5.2.2 导数的四则运算法则 同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.2.2 导数的四则运算法则 【基础巩固】 1．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 2．设定义在上的奇函数，若，则（ ） A． B． C． D． 3．若函数，则（ ） A． B． C． D． 4．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．当时，曲线在点处的切线方程为 C．当时，曲线上不存在斜率为的切线 D．当时，曲线在点处的切线斜率为 6．已知函数的图象在点处的切线方程为，则实数的值为_________. 7．已知函数的导函数为，且，则______． 8．求下列函数的导数 (1)； (2)； (3)； (4). 【能力拓展】 9．记，分别为函数，的导数，若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．下列判断中正确的是（ ）． A．函数与存在“点” B．函数与不存在“点” C．函数与存在“点” D．函数与不存在“点” 10．（多选）下列说法正确的是（ ） A．曲线在处的切线与直线和围成的三角形的面积为 B．函数与函数的图象在点处的切线相同，则实数 C．曲线在点处的切线方程为，则点的坐标是 D．直线上的点到曲线距离的最小值为 11．设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为__________. 【素养提升】 12．在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（IssacNewton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解.现在用这种方法求函数的大于零的零点的近似值，取. (1)求和； (2)求和的关系； (3)证明:. 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.2 导数的四则运算法则 【基础巩固】 1．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，即. 故选：A. 2．设定义在上的奇函数，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是奇函数，所以，则，，所以，解得． 故选：D. 3．若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知为奇函数，所以． ，则， 则，所以. 故选：A． 4．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率， 而曲线，即函数定义域为， 设，对函数求导得， 令，而，解得，此时， 则曲线上与直线平行的切线的切点为， 所以曲线上点到直线的最小距离， 为点到直线的距离 为. 故选：B. 5．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．当时，曲线在点处的切线方程为 C．当时，曲线上不存在斜率为的切线 D．当时，曲线在点处的切线斜率为 【答案】BD 【解析】对于选项A，B，当时，，，有， 又，故曲线在点处的切线方程为，故选项B正确，A错误； 对于选项C，D，当时，，则， 显然，即曲线在点处的切线斜率为，故选项C错误，选项D正确.故选：BD 6．已知函数的图象在点处的切线方程为，则实数的值为_________. 【答案】 【解析】由，得， 设点，根据导数几何意义得，解得， 代入函数，得， 又点在切线上，代入得，解得. 故答案为：. 7．已知函数的导函数为，且，则______． 【答案】 【解析】由题得， 令，则，解得， 则，， 所以． 故答案为：. 8．求下列函数的导数 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】见解析 【解析】(1)(1) (2)因为， 所以 (3) (4) 【能力拓展】 9．记，分别为函数，的导数，若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．下列判断中正确的是（ ）． A．函数与存在“点” B．函数与不存在“点” C．函数与存在“点” D．函数与不存在“点” 【答案】C 【解析】设，存在，满足且， 即． 对于A，，，令，得， 而，所以不存在“点”，故A错误． 对于B，，，令，得， 而，所以存在“点”，故B错误． 对于C，，，令，得， 而，所以存在“点”，故C正确． 对于D，， 设，则，，令，得， 而，且有解，所以存在“点”，故D错误． 故选：C． 10．（多选）下列说法正确的是（ ） A．曲线在处的切线与直线和围成的三角形的面积为 B．函数与函数的图象在点处的切线相同，则实数 C．曲线在点处的切线方程为，则点的坐标是 D．直线上的点到曲线距离的最小值为 【答案】BC 【解析】对于A，由可得，所以， 所以曲线在点 处的切线方程为，即. 令 解得 ，令 解得 ，， 所以切线与直线和围成的三角形的面积为 ，所以A错误； 对于B，由，，可得，， 因为函数与函数 的图象在点的切线相同， 所以，可得，所以，所以B正确； 对于C，设切点 ，由，可得， 则切线的斜率为， 因为切线方程为，即，即切线的斜率为， 所以，解得，所以，解得， 所以点的坐标是，所以C正确； 对于D，由函数 得， 令，解得，则，， 所以函数在处的切线方程为，即， 又由直线与之间的距离为， 即直线上的点到曲线距离的最小值为，所以D错误. 故选：BC. 11．设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为__________. 【答案】 【解析】函数，求导得， 依题意，，即，解得， 则两条切线的斜率为，对应的两个切点为，， 切线方程为和，即和， 切线过定点，切线过定点， 所以两平行线之间距离的最大值为. 故答案为：. 【素养提升】 12．在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（IssacNewton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解.现在用这种方法求函数的大于零的零点的近似值，取. (1)求和； (2)求和的关系； (3)证明:. 【答案】见解析 【解析】(1)由题意得，，， ，令，得，， ，所以，令，得. (2)由题意得，，令，得. (3)由(2)知，，所以， 由几何意义易知：，所以， 由得，， 即，所以， 所以，所以， 即. 第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $