21.2.2 第1课时 一元二次方程根的判别式-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

21.2.2 第1课时一元二 知识梳理ZHISHI SHUL 1.一般地，式子 叫做一元二次方程 ax2十bx十c=0根的判别式，通常用希腊字母 “△”表示，即△= 2.当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2十bx十 c=0有 个不相等的实数根； 当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+ c=0有两个 的实数根； 当-4ac<0时，一元二次方程a.x2十bx+ c=0 对点练习DUIDIANLIANXI 知识点一 利用根的判别式判别方程根的情况 1.一元二次方程2x2一2x一1=0的根的判别式 △=() A.-4 B.12 C.-12 D.0 2.当k>5时，关于x的一元二次方程x2十4x十 =0根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不等的实数根 C.有两个实数根 D.没有实数根 3.（天津河西区期末)一元二次方程x2一mx一 2=0的根的情况是 4.不解方程，判别下列方程的根的情况： (1)x2+9x十20=0； (2)5x2-4x+1=0; (3)4x2-4√3x+3=0; 21.2解一元二次方程 公式法 次方程根的判别式 (4)5.x2+5x=4x2+10. 知识点二利用根的判别式确定字母的取值 5.若关于x的一元二次方程x2-2x一k+1=0 有两个相等的实数根，则的值是() A.-1B.0 C.1 D.2 6.若一元二次方程x2一2x十m=0有两个不相 等的实数根，则实数m的取值范围是() A.m>1 B.m<1 C.m>1 D.m<1 7.如果关于x的方程2x2一3x十k=0没有实数 根，则k的取值范围是 8.当k为何值时，关于x的方程x2一(2k一1)x= 一k2十2k十3， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 数学九年级上册第二十一章 一元二次方程 8.关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0. 课后作业KEHOU ZUOYE (1)当b=a十2时，利用根的判别式判断方程 1.下列一元二次方程中，没有实数根的是 根的情况； (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满 A.x2-2x=0 B.x2+4x-1=0 足条件的a,b的值，并求此时方程的根。 C.2x2-4x+3=0 D.3x2=5x-2 2.关于x的一元二次方程x2一(k十3)x十k=0 的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定 3.（天津津南区校级期中)若关于x的一元二次 方程(m一1)x2一2x一1=0有两个实数根，则 实数m的取值范围是() A.m≥0 B.m>0 C.m≥0，且m≠1 D.m>0,且m≠1 能力提升ENGU TISHENG司 4.若关于x的方程x2十px十q=0有两个相等 9.（改编题)已知关于x的一元二次方程(a一 的实数根，则p,q之间的关系是 6)x2一8x十9=0有实数根. 5.若关于x的一元二次方程x2一2x十k=0无 (1)求a的最大整数值； 实数根，则实数k的取值范围是 (2)当a取最大整数值时，求2x2一 6.判断下列方程根的情况： (1)3x2-2x-1=0;(2)6y(y-1)+3=0. 207的位 7.证明：不论m为何值，关于x的方程2x2 (4m一1)x-m2一m=0总有两个不相等的实 数根21.2.2公式法 a2>0,.△>0，.方程有两个不相等的实数根. (2)方程有两个相等的实数根， 第1课时一元二次方程根的判别式 ∴.△=b2-4a=0. 若b=2,a=1,则方程变形为x2+2x十1=0， 知识梳理 解得x1=x2=一1.（答案不唯一) 1.b2-4ac b2-4ac 能力提升 2.两相等没有实数根 9.解(1).关于x的一元二次方程(a一6)x2一8x十9=0 对点练习 有实数根， 1.B2.D3.有两个不相等的实根 ..a-6≠0，△=(-8)2-4X(a-6)×9≥0， 4.解(1).△=b-4ac=92-4X1×20=1>0, 方程有两个不相等的实数根 解得a<,且a≠6，故a的最大整数值为7. (2).△=b2-4ac=(-4)2-4X1×5=-4<0, (2)当a=7时，原方程为x2一8x十9=0， 方程没有实数根。 x2-8x=-9. (3):△=b-4ac=(-4√3)2-4×4X3=0, .2x2- x2-8x+17=2x2-32z-7 32x-7 -9+11 =2x2-16x+ .方程有两个相等的实数根， 7 7 (4)x2+5x-10=0, -2x2-8)+7=2×(-90+=-, .△=52-4×1×(-10)=65>0， 第2课时 用公式法解一元二次方程 方程有两个不相等的实数根 5B6D7:k>8 知识梳理 -b±√/b2-4ac 8.解方程变形为x2-(2k-1)x十k2-2k-3=0. 1.≥x= 2a (1)根据题意，得△=[-(2k-1)]2-4×1×(k2-2k- 2.配方3.系数 3)>0,解得>只，所以当>只时，方程有两个 对点练习 1.D2.D3.A 不相等的实数根。 (2)根据题意，得△=[-(2k-1)]2-4×1×(2-2k 4.a1=2+√1，a2=2-√1I 2 3》=0,解得长=-只，所以当k=-时，方程有两个 相等的实数根， 6.解(1)a=1,b=-2,c=-1, (3)根据题意，得△=[-(2k-1)-4×1×(-2k-3)<0, b2-4ac=(-2)2-4X1×(-1)=4+4=8, 解得K一是所以当<一平时，方程淡有实数银 x=（,2)±8-1士2， 2×1 课后作业 即x1=1十√2，x2=1一√2. 1.C2.A3.C4.p2=4g5.k>1 (2)移项，得4x2十5x-1=0. 6.解(1).a=3,b=-2,c=-1, a=4,b=5,c=-1, .b2-4ac=(-2)2-4×3×(-1)=16>0. b2-4ac=52-4×4×(-1)=25+16=41, 故方程有两个不相等的实数根。 ∴x=-5±41 (2)原方程化为一般形式，得6y2一6y十3=0. 8 .a=6,b=-6,c=3, 即x,=-5+4 ,x,=-5+V4红 8 8 ,.b2-4ac=(-6)2-4×6X3=-36<0. 故原方程没有实数根。 (3)移项，得x2一43x+12=0. 7.证明b2一4ac=[-(4m-1)]2-4×2×(一m2-m)= a=1,b=-43,c=12, 24m2+1>0, b2-4ac=(-4√3)2-4×1×12=0， 因此不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根， x=43±0 8.解(1)a≠0，△=b2-4a=(a+2)2-4a=a2+4a+4- 2 4a=a2十4. 即x1=x2=2√3. 35 (4)移项并化简，得3x2+6x一1=0. ∴.x1=m十2，x2=m-1. a=3,b=6,c=-1, 能力提升 b-4ac=62-4×3×(-1)=36+12=48, 10.(1)证明△=b-4ac=[-(2k+1)]2-4(k+k)= x=-6±V48 1>0, 6 .该方程有两个不相等的实数根 即x,=-3+23 ,x=-3+23 (2)解，△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两 3 3 个实数根，由(1)知，AB≠AC,又△ABC的第三边BC 课后作业 的长为5，且△ABC是等腰三角形， 1.A2.C3.B4.445.x=3-▣ 2 AB=5或AC=5,即x=5是原方程的一个根. 将x=5代入方程x2-(2k+1)x十k2+k=0, 6.=1+,=1厘 2 2 7.4m3m 得25-5(2k+1)十2+k=0, 8.解(1)原方程可化为3x2-7x十8=0， 解得k=4或k=5. ∴.a=3,b=-7,c=8, 当k=4时，原方程为x2-9x十20=0， △=(-7)2-4X3X8=-47<0, 解得x1=5,x2=4, 没有实数解 以5,5,4为边长能构成等腰三角形； (2)方程整理得3x2一6x十2=0， 当=5时，原方程为x2一11x+30=0, 这里a=3,b=一6，c=2, 解得x1=5,x2=6, △=(-6)2-4×3×2=12>0， 以5,5,6为边长能构成等腰三角形. x=6±23_3±3 .k的值为4或5. 6 3 21.2.3因式分解法 即33 3 知识梳理 (3)原方程可化为x2十x一1=0， 1.因式分解00降次因式分解法 a=1,b=1,c=-1. 2.(1)0(2)一次因式的乘积(3)一元一次方程 △=12-4×1×(-1)=5>0， (4)一元一次方程 :x=二1±5 对点练习 2×1 1.D2.A 即西=1+5 2 2,x2=1-5 2 3.x1=-6,x2=6 (4)由原方程，得2y2-2y十3=y2+2y十1， 4.解(1)因式分解，得3y(y-2)=0, 即y2-4y+2=0, 于是得3y=0或y-2=0, .a=1,b=-4,c=2, y=0,y2=2. △=(-4)2一4×1×2=8>0， (2)因式分解，得(x-4)2=0, y=4±8 于是得x1=x2=4. 2 (3)因式分解，得(1+x+3)·(1十x一3)=0， ∴y1=2+√2，y2=2-√2. 即(x十4)(x-2)=0, 9.解(1).a=m,b=-(3m十1)，c=3, 于是得x十4=0或x-2=0,x1=-4,x2=2. .△=[-(3m+1)]2-4·m·3=(3m-1)2≥0， (4)移项，得(x-4)2-(5-2x)2=0, 则x=3m十1±(3m-1) 因式分解，得(x-4十5-2x)(x-4-5+2x)=0, 2m 即(1-x)(x-3)=0,于是得1-x=0或x-3=0, 函-8是 x1=1,x2=3. 5.D (2).a=1,b=-(2m十1)，c=m2十m-2, .∴.△=[-(2m+1)]2一4×1×(m2+m-2)=9>0, 6.解(1)将原方程整理，得(2x一1)2=64， 则x=2m十1土3 开平方，得 2 2x-1=士8， 36