21.3.2 平均变化率与利润等问题-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

第2课时 平均变什 知识梳理ZHISHI SHULI 1.增长率问题：增长率是指增长数与基准数的 比，即 设基准数为a,平均增 长率为x,则第一次增长后的值为 连续两次增长后的值为 2.降低率问题：设基准数为a,平均下降率为x, 则第一次下降后的值为 ,连续两 次下降后的值为 对点练习 DUIDIAN LIANXI 知识点一平均变化率问题 1.（天津滨海新区期中)某种植基地2020年蔬菜 产量为90吨，预计2022年蔬菜产量达到 110吨，求蔬菜产量的年平均增长率.设蔬菜产 量的年平均增长率为x,则可列方程为( A.90(1+x)2=100B.110(1-x)2=90 C.90(1+2x)2=110D.90(1+x)2=110 2.(天津期中)随着国家“惠民政策”的陆续出 台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫健委 通过严打药品销售环节中的不正当行为，以维 护老百姓的利益.某种药品原价400元/瓶，经 过连续两次降价后，现在仅卖324元/瓶.求该 种药品平均每次降价的百分率. 17 21.3实际问题与一元二次方程 率与利润等问题 知识点二利润问题 3.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关 系.每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增 加1株，则平均每株盈利减少0.5元.要使每盆 的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆 多植x株，则可以列出的方程是() A.(3+x)(4-0.5x)=15 B.(x+3)(4+0.5x)=15 C.(x+4)(3-0.5x)=15 D.(x+1)(4-0.5x)=15 4.一商店销售某种商品，平均每天可售出20 件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈 利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25元的前提下，经过一段时间销售，发现销 售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. (1)若降价3元，则平均每天销售数量为 件； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销 售利润为1200元？ 课后作业KEHOU ZUOYE 1.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度 生产零件196万个，若每月的增长率x相同， 则() A.50(1+x2)=196 B.50+50(1+x2)=196 C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196 D.50+50(1+x)+50(1+2x)=196 数学九年级上册第二十一章一元二次 2.我市某楼盘准备以每平方米6000元的均价 对外销售，由于国务院有关房地产的新政策 出台后，购房者持币观望，为了加快资金周 转，房地产开发商对价格经过连续两次下调 后，决定以每平方米4860元的均价开盘销 售，则平均每次下调的百分率是( ) A.8% B.9% C.10%D.11% 3.某商店经销一种销售成本为每千克40元的 水产品，据市场分析，若按每千克50元销售， 一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月 销售量就减少10千克，商店想在月销售成本不 超过1万元的情况下，使得月销售利润达到 8000元，销售单价应定为( ) A.60元 B.80元 C.60元或80元 D.以上都不对 4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元 售出，平均每天能售出8台，为了增加销售 量，商场决定采取适当的降价措施.调查表 明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天 就能多售出4台.商场要想在这种冰箱销售 中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到 实惠，每台冰箱应降价 元. 5.某批发商以每件50元的价格购进800件T 恤.第一个月以单价80元销售，售出了200 件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出 200件，批发商为增加销售量，决定降价销 售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出 10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月 结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销 售，清仓时单价为40元.设第二个月单价降低 x元. (1)填表（不需要化简）： 时间 第一个月第二个月 清仓时 单价/元 80 40 销售量/件 200 方程 (2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利 9000元，那么第二个月的单价应为多少元？ 能力提升ease6奇 6.（天津河北区期末)新冠疫情防控期间，某商 场积压了一批商品，现欲尽快清仓，决定降价 促销.根据调查发现，若每件商品盈利50元 时，可售出500件，商品单价每下降1元，则 可多售出20件.设每件商品降价x元. (1)每件商品降价x元后，可售出商品 件（用含x的代数式表示）； (2)若要使销售该商品的总利润达到28000 元，求x的值； (3)销售该商品的总利润能否达到30000 元？若能，请求出此时的单价；若不能，请 说明理由..2x=1±8， (4)3y2+4y-4=0, =1+89 2 w=18-7 .△=16+48=64>0， 2 2 (2)将原方程移项，得3x2十4x=-1, y=二4±64 6 方程两边同时除以3，得+号x=-}, y=号%=-2 配方，得 (5)x2-2x=15, +x+(号)°=-g+(号)， x2-2x-15=0, (x一5)(x+3)=0, 即(+)=日， ∴.x1=5,x2=-3. (6)2x2-5x-1=0, 2 开平方，得x十3 =士3 .△=25+8=33>0， =一号士 x=5±33 4 =-号+日= x,=5+√3，，=5√3 4 4 =号1 8.解(1)x2+3x十2 =x2+(1+2)x+1×2 (3).b2-4ac=(-1)2-4×1×(-7)=29>0, =(x+1)(x+2)=0, x=1±29 .x+1=0或x+2=0. 2 x1=-1,x2=-2. 即x1=1+2四，x,=1-√2四 2 (2)x2-2x-3 (4)原方程可化为x2-1-3.x+3=0, =x2+(-3+1)x+1×(-3) 即(x+1)(x-1)-3(x-1)=0, =(x+1)(x-3)=0, (x-1)(x+1-3)=0, ∴x十1=0或x-3=0. 于是x一1=0或x-2=0, .x1=-1,x2=3. .x1=1,x2=2. 能力提升 9.解设m=4x一5，n=3x一2， 课后作业 1.B2.C3.C4.A 则m-n=(4x-5)-(3x-2)=x-3, 原方程化为m2+n2=(m-n)2, 5.x2十x一6=0（答案不唯一） 整理得mn=0, 6.x1=1.5,x2=2 即(4x-5)(3x-2)=0, 7.解(1)(2x十3)2-16=0，(2x十3)2=16， ∴.4x-5=0,或3x-2=0, 开方，得2x十3=士4， 5 2 解得x1==了 “21.2.4一元二次方程的 (2)x2+4x-4=0, x2+4x=4, 根与系数的关系 x2+4x+4=4+4, 知识梳理 (x+2)2=8, b c x+2=土√8， aa 对点练习 .x1=-2+2√2，x2=-2-2√2. 1.A2.D3.B4.55.B6.B (3)(x-3)2-2x(x-3)=0, 7.解，方程x2十3.x十m=0的两根为x1,x2, (x-3)(x-3-2x)=0, .x1十x2=一3，x1x2=m, x一3=0，或一x一3=0， …x1=3,x2=-3. +这层 37 m=-2. 21.3实际问题与一元二次方程 课后作业 1.C2.D3.A4.C5.D 第1课时传播与球赛等问题 6.-237.2019 8.解·该一元二次方程有两个实数根， 知识梳理 ∴.△=(-2)2-4X1×a=4-4a≥0，解得a≤1. 1.(1)题意(2)设未知数(3)方程(4)解方程 由根与系数的关系可得x1x2=a,x1十x2=2, 2.(x+1)x(x+1)(x+1)2 3.(x+1)2=n :x1x2十x1十x2>0, 对点练习 ∴.a十2>0，解得a>-2. 1.C2.A .-2<a1. 9.解(1)关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+ 3.解(1)设每轮传染中平均一个人传染了x人， 根据题意得1十x十x(1十x)=144, k一1=0有实数根， 解得x1=11,x2=一13（不合题意，舍去）. .△≥0，即「-(2k一1)72一4×1×(k2+k一1)=-8k十 答：每轮传染中平均一个人传染了11个人 5≥0，解得≤日 (2)144+144×11=1728(人). (2)由根与系数的关系可得x1十x2=2k-1,x1x2=2十 答：三轮传染后，患流感的有1728人. k-1, 4.B5.C .x+x=(x1十x2)2-2x1x2=(2k-1)2-2(k2十k 课后作业 1)=22-6k+3. 1.A2.B3.104.12 x+x号=11，.2k2-6k+3=11, 5.解设全组共有x名成员.由题意，得x(x-1)=132,即 解得k=4或k=一1. x2-x-132=0,解得x1=12,x2=一11（不合题意，舍 ≤智，k=4合去， 去)..全组共有12名成员， 6.解设每轮转发中平均一个人转发给x个人， .k=-1 由题意得：1+x+x2=133, 10.解当x1卡x2时，G1,x2是方程x2一3x十1=0的两根， 解得：x1=11,x2=一12（不合题意，舍去）， 有x1十x2=3,x1x2=1. 答：每轮转发中平均一个人转发给11个人】 故9十4=+运-0十)-2西=3-2×1=7. 7.解(1)设这个多边形的边数是n. 1 1 当x=x2时，原式=1十1=2. 根据题意，得0m-3》=14. 综上，原式的值是7或2. 整理，得n2-3n-28=0, 能力提升 解得n1=7,n2=一4. 11.解因为OA,OB的长是方程x2+(2m一1)x十m2+3= n≥3且n为整数，.n=7, 0的两个实数根，所以OA+OB=1一2m,OA·OB= 即这个多边形的边数是7. m2+3. (2)A同学的说法不正确.理由：设这个多边形的边数 在菱形ABCD中，OA2+OB=AB,(OA+OB)2- 为m,则2m(m-3)=10. 2OA·OB=AB2, 即(1-2m)2-2(m2+3)=25, 整理，得m-3m一20=0，解得m=3±√8。 2 化简得m2-2m-15=0. ,'.符合方程m2一3m一20=0的正整数m不存在. 解得m1=5,m2=-3. .多边形的对角线不可能有10条， 而方程有两实数根， 即A同学的说法不正确. 则b2-4ac=(2m-1)2-4(m2+3)≥0. 第2课时平均变化率与利润等问题 从而可知m<一头 知识梳理 因此m=5不合题意，舍去. 故m=-3. 1,增长率=增长数 基准数 a(1+x)a(1+x)2 38 2.a(1-x)a(1-x)2 对点练习 对点练习 1.A 1.A 2.解(1)设剪成两段后其中一段为xcm, 2.解设该种药品平均每次降价的百分率为x, 则另一段为(20一x)cm, 由题意得：400(1一x)2=324, 由题意，得()广+(0)°-17。 解得：x1=0.1,x2=1.9(不合题意，舍去)， 整理，得x2-20x十64=0，解得x1=16,x2=4, ∴.x=0.1=10%, 当x1=16时，20一x1=4;当x2=4时，20-x2=16. 答：该种药品平均每次降价的百分率为10%. 3.A 答：要使这两个正方形面积的和为17cm,则这条铁丝 4.解(1)26 剪成两段后的长度分别是4cm和16cm. (2)不能， (2)设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为 1200元. 理由：诺（任+(20）=12， 根据题意，得(40一x)(20十2x)=1200, 整理，得x2-20x十104=0， 整理，得x2一30x十200=0， 由b2-4ac=(-20)2-4X1×104=-16<0,知此方程 解得x1=10,x2=20. 无解，即不能剪成两段，使其围成的正方形的面积和为 要求每件盈利不少于25元， 12cm2 .x2=20应舍去， 3.B ∴.x=10. 4.解(1)设花边的宽为xm,则矩形地毯ABCD的长为 答：每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为 (6+2x)m,宽为(3+2x)m, 1200元. .矩形地毯ABCD的面积为(6+2x)(3十2x)m2. 课后作业 故答案为：(6十2x);(3+2x);(6+2x)(3十2x). 1.C2.C3.B4.200 (2)依题意得(6+2x)(3十2x)=40, 5.解(1)80-x200+10x800-200一(200+10x) 整理得2x2+9x-11=0, (2)根据题意，得80×200+(80一x)(200十10x)十 40[800-200-(200+10x)]-50×800=9000. 解得x1=1,x2三，（不合题意，舍去） 整理，得x2-20x+100=0, 答：花边的宽为1m, 解这个方程得x1=x2=10. 课后作业 当x=10时，80-x=70>50. 1.D 答：第二个月的单价应为70元 2.6 cm,8 cm,10 cm 能力提升 3.解设这种长方体箱子底部宽为xm, 6.解(1)每件商品降价x元后，可售出商品(500十20x)件。 则长为(x十2)m. 故答案为：(500十20x). 依题意，有x(x十2)×1=15. (2)根据题意得(50-x)(500+20x)=28000, 整理，得x2+2x一15=0， 解得x1=10,x2=15, 解得x1=一5（舍去），x2=3, 尽快清仓，x1=10舍去， 所以x十2=5. 答：x的值为15. 由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为(5十 (3)(50-x)(500+20x)=30000, 2)×(3十2)=35(m2).因此张大叔购回这张矩形铁皮 整理得：x2一25x十250=0， 共花了35×20=700（元）. b2-4ac=625一1000<0，方程无解， 4.解法一由题意转化为图①，设道路宽为x,根据题意， 所以总利润不能达到30000元. 得(20-x)(32-x)=540,整理得x2-52x+100=0,解 得x=50(不合题意，舍去)，x2=2.故道路宽为2m 第3课时几何图形问题 解法二由题意转化为图②，设道路宽为xm,根据题 知识梳理 意，得20×32-(20+32)x十x2=540,整理得x2 转化 52x十100=0，解得x1=2,x2=50(不合题意，舍去).故 39 道路宽为2m. 12.解设道路宽为xm, 根据题意，得：20×32-20x×2-32x十2x2=570, 整理，得：x2一36x十35=0， 图① 图② 解得x1=1,x2=35, 能力提升 经检验x1=1,x2=35是原方程的解，但x=35>20, 5.解设xs后△PBQ的面积等于8cm2, 不符合题意，舍去. 则号（6-)·2z=8,解得x=2,x=4. 答：道路的宽为1m. 考题聚焦体验 经检验，这两个解都符合题意. 1.B2.B3.D 所以P,Q分别从A,B同时出发，2s或4s后△PBQ 4.解(1)原方程可变形为： 的面积等于8cm2. x(2x-5)-2(2x-5)=0, 本章整合 (2x-5)(x-2)=0, 2x-5=0或x-2=0, 考点逐项突破 .5 1.B2.D3.B4.-1 解得x=x=2. 5.解(1).a=3,b=1,c=-1, (2)原方程化为：x2十2x=2, .b2-4ac=12-4X3X(-1)=13>0, x2+2x+1=3 x=-13=-1±15 (x+1)2=3,x+1=±√3 2×3 6 x1=-1十√5，x2=-1-√3. 即x,=一1+1s 6 ,x,=-1-13 6 5.解（1)把x=3代入3x2-2x一m=0,得 (2)移项，得x2-6x=7, 3×32-2×3-m=0. 配方，得x2-6x十32=7+9， 解得m=21. 即(x-3)2=16, (2)当m=1时，方程为3x2-2x一1=0. 得x-3=4或x-3=-4, 因式分解，得(x一1)(3x十1)=0. 故x1=7,x2=一1. 于是得x-1=0或3x十1=0. (3)移项，得(3x一2)2-4(3一x)2=0. 所以=1，x=一3 1 因式分解，得[(3x-2)+2(3-x)][(3x-2)- (3)根据题意，得△=（一2）2一4×3×（一m)=4十12m0. 2(3-x)]=0, 即(x十4)(5x-8)=0. 解得m心一日 则5.x-8=0或x十4=0， 即=号x=一4 故m的取值范国是m>子 6.解(1)设养鸡场的宽为xm, (4)将原方程整理，得x2十x=0. 根据题意得x(33-2x+2)=150, 因式分解，得x(x十1)=0. 解得x1=10,x2=7.5, 解得x1=0,x2=-1. 当x1=10时，33-2x十2=15<18， 6.B7.B8.C 当x2=7.5时，33-2x+2=20>18, 9.(1)证明由题意可知，△=(2m-2)2-4(m2-2m)= 故x2=7.5舍去， 4>0,故方程有两个不相等的实数根. 则养鸡场的宽为10m,长为15m. (2)解：x1十x2=2m-2,x1x2=m2-2m, (2)不能.理由：设养鸡场的宽为xm, x+x=(x1十x2)2-2x1x2=10. 根据题意得x(33一2x+2)=200, ∴.(2m-2)2-2(m2-2m)=10. 整理得2x2-35x十200=0， .m2-2m-3=0,.m=-1或m=3. △=(-35)2-4×2×200=1225-1600=-375<0， 10.C ,方程没有实数根， 11.100(1+x)2=160 .围成养鸡场的面积不能达到200m. 40