26.2（第1课时）实际问题中的反比例函数（培优教学课件）数学人教版九年级下册

第26章 反比例函数 人教版 数学 九年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 26.2 实际问题中的 反比例函数 （第1课时） BY YUSHEN BY YUSHEN 情境引入 武汉某高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y℃与通电时间x(min)成反比例关系． 当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示. 以下几位同学的说法正确吗？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 水温从20℃加热到100摄氏度，需要7min ∵水温从20℃加热到100℃，升温幅度为100-20=80℃， 加热速度是每分钟10℃， 所需要的时间为80÷10=8min， 因此这个说法不对. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 水温下降过程中，y与x的函数关系式是 ∵加热到100℃所需要的时间为8min，即此时x=8,y=100, 降温阶段y与x成反比例， 设，代入得100， 因此这个说法不对. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 上午八点接通电源，可以保证当天9:30能喝到 不超过40℃的水 ∵上午八点接通电源，9:30距离接通电源的时间为90min， ∴即当20时，，得x=40,即40min后水温降到20℃， 然后饮水机再次加热8min后，水温再次升到100℃，90-40-40=10min. 当0时，=80(℃)，因此这个说法不对. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 水温不低于30℃的时间为 ∵加热阶段：水温从20℃上升到100℃，当y=30=20+10x，解得x=1， 即加热阶段满足y≥30的时间是8-1=7min; 降温阶段：当30时，，得x=, 即加降温阶段满足y≥30的时间是min，因此这个说法正确. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 在敷设国防电缆的某工程中，某工程队施工所需天数 y (天) 与每天完成的工程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示. (1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式； 50 24 x(m/天) y(天) O 解：设函数关系式为 将（24,50）带入得， 解得k=1200, 因此函数表达式为 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 (2) 若该工程队有 2 台施工设备，每台设备每天能够敷设电缆 15 m，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？ 解：由图象可知共需敷设电缆 24×50=1200 (m)， 2 台设备需要 1200÷(2×15)=40 (天). (3) 如果为了国防工作的紧急需要，必须在 一个月内 (按 30 天计算)完成任务，那么 每天至少要完成多少米？ 解：1200÷30=40 (m)， 故每天至少要完成40 m． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 一辆车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系：其图象为如图所示的一段曲线，端点为A(40,1),B(m,0.5). (1)求k和m的值； (2)若行驶速度为60km/h，则汽车通过该路段需多少时间？ 解:(1)由题意得，函数经过A(40,1), ，解得k=40,∴， 将B(m,0.5)代入,解得 (2)当v=60时， 答：汽车通过该路段需. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 李老师外出培训期间租得一间公寓，现在知道：按每天用6度电计算，五周(按25天计算) 刚好用完. 若每天的耗电量为 x 度，那么这些电能维持 y 天. (1) 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？ 解：电的总量为：6×25=150 (度)， 根据题意有 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 (2) 画出函数的图象； 解：如图所示. 50 150 1 x y O 3 (3) 若每天节约 1 度，则这些电能维持多少天？ 解：∵ 每天节约 1 度电， ∴ 每天的用电量为 6－1=5 (度)， ∴ 这些电能维持 30 天． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y与上课时间x(min)的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，前10min内注意力指数y与上课时间x之间的关系式为y=5x+30(0≤x≤10), 10min以后注意力指数y是上课时间x(10＜x≤45)的反比例函数． (1)求10min以后y与x之间的函数关系； 解：(1)将x=10代入y=5x+30，得y=80； 设10分钟后 y = ,将x=10，y=80代入得，=800， 因此y = (10＜x≤45). BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y与上课时间x(min)的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，前10min内注意力指数y与上课时间x之间的关系式为y=5x+30(0≤x≤10), 10min以后注意力指数y是上课时间x(10＜x≤45)的反比例函数． (2)若数学老师打算讲解一道较难的数学题，需要学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，应该在哪个时间段讲解这道题？ 解：(2)∵y = (10＜x≤45) ∴当y =50时，5x+30=50，解得x=4， 当y =50时， =50，解得x=16， 为了保证教学效果，应该在4≤x≤16时间段讲解这道题. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m)有怎样的函数关系? 解：根据圆锥体的体积公式，得 Sd =104， ∴ S 关于d 的函数解析式为 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深? 解得 d = 20. 如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时应向地下掘进 20 m 深. 解：把 S = 500 代入 ，得 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)? 解得 S≈666.67. 当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m². 解：根据题意，把 d =15 代入 ，得 BY YUSHEN BY YUSHEN 实际问题中的 反比例函数 归纳总结 步骤 分析实际情境→建立函数模型 →明确数学问题 注意 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值 作实际问题中的函数图象时，横、纵坐标的单位长度不一定相同 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1. 面积为 4的矩形长为x，宽为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为 ( ) A. x y 1 O 2 x y 4 O 4 B. x y 1 O 4 C. x y 1 O 4 1 4 D. C BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 2.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，王老师计划配一副近视眼镜，测得镜片的焦距为0.25米，则王老师镜片的度数为       度． 3. 体积为 20 cm3 的滴胶做成圆锥体模型，圆柱的高度 y (单位：cm) 与底面 积S (单位：cm2)的函数关系为 ，若要使做出来的圆锥体粗2 cm2，则圆柱的高度是 cm. 30 4.拉面小哥舞姿妖娆，手艺更是精湛. 如果他要把体积为 15 cm3 的面团做成拉面，面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 S (横截面积) (单位：cm2)的 函数关系为 . BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 5.果果爸爸家离工作单位的距离为12000 米，他每天开车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟． (1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ (2) 若果果爸爸到单位用 15 分钟，那么他开车的平均速度是多少？ 解： 解：把 t =15代入函数的解析式，得： 答：他开车的平均速度是 800 米/分. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 (3) 如果果果爸爸开车的速度最快为 1000 米/分，那他至少需要几分钟到达单位? 解：把 v =1000 代入函数解析式得： 解得：t =12． 答：他至少需要 12 分钟到达单位． BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 6. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升 (1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗． (1) 漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单 位： dm) 有怎样的函数关系? d 解：（1） (2) 如果漏斗的深为1 dm，那么漏斗口的面积为多少 dm2？ 解：把 d =1 代入解析式，得 S =3.所以漏斗口的面积为 3 dm2. (3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，则漏斗的深为多少? 解：60 cm2 = 0.6 dm2，把 S =0.6 代入解析式，得d =5. 所以漏斗的深为 5 dm. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 7.某高铁从宜昌开往杭州，列车运行平均速度220千米/时，用 4.8 小时达到杭州. (1) 宜昌和杭州两地相距多少千米？ 解：220×4.8=1056 (千米) 答：宜昌和杭州两地相距1056 千米. (2) 当王老师乘坐高铁按原路原速匀速 返回时，高铁的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ 解：由题意得 vt=1056， 整理得 BY YUSHEN BY YUSHEN 8.一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示. (1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系? 解：(1)根据电学知识，当 U=220 时，有　　　　． 　　即输出功率 P 是电阻 R 的反比例函数，函数解 析式为 . ① 当堂检测 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 (2) 这个用电器功率的范围是多少? 解：(2)根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小． 把电阻的最小值 R=110 代入 式， 得到功率的最大值 把电阻的最大值 R=220 代入 式， 得到功率的最小值 因此用电器功率的范围为 220 ~ 440 W ． (W)； (W)； ① ① BY YUSHEN BY YUSHEN $