21.2.3 因式分解法-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

21.2.2公式法 a2>0,.△>0，.方程有两个不相等的实数根. (2)方程有两个相等的实数根， 第1课时一元二次方程根的判别式 ∴.△=b2-4a=0. 若b=2,a=1,则方程变形为x2+2x十1=0， 知识梳理 解得x1=x2=一1.（答案不唯一) 1.b2-4ac b2-4ac 能力提升 2.两相等没有实数根 9.解(1).关于x的一元二次方程(a一6)x2一8x十9=0 对点练习 有实数根， 1.B2.D3.有两个不相等的实根 ..a-6≠0，△=(-8)2-4X(a-6)×9≥0， 4.解(1).△=b-4ac=92-4X1×20=1>0, 方程有两个不相等的实数根 解得a<,且a≠6，故a的最大整数值为7. (2).△=b2-4ac=(-4)2-4X1×5=-4<0, (2)当a=7时，原方程为x2一8x十9=0， 方程没有实数根。 x2-8x=-9. (3):△=b-4ac=(-4√3)2-4×4X3=0, .2x2- x2-8x+17=2x2-32z-7 32x-7 -9+11 =2x2-16x+ .方程有两个相等的实数根， 7 7 (4)x2+5x-10=0, -2x2-8)+7=2×(-90+=-, .△=52-4×1×(-10)=65>0， 第2课时 用公式法解一元二次方程 方程有两个不相等的实数根 5B6D7:k>8 知识梳理 -b±√/b2-4ac 8.解方程变形为x2-(2k-1)x十k2-2k-3=0. 1.≥x= 2a (1)根据题意，得△=[-(2k-1)]2-4×1×(k2-2k- 2.配方3.系数 3)>0,解得>只，所以当>只时，方程有两个 对点练习 1.D2.D3.A 不相等的实数根。 (2)根据题意，得△=[-(2k-1)]2-4×1×(2-2k 4.a1=2+√1，a2=2-√1I 2 3》=0,解得长=-只，所以当k=-时，方程有两个 相等的实数根， 6.解(1)a=1,b=-2,c=-1, (3)根据题意，得△=[-(2k-1)-4×1×(-2k-3)<0, b2-4ac=(-2)2-4X1×(-1)=4+4=8, 解得K一是所以当<一平时，方程淡有实数银 x=（,2)±8-1士2， 2×1 课后作业 即x1=1十√2，x2=1一√2. 1.C2.A3.C4.p2=4g5.k>1 (2)移项，得4x2十5x-1=0. 6.解(1).a=3,b=-2,c=-1, a=4,b=5,c=-1, .b2-4ac=(-2)2-4×3×(-1)=16>0. b2-4ac=52-4×4×(-1)=25+16=41, 故方程有两个不相等的实数根。 ∴x=-5±41 (2)原方程化为一般形式，得6y2一6y十3=0. 8 .a=6,b=-6,c=3, 即x,=-5+4 ,x,=-5+V4红 8 8 ,.b2-4ac=(-6)2-4×6X3=-36<0. 故原方程没有实数根。 (3)移项，得x2一43x+12=0. 7.证明b2一4ac=[-(4m-1)]2-4×2×(一m2-m)= a=1,b=-43,c=12, 24m2+1>0, b2-4ac=(-4√3)2-4×1×12=0， 因此不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根， x=43±0 8.解(1)a≠0，△=b2-4a=(a+2)2-4a=a2+4a+4- 2 4a=a2十4. 即x1=x2=2√3. 35 (4)移项并化简，得3x2+6x一1=0. ∴.x1=m十2，x2=m-1. a=3,b=6,c=-1, 能力提升 b-4ac=62-4×3×(-1)=36+12=48, 10.(1)证明△=b-4ac=[-(2k+1)]2-4(k+k)= x=-6±V48 1>0, 6 .该方程有两个不相等的实数根 即x,=-3+23 ,x=-3+23 (2)解，△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两 3 3 个实数根，由(1)知，AB≠AC,又△ABC的第三边BC 课后作业 的长为5，且△ABC是等腰三角形， 1.A2.C3.B4.445.x=3-▣ 2 AB=5或AC=5,即x=5是原方程的一个根. 将x=5代入方程x2-(2k+1)x十k2+k=0, 6.=1+,=1厘 2 2 7.4m3m 得25-5(2k+1)十2+k=0, 8.解(1)原方程可化为3x2-7x十8=0， 解得k=4或k=5. ∴.a=3,b=-7,c=8, 当k=4时，原方程为x2-9x十20=0， △=(-7)2-4X3X8=-47<0, 解得x1=5,x2=4, 没有实数解 以5,5,4为边长能构成等腰三角形； (2)方程整理得3x2一6x十2=0， 当=5时，原方程为x2一11x+30=0, 这里a=3,b=一6，c=2, 解得x1=5,x2=6, △=(-6)2-4×3×2=12>0， 以5,5,6为边长能构成等腰三角形. x=6±23_3±3 .k的值为4或5. 6 3 21.2.3因式分解法 即33 3 知识梳理 (3)原方程可化为x2十x一1=0， 1.因式分解00降次因式分解法 a=1,b=1,c=-1. 2.(1)0(2)一次因式的乘积(3)一元一次方程 △=12-4×1×(-1)=5>0， (4)一元一次方程 :x=二1±5 对点练习 2×1 1.D2.A 即西=1+5 2 2,x2=1-5 2 3.x1=-6,x2=6 (4)由原方程，得2y2-2y十3=y2+2y十1， 4.解(1)因式分解，得3y(y-2)=0, 即y2-4y+2=0, 于是得3y=0或y-2=0, .a=1,b=-4,c=2, y=0,y2=2. △=(-4)2一4×1×2=8>0， (2)因式分解，得(x-4)2=0, y=4±8 于是得x1=x2=4. 2 (3)因式分解，得(1+x+3)·(1十x一3)=0， ∴y1=2+√2，y2=2-√2. 即(x十4)(x-2)=0, 9.解(1).a=m,b=-(3m十1)，c=3, 于是得x十4=0或x-2=0,x1=-4,x2=2. .△=[-(3m+1)]2-4·m·3=(3m-1)2≥0， (4)移项，得(x-4)2-(5-2x)2=0, 则x=3m十1±(3m-1) 因式分解，得(x-4十5-2x)(x-4-5+2x)=0, 2m 即(1-x)(x-3)=0,于是得1-x=0或x-3=0, 函-8是 x1=1,x2=3. 5.D (2).a=1,b=-(2m十1)，c=m2十m-2, .∴.△=[-(2m+1)]2一4×1×(m2+m-2)=9>0, 6.解(1)将原方程整理，得(2x一1)2=64， 则x=2m十1土3 开平方，得 2 2x-1=士8， 36 .2x=1±8， (4)3y2+4y-4=0, =1+89 2 w=18-7 .△=16+48=64>0， 2 2 (2)将原方程移项，得3x2十4x=-1, y=二4±64 6 方程两边同时除以3，得+号x=-}, y=号%=-2 配方，得 (5)x2-2x=15, +x+(号)°=-g+(号)， x2-2x-15=0, (x一5)(x+3)=0, 即(+)=日， ∴.x1=5,x2=-3. (6)2x2-5x-1=0, 2 开平方，得x十3 =士3 .△=25+8=33>0， =一号士 x=5±33 4 =-号+日= x,=5+√3，，=5√3 4 4 =号1 8.解(1)x2+3x十2 =x2+(1+2)x+1×2 (3).b2-4ac=(-1)2-4×1×(-7)=29>0, =(x+1)(x+2)=0, x=1±29 .x+1=0或x+2=0. 2 x1=-1,x2=-2. 即x1=1+2四，x,=1-√2四 2 (2)x2-2x-3 (4)原方程可化为x2-1-3.x+3=0, =x2+(-3+1)x+1×(-3) 即(x+1)(x-1)-3(x-1)=0, =(x+1)(x-3)=0, (x-1)(x+1-3)=0, ∴x十1=0或x-3=0. 于是x一1=0或x-2=0, .x1=-1,x2=3. .x1=1,x2=2. 能力提升 9.解设m=4x一5，n=3x一2， 课后作业 1.B2.C3.C4.A 则m-n=(4x-5)-(3x-2)=x-3, 原方程化为m2+n2=(m-n)2, 5.x2十x一6=0（答案不唯一） 整理得mn=0, 6.x1=1.5,x2=2 即(4x-5)(3x-2)=0, 7.解(1)(2x十3)2-16=0，(2x十3)2=16， ∴.4x-5=0,或3x-2=0, 开方，得2x十3=士4， 5 2 解得x1==了 “21.2.4一元二次方程的 (2)x2+4x-4=0, x2+4x=4, 根与系数的关系 x2+4x+4=4+4, 知识梳理 (x+2)2=8, b c x+2=土√8， aa 对点练习 .x1=-2+2√2，x2=-2-2√2. 1.A2.D3.B4.55.B6.B (3)(x-3)2-2x(x-3)=0, 7.解，方程x2十3.x十m=0的两根为x1,x2, (x-3)(x-3-2x)=0, .x1十x2=一3，x1x2=m, x一3=0，或一x一3=0， …x1=3,x2=-3. +这层 37 m=-2. 21.3实际问题与一元二次方程 课后作业 1.C2.D3.A4.C5.D 第1课时传播与球赛等问题 6.-237.2019 8.解·该一元二次方程有两个实数根， 知识梳理 ∴.△=(-2)2-4X1×a=4-4a≥0，解得a≤1. 1.(1)题意(2)设未知数(3)方程(4)解方程 由根与系数的关系可得x1x2=a,x1十x2=2, 2.(x+1)x(x+1)(x+1)2 3.(x+1)2=n :x1x2十x1十x2>0, 对点练习 ∴.a十2>0，解得a>-2. 1.C2.A .-2<a1. 9.解(1)关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+ 3.解(1)设每轮传染中平均一个人传染了x人， 根据题意得1十x十x(1十x)=144, k一1=0有实数根， 解得x1=11,x2=一13（不合题意，舍去）. .△≥0，即「-(2k一1)72一4×1×(k2+k一1)=-8k十 答：每轮传染中平均一个人传染了11个人 5≥0，解得≤日 (2)144+144×11=1728(人). (2)由根与系数的关系可得x1十x2=2k-1,x1x2=2十 答：三轮传染后，患流感的有1728人. k-1, 4.B5.C .x+x=(x1十x2)2-2x1x2=(2k-1)2-2(k2十k 课后作业 1)=22-6k+3. 1.A2.B3.104.12 x+x号=11，.2k2-6k+3=11, 5.解设全组共有x名成员.由题意，得x(x-1)=132,即 解得k=4或k=一1. x2-x-132=0,解得x1=12,x2=一11（不合题意，舍 ≤智，k=4合去， 去)..全组共有12名成员， 6.解设每轮转发中平均一个人转发给x个人， .k=-1 由题意得：1+x+x2=133, 10.解当x1卡x2时，G1,x2是方程x2一3x十1=0的两根， 解得：x1=11,x2=一12（不合题意，舍去）， 有x1十x2=3,x1x2=1. 答：每轮转发中平均一个人转发给11个人】 故9十4=+运-0十)-2西=3-2×1=7. 7.解(1)设这个多边形的边数是n. 1 1 当x=x2时，原式=1十1=2. 根据题意，得0m-3》=14. 综上，原式的值是7或2. 整理，得n2-3n-28=0, 能力提升 解得n1=7,n2=一4. 11.解因为OA,OB的长是方程x2+(2m一1)x十m2+3= n≥3且n为整数，.n=7, 0的两个实数根，所以OA+OB=1一2m,OA·OB= 即这个多边形的边数是7. m2+3. (2)A同学的说法不正确.理由：设这个多边形的边数 在菱形ABCD中，OA2+OB=AB,(OA+OB)2- 为m,则2m(m-3)=10. 2OA·OB=AB2, 即(1-2m)2-2(m2+3)=25, 整理，得m-3m一20=0，解得m=3±√8。 2 化简得m2-2m-15=0. ,'.符合方程m2一3m一20=0的正整数m不存在. 解得m1=5,m2=-3. .多边形的对角线不可能有10条， 而方程有两实数根， 即A同学的说法不正确. 则b2-4ac=(2m-1)2-4(m2+3)≥0. 第2课时平均变化率与利润等问题 从而可知m<一头 知识梳理 因此m=5不合题意，舍去. 故m=-3. 1,增长率=增长数 基准数 a(1+x)a(1+x)2 3821.2解一元二次方程 21.2.3 因式分解法 (3)(1+x)2-9=0: 知识梳理ZHISHI SHUU (4)(x-4)2=(5-2x)2 1.在解一元二次方程时，不是用开平方降次，而 是先 ,使方程化为两个一次式的 乘积等于 的形式，再使这两个一次式分 别等于 ,从而实现 .这种解 一元二次方程的方法叫做 2.用因式分解法解方程的一般步骤：(1)整理方 程，使方程右边为 ;(2)将方程左边 化为两个 ；(3)令每个一次 因式分别为0，得到两个 ； (4)分别解这两个 ,它们的 知识点二用适当的方法解一元二次方程 根就是原方程的根。 5.解方程2(5x-1)2=3(5x-1)时，最合适的 对点练习DUIDIAN LIANXI 方法是( A.直接开平方法 B.配方法 知识点一用因式分解法解一元二次方程 C.公式法 D.因式分解法 1.方程(x十1)(x-3)=0的根是( ) 6.按指定的方法解下列方程： A.x=-1 B.x=3 (1)号(2x-1)2-32=0(直接开平方法)， C.x1=1,x2=3 (2)3x2+4x+1=0(配方法)； D.x1=-1,x2=3 (3)x2-x-7=0(公式法)； 2.用因式分解法把方程(x一1)(x一2)=12分 (4)x2-1=3x-3(因式分解法). 解成两个一元一次方程，下列分解中正确的 是() A.x-5=0,x+2=0 B.x-1=3,x-2=4 C.x-1=2,x-2=6 D.x+5=0,x-2=0 3.(天津静海区期末)方程(x-5)(x十6)=x十 6的根是 4.用因式分解法解下列方程： (1)3y2-6y=0; (2)x2-8x+16=0; 数学九年级上册第二十一章 一元二次方程 8.在因式分解中，有一类形如x2十(m十n)x十mn 课后作业KEHOU ZUOYE 的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的 1.已知关于x的方程x2十x十q=0的两根为 一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可 x1=3,x2=一4，则二次三项式x2+px十q可 以把它分解成x2+(m十n)x+mn=(x十m) 分解为( ) (x+n),例如：x2+5x+6=x2+(2+3)x十 A.(x+3)(x-4) B.(x-3)(x十4) 2X3=(x+2)(x+3);x2-5x-6=x2+ C.(x+3)(x+4) D.(x-3)(x-4) (1-6)x+1×(-6)=(x+1)(x-6). 2若分式牛2一的值为0，则：的值为 根据上面的材料，用因式分解法解下列方程， (1)x2+3x十2=0；(2)x2-2x-3=0. A.1或-1 B.-3或1 C.-3 D.-3或-1 3.用因式分解法解关于x的方程x2一mx一7= 0时，将左边分解后有一个因式为x十1，则m 的值为( ) A.7 B.-7 C.6 D.-6 4.(天津宝坻区期末)若(x2十y2一2)(x2十y2十 g能力提升use6今 3)=0,则x2+y2的值为() 9.阅读下列材料，解答问题： A.2 B.-3 C.2或-3D.-2或3 (2x-5)2+(3x+7)2=(5x+2)2」 5.已知一元二次方程的两根分别是2和一3，则 解：设m=2x-5,n=3x十7，则m十n=5x十2， 这个一元二次方程可以是 则原方程可化为m2十n2=(m十n)2, 6.方程(2x一3)2一2x十3=0的解是 所以mn=0,即(2x-5)(3x十7)=0， 7.用适当的方法解下列方程： (1)(2x+3)2-16=0; 解得=及=一子， (2)x2十4x一4=0（用配方法）； 请利用上述方法解方程：（4x一5)2+(3x (3)(x一3)2-2x(x一3)=0（因式分解法）； 2)2=(x-3)2. (4)3y2+4y-4=0; (5)x2-2x=15; (6)2x2-5x-1=0.