专题2.1 直线方程15种题型归类（期末复习专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题2-1 直线方程题型归类 题型1 斜率：与倾斜角互求（重点） 题型9 直线光学性质：对称应用（重点） 题型2 斜率：斜率几何意义 题型10 几何意义：多根号构造 题型3 斜率：三角函数型求值域 题型11 几何意义：绝对值型构造（重点） 题型4 斜率：函数型最值 题型12 平行线应用 题型5 直线截距式应用 题型13 二元方程直线系 题型6 含参直线（常考点） 题型14 系数不等的‘将军饮马’（难点） 题型7 双直线含参（常考点） 题型15 直线综合大题（重点） 题型8 旋转型含三角函数（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一、斜率：与倾斜角互求 （共3小题） 1．（25-26高二上·福建福州·期中）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D．不存在 2．（25-26高二上·宁夏银川·期中）已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽·月考）已知直线的倾斜角满足方程，则直线的斜率为（    ） A．0 B．1 C． D． 题型二、斜率：斜率几何意义 （共3小题） 4．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，则的取值范围是 ． 6．（25-26高二上·全国·课后作业）已知实数满足，则的最大值为 ． 题型三、斜率：三角函数型求值域 （共3小题） 7．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河北·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·河南·月考）已知角，直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四、斜率：函数型最值 （共3小题） 10．（25-26高二上·河北保定·月考）已知直线l过点，则（   ） A．直线l倾斜角的最大值为 B．直线l倾斜角的最小值为 C．直线l倾斜角的最大值为 D．直线l倾斜角的最小值为 11．（25-26高二上·河南漯河·月考）已知.在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·山东烟台·月考）过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 题型五、直线截距式应用 （共3小题） 13．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 14．（25-26高二上·浙江·期中）过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 15．（25-26高二上·上海·期中）四条不重合直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是为，则的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 题型六、含参直线 （共3小题） 16．（25-26高二上·四川德阳·期中）已知点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围（   ） A． B．或 C．或 D． 17．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知直线的方程为（），点，设到的距离为，则（   ） A．的最小值为0，最大值为 B．无最小值，最大值为 C．的最小值为0，无最大值 D．无最小值，也无最大值 18．（25-26高二上·北京海淀·期中）对于直线，下列说法不正确的是（   ） A．的斜率有可能不存在 B．恒过定点 C．的倾斜角有可能是 D．恒过第一象限 题型七、双直线含参 （（共3小题）） 19．（19-20高二上·安徽合肥·期末）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（    ） A． B． C．3 D．6 20．（25-26高二上·上海·月考）已知，则直线和直线的位置关系不可能是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．关于轴对称 21．（24-25高二上·安徽马鞍山·期中），过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型八、旋转型含三角函数 （共3小题） 22．（22-23高二上·湖北孝感·期中）从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程（其中为参数，）能形成这种效果的是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·安徽阜阳·月考）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．若直线与平行，则 B．若把绕其与轴的交点逆时针旋转，所得直线的斜率为2，则 C．若与直线及两坐标轴的正半轴围成的四边形有外接圆，则 D．对任意的，都存在定点，使得点到的距离为定值 24．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，其中，则以下命题正确的有（   ） A．直线l的倾斜角为 B．直线l的斜率为 C．若是直线l上的任意一点，则 D．当时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为1 题型九、直线光学性质：对称应用 （共3小题） 25．（22-23高二上·河北保定·月考）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，如图所示，若光线QR经过的重心G，则AP= ．直线PQ的斜率为 26．（2024高二上·江苏·专题练习）平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是 .    27．（23-24高二下·江西九江·月考）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 ． 题型十、几何意义：多根号构造 （共3小题） 28．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知实数满足，则的最小值为 29．（25-26高三上·上海杨浦·期中）设，的最小值为 ； 30．（23-24高二上·江苏无锡·月考）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ． 题型十一、几何意义：绝对值型构造 （（共3小题）） 31．（19-20高二上·贵州黔南·期中）已知二次函数在区间上至少有一个零点，则的最小值为 . 32．（22-23高三上·浙江绍兴·期末）已知实数，则的取值范围是 . 题型十二、平行线应用 （（共3小题）） 34．（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线方程为，点在边所在直线上.则直线的方程为 ；直线的方程为 . 35．（20-21高二上·上海嘉定·月考）关于的二元一次方程组，无解，则 ； 36．（20-21高二上·江苏苏州·开学考试）已知直线：和直线：，若，且坐标原点到这两条直线距离相等，则的值为 . 【点睛】本题主要考查两直线平行求参数，考查点到直线的距离公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 题型十三、二元方程直线系 （共3小题） 37．（20-21高二上·上海浦东新·期中）已知是直线上一点，是外一点，则方程表示的直线（    ） A．与重合 B．与交于点 C．过与平行 D．过与相交 38．（20-21高二上·上海浦东新·期中）设、为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为 ． （1）存在实数，使得点N在直线l上； （2）若，则过M、N的直线与直线l平行； （3）若，则直线l经过的中点； （4）若，则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交； 39．（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，设．有下列三个说法： ①存在实数，使点N在直线l上； ②若，则过MN两点的直线与直线l平行； ③若，则直线l经过线段MN的中点． 上述所有正确说法的序号是 ． 题型十四、系数不等的“将军饮马” （（共3小题）） 40．（25-26高二上·浙江杭州·期中），过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与不重合，为坐标原点），则以下结论：（1）为定值；（2）的面积的最大值为；（3）的最大值为5；（4）的最大值为.其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．（多选）（25-26高二上·浙江·月考）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线上一动点，则（   ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为10 D．的最小值为 42．（多选）（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知平面内一点在圆上，分别过定点的两条直线相交于点，则下列结论正确的是（    ） A．动点的轨迹是除去点的一个圆 B．的最大值是 C．点到直线的距离的最小值为 D．动点的轨迹与圆一定没有交点 题型十五、直线综合大题 （（共3大题）） 43．（25-26高二上·山东济宁·月考）如图1，当光从真空射入某介质时，在两种介质的分界面，不仅会发生反射，还会发生折射．我们把入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫作该介质的绝对折射率，简称折射率． (1)当光从真空射入某介质时，发生折射，且入射角是折射角的两倍，求该介质的折射率的取值范围． (2)如图2，甲介质的折射率为2，一条光线从真空射入甲介质发生反射和折射，以入射光线在真空与甲介质的分界面上的投影所在的直线为轴，法线为轴建立直角坐标系，若入射光线所在直线的倾斜角为钝角，反射光线所在直线的斜率为，折射光线所在直线的斜率为，判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． (3)已知直线，一条光线从点射出，经反射后，反射光线经再反射，再次反射的光线回到点． ①求该光线经过的路程长度； ②当该光线从点射出，从真空射入乙介质时，经该光线在分界面上的投影所在的直线折射后，折射光线所在直线的斜率为，求乙介质的折射率． 44．（24-25高二上·湖南郴州·月考）过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线． (1)已知直线：，直线：，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由． (2)在中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点在二次函数的图象上．若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标． (3)已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围． 45．（24-25高二上·浙江台州·期中）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，求的最大值； (3)已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2-1 直线方程题型归类 题型1 斜率：与倾斜角互求（重点） 题型9 直线光学性质：对称应用（重点） 题型2 斜率：斜率几何意义 题型10 几何意义：多根号构造 题型3 斜率：三角函数型求值域 题型11 几何意义：绝对值型构造（重点） 题型4 斜率：函数型最值 题型12 平行线应用 题型5 直线截距式应用 题型13 二元方程直线系 题型6 含参直线（常考点） 题型14 系数不等的‘将军饮马’（难点） 题型7 双直线含参（常考点） 题型15 直线综合大题（重点） 题型8 旋转型含三角函数（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一、斜率：与倾斜角互求 （共3小题） 1．（25-26高二上·福建福州·期中）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】由直线倾斜角的定义，即可得到结果． 【详解】∵直线与x轴垂直，∴的倾斜角为． 故选：B 2．（25-26高二上·宁夏银川·期中）已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可． 【详解】直线方程为，即， 由此可知该直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：A. 3．（25-26高二上·安徽·月考）已知直线的倾斜角满足方程，则直线的斜率为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，推得，再结合三角函数的同角公式，求出，即可求解. 【详解】，则， 又，则，解得或， 当时，，不符合题意， 当时，，故， 即直线的斜率为. 故选：C 题型二、斜率：斜率几何意义 （共3小题） 4．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把，，分别看作函数图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图象即可得答案． 【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是. 故选：A 5．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将看成是平面直角坐标系中点与点连线的斜率，然后根据的范围求出斜率的范围，进而得出结果. 【详解】表示平面直角坐标系中点与点连线的斜率， 其中点在直线的的部分上，点在线段上， 取点，点的坐标为时，直线的斜率为， 当时，直线的斜率小于0且趋近于0， 所以的取值范围是． 故答案为：. 6．（25-26高二上·全国·课后作业）已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】根据斜率的两点式确定目标式的几何意义，再应用数形结合求目标式的最大值. 【详解】由的几何意义是图象上的点与点连线的斜率． 如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增， 当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8． 故答案为：8 题型三、斜率：三角函数型求值域 （共3小题） 7．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，结合斜率的范围求解即可. 【详解】若，直线的方程为，所以直线的倾斜角，排除A，C. 若，则， 所以， 又，所以， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D. 8．（25-26高二上·河北·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】①当时，此时，倾斜角为， ②当时，则， 而，所以， 则， 综上所述，倾斜角的范围是. 故选：C 9．（24-25高二上·河南·月考）已知角，直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系建立方程，结合三角函数的性质，可得答案. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 故角的取值范围是. 故选：D. 题型四、斜率：函数型最值 （共3小题） 10．（25-26高二上·河北保定·月考）已知直线l过点，则（   ） A．直线l倾斜角的最大值为 B．直线l倾斜角的最小值为 C．直线l倾斜角的最大值为 D．直线l倾斜角的最小值为 【答案】D 【分析】利用两点间的斜率公式求解即可. 【详解】因为,则直线斜率存在，由直线斜率的计算公式可得直线l的斜率． 设该直线l的倾斜角为，则，且，则， 即直线l倾斜角的最小值为． 故选：D 11．（25-26高二上·河南漯河·月考）已知.在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线上两点坐标求出斜率表达式，整理后分类讨论，运用基本不等式即可求解. 【详解】因在直线l上， 则直线的斜率. 当时，，当且仅当时，等号成立，则，即； 当时，，当且仅当时，等号成立，则，即. 综上，直线的斜率的取值范围是. 故选：C 12．（25-26高二上·山东烟台·月考）过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 【答案】B 【分析】先根据斜率的定义及过两点的斜率的计算公式列出等式，求出，将值代入两点的坐标验证，即可得解. 【详解】因为过两点的直线倾斜角为45°，所以直线的斜率. 又因为， 所以， 整理可得，即，解得或. 当时，，，此时两点重合，不符合题意，舍去； 当时，，，此时两点不重合，符合题意. 综上，所以的取值为. 故选：B 题型五、直线截距式应用 （共3小题） 13．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】通过对截距的取值是否为进行分类，分别设直线方程为和，代入点，即可求解. 【详解】设直线的横截距为，纵截距为，因为直线在两坐标轴上的截距相等，即， 当时，设直线的方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为； 当时，设直线的方程为，即， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为或. 故选：C 14．（25-26高二上·浙江·期中）过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】设直线为，代入得，表示出所围成封闭图形面积为，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】设直线为，代入得， 即，， 设直线与x轴交点，与y轴交点， 则所围成封闭图形面积为， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以所围成的封闭图形面积的最小值为6. 故选：B. 15．（25-26高二上·上海·期中）四条不重合直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是为，则的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】根据直线的截距式结合基本不等式计算求解. 【详解】设直线与与两坐标轴交于，所以设直线为， 因为直线过点，所以， ，所以，， 所以. 当且仅当时取面积最小值，所以. 故选：D. 题型六、含参直线 （共3小题） 16．（25-26高二上·四川德阳·期中）已知点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】利用特殊值排除错误答案，进而得到结果，数形结合由斜率列式求解计算得到结果. 【详解】因为直线， 变形为，进而，解得， 所以直线恒过定点， 求线段的两个端点与定点的斜率：， 如图可知，当，即时，设直线的斜率为， 则或， 情况1：，即， 可得，解得或， 情况2：，即， 可得，解得； 当，即时，直线与线段有一个公共点.符合题意， 结合以上分析，解得或. 故选：B. 17．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知直线的方程为（），点，设到的距离为，则（   ） A．的最小值为0，最大值为 B．无最小值，最大值为 C．的最小值为0，无最大值 D．无最小值，也无最大值 【答案】C 【分析】先求得直线所过定点，然后分析直线与垂直，直线过点两种情况，即可得解. 【详解】直线， 即，由，解得， 所以直线过定点， 因为, 若时，则 可取最大值，最大值为， 若，则其斜率应为1， 当时，直线的斜率为，令可得，此方程无解，矛盾， 当时，直线为，斜率不存在，不满足垂直条件，矛盾， 故不存在使得， 所以，无最大值. 当直线过点时，即时，到的距离最小. 故选：C 18．（25-26高二上·北京海淀·期中）对于直线，下列说法不正确的是（   ） A．的斜率有可能不存在 B．恒过定点 C．的倾斜角有可能是 D．恒过第一象限 【答案】B 【分析】对A：整理方程后令的系数为即可得；对B：整理方程后令的系数为即可得；对C：令，解出即可得；对D：由直线所过定点即可得. 【详解】对A：直线可化为， 令，则，此时，斜率不存在，故A正确； 对B：直线可化为， 令，解得，故恒过定点，故B错误； 对C：令，解得， 此时直线，斜率为，倾斜角为，故C正确； 对D：由B知，恒过定点，故恒过第一象限，故D正确. 故选：B. 题型七、双直线含参 （（共3小题）） 19．（19-20高二上·安徽合肥·期末）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】D 【分析】根据动直线方程求出定点的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得 ，最后由基本不等式即可求解. 【详解】解：由题意，动直线过定点， 直线可化为，令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号. 故选：D. 20．（25-26高二上·上海·月考）已知，则直线和直线的位置关系不可能是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．关于轴对称 【答案】D 【分析】根据条件，由两直线平行的必要条件得到，解出值，再进行检验，即可判断出选项A和B的正误，对于C，利用两直线垂直的充要条件得，利用方程有解，即可判断C的正误；对于D，利用直线过定点，先假设两直线关于轴对称，从而有在直线上，求出值，再进行检验即可求解. 【详解】由，整理得到，解得或， 当时，两直线方程为和，此时两直线重合， 当时，两直线方程为和，此时两直线平行，所以A和B可能， 对于C，由，整理得到，又， 所以有解，即存在值，使两直线垂直，所以C可能， 对于D，由，得到， 由，解得，所以直线过定点， 若两直线关于轴对称，则点在另一直线上，所以， 得到，此时两直线方程为和，显然两直线不关于轴对称，所以D不可能. 故选：D. 21．（24-25高二上·安徽马鞍山·期中），过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有；再利用基本不等式放缩即可得出的最大值． 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 注意到动直线和动直线始终垂直， 又是两条直线的交点， 则有， ． 故当且仅当时取等 故选：C. 题型八、旋转型含三角函数 （共3小题） 22．（22-23高二上·湖北孝感·期中）从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程（其中为参数，）能形成这种效果的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可由原点到直线的距离为定值判断即可. 【详解】原点到直线的距离为不是定值，故A错误； 原点到直线的距离为不是定值，故B 错误； 原点到直线的距离为定值，故C正确； 原点到直线的距离为不是定值，故D错误； 故选：C. 23．（24-25高二上·安徽阜阳·月考）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．若直线与平行，则 B．若把绕其与轴的交点逆时针旋转，所得直线的斜率为2，则 C．若与直线及两坐标轴的正半轴围成的四边形有外接圆，则 D．对任意的，都存在定点，使得点到的距离为定值 【答案】AD 【分析】求出斜率计算判断A；利用斜率的定义，结合和角的正切公式计算判断B；由垂直关系求出斜率，结合同角公式计算判断C；求出点到直线距离判断D. 【详解】直线， 对于A，直线的斜率为，则，A正确； 对于B，依题意，直线的倾斜角为锐角，且，则， 即，解得，即，解得，B错误； 对于C，依题意，直线垂直于直线，则，即 又，解得，C错误； 对于D，点到的距离，即点符合题意，D正确. 故选：AD 24．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，其中，则以下命题正确的有（   ） A．直线l的倾斜角为 B．直线l的斜率为 C．若是直线l上的任意一点，则 D．当时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为1 【答案】CD 【分析】根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可. 【详解】对于A，直线的倾斜角的取值范围为，与角的范围不同，故A错误； 对于B，当或时，，此时直线不存在斜率，故B错误； 对于C，易知原点到直线的距离为， 则无论为何值，直线总与相切，则，故C正确； 对于D，若直线与两坐标轴都相交，则截距分别为，， 则与两坐标轴围成的三角形的面积为，故D正确. 综上所述，DC正确。 故选：CD 题型九、直线光学性质：对称应用 （共3小题） 25．（22-23高二上·河北保定·月考）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，如图所示，若光线QR经过的重心G，则AP= ．直线PQ的斜率为 【答案】 2 【分析】根据已知，利用对称性、重心的性质，求出对称点坐标，联立直线方程进行求解. 【详解】        建立如图所示的平面直角坐标系，可得，， 所以直线的方程为，的重心G的坐标为， 设点，，分别是点关于直线BC和y轴的对称点， 连接，所以，设，则有 ，解得，所以， 由光的反射原理可知，四点共线，所以， 即，解得，此时， 所以，，，直线的方程为， 联立直线的方程与的方程有：，解得， 即，所以直线PQ的斜率为. 故答案为：，2. 26．（2024高二上·江苏·专题练习）平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意，利用入射光线与反射光线的关系，用表示t的值，由此可得关于的不等式，解可得答案． 【详解】点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点， 则， 有，则，， ，， ，， 即， ，解得. 故答案为： 27．（23-24高二下·江西九江·月考）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求得点关于的对称点A，再由入射点P的坐标，再由点A，P，M三点共线，求得点M的坐标，再求得点P关于x轴的对称点，再根据三点共线求得点N的坐标求解. 【详解】解：如图所示： 点关于的对称点为， 由，解得，所以，因为点A，P，M三点共线，则， 令，得，所以，点P关于x轴的对称点， 因为点三点共线，则，令，的，所以， 所以，解得或（舍去），故答案为： 题型十、几何意义：多根号构造 （共3小题） 28．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知实数满足，则的最小值为 【答案】 【分析】表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值，即可求解． 【详解】， ， 则表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值，如图所示： 设点关于直线的对称点为，得，解得，得，则 ， 等号成立时，三点共线，故答案为： 29．（25-26高三上·上海杨浦·期中）设，的最小值为 ； 【答案】 【分析】应用两点间距离公式结合三角形旋转转化边长，最后结合距离和得出最小值即可. 【详解】设，设， 把以为旋转中心逆时针旋转时，得出，则， 所以， 当且仅当四点共线时取最小值 则的最小值为. 故答案为：.      30．（23-24高二上·江苏无锡·月考）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意转化为动点到的距离之和，结合图象得到为矩形对角线交点时距离最小，进而得到答案. 【详解】 相当于动点到的距离之和， 因为四边形为矩形，所以， 所以当为矩形对角线交点时，， 此时最小，最小为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据几何意义，转化为动点到的距离之和问题，画出图象，，当为矩形对角线交点时，距离最小. 题型十一、几何意义：绝对值型构造 （（共3小题）） 31．（19-20高二上·贵州黔南·期中）已知二次函数在区间上至少有一个零点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先将函数看成关于的直线方程，再根据点到直线距离公式表示最小值函数，最后根据函数单调性求最值. 【详解】 所以 令 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以 故答案为: 【点睛】本题考查点到直线距离公式、利用函数单调性求最值以及函数与方程，考查综合分析求解能力，属难题. 32．（22-23高三上·浙江绍兴·期末）已知实数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，设直线：，则的几何意义为，点到直线的距离，即可求出取值范围. 【详解】根据题意，设直线：，设点那么点到直线的距离为：， 因为，所以，且直线的斜率，当直线的斜率不存在时，，所以，当时， ，所以，即， 因为，所以，故答案为：. 33．（24-25高二上·山西·期中），，函数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据两点间的距离及点到直线的距离公式构造点到点，点到直线的距离，由图可得解. 【详解】设点，和直线， ，到的距离分别为，，易知， 如图，    显然. 故答案为： 题型十二、平行线应用 （（共3小题）） 34．（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线方程为，点在边所在直线上.则直线的方程为 ；直线的方程为 . 【答案】 【分析】先由与垂直，求得的斜率，再由点斜式求得其直线方程；求出点的坐标，结合对称性求出点的坐标，结合平行求出斜率，即可求出结果. 【详解】由题意：为矩形，则， 又边所在的直线方程为：， 所以所在直线的斜率， 而点在直线上． 所以边所在直线的方程为：. 方程与方程联立得，关于的对称点 因，所以边所在的直线方程为. 故答案为：；. 35．（20-21高二上·上海嘉定·月考）关于的二元一次方程组，无解，则 ； 【答案】或 【解析】根据二元一次方程组无解，可知两直线平行，根据两直线平行的充要条件，即可求出结果. 【详解】因为关于的二元一次方程组，无解， 所以直线与直线平行, 所以，所以，又，所以或. 故答案为：或 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的几何意义，关键是转化为两直线平行列出方程，属于中档题. 36．（20-21高二上·江苏苏州·开学考试）已知直线：和直线：，若，且坐标原点到这两条直线距离相等，则的值为 . 【答案】 【分析】解方程组，再检验即得解. 【详解】由题意知，， 或． 当时，两直线重合，与已知不符，所以舍去. 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查两直线平行求参数，考查点到直线的距离公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 题型十三、二元方程直线系 （共3小题） 37．（20-21高二上·上海浦东新·期中）已知是直线上一点，是外一点，则方程表示的直线（    ） A．与重合 B．与交于点 C．过与平行 D．过与相交 【答案】C 【解析】由题意有可得，，，，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论． 【详解】解：由题意有可得，，，，则方程，，， 即，，，它与直线的一次项系数相等，但常数项不相等， 故，，表示过点且与平行的直线， 故选：C ． 【点睛】根据平行直线系方程，即两直线方程与互相平行. 38．（20-21高二上·上海浦东新·期中）设、为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为 ． （1）存在实数，使得点N在直线l上； （2）若，则过M、N的直线与直线l平行； （3）若，则直线l经过的中点； （4）若，则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交； 【答案】②③④ 【解析】①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到，进而可判断①不正确． ②若，则，进而得到，根据两直线斜率的关系即可判断②． ③若，即可得到，即可判断③． ④若，则，或，根据点与直线的位置关系即可判定④． 【详解】解：若点在直线上则， 不存在实数，使点在直线上，故①不正确； 若，则， 即， ， 即过、两点的直线与直线平行，故②正确； 若，则 即，， 直线经过线段的中点，即③正确； 若，则，或， 即点、在直线的同侧，且直线与线段不平行．故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，若两直线平行则两直线的斜率相等． 39．（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，设．有下列三个说法： ①存在实数，使点N在直线l上； ②若，则过MN两点的直线与直线l平行； ③若，则直线l经过线段MN的中点． 上述所有正确说法的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】根据点的坐标是否适合直线方程可判断①，③；判断两直线的斜率是否相等，并判断直线是否重合可判断②； 【详解】对于①，因为，所以， 所以点不可能在直线l上，错误． 对于②，因为，所以，所以， 若，则，不合题意，故， 所以，所以直线MN的方程为，即， 又，所以过M、N两点的直线与直线l平行，正确． 对于③，因为，所以， 所以，即在直线上， 所以直线l经过线段MN的中点，正确． 综上所述，正确的有②③， 故答案为：②③ 题型十四、系数不等的“将军饮马” （（共3小题）） 40．（25-26高二上·浙江杭州·期中），过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与不重合，为坐标原点），则以下结论：（1）为定值；（2）的面积的最大值为；（3）的最大值为5；（4）的最大值为.其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先求出定点的坐标，根据直线方程可得两条直线垂直即，进而判断（1），结合基本不等式可判断（2），进而可得点P的轨迹方程，然后根据圆的性质及柯西不等式判断（3）（4）. 【详解】对于直线，变形为， 令，解得，定点， 对于直线，变形为， 令，解得，定点， 对直线和直线， ，故两条直线垂直，, ,，为定值，故（1）正确， 设，由以上可知，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 的面积， 的面积的最大值为，故（2）正确； 设，，，则，， ，即，在以为圆心，为半径的圆上， 故的最大值为，故（3）正确； 设，由上可知，根据柯西不等式可得，即， ，当且仅当时取等号，的最大值为，故（4）正确. 故选：. 41．（多选）（25-26高二上·浙江·月考）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线上一动点，则（   ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为10 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】点关于直线：和轴的对称点分别为，，对于A：根据对称性可得，即可判断；对于B：根据点到直线的距离分析可判断；对于C：根据题意分析可得，结合点到直线的距离分析可判断；对于D：因为，结合点到直线的距离分析可判断. 【详解】设关于直线：、轴的对称点分别为，则，， 可知， 对于A， 可得周长， 当且仅当四点共线时，等号成立， 所以周长的最小值为，故A正确； 对于B，设到轴、直线：的距离分别为， 则， 可得， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，设到直线：的距离为，则. 作，垂足为，则， 因为直线的斜率，则，可得， 所以的最小值为6，故C不正确； 对于D，因为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 42．（多选）（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知平面内一点在圆上，分别过定点的两条直线相交于点，则下列结论正确的是（    ） A．动点的轨迹是除去点的一个圆 B．的最大值是 C．点到直线的距离的最小值为 D．动点的轨迹与圆一定没有交点 【答案】ABD 【分析】首先判断两直线经过的定点,以及，从而推得动点的轨迹（去掉不符合的点）；在直角三角形中借助于设角，将转化为正弦型函数，即可求其最大值；再将圆外一点到定直线的距离最小值转化为圆心到直线的距离减去半径；最后，根据两个圆的方程判断两圆的位置关系即得. 【详解】由配方得: ,易得直线过定点, 直线过定点，且直线的斜率必存在，由可得：,如图. 对于A项，由，且可知点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为：， 又因直线的斜率必存在，故需要去掉圆上的点，即动点的轨迹是除去点的一个圆，选项A正确； 对于B项，设，因,则其中， 因当时，，故的最大值是，选项B正确； 对于C项，由，易得：，因圆心到直线的距离为：， 故圆上的点到直线的距离的最小值为，选项C错误； 对于D项，因动点的轨迹方程为，(去掉点)， 设圆心为由可得两圆没有交点，故选项D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：本题主要考查直线过定点和动点轨迹问题,属于较难题. 解决动点轨迹的主要方法有： （1）定义法:对于符合常见的圆锥曲线之类的定义的轨迹题，首选此法； （2）相关点法：通过另一个已知曲线上的动点轨迹方程求解未知曲线的动点轨迹； （3）列出等式推导法：即通过设动点坐标，建立与题设之间的关系式化简即得. 题型十五、直线综合大题 （（共3大题）） 43．（25-26高二上·山东济宁·月考）如图1，当光从真空射入某介质时，在两种介质的分界面，不仅会发生反射，还会发生折射．我们把入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫作该介质的绝对折射率，简称折射率． (1)当光从真空射入某介质时，发生折射，且入射角是折射角的两倍，求该介质的折射率的取值范围． (2)如图2，甲介质的折射率为2，一条光线从真空射入甲介质发生反射和折射，以入射光线在真空与甲介质的分界面上的投影所在的直线为轴，法线为轴建立直角坐标系，若入射光线所在直线的倾斜角为钝角，反射光线所在直线的斜率为，折射光线所在直线的斜率为，判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． (3)已知直线，一条光线从点射出，经反射后，反射光线经再反射，再次反射的光线回到点． ①求该光线经过的路程长度； ②当该光线从点射出，从真空射入乙介质时，经该光线在分界面上的投影所在的直线折射后，折射光线所在直线的斜率为，求乙介质的折射率． 【答案】(1) (2)是定值，定值为 (3)①7；② 【分析】（1）根据折射率定义以及二倍角公式直接计算可得结果； （2）利用倾斜角与斜率的关系以及折射率为2化简表达式可求得是定值为； （3）①求出关于和的对称点，结合角度关系以及点共线可得路程长度为； ②由题意得折射光线所在直线的倾斜角为，再由角度关系和两角差的正弦公式计算可得结果. 【详解】（1）由题意得该介质的折射率为． 由，得， 得， 所以该介质的折射率的取值范围为． （2）是定值，且定值为． 理由如下： 由题意得的倾斜角为，则的倾斜角为， 得． 设折射角为，则的倾斜角为，则． 因为甲介质的折射率为2，所以，得． 故 （3）①如图，设该光线与的交点为，与的交点为． 设关于的对称点为． 由得，即． 设关于的对称点为． 由得，即． 易得的倾斜角为，则，得， 由光的反射性质得． 因为，所以三点共线． 同理可得三点共线，得四点共线． 易得，所以该光线经过的路程长度为 ． ②由题意得折射光线所在直线的倾斜角为． 由①得直线平行于轴，则． 由，得，得， 所以乙介质的折射率为． 44．（24-25高二上·湖南郴州·月考）过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线． (1)已知直线：，直线：，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由． (2)在中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点在二次函数的图象上．若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标． (3)已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围． 【答案】(1)存在，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论； （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，利用定积直线的定义可得或，进而，计算即可； （3）设直线，直线，其中，计算得，利用基本不等式可求的取值范围. 【详解】（1）存在点，使得，是定积直线，理由如下： 由题意可得， 由，解得， 故存在点，使得，是定积直线，且． （2）如图，设直线的斜率为， 则直线的斜率为，直线的斜率为． 依题意得，得，即或． 直线的方程为，因为点在直线上，所以． 因为点在第一象限，所以， 解得或（舍去），，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 由，得，即点的坐标为． （3）设直线，直线，其中， 则 ， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，故的取值范围为． 45．（24-25高二上·浙江台州·期中）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，求的最大值； (3)已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)存在，和 【分析】（1）根据题中新定义可求得结果； （2）设出点的坐标，结合曼哈顿距离得到的运动轨迹，根据运动轨迹可求得最值； （3）根据定义得到等式，转换为恒成立问题，即可求得结果. 【详解】（1）由题可得， ， ； （2）设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形，    其中. 即点在正方形的边上运动，， 可知：当最大时，取到最小值， 相应的有最大值， ①点与点重合时，则， 可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则， 因为，所以的最大值为； （3）易知，设， 则， 当时，，则，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立， 当且仅当时等号成立， 综上，满足条件的直线有且只有两条，和. 【点睛】本题考查了距离的新定义问题，解题关键有： （1）注意新定义的概念以及求解方法； （2）结合向量夹角的余弦值求余弦距离以及考虑最值问题； （3）本题还涉及到动点问题，结合分段函数以及不等式问题. 结束 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $