第二十二章《 直角三角形》单元测试卷 2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级上册

第二十二章《 直角三角形》单元测试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。） 1．将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①，彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在∆ABC中，∠B=90°，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 3．如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．4 C．5 D． 4．在直角三角形中，斜边及其中线之和等于，那么斜边长是（    ）． A．3 B．4 C．6 D．8 5．下列说法错误的是（    ） A．在角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等 B．到角两边所在直线距离相等的点在这个角的平分线上 C．在中，，D是边的中点，则有 D．在中，若，则 6．如图，已知，平分，点F、G分别在直线、直线上运动，那么在运动过程中，下列说法正确的有（   ） ① ②的值不变 ③以E、F、O、G为顶点围成的四边形的面积不变 ④长度不变 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．如图，在∆ABC中，，平分，如果，，那么的面积等于 ． 8．如图，在∆ABC中，平分交于点，若，则的面积为 ． 9．如图，一个底面半径为，高为的圆柱形饮料罐，将一根长为的吸管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管露在饮料罐外部的长度是 ． 10．在中，，是三角形的一条中线，若，的度数是 ． 11．在中，，于，，，则的长为 ． 12．若的三条边分别为，，，则斜边上的高的长为 ． 13．如图，数轴上点、点所表示的数分别为0和，以为边长作正方形．以点为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点，那么点表示的实数是 ． 14．在∆ABC中，为钝角，都是这个三角形的高，P为的中点，若，则的度数为 ． 15．如图，在某探究课上，老师带领同学们做了一个实验：拿两块的三角板，将的直角顶点放在∆ABC的斜边的中点处,设则此时重叠的部分四边形的面积为 ． 16．将两块斜边长等于4的三角尺(与)的斜边重合，按图所示摆放，为中点，联结和，那么的面积等于 ． 17．如图，在∆ABC中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于、交于，且，如果，，，那么∆ABC的周长是 ． 18．如图，在∆ABC中，是边上的中线，，．将沿所在直线翻折，点落在平面上的点处，连接，若∆ABC面积为12，那么的面积为 ． 三、解答题（本大题共8小题，58分。） 19．（4分）如图，已知有一个，角的内部有一点C，现在想要在图中找到一个点P，满足条件，并且点P到射线的距离和点P到射线的距离相等，请你在下图中作出点P（尺规作图） 20．（6分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 21．（6分）如图，在中，，于点，，． (1)求和的长； (2)求的长（提示：利用三角形面积公式）． 22．（8分）已知，在中，，作平分． (1)求证：； (2)点为的中点，点为的中点，连接，，求证：． 23．（8分）已知：的平分线与的垂直平分线相交于点D．，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（8分）（1）如图，已知∆ABC以边为边向形外作等边和等边，连接相交于点．求证：； （2）利用上述思想方法解决问题：如图，在∆ABC中，，，度，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，求的长． 25．（9分）如图，∆ABC中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，且满足时，求出此时的值； (2)若点恰好在的角平分线上，求的值； (3)在运动过程中，求出当为何值时，是等腰三角形，请直接写出结果． 26．（9分）（1）通过剪裁、拼接两个面积为1的正方形，可得到一个面积2的正方形．如图1，已知小正方形的边长为1，若点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点D/重合，则D/表示的数为_____； （2）下面我们来了解如何得到边长为的正方形，如图2，将五个面积为1的正方形，按图示虚线剪裁，拼接成右侧的图形．我们可以用已经学过的几何知识判断出四边形是正方形．已知直角与中，三点在同一条直线上，求证：且； 参考答案 一、选择题 1．B 【详解】解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度即为旗杆的高度减去彩旗的对角线的长， 彩旗的对角线长为， ∴． 则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度为． 故选：B． 2．C 【详解】过点作，，，连接， ∠B=90°，，， ， 平分，平分， ， ， ， , ， 点到边的距离为． 故选． 3．A 【详解】解：过点作， 则：， ∴， ∵点为直线上的一个动点， ∴当时，最短， ∵是的平分线， ∴当时，， ∴线段的长不可能是2． 故选：A． 4．D 【详解】解：设斜边的长为，则斜边上的中线长度为， ∵斜边及其中线之和等于， ∴， ∴， 即斜边长是. 故选：D． 5．B 【详解】解：A、角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等，故A正确； B、到角两边所在直线距离相等的点可能不在角的内部，不一定在角平分线上，故B错误； C、在中，，D是中点，则是斜边中线，有，故C正确； D、在中，，则，故D正确． 故选：B． 6．D 【详解】解：过点E作于M，于N， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，，故①正确； ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴的值不变，故②正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴以E、F、O、G为顶点围成的四边形的面积不变，故③正确； 根据勾股定理，得 ， ∵随点F的位置变化而变化， ∴长度改变，故④错误， 故选：D． 二、填空题 7．9 【详解】解：过点作， ∵，平分， ∴， ∴的面积等于； 故答案为：9． 8．9 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵平分， 又∵DE⟂AB,DC⟂BC， ∴， ∴的面积=AB×DE=9 ． 故答案为：9． 9．3 【详解】解：如图所示：，，， ∴吸管在饮料罐内部的长度为：， ∵吸管的总长度为， ∴外部长度为， 即吸管露在饮料罐外部的长度是． 故答案为：3 ． 10． 【详解】解：如图， ∵在中，，是三角形的一条中线， ∴， ∴． 在中，， 即， ∴． 故答案为：． 11．3 【详解】解：在中，，， ， ，且是的对边， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：3． 12． 【详解】解：在中，，，， ∵， ∴斜边为，直角边为和， 设斜边上的高为h，由面积公式可得：，解得， 故答案为：． 13． 【详解】解：由勾股定理知：， ∴， ∴点对应的数是， 故答案为：． 14． 【详解】解：， ， ，P为的中点， ，， ， ， 故答案为：． 15． 【详解】解：连接，如图所示： ∵∆ABC是等腰直角三角形， ∴， ∵点是斜边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴∠AEM=∠BEN=90°， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积为和的面积和， ∴； 故答案为． 16． 【详解】解：如图，过点作于， 在中，，为中点，斜边， ，， 在中，，，为中点，斜边， ， ∴， 为等边三角形， ， ， ∴，． 故答案为：． 17．32 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴． ∴， ∵是的中点， ∴． ∵， ∴． 由对顶角相等可知：． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴∆ABC的周长． 故答案为：32． 18．9 【详解】解：过点作于点， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵是边上的中线， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点作于点，则， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴． 故答案为：9． 三、解答题 19．解：如图，点即为所求； 20．（1）解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； （2）如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 21．（1）解：∵，，， ∴， ∴． ∴的长为，的长为． （2）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． ∴的长为． 22．（1）证明：在中，， ， ， ， ， ， ∴∠EAD=∠CEF=90°， 平分， ， ， ； （2）连接， ，点为的中点， ， ∵点为的中点，， ∴， ， ∵点为的中点， ∴， ∴． 23．（1）证明：连接，， 平分，，， ， 又垂直平分， ， 在和中，， ， ． （2）解：在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ． 24．（）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （）解：如图，以为直角边边向外作等腰直角三角形，连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 25．（1）解：∵∆ABC中，，，， ∴， 由题意得：点在上时，，则， ， ， ， 解得：； （2）当点恰好在的角平分线上，作于点H， 又∵， ， ， ∴Rt∆APC≌Rt∆APH ， ， ， 在中，， ， 解得：； （3）当点P在上时，是等腰三角形， ∴CP=CB=6cm， ∴8-2x=6， 解得：； 当点P在上时，不存在； 当点P在上时，是等腰三角形，有三种情况： ①若使， 则P点运动路程为， 故时，为等腰三角形； ②若，作于点D， ， ， 在中，， ， ∴P运动的路程为， 则，为等腰三角形； ③若， ， ∵∠B=∠A=∠BCP=∠ACP=90°， ， ∴AP=CP=BP=5cm， 此时P运动的路程为， 则所用的时间为，为等腰三角形； 综上所述，当x为或时，为等腰三角形． 26．（1）解：由题可知， 点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点D/重合， 若D/在A的左侧，则D/表示的数为， 若D/在A的右侧，则D/表示的数为， 表示的数为或． 故答案为：或． （2）证明：在与中， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $