一由题意转化为图①，设道路宽为x,根据题意， 所以总利润不能达到30000元. 得(20-x)(32-x)=540,整理得x2-52x+100=0,解 得x=50(不合题意，舍去)，x2=2.故道路宽为2m 第3课时几何图形问题 解法二由题意转化为图②，设道路宽为xm,根据题 知识梳理 意，得20×32-(20+32)x十x2=540,整理得x2 转化 52x十100=0，解得x1=2,x2=50(不合题意，舍去).故 39 道路宽为2m. 12.解设道路宽为xm, 根据题意，得：20×32-20x×2-32x十2x2=570, 整理，得：x2一36x十35=0， 图① 图② 解得x1=1,x2=35, 能力提升 经检验x1=1,x2=35是原方程的解，但x=35>20, 5.解设xs后△PBQ的面积等于8cm2, 不符合题意，舍去. 则号（6-)·2z=8,解得x=2,x=4. 答：道路的宽为1m. 考题聚焦体验 经检验，这两个解都符合题意. 1.B2.B3.D 所以P,Q分别从A,B同时出发，2s或4s后△PBQ 4.解(1)原方程可变形为： 的面积等于8cm2. x(2x-5)-2(2x-5)=0, 本章整合 (2x-5)(x-2)=0, 2x-5=0或x-2=0, 考点逐项突破 .5 1.B2.D3.B4.-1 解得x=x=2. 5.解(1).a=3,b=1,c=-1, (2)原方程化为：x2十2x=2, .b2-4ac=12-4X3X(-1)=13>0, x2+2x+1=3 x=-13=-1±15 (x+1)2=3,x+1=±√3 2×3 6 x1=-1十√5，x2=-1-√3. 即x,=一1+1s 6 ,x,=-1-13 6 5.解（1)把x=3代入3x2-2x一m=0,得 (2)移项，得x2-6x=7, 3×32-2×3-m=0. 配方，得x2-6x十32=7+9， 解得m=21. 即(x-3)2=16, (2)当m=1时，方程为3x2-2x一1=0. 得x-3=4或x-3=-4, 因式分解，得(x一1)(3x十1)=0. 故x1=7,x2=一1. 于是得x-1=0或3x十1=0. (3)移项，得(3x一2)2-4(3一x)2=0. 所以=1，x=一3 1 因式分解，得[(3x-2)+2(3-x)][(3x-2)- (3)根据题意，得△=（一2）2一4×3×（一m)=4十12m0. 2(3-x)]=0, 即(x十4)(5x-8)=0. 解得m心一日 则5.x-8=0或x十4=0， 即=号x=一4 故m的取值范国是m>子 6.解(1)设养鸡场的宽为xm, (4)将原方程整理，得x2十x=0. 根据题意得x(33-2x+2)=150, 因式分解，得x(x十1)=0. 解得x1=10,x2=7.5, 解得x1=0,x2=-1. 当x1=10时，33-2x十2=15<18， 6.B7.B8.C 当x2=7.5时，33-2x+2=20>18, 9.(1)证明由题意可知，△=(2m-2)2-4(m2-2m)= 故x2=7.5舍去， 4>0,故方程有两个不相等的实数根. 则养鸡场的宽为10m,长为15m. (2)解：x1十x2=2m-2,x1x2=m2-2m, (2)不能.理由：设养鸡场的宽为xm, x+x=(x1十x2)2-2x1x2=10. 根据题意得x(33一2x+2)=200, ∴.(2m-2)2-2(m2-2m)=10. 整理得2x2-35x十200=0， .m2-2m-3=0,.m=-1或m=3. △=(-35)2-4×2×200=1225-1600=-375<0， 10.C ,方程没有实数根， 11.100(1+x)2=160 .围成养鸡场的面积不能达到200m. 40 7.解(1)由题意，可得当售价为22万元/辆时， 故日销售利润心（元）与销售单价x(元/件)之间的函数 平均每网的错得量：2502×1+8=14（辆）。 解析式为：=(x-10)y=(x-10)(-10x+400)= -10x2+500x-4000. 平均每周的销售利润：(22一15)×14=98（万元）. 1x>0, (2)设每辆汽车降价x万元， (2)由 -10x+400≥0， 根据题意得(25-x-15)(8+2x)=90, 解得0<x≤40， 解得x1=1,x2=5, ,.自变量x可以取值的范围是0<x≤40 当x=1时，销售数量为8十2×1=10（辆）； 当x=5时，销售数量为8十2×5=18（辆）. 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 为了尽快减少库存，则x=5, 知识梳理 此时每辆汽车的售价为25一5=20（万元）. 1.y轴原点向上低高小 答：每辆汽车的售价为20万元. 2.(1)减小增大最小0 第二十二章二次函数 (2)增大减小最大0 对点练习 22.1二次函数的图象和性质 1.C2.A 3.列表如下： 22.1.1二次函数 x 3 知识梳理 y=- 4 3 -3 33 0 3 1.y=ax2十bx十c自变景二次项系数 一次项系数 常数项 0 2 2.(1)整式 (2)2(3)0 y=3x2 6 对点练习 描点、连线，画图如下： 1.A2.B3.C4.a≠2 5解(1y=(x-1+号是二次函数，二次项系数是1， =3x2 一次项系数是一2，常数项是 3 (2)s=3一2t2是二次函数，二次项系数是一2，一次项系 数是0，常数项是3 -4-3-2 234 (3)y=2x(x2十3x-1)不是二次函数. 6C-9是 4.C5.m<26.(2,-20) 课后作业 7.解(1)：抛物线y=ax2经过点A(-2,-8), 1.B2.C3.C4.5-31 .a·(-2)2=-8. 5.(1)0(2)≠0≠1 .a=-2. 6.S=t2-6t+720<t<6 ,此抛物线对应的函数解析式为y=一2x2 7.解根据题意可得m2十m一4=2，且m十2≠0， (2)顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴，开口向下. 解得m=一3或m=2. (3)把x=-1代入y=-2x2, 故满足条件的m的值为一3或2. 得y=-2×(-1)2=-2. 能力提升 -2≠-4，.点B(-1,-4)不在此抛物线上. 8.解(1)由图表中数据得出y与x是一次函数关系，设 (4)把y=-6代入y=-2x2,得-6=一2x2, 解析式为：y=x十b, 115k+b=250, 1k=一10， 解得x1=√3，x2=-√3. 则 解得 18k+b=220, b=400, ∴抛物线上纵坐标为一6的点的坐标分别为（√3，一6）， .y与x之间的函数解析式为：y=一10x+400. (-√3，-6)」 课后作业 6.解因为抛物线y=ax2十k与y=一5x2的形状相同、开 1.C2.C3.C4.A5.D 口方向也相同，所以a=一5. 6.-27.m>2 又因为抛物线的顶，点坐标为(0,3)，所以=3. 8.解法一由题意知，y1=4a,y2=9a,y3=a. 所以其解析式为y=一5x2+3.它是由抛物线y=一5x2 又a>0,故y2>y1>y3. 向上平移3个单位长度得到的 解法二因为抛物线y=ax2(a>0)的对称轴是y轴，点 课后作业 C(-1,ya)在函数y=ax2(a>0)的图象上，所以点 1.B2.B3.C4.D5.2-46.67.④ (1,y)也在该抛物线上. 8.解(1)因为点(2，b)在直线y=2x上，所以b=4. 因为a>0,所以当x>0时，y随x的增大而增大. 又因为(2，b)即(2,4)在抛物线y=ax2十3上， 又因为3>2>1，所以y2>y>y: 所以4如十3=4.所以a=子 能力提升 9.解：四边形ABCD是平行四边形， (2)在y=2x中，令y=2,则x=1,所以A(1,2). ∴.DC∥AB,DC=AB. 又因为抛物线y=是+3的项点B为0,3。 又点A,B的坐标分别为（一5,0），(3,0)， ∴.DC=AB=|-5|+3=8. 所以5am=0B14=号×3X1=2 ,y=ax2图象的对称轴是y轴， 能力提升 CE-DE-CD-4. 9解（①）设P点的坐标为(e,子+1)， 又，点E的坐标为(0,6)， 点F的坐标为(0,2)， ∴.，点C的坐标为(4,6). .OF=2, 把x=4,y=6代入y=ax2, “当△P0F的西积为4时，号×2Xz=4 得6=42a, 解得a=是 解得x=士4， y=}×(士40+1=5， 22.1.3二次函数y=a(x- ∴.点P的坐标为（一4,5）或(4,5). h)2十k的图象和性质 (2)如图，过，点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y= 第1课时二次函数y=a.x2+k 子+1于点P,比时△PMF的周长取最小值， 的图象和性质 F(0,2),M(W3,3), 知识梳理 ,∴.ME=3,FM=√/(W3-0)2+(3一2)2=2， 1.(0,k)y轴上低减小增大下高增大 ,.△PMF周长的最小值为ME+FM=3+2=5. 减小 2.相同上下 对点练习 1.C2.y<y2<y1 a+k=-1, (a=1, 3.解(1)根据题意，得{ 解得 第2课时二次函数y=a(x一h)的图象和性质 4a+k=2. k=-2. ∴二次函数的解析式为y=x2一2. 知识梳理 ∴这个二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点1.形状位置向左或向右h 坐标为(0，一2). 2.向上直线x=h(h,0)增大减小向下 (2)点（一3,7）在这个二次函数的图象上 直线x=h(h,0)减小增大 理由：当x=一3时，y=x2-2=(-3)2-2=7, 对点练习 点（一3,7）在这个二次函数的图象上. 1.D 4.C5.D 2.(-1,0)>-1-1大大0 42本章整合 本章整合 知识构建导图wom 等号两边都是整式 概念 ax2+bx+c=0(a≠0) 只含有一个未知数 未知数的最高次数是2 根的判别式 当4>0时，方程有两个不相等的实数根 4=b2-4ac 当△=0时，方程有两个相等的实数根 当A<0时，方程没有实数根 解（根） 4杨=名 根与系数的关系 为=号 元二次方程 因式分解法 若a·b=0,则a=0或b=0 形如x2-p或0mx+m?=pp≥0)的形式直接开平方 解法 配方法 般形式的方程先配方为(x+n)2=pp≥0)的形式再求解 公式法 -b±Nb-4acb2-4ac≥0) 2a 审 设 应用 列一元二次方程解应用题的步骤 列 解 答 考点逐项突破CNuO 考点二：一元二次方程的解法 5.（天津宁河区月考)用适当的方法解下列方程： 考点一：一元二次方程的概念 (1)3x2+x-1=0; 1.下列哪个方程是一元二次方程( (2)x2-6x-7=0; A.x+2y=1 B.x2-2x+3=0 (3)(3x-2)2=4(3-x)2; C.x2+1=3 D.x2-2xy=0 (4)(x-1)(x+2)=-2. 2.x=2不是下列哪一个方程的解() A.3x2-12=0 B.2x2-3x=2 C.x2-5x+6=0 D.x2-x+2=0 3.把方程x(3一2x)十5=1化成一般式后，二次 项系数与常数项的积是() A.3 B.-8 C.-10 D.15 4.若关于x的方程(a一1)x2+1+5x=4是一元 二次方程，则a= 21 数学九年级上册第二十一章一元二次方程 考点三：一元二次方程根的判别式、根与系数的 考点四：一元二次方程的实际应用 关系 10.在一次同学聚会上，见面时每两人都握了一 6.若关于x的一元二次方程x2一2x一k+1=0 次手，所有人共握手45次.设有x个同学参 有两个相等的实数根，则k的值是( ) 加这次聚会，则这次同学聚会有() A.-1 B.0 C.1 D.2 A.8人B.9人C.10人D.12人 7.已知a,b,c为常数，点P(a,c)在第二象限，则关 11.某厂一月份生产某机器100台，计划三月份 于x的方程ax2十bx十c=0根的情况是( ) 生产160台.设二、三月份每月的平均增长 A.有两个相等的实数根 率为x,根据题意列出的方程是 B.有两个不相等的实数根 12.如图，在宽AB为20m,长AD为32m的矩 C.没有实数根 形耕地上修筑同样宽的三条道路（两条纵 D.无法判断 向，一条横向，横向与纵向互相垂直)，把耕 8.若a,3是一元二次方程3x2+2x一9=0的两 地分成大小相等的六块作试验田.要使试验 根，则号+台的值是( 地的总面积为570m,则道路应设计为 多宽？ A B一 C.- 58 27 D. 9.已知关于x的一元二次方程x2一(2m-2)x十 (m2-2m）)=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两实数根为x1,x2,且x十 x=10,求m的值. 考题聚焦体验nN 1.（天津模拟)一元二次方程x(x一2)=x一2 的解是( A.x=1 B.x1=1,x2=2 C.=3+1 2 ,x=3-☑ 2 D.x1=-1,x2=2 2.（天津河北区模拟)若关于x的一元二次方程 mx2+6x一9=0有两个实数根，则m的取值 范围是( ) A.m≤1且m≠0 B.m≥-1且m≠0 C.m≤1 D.m≥-1 22 本章整合 3.(天津中考)方程x2十4x十3=0的两根6.（天津和平区校级期中）如图，某农户准备建 为() 一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙 A.x1=1,x2=3 长为18m,墙对面有一个2m宽的门，另三 B.x1=-1,x2=3 边用竹篱笆围成，篱笆总长33m,围成长方形 C.x1=1,x2=-3 的养鸡场除门之外四周不能有空隙。 D.x1=-1,2=-3 (1)要围成养鸡场的面积为150m,则养鸡场 4.解方程： 的长和宽各为多少？ (1)x(2x-5)=4x-10; (2)围成养鸡场的面积能否达到200m2?请 (2)x2+2x-2=0. 说明理由. 21m 7.（天津河西区一模)某汽车专卖店经销某种型 号的汽车.已知该型号汽车的进价为15万 5.(天津红桥区期中)已知关于x的一元二次方 元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车 程3x2一2x一m=0(m为常数)， 售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆； (1)若x=3是该方程的一个实数根，求m 售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆. 的值； (1)当售价为22万元/辆时，求平均每周的销 (2)当m=1时，求该方程的实数根； 售利润； (3)若该方程有两个不相等的实数根，求m (2)若该店计划平均每周的销售利润是90万 的取值范围. 元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的 售价. 23