5.4 用一次函数解决问题（第1课时）建立一次函数模型解决实际问题 课件 2024-2025学年苏科版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“建立一次函数模型解决实际问题”，通过纸杯叠放情境导入，先引导学生列出总高度与个数的函数表达式，再计算不同个数的总高度，衔接一次函数概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其特色是结合生活实例（纸杯、工厂利润、旅行社收费），以问题情境、典例分析培养数学眼光与思维。如例1推导利润函数表达式，体现抽象能力和推理意识，课堂小结明确建模流程，助力学生用数学语言表达实际问题。学生能提升应用意识，教师可借助丰富实例和结构化流程提高教学效果。

5.4 用一次函数解决问题 第1课时 建立一次函数模型解决实际问题 1 2 利用实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的表达式. 通过用一次函数表述数量变化及其关系的过程，体会模型思想． 问题情境 　　当一个纸杯的高度是9.5 cm，每叠放1个纸杯，纸杯的总高度增加0.5 cm．请你列出纸杯总高度(y)和纸杯个数(x)之间的函数表达式. 函数表达式为y＝9.5＋0.5(x－1)，其中自变量x取正整数． 9.5cm 0.5cm 问题情境 为了方便运输和销售，生产企业常把相同的纸杯叠放成一摞进行包装. 当一摞纸杯的个数分别是5，10，15，20，25时，每摞纸杯的总高度分别是多少？ 当x＝5时，y＝9.5＋0.5×(5－1)＝11.5cm； 当x＝10时，y＝9.5＋0.5×(10－1)＝14cm； 当x＝15时，y＝9.5＋0.5×(15－1)＝16.5cm； 当x＝20时，y＝9.5＋0.5×(20－1)＝19cm； 当x＝25时，y＝9.5＋0.5×(25－1)＝21.5cm． 建立一次函数的模型，可以帮助我们解决一类实际问题． 函数表达式为y＝9.5＋0.5(x－1)，其中自变量x取正整数． 典例分析 例1 某工厂生产纸杯，已知该工厂正常运转的固定成本为12000元/天，该种产品的原料及加工成本为900元/批，每天生产的产品以1200元/批全部售出． (1)说明每天的利润y元是生产数量x批的函数，并写出函数表达式； (2)如果某天生产了50批产品，那么这天的利润是多少元？ 思考：你能从情境中获得哪些信息？这些信息中，有哪些数量的信息？这些数量之间有什么关系？你能运用什么方法描述这些数量之间的关系？ 利润＝销售额－（固定成本＋原料及加工成本） 随着生产数量的变化而变化 典例分析 例1 某工厂生产纸杯，已知该工厂正常运转的固定成本为12000元/天，该种产品的原料及加工成本为900元/批，每天生产的产品以1200元/批全部售出． (1)说明每天的利润y元是生产数量x批的函数，并写出函数表达式； (2)如果某天生产了50批产品，那么这天的利润是多少元？ 解：(1)根据题意，利润y元随生产产品的数量x件的变化而变化，当产品数量确定 时，利润随之确定，y是x的函数，其函数表达式为 　　y＝1200x－(900x＋12000)．即　y＝300x－12000． (2)当x＝50时，y＝300×50－12000＝3000(元)． 答：这天的利润是3000元． 追问：要使得该工厂某天的利润超过9000元，这天至少需要生产多少批产品？ 解：300x－12000＞9000， 解得 x＞70． ∴要使该工厂某天的利润超过9000元，每天至少需要生产71批产品. 建立一次函数表达式的常用方法 （1）根据基本的量之间的关系列函数表达式，例如规律、公式等. （2）若题目中已明确给出两变量的函数关系，则可用待定系数法 求出函数表达式. （3）若题目中已明确给出两变量变化关系的图象或表格，则可先 分辨出其函数类型，然后用待定系数法求出函数表达式. 新知探究 知识点1 一次函数的应用 7 讨论交流 （1） 设定实际问题中的两个变量； （2） 建立一次函数表达式； （3） 确定自变量的 取值范围， 保证变量具有实际意义； （4） 解答一次函数问题； （5） 写出答案． 运用一次函数的知识解决实际问题的一般步骤是什么？ 变式1.公式L=L0十KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度,L0(cm)代表弹簧的初始长度,K(cm)表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度.下面给出的四个公式中表明这是一个短而硬的弹簧的是（ ） A.L=10+0.5P B.L=10+5P C.L=80+0.5P D.L=80+5P A 变式2. （ ） B 新知巩固 1. 通过进水管给蓄水池匀速注水，注水时间为1h时，蓄水池中水量达到400m3；注水时间为2.5h时，蓄水池中水量达到850m3． (1) 说明蓄水池的水量Qm³是注水时间th的函数，并写出函数表达式． (2) 注水前，蓄水池里有水吗？如果有，有多少立方米？ (3) 当注水时间为多少时，蓄水池中水量可达到1000 m3？ 新知巩固 2. 书店管理员将一批每本厚度为2.4cm的书整理堆放在高度为50 cm的柜子上. 考虑安全因素，最上面一本书的上表面距地面的高度不能高于1.4m． (1) 说明最上面那本书上表面距地面的高度y cm是书的数量x本的函数，并写出函数表达式及自变量的取值范围； (2) 每摞最多可以摆放多少本书？ 解：(1)根据题意，最上面那本书上表面距地面的高度y(cm)随书的数量x(本)的变化而变 化，当书的本数确定时，最上面那本书上表面距地面的高度随之确定，y是x的函数． 函数表达式为 y＝0.5＋0.024x． 由题意，得0.5＋0.024x≤1.4，解得x≤37.5，所以0＜x≤37，x为整数． (2)每摞最多可以摆放37本书． 中考链接 （南京中考）张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文 具可供选择．如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个 乙种文具．设购买 个甲种文具时，需购买 个乙种文具． （1）①当减少购买1个甲种文具时，____， ___； 99 2 ②求与 之间的函数表达式． 解：由题意，得 ， 与之间的函数表达式为 ． （2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元．甲、乙两种文具各购买了多少个？ 解：由题意，得 解得 答：甲、乙两种文具分别购买了60个和80个． 能力提升 1. 甲快递公司关于普通小件物品的收费标准如下表： 1千克及以内 超过1千克的部分 8元 2元/千克（不足1千克按1千克计） 设物品的质量为x千克，甲快递公司的快递费为y元．若y＝14，则x的取值范围是 　3＜x≤4　. 3＜x≤4　 能力提升 2. A，B两家旅行社推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均为每人90元，但优惠的方法不同．A旅行社的优惠方法是全家有一人购全票，其余的人半价优惠； B旅行社的优惠方法是全家每人均按票价的 优惠．设某一家庭共有x人，A，B两家旅行社的收费分别是y1元、y2元． (1) 请直接写出y1，y2与x之间的函数表达式； 解：(1) y1＝90＋ ×90(x－1)＝45x＋45；y2＝ ×90x＝60x． (2) 若小红家共有5人一起去旅游，请通过计算说明小红家选择哪家旅行社比较合算； 解：(2) A旅行社：当x＝5时，45x＋45＝270； B旅行社：当x＝5时，60x＝300． ∵ 270＜300，∴ 应选择A旅行社比较合算． 能力提升 (3)请根据不同家庭的人数情况，说明选择哪家旅行社所需费用较低． 解：(3) 当45x＋45＜60x，即x＞3时，选择A旅行社所需费用较低； 当45x＋45＝60x，即x＝3时，选择A，B两家旅行社所需费用一样； 当45x＋45＞60x，即0＜x＜3时，选择B旅行社所需费用较低． 课堂小结 建立一次函数模型解决实际问题 实际问题 抽象 一次函数模型 数学结果 利用表达式求解 实际结果 解释、检验 反馈 或图像 感谢聆听！ 选做： 随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表： A超市 B超市 优惠方案 所有商品按8折出售 购物金额每满100元返30元 （1） 当购物金额为80元时，选择 超市更省钱；当购物金额为130元时，选择 超市更省钱（填“A”或“B”）. A B　 （2） 当购物金额为x（0＜x＜200）元时，请分别写出两家超市的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱. 解：A超市：y＝0.8x； B超市：y＝ 当0＜x＜100时，A超市8折优惠，B超市不优惠， ∴ 选择A超市更省钱. 当100≤x＜200时，A超市：y＝0.8x，B超市：y＝x－30. ① 当0.8x＜x－30，即150＜x＜200时，选择A超市更省钱； ② 当0.8x＝x－30，即x＝150时，选择A超市或B超市花费一样多； ③ 当0.8x＞x－30，即100≤x＜150时，选择B超市更省钱 4. 为迎接“十一”小长假的购物高峰，某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.已知甲、乙两种运动鞋的进价分别为100元/双、80元/双，售价分别为240元/双、160元/双. (1)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润＝售价－进价)不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？ 解：设购进甲种运动鞋x双，则购进乙种运动鞋（200－x）双 由题意得， ∴ 不等式组的解集是 95≤x≤105 ∵ x是正整数， ∴ 105－95＋1＝11（种）， ∴ 该专卖店有11种进货方案 （2） 在（1）的进货方案下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应选择哪种进货方案？ 解：设总利润为W元. 由题意得，W＝（240－100－a）x＋（160－80）（200－x） ＝（60－a）x＋16000（95≤x≤105） ① 当50＜a＜60时，60－a＞0，此时W随x的增大而增大， ∴ 当x＝105时，W有最大值，200－x＝95， ∴ 此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双. ② 当a＝60时，60－a＝0，W＝16000 ∴ （1）中所有方案获得的最大利润都为16000元， 分别为购进甲种运动鞋95双，乙种运动鞋105双；甲种96双，乙种104双； 甲种97双，乙种103双；甲种98双，乙种102双；甲种99双，乙种101双； 甲种100双，乙种100双；甲种101双，乙种99双；甲种102双，乙种98双； 甲种103双，乙种97双；甲种104双，乙种96双；甲种105双，乙种95双. ③ 当60＜a＜70时，60－a＜0， 此时W随x的增大而减小， ∴ 当x＝95时，W取得最大值，200－x＝105， ∴ 此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双 （2） 在（1）的进货方案下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应选择哪种进货方案？ $