专题3.14 圆中的几何模型-四点共圆（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题3.14 圆中的几何模型-四点共圆（专项练习） 知识点回顾： 四点共圆的内涵：如果在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为"四点共圆"。四点共圆常见的有以下四种形式： 1. 对角互补的四边形，四点共圆； 2. 外角等于内对角的四边形，四点共圆； 3. 同底同侧的顶角相等的两个三角形，四点共圆； 4.到定点的距离等于定长的四个点，四点共圆。 一、单选题 1．如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ） A． B． C． D．4 2．如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ） A． B． C． D． 3．如图，圆上有、、、四点，其中，若弧、弧的长度分别为、，则弧的长度为（ ） A． B． C． D． 4．如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 二、填空题 5．如图，已知在扇形中，，半径．P为弧上的动点，过点P作于点M，于点N，点M，N分别在半径上，连接．点D是的外心，则点D运动的路径长为________． 6．如图，是和的公共斜边，AC=BC，，E是的中点，联结DE、CE、CD，那么___________________． 7．如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 __________． 8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O半径为4，且∠C＝2∠A，则的长为__． 三、解答题 9．如图，四边形是圆的内接四边形，延长、相交于点，已知． （1）求证：； （2）若是四边形外接圆的直径，求证：． 10．如图所示，正方形中，为对角线，点为上一点，过作，交于，求证：. 11．如图所示，，，求. 12．如图所示中，，，分别在边和上，且，，垂足分别为，，求的长. 13．如图所示，在平行四边形中，点为，的垂直平分线的交点，若，求. 14．如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点． （1）求证：ME=MF． （2）若∠A=50°，求∠FME的度数． 15．如图，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE、CF交于M，连AM． ⑴求证：BE＝CF；⑵求证：BE⊥CF；⑶求∠AMC的度数． 16. 如图，四边形内接于，对角线，垂足为，于点，直线与直线于点． （1）若点在内，如图1，求证：和关于直线对称； （2）连接，若，且与相切，如图2，求的度数． 17．在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E． F运动时间为t秒．回答下列问题： (1)如图1，当t为多少时，EF的长等于cm? (2)如图2，在点E、F运动过程中， ①求证：点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上； ②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________． 18．（1）如图①，的顶点O重合，且，则∠AOB+∠COD=______°；（直接写出结果） （2）连接，若分别是四边形的四个内角的平分线. ①如图②，如果，那么的度数为_______；（直接写出结果） ②如图③，若，与平行吗？为什么？ 19．如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3． （1）求BC的长． （2）如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF．求EF的最小值． 20．我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地我们定义：有一内