专题07 期末易错必刷题型汇总（36大题型）（高效培优期末专项训练）七年级数学上学期苏科版2024

专题07 期末易错必刷题型汇总（36大题型） 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 考点01 正负数的概念混淆 考点02 有理数分类 考点03 数轴上两点之间的距离 考点04 数轴上整点覆盖问题 考点05 根据点在数轴的位置判断式子的正负 考点06 绝对值的非负性 考点07 绝对值的几何意义 考点08 带有字母的绝对值化简问题 考点09 有理数的混合运算 考点10 有理数混合运算的实际应用 考点11 科学记数法 考点12 程序流程图 考点13 求代数式的值 考点14 数字类、图形类规律探究 考点15 整式加减的化简求值 考点16 整式加减的无关型问题 考点17 多项式的升降幂排列问题 考点18 等式性质 考点19 解一元一次方程 考点20 一元一次方程的含参问题 考点21 一元一次方程的应用 考点22 常见的几何体 考点23 几何体的展开图 考点24 直线、射线、线段的联系区别 考点25 线段的和与差计算 考点26 钟面角计算 考点27 几何图形中的角度计算 考点28 角平分线的计算 考点29 尺规作线段、角 考点30 余角、补角的计算 考点31 相交线问题 考点32 平行公理 考点33 三线八角 考点34 平行线的判定与性质 考点35 根据平行线的性质探究角的关系 考点36 多边形相关概念 考点01 正负数的概念混淆 1．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）在这个数中，负数共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）某水文观测站的记录员将高于平均水位的水位记作；那么低于平均水位的水位记作 ． 3．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）如图1，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：；从C到D记为：．其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中    (1)（　　，　　），（ ，　　）； (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程； (3)假如这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，，，请在图2中标出P的位置． 考点02 有理数分类 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）把下列各数填入相应的数集合中： ，，，，，，，（相邻两个1之间依次增加一个2）． 整数集合： ； 正数集合： ； 分数集合： ； 有理数集合： ． 5．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）把有理数，，，，，，，，，分别填入下列数集内． (1)非负整数集合{              …} (2)正数集合{              …} (3)负分数集合{              …} 6．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段练习）将下列各数的序号填入相应的集合中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 正分数集合：｛______…｝； 负有理数集合：｛______…｝； 非负整数集合：｛______…｝； 非正分数集合：｛______…｝． 考点03 数轴上两点之间的距离 7．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）数轴上到原点的距离是3个单位长度的点表示的数（   ） A．3 B． C．3或 D．不能确定 8．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）有一个半径为1的圆可以在数轴上无滑动地滚动，圆上的一点从数轴上表示3的点开始，沿数轴正方向滚动一周后，这个点表示的数为 ． 9．（25-26七年级上·新疆哈密·期中）如图，数轴上每两个刻度之间的距离为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点． (2)并指出点所表示的数是______． (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为3个单位长度，那么点表示的数为_____． 考点04 数轴上整点覆盖问题 10．（25-26七年级上·天津武清·月考）在数轴上，表示的点与表示3.5的点之间的整数的点有几（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 11．（24-25七年级上·湖北武汉·月考）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 12．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）有一条个单位长的线段，把它放在刻度尺上，最多能覆盖个整数，最少能覆盖个整数，则 ． 考点05 根据点在数轴的位置判断式子的正负 13．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）数、在数轴上的大致位置如图所示，下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）已知数，，在数轴上的位置如图所示，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）有理数，，在数轴上的位置如图所示，且表示数的点、数的点与原点的距离相等． (1)用“”“”或“”填空： ， ， ， ； (2)若，则 ； (3)计算：． 考点06 绝对值的非负性 16．（24-25七年级上·全国·单元测试）若．则的值为（     ） A．2 B． C．0 D．6 17．（24-25七年级下·山东潍坊·月考）若与互为相反数，则的值是（　　） A．22 B．8 C． D． 18．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）当x满足 时；代数式值最大，最大值是 ． 考点07 绝对值的几何意义 19．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是 ． 20．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）已知，则的最大值为 ． 21．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【知识储备】同学们都知道，表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离（如图）． 请你利用数形结合的思想探究下列问题： 【探究规律】 (1)求代数式的最小值； (2)代数式的最小值为_____________； (3)代数式的最小值为_____________． 考点08 带有字母的绝对值化简问题 22．（25-26七年级上·江苏南通·期中）数轴上表示数，c的点如图所示． (1)比较大小： , b；(填“”、“”或“”) (2)化简：． 23．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）根据数轴，解决下列问题． (1)比较：_____（填写“”“”或“”）； (2)判断正负，用“”或“”填空： ______，______， ______； (3)化简：． 24．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)________0，_______0，_______0；（用“>”“<”或“=”填空） (2)化简：． 考点09 有理数的混合运算 25．（25-26七年级上·江苏南通·期中）计算 (1) (2) (3) 26．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2) (3) (4) (5) (6) 27．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 考点10 有理数混合运算的实际应用 28．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）某公交车从起点A站经过B，C，D，E站后到达终点F站，每站上下乘客人数如表所示（记上车为正）． 站点 A B C D E F 上下乘客人数变化 0 a 7 6 0 (1)求a的值； (2)若车票价格为每人每次2元，则该次出车一共能收入多少元？ (3)公交车在______两站之间，车上的乘客最多． 29．（25-26七年级上·江苏常州·期中）某学习小组记录了一名外卖小哥一周的送餐情况．规定：送餐量以40单为基准，超过部分记为正，不足部分记为负（送一次外卖称为一单）具体送餐量如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)这一周七天中，送餐单数最接近40单的是星期______； (2)这一周七天中，送餐最多的单数比最少的单数多______单； (3)外卖小哥每天的收入由底薪30元和送单补贴组成，补贴规则如下：不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单的部分，每单补贴6元．求该小哥这一周中送外卖收入最多的一天比最少的一天多赚多少元？ 30．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）某批发商于周日购进某种水果10000千克，进价为每千克6.2元，周一开始进入批发市场后共占5个摊位进行销售，每个摊位最多能容纳该农产品2000千克，每个摊位的市场管理费为每天30元．该周日这种水果的批发价为每千克元，下表为该水果每天的批发价格比前一天的涨跌情况．（涨记为正，跌记为负） 星期 一 二 三 四 五 与前一天相比价格的涨跌情况（元） 当天的交易总量（千克） 2500 2000 3000 2000 500 (1)星期四该水果批发价格为每千克 元； (2)该批发商销售该种水果时的最高价格与最低价格相差 元； (3)该批发商为了降低成本，在实际销售过程中采用每天减少一个摊位的方法增加收益．若每天的交易总量如上表，试求该批发商售完这批水果一共赚了多少钱？ 考点11 科学记数法 31．（25-26七年级上·江苏·期中）据盐城市统计局数据，2024年全市常住人口约720万人，用科学记数法表示720万为（    ） A． B． C． D． 32．（2025·江苏连云港·模拟预测）2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史春节档票房冠军．该片上映首日票房约亿．亿用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 33．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）2025年江苏省城市足球联赛（苏超）决赛的现场观众人数为62329人，这一数据不仅刷新了苏超单场上座人数纪录，也创下了中国业余足球赛事的新高．数据62329用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 考点12 程序流程图 34．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为30，我们发现第1次输出的结果为15，第2次输出的结果为22，……，第2025次输出的结果为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 35．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如图，小明制定了一种密码规则，将26个英文字母A，B，C，…，Z依次对应1，2，3，…，26．密文字母所对应的数字x与明文字母所对应的数字y之间的关系如下： 例如：密文“”，对应的数字为“6  13”，那么“6”代入计算得明文对应的数字为“15”，进而对应明文为“O”；“13”代入计算得明文对应的数字为“11”，进而对应明文为“K”；所以密文“”破译成明文为“”；那么密文“”破译成明文为“ ”． 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为　　 ，　　 ； (2)你认为当输入数等于　　 时（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出　　 数； (4)有一次，小明操作的时候，输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是　　 （用含自然数n的代数式表示）． 考点13 求代数式的值 37．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知，． (1)求的值； (2)，求的值； (3)，求的值． 38．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）已知有理数a、b互为相反数，且，c、d互为倒数，有理数e是绝对值最小的数，求的值． 39．（25-26七年级上·广东深圳·期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，则． (1)尝试应用：把看成一个整体，合并的结果是___________． (2)尝试应用：已知，求的值． (3)拓展探索：已知．求代数式的值． 考点14 数字类、图形类规律探究 40．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）观察等式：，，，…，已知按一定规律排列的一组数：，，，…，，若，用含的代数式表示这组数的和是（   ） A． B． C． D． 41．（25-26七年级上·江苏南通·期中）用若干黑白两色的正方形按如图所示的方式摆放，依此规律，第n个图形中小正方形的总个数是： ；第n个图形中白色正方形的个数记为Sn，计算： ． 42．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图，每一个图形都由若干个相同的“A”组成，每个“A”都有3个黑点和2个白点．第1个图形中含有1个“A”，有3个黑点和2个白点；第2个图形中含有3个“A”，有9个黑点和6个白点，…，按此规律组成n个图形． (1)第4个图形中“A”有______个，黑点有______个； (2)第n个图形中白点有______个； (3)第20个图形中黑点的个数比白点的个数多______个． 考点15 整式加减的化简求值 43．（25-26七年级上·江苏·期中）化简或求值： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中， ． 44．（25-26七年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值：，其中． 45．（25-26七年级上·江苏·期中）已知 ，． (1)求的值； (2)若的值与x的取值无关，求y的值； (3)在（2）的条件下，求代数式的值． 考点16 整式加减的无关型问题 46．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）若关于x、y的多项式中不含项，则k的值是（   ） A． B．0 C．2 D．1 47．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）已知，，若的值与字母x的取值无关，则 48．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知，有个完全相同的边长为、的小长方形（如图1）和1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中． (1)当，时，大长方形的面积为______； (2)请用含，的代数式表示下面的问题：大长方形的长：______；阴影的面积：______；阴影的周长______； (3)请说明阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 考点17 多项式的升降幂排列问题 49．（25-26七年级上·全国·期中）下列语句中错误的是（   ） A．是二次三项式 B．单项式的系数与次数都是1 C．数字0也是单项式 D．把多项式按x的降幂排列是 50．（25-26七年级上·上海闵行·月考）把整式按x降幂排列： ． 51．（24-25七年级上·全国·期中）已知多项式． (1)将其重新排列为，则该排列方式是按照x的__________（填“升幂”或“降幂”）排列的； (2)将多项式按照y的降幂重新排列； (3)将多项式按照y的升幂重新排列． 考点18 等式性质 52．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）运用等式的性质进行变形，下列不正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 53．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）下列等式的变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 54．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）利用等式的基本性质，将等式变形为（为常数）的形式为 ． 考点19 解一元一次方程 55．（25-26七年级上·江苏南京·月考）解方程： (1)； (2)． 56．（25-26七年级上·江苏·期中）解方程： (1) (2) 57．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点20 一元一次方程的含参问题 58．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知关于的方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 59．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 60．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，求的值． 考点21 一元一次方程的应用 61．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）某校七（5）班共有学生49人，其中男生人数比女生人数多3人．综合实践活动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身10个或盒底29个． (1)七（5）班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，1个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 62．（24-25七年级下·山西临汾·期中）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米． (2)若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元．已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数． 63．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）阅读理解： 已知；若值与字母的取值无关，则，解得． 当时，值与字母的取值无关． 知识应用： （1）已知，． ①用含，的式子表示； ②若的值与字母的取值无关，求的值； 【拓展应用】 （2）某家居生活馆购进茶几和沙发共件进行销售，沙发和茶几的进价和售价如下表．为回馈新老顾客，该生活馆决定每出售一件茶几，返顾客现金元，沙发打九折出售．设购进茶几件，若销售完全部的茶几和沙发后，所得利润与的取值无关，求的值． 茶几 沙发 进价元件 售价元件 64．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）． (1)请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； (3)当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值． 65．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，在数轴上有两个长方形和，，，点A、、、都在数轴上．点A、点表示的数分别为、，且满足．长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______． (2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为S．S的最大值为______．持续的时间为______秒； 66．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）【知识理解】我们知道，在数轴上，一个数到原点的距离叫作该数的绝对值，这是绝对值的几何意义．进一步地，若数轴上的两点A，B对应的数分别为a，b，则A，B两点间的距离可以用表示，例如：表示在数轴上4到1的距离． 【直接应用】 （1）如果，那么x的值为______． 【迁移应用】 （2）如图，数轴上点M表示，点N表示．动点P从M点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向右运动；同时动点Q从N点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动．当动点P到达点N时，两动点同时停止运动．设运动时间为t秒． ①运动t秒后，在数轴上点P表示的数是______，点Q表示的数是______．（用含t的代数式表示） ②几秒后，P，Q两点之间的距离是4个单位长度？ 【创新应用】 （3）某物流公司在一条笔直的公路上设置了4个配送站A，B，C，D，它们分别对应数轴上的数a，b，c，．若满足（单位：千米，其中），则配送站B，C之间的距离为______千米． 67．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量（度） 执行电价（元/度） 第一档 小于或等于200 第二档 大于200且小于或等于450时，超出200的部分 第三档 大于450时，超出450的部分 1 (1)如果某户居民5月份用电度，则需缴本月的电费______元． (2)如果某户居民6月份用电450度，则需缴本月的电费______元；如果某户居民6月份用电度，则需缴本月的电费_____元．（用含有x的代数式表示，需化简） (3)某户居民7月份需缴电费310元，求本户居民7月份用电多少度？ 68．（25-26七年级上·江苏·期中）在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是7．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动；同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒． (1)求t秒后，点P和点Q表示的数． (2)经过多少秒后，点P和点Q相遇？ (3)若点P到达点B后立即以原速返回，点Q到达点A后也立即以原速返回，求两点第二次相遇时的位置． 69．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）图1是2025年11月份的日历，用图2所示的“九方格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为，，，． (1)______（填“”，“”或“”）； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，他选用作差法来比较大小说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______可得______； (3)当在图1的选择位置使值为64，如若能，请框选；若不能，请说明理由． (4)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 考点22 常见的几何体 70．（24-25七年级上·广西防城港·阶段练习）下面几何体中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 71．（24-25七年级上·山东·期末）下列几何体中，棱柱有 个．    72．（24-25七年级上·广东梅州·期中）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 考点23 几何体的展开图 73．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，能围成圆锥的平面展开图是（   ） A． B． C． D． 74．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是 ． 75．（24-25七年级上·江苏扬州·月考）如图1，这是形状为长方体的某种包装盒，它的长：宽：高，其展开图如图2所示（不包含包装盒的黏合处）． (1)设该包装盒的长为分米，展开图中的长度为 分米（用含x的代数式表示）． (2)若的长度为18分米，现对包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格为0.25元，求整个包装盒外表面涂色的费用． 考点24 直线、射线、线段的联系区别 76．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（    ） ①过两点只能画一条直线；②过两点只能画一条射线；③以两个点为端点只能画一条线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 77．（24-25七年级上·天津北辰·期末）如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线和射线是同一条射线；④直线经过点．其中结论正确的结论是 ． 78．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）已知，线段AB．按要求用尺规作图，并回答问题． (1)延长线段AB到点C，使 (2)点D在线段AB上，作射线DM． (3)点N在射线DM上，作直线BN， (4)此图中线段AC上共有几条不同的线段？分别是哪几条？ 考点25 线段的和与差计算 79．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点C、D为线段AB上两点，，且，则等于（   ） A． B． C． D． 80．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，点C、D是线段上的两点（点C在D的左侧），点E、F分别是线段和的中点，若，则线段的长为 ． 81．（24-25七年级上·江苏扬州·月考）如图，C为线段上一点，B为线段的中点，且． (1)图中共有 条线段； (2)求线段的长； (3)若点E在直线上，且，求线段的长． 考点26 钟面角计算 82．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在正常的钟表面上，时间为时，时针和分针所夹的角是（　　） A． B． C． D． 83．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）钟面上的时间为时，再经过，时针与分针第一次重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 84．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，时钟显示1点整．若将分针记为线段，时针记为线段，则的补角的大小为 ． 考点27 几何图形中的角度计算 85．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）已知，射线和射线在内部，且，，射线分别平分，，则 86．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点A、O、E在同一直线上，，，平分，求的度数． 87．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，O是直线上一点，． (1)图中与互余的角是 （把符合条件的角都写出来）； (2)如果，求的度数． 考点28 角平分线的计算 88．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，是的平分线，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 89．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，，．当，平分时，求的度数． 90．（24-25七年级上·江苏南通·期末）定义：在一个钝角内部作一条射线，如果这条射线把这个钝角分成的两个角中存在一个角与这个钝角互补，那么称这条射线为这个钝角的“补给线”． 例如：如图，，， 　 则是的“补给线”． (1)已知是的一条三等分线，若也是的“补给线”，则______°； (2)若的“补给线”有且只有一条，求的度数； (3)若射线，是的两条“补给线”，且，求的度数． 考点29 尺规作线段、角 91．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，在同一平面内有四个点、、、，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图（注此题作图不要求写出画法和结论）． (1)画射线、直线、线段； (2)在线段的反向延长线上作线段，使得线段． 92．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）如图，已知线段a，b，请用尺规作图，求作线段，使得（不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图所示，已知，请用直尺和圆规作图，作一个角，使它等于（要求用尺规作图，不必写作法，但要保留作图痕迹) 93．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点在直线上，平分． (1)图中小于平角的角共有_____个；（直接写出答案） (2)若，求的大小； (3)尺规作图：作（不与重合），请直接写出_____． 考点30 余角、补角的计算 94．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)试说明：和互为余角． 95．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知点O为直线上一点，， ，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 96．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，射线在的内部，射线在的外部，且与互补，． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数； (3)射线满足，写出与的数量关系，并说明理由． 考点31 相交线问题 97．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，交直线于点O，射线、在内，平分，其中． (1)求的度数； (2)求的度数． 98．（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）已知：点O为直线上一点，过点O作射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点O作射线，使，作的平分线，求的度数． 99．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线相交于点O，，平分． (1)若，求的度数； (2)若比大，求的度数． 考点32 平行公理 100．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）下列结论中，正确的是（   ） A．在同一平面内，不相交的两条线段平行 B．相等的角是对顶角 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．一个锐角的余角比它的补角小 101．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列说法中正确的是（    ） A．同位角相等． B．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点到这条直线的距离． C．平面内有三条直线a，b，c，若，，则． D．平面内有三条直线a，b，c，若，，则． 102．（2024九年级上·河南安阳·学业考试）将一副三角板按如图所示摆放，过点E作直线，过点F作直线，且．若，则 ． 考点33 三线八角 103．（24-25七年级下·全国·单元测试）根据图形填空： （1）若直线，被直线所截，则和 是同位角； （2）若直线，被直线所截，则和 是内错角； （3）和是直线，被直线 所截构成的 角； 104．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图所示， （1）和是 、 被 所截得的 角． （2）和∠ 是、被 所截得的内错角． （3） 和 是、被所截而成的同旁内角． （4） 和 是、被所截得的内错角． 105．（24-25七年级下·甘肃陇南·月考）如图，相交于点A，交于点B，交于点C． (1)指出被所截形成的同位角、内错角、同旁内角； (2)指出被所截形成的内错角； (3)指出被所截形成的同旁内角． 考点34 平行线的判定与性质 106．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，，于点O，． 求证：． 证明：（已知）， （垂直定义）， （__________）． （已知）， （__________）． （已知）， __________（__________）， （__________）． 107．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，、为两条线段，E为线段上方一点，连结交AB于F，过点E作直线交，于G，H，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 108．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，，点在直线上，点在直线上，点为平面内一点． (1)如图1，若点在之间，的平分线与的平分线交于点，求的度数； (2)如图2，若点在上方，的平分线与的平分线所在直线相交于点，求的度数． 109．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点，，求的度数． 110．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）探究问题：已知，画一个角，使，且交于点P．与有怎样的数量关系？ (1)我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中与数量关系为_________；图2中与数量关系为_________； ②请选择一种情况写出证明过程． ③由①得出如果两个角的两边互相平行，那么这两个角_________． (2)应用③中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少，求这两个角的度数． 111．（24-25八年级上·山东青岛·期末）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P． 【提出问题】小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 (1)探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． (2)探究二：如图②，的数量关系为 ； 如图③，已知，则 ° (3)利用探究一得到的结论解决下列问题：如图④，射线分别平分和交直线于点E，与内部的一条射线交于点F，若，求的度数． 112．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，点D、F在线段上，点E、G分别在线段和上，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，，求． 考点35 根据平行线的性质探究角的关系 113．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，， 求证：． 证明：如图②，过点作 ， 即． 【类比应用】 （1）如图③，已知，，，求的度数． （2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，则，，之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点，则______°． 114．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，点A，在直线上，射线，分别在与的内部，且． (1)若，求的度数； (2)若，，试用等式表示与之间的数量关系，并证明． 115．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边在直线上，其中． (1)填空：______； (2)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (3)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转一周，在转动过程中，当时，直接写出三角板的运动时间． 考点36 多边形相关概念 116．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 117．（24-25七年级上·江苏南京·期末）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形的一个顶点的对角线条数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 118．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成8个三角形，则n的值是 ． 119．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）如图1，，顶点在直线上，边、分别与直线交于点、，且．求证：； （2）如图2，在（1）的条件下分别作与的平分线、交于点，求的度数； （3）如图3，在（1）的条件下作的角平分线，过点作一条射线，交直线于点，当时，请直接写出与的关系式． 120．（2024七年级下·江苏·专题练习）同学们，你们会用画多边形的对角线来解决生活中的数学问题吗？ 比如，学校举办足球赛，共有5个班级的足球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，根据积分排列名次．问学校一共要安排多少场比赛？ 我们画出5个点，每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每个队都要与其他各队比赛一场，这样每个点与另外4个点都会有一条线段连接（如图）． 现在我们只要数一数五边形的边数和它的对角线条数就可以了．由图可知，五边形的边数和对角线条数都是5，所以学校一共要安排10场比赛． 同学们，请用类似的方法来解决下面的问题： 姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好．已知姣姣已握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飞飞已握了2次手，红红握手1次，请推算出娜娜目前已和哪几个人握了手． 121．（2024七年级下·江苏·专题练习）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ 122．（24-25八年级下·安徽六安·月考）某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)在图5中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ①表格中______，______；（用含n的代数式表示） ②拓展应用： 若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场． 123．（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格： 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … __ 多边形对角线的总条数 2 5 9 … __ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)求十二边形总共有多少条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由. $专题07 期末易错必刷题型汇总（36大题型） 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 考点01 正负数的概念混淆 考点02 有理数分类 考点03 数轴上两点之间的距离 考点04 数轴上整点覆盖问题 考点05 根据点在数轴的位置判断式子的正负 考点06 绝对值的非负性 考点07 绝对值的几何意义 考点08 带有字母的绝对值化简问题 考点09 有理数的混合运算 考点10 有理数混合运算的实际应用 考点11 科学记数法 考点12 程序流程图 考点13 求代数式的值 考点14 数字类、图形类规律探究 考点15 整式加减的化简求值 考点16 整式加减的无关型问题 考点17 多项式的升降幂排列问题 考点18 等式性质 考点19 解一元一次方程 考点20 一元一次方程的含参问题 考点21 一元一次方程的应用 考点22 常见的几何体 考点23 几何体的展开图 考点24 直线、射线、线段的联系区别 考点25 线段的和与差计算 考点26 钟面角计算 考点27 几何图形中的角度计算 考点28 角平分线的计算 考点29 尺规作线段、角 考点30 余角、补角的计算 考点31 相交线问题 考点32 平行公理 考点33 三线八角 考点34 平行线的判定与性质 考点35 根据平行线的性质探究角的关系 考点36 多边形相关概念 考点01 正负数的概念混淆 1．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）在这个数中，负数共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，注意既不是正数也不是负数．根据正数和负数的定义判断即可，注意：既不是负数也不是正数． 【详解】解：，是负数； 既不是正数，也不是负数； ，是正数； ，是正数； ，是正数； 负数有，共个． 故选：． 2．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）某水文观测站的记录员将高于平均水位的水位记作；那么低于平均水位的水位记作 ． 【答案】 【分析】此题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 根据正数和负数的意义解答即可． 【详解】解：∵记录员将高于平均水位的水位记作 ， ∴低于平均水位的水位记作． 故答案为： ． 3．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）如图1，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：；从C到D记为：．其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中    (1)（　　，　　），（ ，　　）； (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程； (3)假如这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，，，请在图2中标出P的位置． 【答案】(1)；；； (2)10 (3)见解析 【分析】（1）根据规定结合图形写出即可； （2）根据甲虫的运动路线列式计算即可得解； （3）根据规定的运动路线依次得到各关键点，最后得到点P的位置即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：；；；． （2）解：， 答：该甲虫走过的路程为10； （3）解：点 P 如图所示．    【点睛】本题考查了正数和负数，读懂题目信息，理解正负数的意义以及写法的规定是解题的关键． 考点02 有理数分类 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）把下列各数填入相应的数集合中： ，，，，，，，（相邻两个1之间依次增加一个2）． 整数集合： ； 正数集合： ； 分数集合： ； 有理数集合： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类和定义，熟练掌握有理数的两种分类方式是解答本题的关键． 有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数，据此求解即可． 【详解】整数集合：{，0，2025}； 正数集合：{3.14159，，2025，，1.1212212221...}； 分数集合：{3.14159，，}； 有理数集合：{，3.14159，0，2025，，}． 5．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）把有理数，，，，，，，，，分别填入下列数集内． (1)非负整数集合{              …} (2)正数集合{              …} (3)负分数集合{              …} 【答案】(1)，，， (2)，，，， (3)，， 【分析】本题考查了有理数的分类，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）非负整数包括正整数和0，据此进行分析，即可作答． （2）大于0的数为正数，据此进行分析，即可作答． （3）小于0的分数为负分数，据此进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：非负整数集合{，，，…}； （2）解：正数集合{，，，，…} （3）解：负分数集合{，，…} 6．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段练习）将下列各数的序号填入相应的集合中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 正分数集合：｛______…｝； 负有理数集合：｛______…｝； 非负整数集合：｛______…｝； 非正分数集合：｛______…｝． 【答案】③,⑥,⑨；①,④,⑤；②,⑦；④,⑤ 【分析】本题考查有理数的分类以及有理数的概念，属于基础题型．根据有理数的分类：整数和分数；整数分为0和负整数，正整数；分数分为负分数和正分数，即可求出答案． 【详解】解：正分数集合：｛③,⑥,⑨…｝； 负有理数集合：｛①,④,⑤…｝； 非负整数集合：｛②,⑦…｝； 非正分数集合：｛④,⑤…｝． 考点03 数轴上两点之间的距离 7．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）数轴上到原点的距离是3个单位长度的点表示的数（   ） A．3 B． C．3或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查数轴上点到原点的距离与绝对值的关系，解题的关键是理解“数轴上点到原点的距离等于该点表示数的绝对值”． 根据数轴上点到原点的距离定义，结合绝对值的意义求解该点表示的数． 【详解】设数轴上到原点距离为3个单位长度的点表示的数为， 因为数轴上点到原点的距离等于该点表示数的绝对值， 所以． 根据绝对值的定义，解得或． 故选：C 8．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）有一个半径为1的圆可以在数轴上无滑动地滚动，圆上的一点从数轴上表示3的点开始，沿数轴正方向滚动一周后，这个点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的两点之间的距离问题及圆的周长计算，根据无滑动滚动的性质，圆滚动一周移动的水平距离等于其周长，点A初始位置为3，滚动一周后点A的水平位移为圆的周长，因此点A表示的数为． 【详解】解：圆的半径，周长， 点A从数轴上表示3的点开始，沿数轴正方向无滑动滚动一周，移动距离为， 故点A表示的数为， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·新疆哈密·期中）如图，数轴上每两个刻度之间的距离为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点． (2)并指出点所表示的数是______． (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为3个单位长度，那么点表示的数为_____． 【答案】(1)见详解 (2)4 (3)1或7 【分析】本题考查数轴，用数轴表示有理数，数轴上两点间距离： （1）根据点A表示的数及每个刻度为1个单位长度可确定原点， （2）根据点B与原点的位置可得点B所表示的数； （3）分点C在点B的左侧与右侧两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：原点在点A的右侧距离点3个单位长度，如图： （2）解：点B在原点的右侧距离原点4个单位，因此点B所表示的数为4， 故答案为：4； （3）解：①当点C在点B的左侧时，， ②当点C在点B的右侧时，， 点C表示的数为1或7． 故答案为：1或7． 考点04 数轴上整点覆盖问题 10．（25-26七年级上·天津武清·月考）在数轴上，表示的点与表示3.5的点之间的整数的点有几（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据题意画出数轴，在数轴上标出与，再找出符合条件的整数点即可． 【详解】解：将与表示在数轴上如图所示： 符合条件的点有，， 0，1，2，共6个． 故选：D． 11．（24-25七年级上·湖北武汉·月考）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【答案】C 【分析】分线段的端点在整点上和不在整点上两种情况讨论，据此得出规律即可解答本题． 【详解】解：依题意得：①当线段的端点在整点上时，覆盖11个数； ②当线段的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，取一个较小的整数，然后画出图形得出规律是解决此题的关键． 12．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）有一条个单位长的线段，把它放在刻度尺上，最多能覆盖个整数，最少能覆盖个整数，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了数轴．分不从整数开始覆盖和从整数开始覆盖两种情况讨论． 【详解】解：不从整数开始覆盖最少能覆盖4个表示整数的点，即， 从整数开始覆盖最多能覆盖5个表示整数的点，即． 所以． 故答案为：9． 考点05 根据点在数轴的位置判断式子的正负 13．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）数、在数轴上的大致位置如图所示，下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答． 根据数轴，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由数轴可得， ， ，故选项A不合题意； ，故选项B不合题意； ，故选项C不合题意， ，故选项D符合题意． 故选：D． 14．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）已知数，，在数轴上的位置如图所示，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． 利用数轴知识和绝对值的定义解答即可． 【详解】解：由数轴图可知， ，，， ∴①③④错误，②正确，正确结论只有1个． 故选：A． 15．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）有理数，，在数轴上的位置如图所示，且表示数的点、数的点与原点的距离相等． (1)用“”“”或“”填空： ， ， ， ； (2)若，则 ； (3)计算：． 【答案】(1)，，，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查数轴、绝对值、整式的加减，解决本题的关键是能够根据数轴上的信息，判断出、、的取值范围，再利用加法法则判断代数式的取值范围． 根据表示数的点在原点左侧，可知，根据表示数的点、数的点在原点的两侧，且与原点的距离相等，可知表示数和数互为相反数，所以，由数轴可知，，根据有理数的加法法则可知，由数轴可知，可知，，根据有理数的加法法则可知； 根据，可知，根据表示数的点、数的点与原点的距离相等，可知； 由数轴可知：，，，，因为表示数的点、数的点与原点的距离相等，可知，根据绝对值的性质和有理数的加法则计算即可． 【详解】（1）解：由数轴可知表示数的点在原点左侧， 表示数的点、数的点与原点的距离相等， 和互为相反数， ； 由数轴可知， ， ； 由数轴可知， ，， ， 故答案为：，，，； （2）解：， ， 故答案为： （3）解：由有理数，，在数轴上的位置， 可得：，， ，， 表示数的点、数的点与原点的距离相等 ， ∴． 考点06 绝对值的非负性 16．（24-25七年级上·全国·单元测试）若．则的值为（     ） A．2 B． C．0 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的非负性及求解代数式的值，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性可直接求出x、y、z的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 17．（24-25七年级下·山东潍坊·月考）若与互为相反数，则的值是（　　） A．22 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义以及绝对值得定义，熟知任意数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解答此题的关键． 先根据互为相反数的两个数相加为0，求出x、y的值，再求出的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∴， 解得， ∴． 故选：A． 18．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）当x满足 时；代数式值最大，最大值是 ． 【答案】 5 【分析】此题主要考查了绝对值的性质，正确应用绝对值的性质是解题关键． 直接利用绝对值的性质进而分析得出答案． 【详解】解：∵代数式取最大值，则取最小值， ∴当时，最小， 解得：， ∴当时，代数式的最大值是5． 故答案为：，5． 考点07 绝对值的几何意义 19．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是 ． 【答案】18或27 【分析】本题考查了数轴上的动点运动规律、绝对值的应用及分类讨论思想，解题的关键是找出第次跳动后位置的表达式，结合到原点的距离列方程求解． 分析每次跳动的方向与距离，分为奇数、偶数两种情况推导第次跳动后的位置表达式，再根据位置的绝对值为23列方程，求解得到的值． 【详解】解：起点为，推导第次跳动后的位置： 当为奇数时，位置为； 当为偶数时，位置为． 由到原点的距离为23，得位置的绝对值为231． 若为奇数：，解得（舍去）； 若为偶数：，解得． 故答案为：18或27． 20．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，的几何意义为：数表示的点到数表示的点，与到数表示的点的距离之和；的几何意义为：数表示的点到数表示的点，与到数表示的点的距离之和；根据，推出或时且或时；据此即可求解； 【详解】解：的几何意义为：数表示的点到数表示的点，与到数表示的点的距离之和， ∴，当或时，取到最小值； 同理，的几何意义为：数表示的点到数表示的点，与到数表示的点的距离之和， 当或时，取到最小值； ∵， ∴或时且或时； ∴当，时，有最大值；且最大值为； 故答案为：． 21．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【知识储备】同学们都知道，表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离（如图）． 请你利用数形结合的思想探究下列问题： 【探究规律】 (1)求代数式的最小值； (2)代数式的最小值为_____________； (3)代数式的最小值为_____________． 【答案】(1)1 (2)2 (3)2024 【分析】此题考查了运用数形结合思想进行实数运算的能力． （1）根据题目中的几何意义进行求解． （2）根据题目中的几何意义进行求解． （3）根据题目中的几何意义进行求解． 【详解】（1）解：表示在数轴上表示数x的点到表示1的点与表示2的点的距离之和， ∴当时，代数式的值最小，最小值为； （2）解：表示在数轴上表示数x的点到表示1的点，表示2的点，表示3的点的距离之和， ∴当时，代数式的值最小，最小值为； 故答案为：2 （3）解：表示在数轴上表示数x的点到表示1的点，表示2的点，表示3的点，……，表示2025的点的距离之和， ∴当时，代数式的值最小，最小值为． 故答案为：2024 考点08 带有字母的绝对值化简问题 22．（25-26七年级上·江苏南通·期中）数轴上表示数，c的点如图所示． (1)比较大小： , b；(填“”、“”或“”) (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较与绝对值的化简，解题的关键是根据数轴确定数的正负及绝对值内表达式的符号． （1） 依据数轴上数的位置判断绝对值的大小及数的正负，进而比较大小； （2） 根据数轴确定各绝对值内表达式的正负，去掉绝对值符号后合并同类项． 【详解】（1）解：由数轴知：，且， 故； ，且， 故． 故答案为：；． （2）解：由数轴知，，，， 则 ． 23．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）根据数轴，解决下列问题． (1)比较：_____（填写“”“”或“”）； (2)判断正负，用“”或“”填空： ______，______， ______； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数轴比较数的大小，判断不等式的符号，绝对值的化简，合并同类项，解题的关键是利用数形结合的思想求解． ()根据数轴得：，即可判断； ()先判断出的范围，再根据不等式的性质运算进行判断； ()先判断出，再进行绝对值化简． 【详解】（1）解：根据数轴得：， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴ 24．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)________0，_______0，_______0；（用“>”“<”或“=”填空） (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）先根据有理数，，在数轴上的位置比较大小，再根据有理数的加减运算法则即可得出结论； （2）根据绝对值的性质去绝对值，然后化简即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：且， ∴，，， 故答案为：；；； （2） ． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，数轴，绝对值，有理数的加减运算，解题的关键是掌握：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，的绝对值是． 考点09 有理数的混合运算 25．（25-26七年级上·江苏南通·期中）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，加法运算律以及乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据加法结合律简便计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则计算即可； （3）根据乘法分配律简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 26．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)2 (2) (3)2 (4) (5) (6)0 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则． （1）先化简多重符号，再进行加减运算； （2）先化简多重符号和绝对值，再进行加减运算； （3）先化简符号并将除法转化为乘法，再根据乘法的运算法则计算即可； （4）运用乘法分配律进行简便计算； （5）先化简符号并将除法转化为乘法，再计算乘法，最后算减法即可． （6）逆用乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 27．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则：“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （3）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （4）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点10 有理数混合运算的实际应用 28．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）某公交车从起点A站经过B，C，D，E站后到达终点F站，每站上下乘客人数如表所示（记上车为正）． 站点 A B C D E F 上下乘客人数变化 0 a 7 6 0 (1)求a的值； (2)若车票价格为每人每次2元，则该次出车一共能收入多少元？ (3)公交车在______两站之间，车上的乘客最多． 【答案】(1) (2)元 (3)、 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数加减混合运算的应用，有理数四则混合运算的实际应用等知识，解题关键是正确的列出算式． （1）用下客总人数减去其它几站上车的人数求出的值即可； （2）用单价乘以所有上车人数之和进行计算即可； （3）分别求出每两站之间的人数进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）（元）, 答：该次出车一共能收入元； （3）人数为：； 人数为：； 人数为：； 人数为：； 人数为：； ∴公交车在、两站之间，车上的乘客最多， 故答案为：、． 29．（25-26七年级上·江苏常州·期中）某学习小组记录了一名外卖小哥一周的送餐情况．规定：送餐量以40单为基准，超过部分记为正，不足部分记为负（送一次外卖称为一单）具体送餐量如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)这一周七天中，送餐单数最接近40单的是星期______； (2)这一周七天中，送餐最多的单数比最少的单数多______单； (3)外卖小哥每天的收入由底薪30元和送单补贴组成，补贴规则如下：不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单的部分，每单补贴6元．求该小哥这一周中送外卖收入最多的一天比最少的一天多赚多少元？ 【答案】(1)四 (2)19 (3)106 【分析】本题考查正负数的应用，熟练掌握正负数运算法则是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义，分别求得各数的绝对值，然后比较大小即可； （2）根据正数和负数的实际意义，用最大的数减去最小的数即可； （3）根据题意分别求得收入最多和最少的一天，然后计算差值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，各数的绝对值分别为5，3，4，2，7，12，15， 由于， 则这一周七天中，送餐单数最接近40单的是星期四， 故答案为：四； （2）解： （单） 即这一周七天中，送餐最多的单数比最少的单数多19单， 故答案为：19； （3）解：由题意可得，收入最多的一天是星期日， 收入为（元）， 收入最少的一天是星期三， 收入为（元）， （元）， 答：该小哥这一周中送外卖收入最多的一天比最少的一天多赚106元． 30．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）某批发商于周日购进某种水果10000千克，进价为每千克6.2元，周一开始进入批发市场后共占5个摊位进行销售，每个摊位最多能容纳该农产品2000千克，每个摊位的市场管理费为每天30元．该周日这种水果的批发价为每千克元，下表为该水果每天的批发价格比前一天的涨跌情况．（涨记为正，跌记为负） 星期 一 二 三 四 五 与前一天相比价格的涨跌情况（元） 当天的交易总量（千克） 2500 2000 3000 2000 500 (1)星期四该水果批发价格为每千克 元； (2)该批发商销售该种水果时的最高价格与最低价格相差 元； (3)该批发商为了降低成本，在实际销售过程中采用每天减少一个摊位的方法增加收益．若每天的交易总量如上表，试求该批发商售完这批水果一共赚了多少钱？ 【答案】(1) (2) (3)批发商售完这批水果一共赚了元 【分析】本题考查了有理数混合运算在实际销售问题中的应用，解题的关键是依次计算每日批发价格，结合交易量、成本与管理费计算总利润． （1）从周日价格开始，累加周一至周四的价格涨跌得到周四价格； （2）计算每日价格，找出最高与最低价格求差； （3）计算销售总价总和，减去进价总成本与摊位管理费得到总利润． 【详解】（1）解：周日价格为元/千克， 周四价格为： + - + - = ． 故答案为：． （2）解：计算每日价格：周一元，周二元，周三元，周四元，周五元； 最高价格元，最低价格元，差价：． 故答案为：． （3）解：每日销售总价周一：元； 周二：元； 周三：元； 周四：元； 周五：元； 销售总价总和：元； 进价总成本：元； 摊位管理费：元； 总利润：元． 答：该批发商售完这批水果一共赚了元． 考点11 科学记数法 31．（25-26七年级上·江苏·期中）据盐城市统计局数据，2024年全市常住人口约720万人，用科学记数法表示720万为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法．将数字720万用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，即可作答． 【详解】解：依题意，720万， 即数据720万用科学记数法表示为， 故选：B． 32．（2025·江苏连云港·模拟预测）2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史春节档票房冠军．该片上映首日票房约亿．亿用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于1的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的标准形式作答即可． 【详解】解：亿． 故选：D． 33．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）2025年江苏省城市足球联赛（苏超）决赛的现场观众人数为62329人，这一数据不仅刷新了苏超单场上座人数纪录，也创下了中国业余足球赛事的新高．数据62329用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，即可作答． 【详解】解：数据62329用科学记数法表示为， 故选：B． 考点12 程序流程图 34．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为30，我们发现第1次输出的结果为15，第2次输出的结果为22，……，第2025次输出的结果为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，数字规律探究． 根据流程图，计算出前几次的结果，得到从第8次开始，运算结果以4，2，1，8为一组进行循环，即可得出结果． 【详解】解：第1次输出的结果为15， 第2次输出的结果为22， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为， 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， 第10次输出的结果为， 第11次输出的结果为， 第12次输出的结果为， 第13次输出的结果为， 第14次输出的结果为， 第15次输出的结果为， ……， 从第8次开始，运算结果以4，2，1，8为一组进行循环， ， 第2025次输出的结果为2， 故选：B． 35．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如图，小明制定了一种密码规则，将26个英文字母A，B，C，…，Z依次对应1，2，3，…，26．密文字母所对应的数字x与明文字母所对应的数字y之间的关系如下： 例如：密文“”，对应的数字为“6  13”，那么“6”代入计算得明文对应的数字为“15”，进而对应明文为“O”；“13”代入计算得明文对应的数字为“11”，进而对应明文为“K”；所以密文“”破译成明文为“”；那么密文“”破译成明文为“ ”． 【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数计算，根据密文“”对应的数字为“16 21”，代入运算程序计算得出明文即可． 【详解】解：密文“”对应的数字为“16 21”， 当时，，对应明文T， 当时，，对应明文O ∴密文“”破译成明文为“”， 故答案为：． 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为　　 ，　　 ； (2)你认为当输入数等于　　 时（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出　　 数； (4)有一次，小明操作的时候，输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是　　 （用含自然数n的代数式表示）． 【答案】(1)1，2； (2)0（5、10、15…，5的倍数均可）； (3)负； (4)． 【分析】本题考查了数值转换，倒数、相反数、绝对值的意义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分别将4、7代入数值转换机，计算即可得到输出结果； （2）当输入数字为0得到结果为0； （3）数值转换机不可能输出负数； （4）根据数值转换机的规律表示出结果即可． 【详解】（1）解：若输入的数字为4时， ∵，则， ∵，则的相反数为1， ∵为正数，则倒数为1，输出结果为1， 若输入数字为7时， ∵，则， ∴相反数为， ∴的绝对值为2，输出结果为2， 故答案为：； （2）解：根据题意得：输入数字为（，5的倍数均可），结果为0， 故答案为：（，5的倍数均可）； （3）解：这个“数值转换机”不可能输出负数， 故答案为：负； （4）解：归纳总结得：小明输入的正整数是， 故答案为：． 考点13 求代数式的值 37．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知，． (1)求的值； (2)，求的值； (3)，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了代数式求值，求一个数的绝对值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据绝对值的定义可求出a、b的值，再代值计算即可； （2）根据绝对值的定义可求出a、b的值，再根据得到异号，据此可确定a、b的值，再代值计算即可； （3）根据绝对值的定义可求出a、b的值，再根据得到，据此可确定a、b的值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为或； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴异号， ∵，， ∴或， ∴或； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 38．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）已知有理数a、b互为相反数，且，c、d互为倒数，有理数e是绝对值最小的数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，以及相反数，倒数的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意得出，，，，求出答案即可． 【详解】解：、b互为相反数， ， ， ∵， ， 、d互为倒数， ， 有理数e是绝对值最小的数， ， ． 39．（25-26七年级上·广东深圳·期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，则． (1)尝试应用：把看成一个整体，合并的结果是___________． (2)尝试应用：已知，求的值． (3)拓展探索：已知．求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了代数式求值， 对于（1），将看成整体，再计算； 对于（2），将原式整理为，再整体代入求值； 对于（3），先整体代入，再计算，然后整体代入即可． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：； （2）解：因为， 所以； （3）解：因为， 所以原式 ． 考点14 数字类、图形类规律探究 40．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）观察等式：，，，…，已知按一定规律排列的一组数：，，，…，，若，用含的代数式表示这组数的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律的探索，有理数的乘方运算，解题的关键是找出运算规律． 通过观察等式规律，将给定数列的和提取公因式后进行整理，代入已知条件化简即可． 【详解】解：∵， ∴ 和， 根据示例得，， ∴， 故选：B． 41．（25-26七年级上·江苏南通·期中）用若干黑白两色的正方形按如图所示的方式摆放，依此规律，第n个图形中小正方形的总个数是： ；第n个图形中白色正方形的个数记为Sn，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律探究与分式的化简求值，解题的关键是找出图形中正方形个数的规律及利用裂项相消法化简分式乘积． 先通过图形找出第个图形中正方形总个数的规律；再确定白色正方形个数的表达式，进而对分式乘积进行裂项化简． 【详解】解： ①观察图形第1个图形：； 第2个图形：； 第3个图形：； 第4个图形：； …… 第个图形：． ②由图形可知，白色正方形个数 则 因此： ． 故答案为：；． 42．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图，每一个图形都由若干个相同的“A”组成，每个“A”都有3个黑点和2个白点．第1个图形中含有1个“A”，有3个黑点和2个白点；第2个图形中含有3个“A”，有9个黑点和6个白点，…，按此规律组成n个图形． (1)第4个图形中“A”有______个，黑点有______个； (2)第n个图形中白点有______个； (3)第20个图形中黑点的个数比白点的个数多______个． 【答案】(1)10，30 (2) (3)210 【分析】本题考查图形类规律、代数式求值，熟练找准规律是解题的关键． （1）依次求出图形中“A”的个数，黑点和白点的数量，发现规律，根据规律解答即可； （2）结合（1）中发现的规律进行解答即可； （3）根据（1）中的规律，进行计算黑点个数和白点个数，计算差值即可． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个图形中“A”的个数为，黑点个数为，白点个数为：； 第2个图形中“A”的个数为，黑点个数为，白点个数为：； 第3个图形中“A”的个数为，黑点个数为，白点个数为：； 依次类推， 所以第n个图形中“A”的个数为，黑点个数为，白点个数为 当时， ， 即第4个图形中“A”有10个，黑点有30个, 故答案为：10，30； （2）解：由（1）知，第n个图形中白点有个， 故答案为：； （3）解：当时， 因此第20个图形中黑点的个数比白点的个数多210个， 故答案为：． 考点15 整式加减的化简求值 43．（25-26七年级上·江苏·期中）化简或求值： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中， ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值． （1）直接合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项，最后将， 代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， 代入， 得：． 44．（25-26七年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确去括号、合并同类项． 先去括号，再合并同类项化简代数式，最后代入、的值计算． 【详解】解： ； 当，时， 原式 45．（25-26七年级上·江苏·期中）已知 ，． (1)求的值； (2)若的值与x的取值无关，求y的值； (3)在（2）的条件下，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减运算的无关型问题，化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出，再去括号，合并同类项，得； （2）结合，又因为的值与x的取值无关，则，再解得，即可作答． （3）先去括号，再合并同类项，得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：由（1）得 ∵与x无关 则， 解得． （3）解： ， 由（2）得， ∴． 考点16 整式加减的无关型问题 46．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）若关于x、y的多项式中不含项，则k的值是（   ） A． B．0 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，掌握知识点是解题的关键． 将多项式中的项合并同类项，令其系数为零，解方程即可求出k的值． 【详解】解： ∵该多项式不含项， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 47．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）已知，，若的值与字母x的取值无关，则 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项以及代数式无关项求值，熟记合并同类项法则是解答本题的关键． 先计算的表达式，合并同类项后，令含的项的系数为零，从而求出的值． 【详解】解：∵，， 则， ． ∵的值与字母的取值无关， 则含的项的系数为零，即， 解得：． 故答案为：． 48．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知，有个完全相同的边长为、的小长方形（如图1）和1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中． (1)当，时，大长方形的面积为______； (2)请用含，的代数式表示下面的问题：大长方形的长：______；阴影的面积：______；阴影的周长______； (3)请说明阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 【答案】(1)130 (2)；；． (3)见解析 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式的加减运算等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先根据图形列式表示出大长方形的面积为，再将、代入计算即可； （2）直接根据题意列式并化简即可； （3）先分别表示出阴影、阴影的周长，然后求和即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知：大长方形的长为，宽为10， 则大长方形的面积为， 当，时，大长方形的面积为． 故答案为： （2）解：由（1）可得：大长方形的长为， 阴影的面积：，阴影B的周长为： 故答案为：；；． （3）解：阴影的周长：，阴影B的周长为：， 所以阴影与阴影的周长的和为， 所以阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 考点17 多项式的升降幂排列问题 49．（25-26七年级上·全国·期中）下列语句中错误的是（   ） A．是二次三项式 B．单项式的系数与次数都是1 C．数字0也是单项式 D．把多项式按x的降幂排列是 【答案】B 【分析】本题考查单项式的系数、次数及多项式的次数定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据单项式的系数、次数以及多项式的次数和排列规则，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：选项A：多项式的最高次项为和，次数均为2，且有三项，故选项中的说法正确，不符合题意； 选项B：单项式的系数为，次数为1，即系数不是1，故选项中的说法错误，符合题意； 选项C：数字0是单独一个数，是单项式，故选项中的说法正确，不符合题意； 选项D：多项式按的降幂排列，每一项为（次数3）、（次数2）、（次数1）、（次数0），即降幂排列为，故选项中的说法正确，不符合题意； 故选：B． 50．（25-26七年级上·上海闵行·月考）把整式按x降幂排列： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的排列问题．按照x的指数从高到低排列多项式即可得到答案． 【详解】解：把多项式按字母降幂排列为， 故答案为：． 51．（24-25七年级上·全国·期中）已知多项式． (1)将其重新排列为，则该排列方式是按照x的__________（填“升幂”或“降幂”）排列的； (2)将多项式按照y的降幂重新排列； (3)将多项式按照y的升幂重新排列． 【答案】(1)升幂 (2) (3) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式升幂、降幂排序的定义． （1）根据升幂排列和降幂排列的定义，观察字母x、y的指数即可求解； （2）先分清多项式的各项，然后按多项式中y的降幂排列的定义排列； （3）先分清多项式的各项，然后按多项式中y的升幂排列的定义排列． 【详解】（1）解：将其重新排列为，则该排列方式是按照x的升幂排列的， 故答案为：升幂； （2）解：多项式按照y的降幂重新排列为； （3）解：多项式按照y的升幂重新排列为． 考点18 等式性质 52．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）运用等式的性质进行变形，下列不正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查等式的性质；由题意可根据等式的性质进行排除选项． 【详解】解：A、若，则，原变形正确，该选项不符合题意； B、若，则，原变形正确，该选项不符合题意； C、若，则，原变形正确，该选项不符合题意； D、若，则或，原变形不正确，该选项符合题意； 故选：D． 53．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）下列等式的变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可，解题的关键是正确理解等式性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；、等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立． 【详解】解：、如果，那么，原选项错误，不符合题意； 、如果，那么，原选项错误，不符合题意； 、如果，那么，原选项正确，符合题意； 、如果，当时，那么，原选项错误，不符合题意； 故选：． 54．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）利用等式的基本性质，将等式变形为（为常数）的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质解答即可，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：等式两边同时加，得， 两边同时除以，得， 故答案为：． 考点19 解一元一次方程 55．（25-26七年级上·江苏南京·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为等，熟悉解一元一次方程的步骤是关键； （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：． （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 56．（25-26七年级上·江苏·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）去括号，合并同类项，移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）去分母，去括号，合并同类项，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解：去括号得： 合并同类项得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： （2）解：去分母得： 去括号得： 合并同类项得： 移项得： 系数化为1得： 57．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键． （1）按照“移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解答即可； （2）按照“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解答即可； （3）按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解答即可； （4）按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ． （4）解：， ， ， ， ， ， ， ． 考点20 一元一次方程的含参问题 58．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知关于的方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，已知方程的解求参数．由第一个方程的解代入得到 的关系式，然后将第二个方程化简，利用该关系式求解，即可作答． 【详解】解：∵方程 的解为， ∴代入得 ， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 移项得， ∴， 把代入，得， ∵， ∴， 故选：D． 59．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由一元一次方程解的情况求参数，有理数的加法运算，先解方程得到 ，根据方程有正整数解，得到 必须是负整数且是的约数，从而求出整数的值，再求和即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴， ∵ 方程有正整数解， ∴ 且为整数， ∴且是的约数， ∵的负约数有和， ∴或， 解得或， ∴整数的所有可能取值的和为， 故选：． 60．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，求的值． 【答案】(1)； (2)12 【分析】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解法等知识，理解“美好方程”的定义是解题关键． （1）解关于x的方程得，解关于x的方程得，根据“美好方程”定义得到，即可求出； （2）解关于x的方程得，解方程得，根据“美好方程”定义得到，变形为，根据无论k取任何有理数结论都成立，得到，求出，进而求出，从而求出． 【详解】（1）解：解关于x的方程得， 解关于x的方程得， 因为方程与方程是“美好方程”， 所以， 解得； （2）解：解关于x的方程（a、b为常数）得， 解方程得， 因为关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”， 所以， 即， 因为无论k取任何有理数结论都成立， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 考点21 一元一次方程的应用 61．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）某校七（5）班共有学生49人，其中男生人数比女生人数多3人．综合实践活动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身10个或盒底29个． (1)七（5）班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，1个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生26人，女生23人 (2)6名 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设七（5）班班有女生x人，则有男生人，结合七（5）班共有学生49人，再建立方程求解即可； （2）设需要y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据1个盒身匹配2个盒底，建立方程求解即可； 【详解】（1）解：设七（5）班班有女生x人，则有男生人， 根据题意，得， 解方程，得， ∴（人）． 答：七（5）班有男生26人，女生23人； （2）解：设需要y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意，得， 解方程，得． 答：需要6名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 62．（24-25七年级下·山西临汾·期中）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米． (2)若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元．已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数． 【答案】(1)甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米 (2)8天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程； （1）设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米，根据甲、乙两工程队合作4天完成该工程的列出等式； （2）设甲工程队单独挖掘天，得出乙工程队挖掘天，再根据总费用为94万元建立等式求解． 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米． 由题意得，． 解得． ． 答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． （2）解：设甲工程队单独挖掘天，则乙工程队挖掘天， 即天． 由题意得，． 解得． 答：甲工程队单独挖掘8天． 63．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）阅读理解： 已知；若值与字母的取值无关，则，解得． 当时，值与字母的取值无关． 知识应用： （1）已知，． ①用含，的式子表示； ②若的值与字母的取值无关，求的值； 【拓展应用】 （2）某家居生活馆购进茶几和沙发共件进行销售，沙发和茶几的进价和售价如下表．为回馈新老顾客，该生活馆决定每出售一件茶几，返顾客现金元，沙发打九折出售．设购进茶几件，若销售完全部的茶几和沙发后，所得利润与的取值无关，求的值． 茶几 沙发 进价元件 售价元件 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，销售盈亏(一元一次方程的应用)，整式的加减运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）①将、代入计算； ②根据的值与字母的取值无关，列出关于的方程求解； （2）先列出算式，化简后，根据所得利润与的取值无关，列出关于的方程求解． 【详解】（1）解： ，， ； 由①知： ， 的值与字母的取值无关， ， ； （2）由题意可知： 销售完全部的茶几和沙发后，所得利润为： ， 销售完全部的茶几和沙发后，所得利润与的取值无关， ， ． 64．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）． (1)请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； (3)当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值． 【答案】(1)方案一：（元），方案二：（元） (2)方案二便宜 (3)时，两种方案的费用相同 【分析】本题考查列代数式、代数式求值、整式的加减应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）根据两种优惠方案结合实际费用等于数量×单价列出代数式即可； （2）将a、b值分别代入（1）中代数式中求解，进而比较大小做出判断即可； （3）将a代入（1）中得到关于b的代数式，得到关于b的方程，解方程求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： 方案一：（元）， 方案二：（元）； （2）解：当，时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ， 方案二便宜； （3）解：当时，方案一：（元），方案二：（元）， ∵当时，两种方案的费用相同， ∴， 解得：， 时，两种方案的费用相同. 65．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，在数轴上有两个长方形和，，，点A、、、都在数轴上．点A、点表示的数分别为、，且满足．长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______． (2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为S．S的最大值为______．持续的时间为______秒； 【答案】(1)，14 (2)或3 (3)15， 【分析】本题考查一元一次方程的应用．得到能解决问题的相等关系是解决本题的关键．用到的知识点为：两个数的绝对值相等，这两个数相等或互为相反数． （1）根据可得和的值，即可得到和的长度，结合，可得和的长度，即可得到点和点表示的数； （2）分别表示出点和点表示的数，根据，列方程求解即可得到的值； （3）易得重叠的最大面积为较小的长方形的面积，画出小长方形完全进入大长方形一开始的情况和即将结束时的情况，可得重叠面积为最大面积时两个长方形运动的路程和，根据相向而行，除以速度和即为持续的时间． 【详解】（1）解：∵，且 ∴． 解得：，． ，． ∵， ． ． ∴点表示的数是，点表示的数是14． 故答案为：，14； （2）解：秒后点表示的数为：，点表示的数为：． ∵， ． 或． 解得：或3． （3）解：当长方形全部进入到长方形中时，重合的面积最大，为长方形的面积：； 由图可得：当长方形全部在长方形中时，运动的路程为5， ∵两个长方形相向而行， ∴持续的时间为：． 故答案为：15，． 66．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）【知识理解】我们知道，在数轴上，一个数到原点的距离叫作该数的绝对值，这是绝对值的几何意义．进一步地，若数轴上的两点A，B对应的数分别为a，b，则A，B两点间的距离可以用表示，例如：表示在数轴上4到1的距离． 【直接应用】 （1）如果，那么x的值为______． 【迁移应用】 （2）如图，数轴上点M表示，点N表示．动点P从M点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向右运动；同时动点Q从N点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动．当动点P到达点N时，两动点同时停止运动．设运动时间为t秒． ①运动t秒后，在数轴上点P表示的数是______，点Q表示的数是______．（用含t的代数式表示） ②几秒后，P，Q两点之间的距离是4个单位长度？ 【创新应用】 （3）某物流公司在一条笔直的公路上设置了4个配送站A，B，C，D，它们分别对应数轴上的数a，b，c，．若满足（单位：千米，其中），则配送站B，C之间的距离为______千米． 【答案】（1）5或；（2）①；；②或；（3）或 【分析】本题考查绝对值的几何意义与数轴上的动点问题，列代数式，解题关键是利用绝对值表示距离并建立方程． （1）根据绝对值定义求解即可； （2）①按运动方向写表达式；②列距离方程，计算求解即可； （3）分四种情况：或，或，由距离关系得的关系式并求得答案． 【详解】解：（1）由，得或， 解得或； 故答案为：5或； （2）①运动t秒后： 点P表示的数：； 点Q表示的数：； 故答案为：；； ②两点距离为， 解得或， 即或； （3）∵， ∴， 若或， 则； 若或， 则； 综上所述，B、C距离为或． 故答案为：或 67．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量（度） 执行电价（元/度） 第一档 小于或等于200 第二档 大于200且小于或等于450时，超出200的部分 第三档 大于450时，超出450的部分 1 (1)如果某户居民5月份用电度，则需缴本月的电费______元． (2)如果某户居民6月份用电450度，则需缴本月的电费______元；如果某户居民6月份用电度，则需缴本月的电费_____元．（用含有x的代数式表示，需化简） (3)某户居民7月份需缴电费310元，求本户居民7月份用电多少度？ 【答案】(1) (2)275； (3)485度 【分析】本题主要考查了列代数式，有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系，列出方程． （1）根据表格中的信息列出代数式即可； （2）根据表格中信息列出算式进行计算，列出代数式即可； （3）根据得出本户居民7月份用电超过450度，再列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：某户居民5月份用电度，则需缴本月的电费元； （2）解：某户居民6月份用电450度，则需缴本月的电费： （元）； 某户居民6月份用电度，则需缴本月的电费为： 元； （3）解：根据解析（2）可知：当用电450度时，需缴电费275元，因为，所以本户居民7月份用电超过450度， 设本户居民7月份用电m度，根据题意得： ， 解得：， 答：本户居民7月份用电485度． 68．（25-26七年级上·江苏·期中）在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是7．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动；同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒． (1)求t秒后，点P和点Q表示的数． (2)经过多少秒后，点P和点Q相遇？ (3)若点P到达点B后立即以原速返回，点Q到达点A后也立即以原速返回，求两点第二次相遇时的位置． 【答案】(1)点P表示的数为，点Q表示的数为 (2)两点在2.4秒后相遇 (3)第二次相遇的位置是 【分析】本题考查数轴、数轴上的动点，涉及解一元一次方程等知识，掌握数轴上的动点的性质是解题关键． （1）根据题意即可求出点和点所表示的数； （2）根据题意可得进行求解即可； （3）先分析点P到达点B的时间，再分析点Q到达点A的时间可得第二次相遇发生在点返回、点返回后，设第二次相遇时间为秒（），根据题意列出点和点的方程进行联立求解即可． 【详解】（1）由题意可得， 点从出发向右运动，秒后的位置为：， 点从出发向左运动，秒后的位置为：； （2）当时，两点相遇得，， ， ， ， ∴两点在2.4秒后相遇； （3）点从到的距离为单位，速度单位/秒， ∴所需时间为秒， ∴此时，点的位置为， ∴点还未到达点，仍在向左运动； 点从到的距离为单位，速度单位/秒， ∴所需时间为秒， ∴此时点已从返回运动秒，位置为， ∴第二次相遇发生在点返回、点返回后； 设第二次相遇时间为秒（）， 此时点经过秒到达，剩余秒向左运动， 位置为， 点经过秒到达A，剩余秒向右运动， 位置为， 联立方程得， ， ， ， 解得， 将t代入或计算位置得， ， ∴两点第二次相遇时的位置是． 69．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）图1是2025年11月份的日历，用图2所示的“九方格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为，，，． (1)______（填“”，“”或“”）； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，他选用作差法来比较大小说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______可得______； (3)当在图1的选择位置使值为64，如若能，请框选；若不能，请说明理由． (4)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)= (2)，0 (3)不能，理由见解析 (4)是定值，定值为 【分析】此题考查列代数式及整式加减的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，弄清楚数字的排列规律． （1）分别用含的式子表示，，，，列出代数式，化简后比较即可得出结论； （2）分别用含的式子表示，，，，列出代数式，化简后比较即可得出结论； （3）分别用含的式子表示，，，，根据，列出方程求解即可； （4）分别用含的式子表示，，，，代入到，再化简，即可解决问题． 【详解】（1）解：设，则，，， ，， ． 故答案为：=． （2）由（1）得，， ． 故答案为：，0． （3）由（1）得，，，，， ， 整理得：，解得． 8在月历表中第二行最后一个数， 无法框出九方格． ∴不能； （4）由（1）得，，，，， ． ∴代数式的值是定值，它的值为． 考点22 常见的几何体 70．（24-25七年级上·广西防城港·阶段练习）下面几何体中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每个几何体的特征是解题的关键． 根据圆柱的特征，即可解答． 【详解】解：A．是正方体，故不符合题意； B．是圆柱，故符合题意； C．是圆锥，故不符合题意； D．是球体，故不符合题意， 故选：B． 71．（24-25七年级上·山东·期末）下列几何体中，棱柱有 个．    【答案】3 【分析】本题考查的是棱柱的概念与识图，棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形，根据特征逐一分析四个选项从而可得答案． 【详解】解：棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形， 根据特征可得从左向右数，第1、4、6个图形为棱柱，共3个， 故答案为：3． 72．（24-25七年级上·广东梅州·期中）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）填表见解析，；（2）五；（3）10 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数、面数和棱数之间的数量关系是， 故答案为：； （2）一个棱柱只有七个面，必有2个底面， 有个侧面， 这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：， 故该多面体的面数为10． 考点23 几何体的展开图 73．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，能围成圆锥的平面展开图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查基本几何体的展开图，根据圆锥，三棱柱，圆柱体以及正方体的表面展开图的特征求解即可． 【详解】解：．能围成圆锥，故该选项符合题意； ．能围成三棱柱，故该选项不符合题意； ．能围成圆柱体，故该选项不符合题意； ．能围成正方体，故该选项不符合题意； 故选：A． 74．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体表面积，圆的面积公式，根据弧长公式求出弧长，然后利用求出表面面积即可，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：塑料膜的面积 ， 故答案为：． 75．（24-25七年级上·江苏扬州·月考）如图1，这是形状为长方体的某种包装盒，它的长：宽：高，其展开图如图2所示（不包含包装盒的黏合处）． (1)设该包装盒的长为分米，展开图中的长度为 分米（用含x的代数式表示）． (2)若的长度为18分米，现对包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格为0.25元，求整个包装盒外表面涂色的费用． 【答案】(1) (2)27元 【分析】本题考查了列代数式、整式加减的应用、一元一次方程的应用、长方体的展开图，熟练掌握整式加减的应用是解题关键． （1）先求出该包装盒的宽为分米，高为分米，再根据的长度等于长与高之和的2倍即可得； （2）先求出，则可得该包装盒的长、宽与高，再求出该包装盒的表面积，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：该包装盒的宽为分米，高为分米， 则（分米）， 故答案为：． （2）解：∵的长度为18分米， ∴， 解得， ∴该包装盒的长为6分米，宽为4分米，高为3分米， ∵现对包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格为元， ∴（元）， 答：整个包装盒外表面涂色的费用为27元． 考点24 直线、射线、线段的联系区别 76．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（    ） ①过两点只能画一条直线；②过两点只能画一条射线；③以两个点为端点只能画一条线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，直线、射线、线段的联系与区别等知识点，熟练掌握直线、射线、线段的定义及它们之间的联系与区别是解题的关键． 根据两点确定一条直线，直线、射线、线段的联系与区别等知识点逐项分析判断即可． 【详解】解：①因为两点确定一条直线，所以过两点只能画一条直线，故说法①正确； ②过两点可以画条射线，故说法②错误； ③以两个点为端点只能画一条线段，该说法正确，故说法③正确； 综上，说法正确的有，共个， 故选：． 77．（24-25七年级上·天津北辰·期末）如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线和射线是同一条射线；④直线经过点．其中结论正确的结论是 ． 【答案】①③ 【分析】根据直线、射线、线段的定义结合图形即可分析判断求解． 【详解】解：①直线是没有端点，向两边无限延伸，图中有两条直线，分别是：直线BC和直线BD，故①说法正确； ②直线上两点及两点之间的部分是线段，图中有6条线段，分别是：线段AB、线段BC、线段BD、线段AC、线段CD、线段AD，故②说法错误； ③射线和射线是同一条射线，都是以点A为端点，同一方向的射线，故③说法正确； ④直线和直线BC相交于点B，直线经过点B，不经过点，故④说法错误， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查直线、射线、线段的定义，解题的关键是熟练掌握并区分相关定义． 78．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）已知，线段AB．按要求用尺规作图，并回答问题． (1)延长线段AB到点C，使 (2)点D在线段AB上，作射线DM． (3)点N在射线DM上，作直线BN， (4)此图中线段AC上共有几条不同的线段？分别是哪几条？ 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)6条，分别是AD、BD、BC、AB、AC、CD 【分析】（1）以点B为圆心，AB为半径画弧，交AB的延长线于点C即可； （2）在线段AB上任取一点D，作射线DM即可； （3）在射线DM上任取一点N，作直线BN即可； （4）根据线段的定义解答即可． 【详解】（1）解：如图，线段BC即为所求； （2）解：如图，射线DM即为所求； （3）解：直线BN即为所求； （4）解：线段AC上共有6条不同的线段，分别是AD、BD、BC、AB、AC、CD． 【点睛】此题考查了直线，射线，线段的定义，作图能力，正确理解定义是解题的关键． 考点25 线段的和与差计算 79．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点C、D为线段AB上两点，，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和与差，根据得，根据即可得，掌握线段的和与差是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 80．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，点C、D是线段上的两点（点C在D的左侧），点E、F分别是线段和的中点，若，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】 本题考查了线段的和与差，线段的中点，两点间的距离，数形结合是解本题的关键．先根据中点定义得出，，再根据即可求解． 【详解】 解：∵点E、F分别是线段和的中点， ，， ， 故答案为：4． 81．（24-25七年级上·江苏扬州·月考）如图，C为线段上一点，B为线段的中点，且． (1)图中共有 条线段； (2)求线段的长； (3)若点E在直线上，且，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段两点间的距离，线段中点的有关计算，直线、射线、线段，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据图形，即可解答； （2）先利用线段中点的定义可得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （3）分两种情况：当点E在线段的延长线上时；当点E在线段上时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：图中共有6条线段，分别是：， 故答案为：6； （2）点B为的中点，， ， ， ， 的长为； （3）分两种情况： 当点E在线段的延长线上时，如图： ， ； 当点E在线段上时，如图： ， ； 综上所述：的长为或． 考点26 钟面角计算 82．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在正常的钟表面上，时间为时，时针和分针所夹的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是钟面角，熟练掌握钟表表盘与角度相关的特征是关键． 因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成12等份，每一份是，找出时针和分针之间相差的大格数，再用大格数乘即可求解． 【详解】解：∵钟表上时，时针与分针之间相差个大格， ∴时针与分针的夹角是． 故选：B． 83．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）钟面上的时间为时，再经过，时针与分针第一次重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了钟面角问题，解题关键是根据分针和时针的速度列出方程； 根据钟面上的时间为，可得时针与分针所成的角度为，再根据分针和时针的速度列出方程即可． 【详解】解：当钟面上的时间为时，时针与分针所成的角度为， 时针每分钟转，分针每分钟转， 再经过，时针与分针第一次重合， 可列方程得，， 解得，， 故选：A． 84．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，时钟显示1点整．若将分针记为线段，时针记为线段，则的补角的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了余角和补角，解题关键是熟练掌握互为补角的定义．根据如果两个角的和是，那么这两个角是互为补角，列出算式进行计算即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴的补角为：， 故答案为：． 考点27 几何图形中的角度计算 85．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）已知，射线和射线在内部，且，，射线分别平分，，则 【答案】5 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的定义， 根据已知条件，计算和的度数，再利用角平分线的定义得到和度数，最后求的度数． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵，平分， ∴． ∴． 故答案为：5． 86．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点A、O、E在同一直线上，，，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、平角定义，先根据角平分线的定义得到，然后利用平角定义求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 87．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，O是直线上一点，． (1)图中与互余的角是 （把符合条件的角都写出来）； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查互余的含义，角的和差运算，一元一次方程的应用； （1）根据互余的含义可得答案； （2）设，可得，，结合，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴图中与互余的角是； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 考点28 角平分线的计算 88．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，是的平分线，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，是基础题，准确识图是解题的关键． （1）先求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，于是得到结论； （2）设，则，根据角平分线的定义和角的倍分即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴； （2）解：∵， 设，则， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 89．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，，．当，平分时，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先由角平分的定义得到的度数，再由角的和差关系可得的度数． 【详解】解：∵，平分， ∴ ∵，， ∴． 90．（24-25七年级上·江苏南通·期末）定义：在一个钝角内部作一条射线，如果这条射线把这个钝角分成的两个角中存在一个角与这个钝角互补，那么称这条射线为这个钝角的“补给线”． 例如：如图，，， 　 则是的“补给线”． (1)已知是的一条三等分线，若也是的“补给线”，则______°； (2)若的“补给线”有且只有一条，求的度数； (3)若射线，是的两条“补给线”，且，求的度数． 【答案】(1)108或135 (2) (3)的度数为或 【分析】本题考查了新定义，角的计算，补角的定义，熟练掌握新定义，正确进行角的计算是解题的关键． （1）根据题意，是的一条三等分线，得到，根据是的“补给线”，得到，或，从而得到或； （2）根据条件，的“补给线”有且只有一条，是的角平分线，也是的“补给线”，从而得到的度数； （3）根据题意，，利用“补给线”的定义，列出等式，求出． 【详解】（1）解：如图1，是的一条三等分线， ∴， 因为是的“补给线”， ∴， ∴， ∴， 或是的一条三等分线， ∴， 因为是的“补给线”， ∴， ∴， 即， ∴， 综上所述，或， 故答案为：108或135； （2）解：如图2，的“补给线”有且只有一条， ∴是的角平分线，也是的“补给线”， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图3，∵，， ∴， 设，则， 则， 解得， ∴； 若，， ∴， 设， 则， 解得， ∴， 综上所述，或． 考点29 尺规作线段、角 91．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，在同一平面内有四个点、、、，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图（注此题作图不要求写出画法和结论）． (1)画射线、直线、线段； (2)在线段的反向延长线上作线段，使得线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）要画出射线、直线、线段，需明确射线、直线、线段的定义，射线是由一点出发向一端无限延伸，直线是向两端无限延伸，线段有两个端点． （2）要作出线段，需先作出的长度，再减去的长度． 【详解】（1）解：射线：以为端点，经过作射线． 直线：经过、两点作直线． 线段：连接、两点． 如图所示， （2）解：如图，即为所求， 【点睛】本题主要考查了射线、直线、线段的定义以及线段的和差作图，熟练掌握这些基本概念和作图方法是解题的关键． 92．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）如图，已知线段a，b，请用尺规作图，求作线段，使得（不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图所示，已知，请用直尺和圆规作图，作一个角，使它等于（要求用尺规作图，不必写作法，但要保留作图痕迹) 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查尺规作图，线段的和差定义，作一个角等于已知角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型． （1）在射线上依次截取，线段满足条件． （2）根据作一个角等于已知角的作图方法作图即可． 【详解】解：（1）如图，在射线上依次截取，线段为所作． （2）解：如图所示，即为所求； 93．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点在直线上，平分． (1)图中小于平角的角共有_____个；（直接写出答案） (2)若，求的大小； (3)尺规作图：作（不与重合），请直接写出_____． 【答案】(1)5 (2) (3)3 【分析】本题考查了角的计数、角平分线的性质及尺规作图（作一个角等于已知角），解题的关键是准确识别角的数量、利用角平分线的性质计算角度以及掌握尺规作图的基本方法． （1）逐一列举以O为顶点的角，排除平角后计数； （2）根据角平分线的定义得出与的2倍关系； （3）确定的位置（外侧），通过角度和计算得出倍数关系． 【详解】（1）图中小于平角的角为，共5个． （2）∵平分， ∴． 已知，则 （3）尺规作图：以O为顶点，为一边作，如图． 由于不与重合，在外侧， 此时． 考点30 余角、补角的计算 94．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)试说明：和互为余角． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义． （1）根据互补两角的和为进行判断即可； （2）根据角平分线的定义得到，由同角的补角相等得到，即，可知和互为余角． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴是的补角， ∵，， ∴是的补角， ∵， ∴是的补角， ∴的补角有； （2）证明：因为，分别是，的平分线， 所以， 因为，， 所以， 所以， 即和互为余角． 95．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知点O为直线上一点，， ，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查余角、平角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． （1）由已知角度结合平角的定义可求解，的度数，再利用角平分线的定义可求解； （2）分两种情况：当点在上方时，当点在下方时，根据余角的定义，平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义结合角的和差可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：当点在上方时， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分，由（1）知， ∴， ∴． 当点在下方时， ∵与互余， ∴， ∵平分，由（1）知， ∴，则， ∴． 即：的度数为或． 96．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，射线在的内部，射线在的外部，且与互补，． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数； (3)射线满足，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，补角定义，几何图形中角的计算．理清角度之间的数量关系，和差关系，是解题的关键． （1）根据，得出，根据与互补，求出，根据，求出结果即可； （2）根据角平分线定义，求出结果即可； （3）分两种情况：当在内部时，当在外部时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵与互补， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据（1）可知：， ∵平分， ∴； （3）解：，理由如下： 当在内部时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴； 当在外部时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴； 综上可知：． 考点31 相交线问题 97．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，交直线于点O，射线、在内，平分，其中． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的性质，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键． （1）由垂直的定义得出，即可求出的度数； （2）根据角平分线的定义求出的度数，再根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． （2）解：由（1）得， ∵平分， ∴， ∴， 即的度数为． 98．（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）已知：点O为直线上一点，过点O作射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点O作射线，使，作的平分线，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了角的计算．熟练掌握角平分线的定义，以及余角，补角的计算，是解题的关键． （1）利用邻补角的定义计算的度数． （2）先根据角平分线的定义得到，然后利用互余计算的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即的度数为； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 99．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线相交于点O，，平分． (1)若，求的度数； (2)若比大，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据“对顶角相等”可知，再根据角平分线的定义可得，结合易知，然后由求解即可； （2）设，易知，根据角平分线的定义可得，进一步结合解得，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设， ∵比大， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义、角平分线、对顶角、平面内角度计算等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题关键． 考点32 平行公理 100．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）下列结论中，正确的是（   ） A．在同一平面内，不相交的两条线段平行 B．相等的角是对顶角 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．一个锐角的余角比它的补角小 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的定义、平行线公理、余角和补角及对顶角的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、 在同一平面内，不相交的两条直线平行，原说法不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，原说法不符合题意； C、 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法不符合题意； D、 一个锐角的余角比它的补角小，原说法符合题意； 故选：D． 101．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列说法中正确的是（    ） A．同位角相等． B．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点到这条直线的距离． C．平面内有三条直线a，b，c，若，，则． D．平面内有三条直线a，b，c，若，，则． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质和平行公理，点到直线的距离，根据平行线的性质和平行公理，点到直线的距离求解即可． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原说法错误，不符合题意； B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，原说法错误，不符合题意； C、平面内有三条直线a，b，c，若，，则，原说法正确，符合题意； D、平面内有三条直线a，b，c，若，，则，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 102．（2024九年级上·河南安阳·学业考试）将一副三角板按如图所示摆放，过点E作直线，过点F作直线，且．若，则 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查平等线的判定与性质，根据题意得，再证明，由平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图， 由题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 考点33 三线八角 103．（24-25七年级下·全国·单元测试）根据图形填空： （1）若直线，被直线所截，则和 是同位角； （2）若直线，被直线所截，则和 是内错角； （3）和是直线，被直线 所截构成的 角； 【答案】 内错 【分析】本题考查了同位角和内错角的定义，解题的关键是掌握同位角和内错角的定义． （1）根据同位角的定义求解即可； （2）根据内错角的定义求解即可； （3）根据内错角的定义求解即可． 【详解】解：（1）直线，被直线所截，则和是同位角； （2）直线，被直线所截，则和是内错角； （3）和是直线，被直线所截构成的内错角； 故答案为：，，，内错． 104．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图所示， （1）和是 、 被 所截得的 角． （2）和∠ 是、被 所截得的内错角． （3） 和 是、被所截而成的同旁内角． （4） 和 是、被所截得的内错角． 【答案】 / 同位 / / 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （1）根据同位角的特征，即可解答； （2）根据内错角的特征，即可解答； （3）根据同旁内角的特征，即可解答； （4）根据内错角的特征，即可解答． 【详解】（1）解：和是、被所截得的同位角， 故答案为：；；；同位； （2）解：和是、被所截得的内错角， 故答案为：；； （3）解：和是、被所截而成的同旁内角， 故答案为：；； （4）解：和是、被所截得的内错角， 故答案为：；． 105．（24-25七年级下·甘肃陇南·月考）如图，相交于点A，交于点B，交于点C． (1)指出被所截形成的同位角、内错角、同旁内角； (2)指出被所截形成的内错角； (3)指出被所截形成的同旁内角． 【答案】(1)同位角：和；内错角：和；同旁内角：和； (2)和，和； (3)和，和． 【分析】此题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义： （1）两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解即可； （2）根据内错角的定义求解即可； （3）根据同旁内角的定义求解即可． 【详解】（1）解：同位角：和；内错角：和；同旁内角：和； （2）解：和，和都是内错角； （3）解：和，和都是同旁内角． 考点34 平行线的判定与性质 106．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，，于点O，． 求证：． 证明：（已知）， （垂直定义）， （__________）． （已知）， （__________）． （已知）， __________（__________）， （__________）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了余角的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据同角的余角相等，可得，再由，可得，即可． 【详解】证明：∵ (已知)， ∴ (垂直的定义)， ∴ (直角三角形的两个锐角互余)． ∵ (已知)， ∴ (同角的余角相等)． ∵ (已知)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴ (等量代换) ． 107．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，、为两条线段，E为线段上方一点，连结交AB于F，过点E作直线交，于G，H，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）根据题意，得到，即可证明； （2）由平行线的性质可知，利用，求得的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 108．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，，点在直线上，点在直线上，点为平面内一点． (1)如图1，若点在之间，的平分线与的平分线交于点，求的度数； (2)如图2，若点在上方，的平分线与的平分线所在直线相交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的性质和角的和差运算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，根据平行公理的推论、平行线的性质可得，，从而得到，同理得，根据角平分线的定义即可求解； （2）过点作，根据平行线的性质以及角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，过点作， ， ， ， ， ， 同理得， 的平分线与的平分线交于点， ，， ； （2）点作， ， ， ，，， ， ， 的平分线与的平分线所在直线相交于点， ，， ， ． 109．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义． （1）根据平行线的性质得到，可知，即可得到； （2）根据平行线的性质得到，由角平分线的定义可知，进而可知，根据垂直的定义计算即可． 【详解】（1）解：与平行． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 110．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）探究问题：已知，画一个角，使，且交于点P．与有怎样的数量关系？ (1)我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中与数量关系为_________；图2中与数量关系为_________； ②请选择一种情况写出证明过程． ③由①得出如果两个角的两边互相平行，那么这两个角_________． (2)应用③中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少，求这两个角的度数． 【答案】(1)①；②见解析③相等或互补 (2)和或和 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）①分别由图1，图2根据平行线的性质推理得出答案； ②根据平行线的性质，进行推导即可； ③总结①②得出，如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补； （2）设两个角分别为和，根据题意列方程即可解决问题． 【详解】（1） 解：①如图1中，．如图2中，， ②如图1中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图2中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ③结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补． （2） 解：设两个角分别为和， 由题意或， 解得或， ∴这两个角的度数为和或和． 111．（24-25八年级上·山东青岛·期末）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P． 【提出问题】小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 (1)探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． (2)探究二：如图②，的数量关系为 ； 如图③，已知，则 ° (3)利用探究一得到的结论解决下列问题：如图④，射线分别平分和交直线于点E，与内部的一条射线交于点F，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，145； (3) 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出，由此结论来解决问题． 探究一：由平行线的性质推出，得到即可解决问题； 探究二：如图②，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可得到； 如图③，由平行线的性质推出，求出，由三角形外角的性质得到； 如图④，由探究一的结论得到而，推出又，得到． 【详解】（1）解： ，理由如下： 如图①， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图②， ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 如图③，延长交于L， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）∵射线分别平分和， ∴， 如图④， 由探究一的结论得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 112．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，点D、F在线段上，点E、G分别在线段和上，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平行线的性质并结合题意得出，即可得证； （2）由题意结合平行线的性质可得，由角平分线的定义可得， 最后由平行线的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 考点35 根据平行线的性质探究角的关系 113．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，， 求证：． 证明：如图②，过点作 ， 即． 【类比应用】 （1）如图③，已知，，，求的度数． （2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，则，，之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点，则______°． 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3） 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线探究角之间的关系是解答的关键． （1）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可求解； （2）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可得结论； （3）过P作，则，利用平行线的性质推导出，利用角平分线的定义得，，结合（2）中结论得到，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图③，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）如图④，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 114．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，点A，在直线上，射线，分别在与的内部，且． (1)若，求的度数； (2)若，，试用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）根据等量代换和邻补角的定义即可求解； （2）根据角的和差以及平行线的性质即可求解， 【详解】（1）解∶ ． ， ， ， （2）．证明如下： ， ， ， ， ， ， ． 115．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边在直线上，其中． (1)填空：______； (2)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (3)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转一周，在转动过程中，当时，直接写出三角板的运动时间． 【答案】(1)75 (2)①53；② (3)或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数． （1）把，，代入计算即得； （2）①把代入计算即得答案；②由，得，解方程即得； （3）分两种情况：如图，当在的上方时，当在的下方的位置时，再结合平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：①当时，， ②由题意得，，则， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴当t为时，； （3）解：如图，当在的上方时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 当在的下方的位置时， 此时旋转过的角度为， ∴， 解得：； 综上：当时，直接写出三角板的运动时间为或． 考点36 多边形相关概念 116．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的定义，以及对角线数量问题，注意各边相等，各角相等，两个条件必须同时成立． 根据正多边形的定义即可判断A、B、D，根据多边形从一个顶点出发可以作条对角线判断C． 【详解】解：A、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项A错误，不符合题意； B、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项B错误，不符合题意； C、过正n边形一个顶点的对角线有条，故选项C错误，不符合题意； D、正多边形的各边相等，正确，符合题意， 故选：D． 117．（24-25七年级上·江苏南京·期末）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形的一个顶点的对角线条数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 故选：A ． 118．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成8个三角形，则n的值是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查的是多边形对角线的性质，根据从一个n边形的某个顶点出发，可分为的三角形作答． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：， 故答案为：10 119．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）如图1，，顶点在直线上，边、分别与直线交于点、，且．求证：； （2）如图2，在（1）的条件下分别作与的平分线、交于点，求的度数； （3）如图3，在（1）的条件下作的角平分线，过点作一条射线，交直线于点，当时，请直接写出与的关系式． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）根据平角的定义可得，根据已知条件，等量代换可得，根据同位角相等两直线平行，即可得证； （2）设，根据角平分线的定义得出，，进而根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，根据三角形的外角的性质，即可求解； （3）①当在的上方时，②当在的下方时，过点作，设，分别表示出与，进而得出与的关系式． 【详解】（1）证明：∵，顶点在直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：设， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的一个外角 ∴， （3）①当在的上方时，如图所示，过点作 设 ， ∵平分， ∴，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ②当在的下方时，如图所示， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 120．（2024七年级下·江苏·专题练习）同学们，你们会用画多边形的对角线来解决生活中的数学问题吗？ 比如，学校举办足球赛，共有5个班级的足球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，根据积分排列名次．问学校一共要安排多少场比赛？ 我们画出5个点，每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每个队都要与其他各队比赛一场，这样每个点与另外4个点都会有一条线段连接（如图）． 现在我们只要数一数五边形的边数和它的对角线条数就可以了．由图可知，五边形的边数和对角线条数都是5，所以学校一共要安排10场比赛． 同学们，请用类似的方法来解决下面的问题： 姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好．已知姣姣已握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飞飞已握了2次手，红红握手1次，请推算出娜娜目前已和哪几个人握了手． 【答案】姣姣、林林和可可三人已与娜娜握过手 【分析】本题考查了多边形的对角线的问题，解题的关键是将实际问题与数学问题有机的结合起来． 先画出6个点，A、、、、、各个点依次代表姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜，凡是两人之间握过手，就把代表他们的这两点用1条线段连接起来即可得到答案． 【详解】解：先画出6个点，A、、、、、各个点依次代表姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜，凡是两人之间握过手，就把代表他们的这两点用1条线段连接起来（如图所示）． 先看姣姣（A）和红红（E）．姣姣已握手5次，说明姣姣与另外5人都握了手，因此代表姣姣的A点与、、、、这5点都有一条线段连接；红红握手1次，他只能是与姣姣握的手了，所以点只能与A点之间有线段连接，与其它各点再也不能有线段连接了． 其次分析林林（B）．林林已握手4次，由于他没有可能与红红握过手，所以只能是与剩下的四个人姣姣、可可、飞飞和娜娜握过手了，因此，点与A、、、四点之间有线段连接． 再看飞飞（D）．飞飞已握手2次，而代表飞飞的点已与A、两点有线段连接了，所以点与其它的点不能再有线段连接了． 最后考察可可（C）．可可与3人握了手，但已不能是与飞飞和红红握的手了，所以代表可可得点只能与A、、三点有线段连接． 现在观察图形，与代表娜娜的点连接的线段有3条、和，这说明姣姣、林林和可可三人已与娜娜握过手． 121．（2024七年级下·江苏·专题练习）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ 【答案】(1)，，， (2)过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复） (3)边形的对角线条数的为 【分析】此题考查了多边形的对角线的知识． （1）过点和任意不相邻的两点连接可得出到一条对角线；同理可得过点、的情况． （2）过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）过每一点有条对角线，除去重复的即可得出总对角线的条数． 【详解】（1）解：过顶点可以画条对角线，它们分别是； 过顶点可以画条对角线， 过顶点可以画条对角线； 故答案为：，，，； （2）解：过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）解：边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出条， 共有个顶点，应为条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． 即边形的对角线条数的为． 122．（24-25八年级下·安徽六安·月考）某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)在图5中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ①表格中______，______；（用含n的代数式表示） ②拓展应用： 若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②场 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据表格信息寻求规律是解题的关键． （1）连接作图即可； （2）①根据所给数据规律解答即可； ②根据每班都需要和对手比赛一次，且一次比赛能满足2个班级的比赛需求列式运算即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）解：①，； ②（场）， 答：共需要比赛场． 123．（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格： 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … __ 多边形对角线的总条数 2 5 9 … __ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)求十二边形总共有多少条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由. 【答案】(1)， (2)一个十二边形总共有54条对角线 (3)三角形个数的和不可能为2016，理由见解析 【分析】本题考查n边形对角线的总条数，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键． （1）由表格中的数据探求得出最终结果； （2）把代入求值即可； （3）设这个多边形的边数为，则，进行计算即可得． 【详解】（1）解：由表格中的数据得： 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数为：条， 多边形对角线的总条数为：条； 故答案为：，； （2）解：把代入计算得：. 故一个十二边形总共有54条对角线； （3）解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得，， 因为多边形的边数必须是整数，所以过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2016． $