第5章 直角三角形（复习课件）数学新教材湘教版八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了直角三角形的性质、判定、勾股定理及其逆定理、直角三角形全等（HL）和角平分线的性质与判定，通过单元知识图谱将这些核心内容有机串联，构建起“性质-判定-应用”的逻辑网络，清晰呈现知识点间的内在联系。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的递进复习策略，如勾股定理应用中蚂蚁爬行路径问题通过“展曲为平”培养几何直观，直角三角形全等证明题强化推理能力，针对训练分层设计基础题与综合题，既巩固知识又发展数学思维，助力教师高效备课和学生个性化复习。

单元复习课件 第5章 直角三角形 湘教版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1．掌握直角三角形的性质、判定定理及勾股定理。 2．能运用相关知识进行计算、证明与实际应用，提升几何推理能力。 4.勾股定理与三角形全等、等腰三角形等知识的结合。 3. 勾股定理及其逆定理的应用；直角三角形性质的综合运用。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一、直角三角形的性质定理 1．直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角 。 2．直角三角形的判定定理1：有两个角 的三角形是直角三角形。 互余 互余 3．直角三角形的性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 。 一半 4．直角三角形的推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的 . 一半 5．直角三角形的推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 . 30° 考点串讲 考点二、勾股定理及其逆定理 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。数学表达式即 。 B A C 2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边满足 ，那么这个三角形是直角三角形。 实际问题 （直角三角形边长计算） 由形到数 勾股定理 勾股定理的逆定理 互 逆 由数到形 实际问题 （判定直角三角形） 考点串讲 考点二、勾股定理及其逆定理 B A C 勾股定理 勾股定理的逆定理 题设 是直角。 （为直角边，为斜边） 结论 （为直角边，为斜边） 是直角。 3．勾股数：满足 的三个正整数称为勾股数。 考点串讲 考点三、直角三角形全等的判定 1．直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边，直角边”或“HL”. 注意： ①对应相等； ②“HL”仅适用直角三角形； ③书写格式应为: ∵在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中， AB = DE， AC = DF， ∴Rt△ABC ≌Rt△DEF (HL). A B C D E F 考点串讲 考点四、角平分线的性质 1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 2．角平分线的判定定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD ⊥ OA 于 D PE ⊥ OB 于 E PD = PE OP 平分 ∠AOB PD = PE PD⊥ OA 于 D PE ⊥ OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 考点串讲 题型一、直角三角形的性质与判定 例1 等腰三角形的一个底角为 75°，腰长 4 cm，那么腰上的高是______cm，这个三角形的面积是_____cm2. 解：如图，在△ABC中。 由已知，可得∠BCD = 15°，∠ACD = 60° 所以∠A = 30°， 在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。 所以=2cm； S△ABC = 2 4 解析：利用数形结合思想，画出示意图。 75° 4cm 4cm A B C D 题型剖析 题型一、直角三角形的性质与判定 练一练 如图，AB∥DF，AC⊥BC 于 C，CB 的延长线与DF 交于点 E，若∠A ＝ 20°，则 ∠CEF 等于(　　) A．110° B．100° C．80° D．70° 解：∵AC⊥BC 于 C， ∴△ABC 是直角三角形， ∴∠ABC ＝90°－∠A＝90°－20°＝70°， ∴∠ABC ＝∠1＝70°， ∵AB∥DF， ∴∠1＋∠CEF ＝180°， 即∠CEF ＝180°－∠1＝180°－70°＝110°. A 题型剖析 题型二、勾股定理 例2 在△中，已知 是高，∠＝90°，∠、∠、∠ 的对边分别是 、、，且 ＝3，＝4，求的长． 解：根据勾股定理： 因为BD是高，直角三角形的面积有两种计算方式： 1） ；2）  这两个面积相等，所以： 解得： 解析：依据题意，画出符合题意的图，再利用等面积法求解。 B A C D 题型剖析 题型二、勾股定理 练一练 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　） D A、25 B、14 C、7 D、7或25 解析：可画图进行分类讨论： 1.当两直角边长为3和4时，根据勾股定理得第三边长的平方是； 2.当斜边长为4，一直角边长为3时，根据勾股定理得第三边长的平方是7. 题型剖析 题型二、勾股定理 解题总结： 1.在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便。 2.在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边。 题型剖析 题型三、勾股定理的逆定理与勾股数 例3 已知在△ 中，∠，∠，∠ 的对边分别是，，，＝－1，＝2，＝+1(＞1)，判断△ 是否为直角三角形． 解：首先计算三边的平方：=;=; 。 然后计算 +=+== . 可以看到 = ，满足勾股定理的逆定理. 所以△是直角三角形. 解析：要判断这个三角形是否为直角三角形，我们可以用勾股定理的逆定理：如果三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形。 题型剖析 题型三、勾股定理的逆定理与勾股数 练一练 已知△的三边长分别为，，且满足，那么该三角形是 三角形。 解：因为， 则=0；=0；=0 即=3，=4；=5. 3,4,5是勾股数，根据勾股定理的逆定理，所以该三角形是直角三角形。 直角 题型剖析 题型三、勾股定理的逆定理与勾股数 解题总结： 运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大；②分别用代数方法计算出和 的值( c 边最大)；③判断 和 是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形． 题型剖析 题型四、勾股定理的应用 例4 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 解：如图，将可能路径展开，有3条路径。 题型剖析 题型四、勾股定理的应用 例4 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 解：(1)在 Rt△1 中，,所以=5； (2)在 Rt△1 中，,所以=； (3)在 Rt△1 中，,所以=； 因为5<<，所以沿（1）走路线最短，最短为5. 题型剖析 题型四、勾股定理的应用 练一练 如图，已知长方体的长宽高分别为 5、3、1，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点 A 爬到点 B，最短路程为（　　） A 解题总结： 用勾股定理解决立体图形的问题，常以长方体、正方体、圆柱、圆锥为背景，做题思路是“展曲为平”--把立体图形转化为平面图形，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题，再运用“两点之间，线段最短”求解． 要注意的是需要认真审题，确定出最短路线，不要忽视多种展开情况． 题型剖析 题型五、勾股定理的逆定理的应用 例5 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 问题1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的问题是什么？ “远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程、距离 16×1.5=24 12×1.5=18 45° 实质是求∠2的度数。 问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，需要求角，由此你联想到了什么？ 勾股定理的逆定理 题型剖析 题型五、勾股定理的逆定理的应用 16×1.5=24 12×1.5=18 45° 解：根据题意得 =16×1.5=24(海里) =12×1.5=18(海里) ，=30(海里) ∵，即 ∴∠=90°， 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45° ∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行. 解决实际问题的步骤：①构建几何模型(从整体到局部)；②标注有用信息,明确已知和所求；③应用数学知识求解. 题型剖析 题型五、勾股定理的逆定理的应用 练一练 如图，南北方向以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在处发现其正西方向的C 处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在上处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，=10海里，=8海里，=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时， 则可疑船只最早何时进入我领海？ 题型剖析 题型五、勾股定理的逆定理的应用 解：∵=10，=6，=8 所以△是直角三角形，且∠= 90°。 直角三角形中，面积可以表示为。 解得 在Rt△BCD中，=6.4海里 ∵该船只的速度为12.8海里/时，∴6.4÷12.8=0.5(小时)=30(分钟) ∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海. 题型剖析 题型六、直角三角形全等的判定 例6 如图，两根长均为 12 米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？ 解析：将本题中的实际问题转化为数学问题就是确定 BD 是否等于 CD. 由已知条件可知 AB = AC，AD⊥BC. A B C D 题型剖析 题型六、直角三角形全等的判定 例6 如图，两根长均为 12 米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？ 解：相等，理由如下： A B C D ∵AD⊥BC， ∴∠ADB = ∠ADC = 90°. 在 Rt△ADB 和 Rt△ADC 中， ∴ Rt△ADB≌Rt△ADC(HL). ∴BD = CD. 题型剖析 题型六、直角三角形全等的判定 练一练 如图，点E，F在BC上，AE⊥BC，DF⊥BC，AC=DB，BE=CF. 求证：AC∥BD. A B D C E F 解析：证明AC∥BD的关键是根据条件，确定要证明全等的三角形. 由AE⊥BC，DF⊥BC，AC=DB，BE=CF可知，证Rt△ACE与△DBF全等，则可证AC∥BD. 题型剖析 题型六、直角三角形全等的判定 练一练 如图，点E，F在BC上，AE⊥BC，DF⊥BC，AC=DB，BE=CF. 求证：AC∥BD. A B D C E F 证明： ∵ AE⊥BC，DF⊥BC， ∴ ∠AEC=∠DFB=90°. 又∵ BE=CF， ∴ BE+EF=CF+EF，即BF=CE. ∴ Rt△ACE≌Rt△DBF. ∴ ∠ACE=∠DBF. ∴ AC∥BD. 在Rt△ACE与Rt△DBF中， ∵ AC=DB，CE=BF， 题型剖析 题型七、角平分线的性质和判定 例7 如图，在 △ABC 中，EB = FC，且 BD = CD， DE⊥AB， DF⊥AC. 垂足分别为 E，F. 求证：AD 是 △ABC 的角平分线. A B C D E F 解析：先利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF，从而得到 DE = DF，再利用角平分线的判定定理证明 AD 是 △ABC 的角平分线. 题型剖析 题型七、角平分线的性质和判定 例7 如图，在 △ABC 中，EB = FC，且 BD = CD， DE⊥AB， DF⊥AC. 垂足分别为 E，F. 求证：AD 是 △ABC 的角平分线. A B C D E F 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ DE = DF. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ AD 是△ABC 的角平分线. 证明： 题型剖析 题型七、角平分线的性质和判定 练一练 如图，∠1 = ∠2，点 P 为 BN 上的一点，∠PCB + ∠BAP = 180°，求证：PA = PC. B A C N ) ) 1 2 P 解析：由角平分线的性质易想到过点 P 向∠ABC 的两边作垂线段 PE，PF，构造角平分线的基本图形. E F 题型剖析 题型七、角平分线的性质和判定 练一练 如图，∠1 = ∠2，点 P 为 BN 上的一点，∠PCB + ∠BAP = 180°，求证：PA = PC. 证明：过点 P 作PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F. B A C N ) ) 1 2 P E F ∵∠1 = ∠2，PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F. ∴PE = PF， ∠PEA = ∠PFC = 90°. ∵ ∠PCB +∠BAP = 180°，又∠BAP +∠EAP = 180°. ∴ ∠EAP = ∠PCB. 在△APE 和△CPF 中， ∴ △APE ≌△CPF(AAS). ∴ AP = CP. 题型剖析 考查直角三角形的性质与判定 1. 如图，在△ABC 中，AD = 16，BD = 9，CD = 12，AC = 20. 求证：△ABC是直角三角形. A B C D 解析：先根据直角三角形的判定定理由AD=16，CD=12，AC=20，证明△ACD是直角三角形，从而得△BCD是直角三角形。再在Rt△BCD中，由勾股定理求得BC，即可判定△ABC是直角三角形. 针对训练 考查直角三角形的性质与判定 1. 如图，在△ABC 中，AD = 16，BD = 9，CD = 12，AC = 20. 求证：△ABC是直角三角形. A B C D 证明：在△ABC 中，AD =16，CD =12，AC =20. 在Rt△BDC中，BD=9，CD=12，则 ∴ ∠ADC =∠BDC =90°. . ∴ △ACD是直角三角形. 针对训练 考查直角三角形的性质与判定 1. 如图，在△ABC 中，AD = 16，BD = 9，CD = 12，AC = 20. 求证：△ABC是直角三角形. A B C D 在△ABC中， ∵ AC=20，BC=15，AB=AD+BD=16+9=25. ∴ AC ²+BC ²=20²+15²=625，AB²=25²=625. ∴ △ABC是直角三角形。 ∴ AC ²+BC ²=AB ². 针对训练 2. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，∠A ∠B，点D 是AB的中点，CE⊥AB，BC 6. (1)求∠A 的度数. (2)求CD，CE 的长. 考查直角三角形的性质与判定 C E B A D 解 ：(1)∵ ∠ACB=90°，∴ ∠A+∠B=90°. ∴ ∠A=30°. 又∵ ∠A=∠B，即 ∠B=2∠A ， 针对训练 2. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，∠A ∠B，点D 是AB的中点，CE⊥AB，BC 6. (1)求∠A 的度数. (2)求CD，CE 的长. 考查直角三角形的性质与判定 C E B A D (2)∵ 在Rt△ABC中， ∠A=30°，BC=6. ∴ AB=2BC=12. ∴ CD=AB=DB=6 . ∴ CD=DB=BC，即△CDB是等边三角形. 在Rt△BCE中，由勾股定理得， ∴ DE=DB=3 . 针对训练 3. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 ＝6 cm，＝8 cm，将△ 折叠，使点 与点 重合，折痕是，求 的长． 涉及勾股定理的数学思想和解题方法 解析：方程思想。欲求的线段 CD 在 Rt△ACD 中，但此三角形只知一边，可设法找出另两边的关系，然后用勾股定理求解． 针对训练 3. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 ＝6 cm，＝8 cm，将△ 折叠，使点 与点 重合，折痕是，求 的长． 解：由折叠知：＝，△ 为直角三角形． 在 Rt△ 中，， 设 ＝ cm，则 ＝＝(8－) cm， 所以 ， 化简，得 36＝64－16， 解得 ＝＝1.75，即的长为 1.75 cm. 涉及勾股定理的数学思想和解题方法 方法总结：勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解． 针对训练 4. 如图，每个小方格都是边长为 1 的正方形， （1）求四边形 的面积； （2）求∠ 的度数． 涉及勾股定理的数学思想和解题方法 解析：数形结合思想。 解：（1）∵每个小方格都是边长为 1 的正方形， ∴S正方形EFGH = 5×5 = 25. ∴S四边形ABCD = S正方形EFGH - S△ADE - S△AFB - S△BCG - S△CDH = 25 - ×2×3 - ×2×4 - ×1×2 - ×3×3 = 25 - 3 - 4 - 1 - 4.5 =12.5. 针对训练 4. 如图，每个小方格都是边长为 1 的正方形， （1）求四边形 的面积； （2）求∠ 的度数． 涉及勾股定理的数学思想和解题方法 解：（2）在 Rt△ 中， = + = + = 20. 在 Rt△ 中， = + = + =5. ∴ + = 20 + 5 = 25. 又∵ = ， ∴ + = . ∴△ 是直角三角形. ∴∠ = 90°． 针对训练 方法总结： 勾股定理及其逆定理均体现了数形结合思想。 勾股定理是由图形的特征(三角形中有一个角是直角)得到数量之间的关系(三角形的三边长，， 满足 )；勾股定理的逆定理由数量之间的关系 () 得到图形的特征 (以为三边长的三角形是直角三角形)。只有把数和形有机地结合起来，才能更好地理解和应用勾股定理及其逆定理解决问题。对于网格中图形的有关计算问题，往往需要通过数形结合，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差来计算。 涉及勾股定理的数学思想和解题方法 针对训练 5. 如图，已知在 Rt△ 中，∠ = 90°， = 4，分别以 、为直径作半圆，面积分别记为 、，则+等于 ． 涉及勾股定理的数学思想和解题方法 解析：转化思想。 解：∵ == π， == π ∴ + = π+ π = π = 2π． 针对训练 涉及勾股定理的数学思想和解题方法 方法总结： 利用勾股定理求相关图形的面积或它们之间的关系时，通常将图形的面积关系转化为直角三角形三边的关系或将不规则图形转化为直角三角形面积的和或差来解决. 针对训练 6. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，EC⊥BC于C，且AB=BE=AC，CD=CE，求证Rt△ABDRt△BEC 。 考查直角三角形全等 解析：本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，根据等腰三角形的三线合一性质得CD=BD,继而得到BD=EC,利用HL证明全等即可， 针对训练 6. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，EC⊥BC于C，且AB=BE=AC，CD=CE，求证Rt△ABDRt△BEC 。 考查直角三角形全等 证明：∵AB=AC,AD⊥BC, ∴CD=BD, ∵CD=CE, ∴BD=EC, ∵AD⊥BC,EC⊥BC, ∴∠ADB =∠BCE=90°, 在Rt△ABD 和 Rt△BEC中， AB=BE，BD=EC ∴ Rt△ABD ≌ Rt△BEC (HL). 针对训练 考查直角三角形全等 已知的条件(除直角外) 找第三个条件 所用判定方法 一直角边对应相等 另一直角边对应相等 SAS 斜边对应相等 HL 一锐角对应相等 ASA或AAS 斜边对应相等 一直角边对应相等 HL 一锐角对应相等 AAS 一锐角对应相等 一边对应相等 ASA或AAS 归纳总结 针对训练 7. 如图，OP 为∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，下列说法：①PD =PE；②OD =OE；③∠DPO =∠EPO；④OC 垂直平分线段DE 中，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 考查角平分线的性质与判定 D 解：∵ OP为∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD=PE，故①正确. ∴ Rt△PDO ≌ Rt△PEO. ∴ OD=OE，∠DPO=∠EPO.故②③正确. 在Rt△PDO 与Rt△PEO 中， ∵ PD=PE，OP=OP， 针对训练 7. 如图，OP 为∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，下列说法：①PD =PE；②OD =OE；③∠DPO =∠EPO；④OC 垂直平分线段DE 中，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 考查角平分线的性质与判定 D ∵ OD=OE， PD=PE， ∴ 点O，点P在线段OP的垂直平分线上， ∴ OP是线段DE的垂直平分线，故④正确，故选D. 针对训练 本节课你学到了什么知识和方法？ 经历了哪些思考？ 建立了什么样的数学模型？ 还有什么疑惑？ 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $