【武汉楚天协作体】湖北省部分重点中学2025-2026学年高三12月联考数学试题

高三数学 全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准 考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把对应题目所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色签字笔直 接答在答题卡上对应的答题区域内。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.在复平面内，等腰直角三角形AOB的直角顶点O为坐标原点，点A和点B分别在第一象限 和第二象限，点A对应的复数为2+i,则点B对应的复数为() A.-2+i B.-1-i C.-1+2i D.-2-i 2已知集合4=，6x+s2头：B=e2号0，则B=（) x-3 A.1} B.{0,1} C.{1,2} D.{01,2} 3.已知圆C与直线x=1相切，且与圆(x+2)2+y2=1外切，则圆心C的轨迹为() A.椭圆 B.双曲线的一支 C.抛物线 D.圆 4已知函数/)=血aa>0)在[牙孕上的最小值为-1，那么实数a的最小值为() B. C.2 D.3 5.已知定义域为R的函数满足f+1)=-fm)=f(),且f(白=m,则f1马=() A.-n B.2-m C.m D.2+m 6已知H为△ABC中BC边上一点且满足B丽=2派，AB=1,4C=2,A-买，则丽.BC= 3 () A.1 B.2 C.3 D.4 数学试卷（共4页）第1页 7.莱莫恩(Lemoine)定理指出：过△ABC的三个顶点A,B,C作它的外接圆的切线，分别和 BC,CA,AB所在直线交于点D,E,F,则D,E,F三点在同一条直线上，这条直线被称 为三角形的Lemoine线.在平面直角坐标系xOy中，若△ABC的三个顶点坐标分别为 A(-1,0),B(4,0),C(0,2),则该三角形的Lemoine线的方程为() A.2x-3y+8=0 B.3x-2y+8=0 C.3x+2y-22=0 D.2x+3y-38=0 8.若实数x,y,z满足3-3=5-5=7-7，则x,y,z的大小关系不可能是（) A.x=y=z B.x>y>z C.z>y>x D.z>x>y 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.正四面体P-ABC的棱长为2，M为PC的中点，则下面说法正确的是() A.BM//AP B.PC⊥平面ABM C.直线BC与直线AM所成角的余弦值为 4 D.过点M且平行于平面PAB的截面面积为√5 10已知△4ABc的内角，B.C的对边分别为abc,bsnA=(仙-c)s血B,且cosA=寻则下面 说法正确的是() A.a+c=4b B.tan 24=-25 C.△ABC的面积为b 4 D.△ABC的外接圆的半径与内切圆的半径之比为8：3 11.如图，圆耳：(x+1)2+y2=1,圆E:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆耳外切于点M,与圆F内 切于点N,记圆心P的轨迹为曲线C,若直线：y=x与曲线C交于S,T两点，则下面说法 正确的是() A.曲线C的方程为+ 4+3-16x≠-2) B.∠MPN的最小值为120° c.m两+m.顶对 D.kes ker =4 3 数学试卷（共4页)第2页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12.函数f(x)=x2nx+2r在1，f0)处的切线与直线x+3y-1=0垂直，则实数a的值 为 13.已知等比数列{a}的各项均为正数，且前3项和为84,4-42=-21，则4。= 14.已知正四棱柱ABCD-A,B,CD,其中AB=1,A4=2,顶点处有一只蚂蚁，该蚂蚁每次会 随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向棱长为1的顶点移动的概率为 石从一个顶点 沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若蚂蚁的初始位置位于点A处，记蚂蚁移动次后 仍在面ABCD上的概率为P,则∑P= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成 绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的 频率分布直方图. (1)根据图中数据，估计强化训练后的成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表)： (2)规定得分80分以上（含80分)的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”. 是否优秀 频率/组距 ◆频率/组距 强化训练 合计 0.030 0.032---- 优秀 非优秀 0.028------ 0.024 强化训练前 0.016 强化训练后 0.004- 0405060708090100成绩/分05060708090100成绩/分 合计 图1 图2 将上面的表格补充完整，依据小概率值以=0.001的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是 否优秀与强化训练有关？ n(ad-be) 附：X=(a+b)c+da+c)b+d n=a+b+c+d. 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 数学试卷（共4页）第3页 16.(本小题15分)已知数列{a}满足4=1,2a+1a.=(n+)a.-0+1· (1)证明：数列 ”是等差数列，并求a.: (2)定义向oA-a,0.0B=(D2-),且c=a0丽，1=-l20ueN), 求G+C2+…+Cn, 17.（本小题15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形， 其中BC//AD,AB⊥AD,PA=AD=2,AB=BC=1. (1)证明：平面PBC⊥平面PAB; (2)若点P、B、C、D在同一球面上，设该球面的球心为O. ①求球O的表面积： A: ......... ②求直线PO与平面PDC所成角的正弦值. B 18.(本小题17分)在平面直角坐标系中，已知M(-2,0),N(2,0),动点R满足直线RM和直线 RN的斜率之积是tt≠O. (1)求动点R的轨迹方程，并指出该轨迹是什么曲线： (2)当1=4时，E,P为R的轨迹上的两个动点，记直线EM、FW的斜率分别为kaM、N, 若kM=2kw,试判断直线EF是否过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由. 19.(本小题17分)已知函数f(x)=sinx-. (1)证明：当a=1,x∈(0，时，f)<0: (2)当x∈[0，为]时，f()≥0恒成立，求实数a的取值范围； 3》证明：当ae0到时. _、27 sina-sin"a☑ 1sin a-sin2k a 4 1-sin a 数学试卷（共4页)第4页高三数学参考答案 1-5 CDCCA 6-8 BBD 1.【答案】C 【详解】由题意可知点B可以看作点A绕点O逆时针方向旋转90度而得到.因为A点对应的复数为2+i, 故点B所对应的复数为-1+2i,故选C. 2.【答案】D 【详解】由题意得，A={x1<x<3},B={x∈Z|-1≤x<3}={-1,0,1,2},则A⌒B={01,2}. 3.【答案】C 【详解】方法一：由题意圆心C在直线x=1的左侧，可转化为圆心C到M(-2,0)的距离等于圆心C到直线 x=2的距离，由抛物线的定义知圆心C的轨迹为抛物线，轨迹方程为y2=-8x.故选C 方法二：解：设所求圆的圆心为C(c,y),半径为r, 由圆与直线x=1相切，得r=x-1|,己知圆(x+2)2+y2=1的圆心为M(-2,0),半径为1， 当两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，即|MC=r+1,得V(x+2)2+y2=x-1+1, 当x≥1时，方程变为V(x+2)2+y2=x, 平方后整理得y2=-4(x+1),但此时x≤-1与x≥1矛盾，无解： 当x<1时，方程变为V(x+2)2+y2=2-x,平方后整理得y2=-8x,x≤0， 故轨迹方程为y2=-8x,是抛物线.故选C. 4.【答案】C 【详解】：函数f)=sn(a>0在区间43 兀兀 上的最小值是-1， C匹匹 令t=ar,t∈ 4’3 故只需-匹s 2,即a≥2 4 5.【答案】A 【详解】由条件易得/)为奇函数且最小正周期为2，则(-号-停=-号-2》=-=-m故选A 6.【答案】B 【详解】由丽=2C得ǖ-瓜=2(4c-通），故通-}丽+子c, 所以A.BC= 所以选B 7.【答案】B 【详解】△ABC的外接圆方程设为x2+y2+Dx+Ey+F=0, [1-D+F=0 D=-3 .16+4D+F=0,解得{E=0, 4+2E+F=0 F=-4 第1页共7页 外接圆方程为产+-3x-4=0,即6-多}+2-空 4 故外接圆的圆心坐标为 故外接圆在A处切线方程为x=-1, 又BC:+y 42 1,令x=-1得，y= 在B(4,0)处切线方程为x=4, 又4C:+兰=1，令x=4,得y=10,E(410), -121 则三角形的Lemoine线的方程为3x-2y+8=0, 故选：B 8.【答案】D 【详解】令3-3=5y-5=7-7=t, x=l0g3 (t+3),y=logs (t+5),z=10g7 (+7),t>-3, =-3 在同 一 坐标系内作出 函数 -=0 y=g(1) f(t)=log3(t+3),8(t)=1og5(t+5),ht)=log,t+7),t>-3的图象，则 y=h(t) x,y,z分别是函数y=f(t),y=8t),y=h(t),t>-3的图象与直线 t=(a>-3)交点的纵坐标，观察图象得，当-3<a<0时，z>y>x: 当a=0时，x=y=z;当a>0时，x>y>z,因此ABC都可能，D 不可能.故选：D 9 BD 10ACD 11ABC 9.【答案】BD 【详解】对于A选项，取AC中点N,易知API/N,又MN与BM不平行，所以BM与AP不平行. 对于B选项，PC⊥BM,PC⊥AM,BM,AMC平面ABM, 所以PC⊥平面ABM 对于C选项，取PB中点D,易知AM=AD=√3，DM=1, M 由余弦定理得AM与DM所成角的余弦值为 6 A 对于D选项，取BC中点E,则△ME为截面图形， △M02为边长为1的正三角形，所以面积为5 综上，选BD 4 10.【答案】ACD 【详解】在△ABC中，对于A,因为bsinA=(4b-c)sinB, 所以由正弦定理得ab=(4b-c)b=4b2-bc,即a+c=4b,因此A正确： 对于B.因为cos1-子，A为三角形内角，所以s4- 1215 1-4)4 因此tanA=sin4-V5, cosA 第2页共7页 所以tan2A= 2tan42w1515 ,因此B不正确： 1-tan2A1-15 7 对于C因为o4-子，所以公+- 2bc 4 而由A知：a+c=4b,因此b2+c-ab=c,即8a-7c=2b, 2 a+c=4b 因此由 8a-7c=2b解得c=a=2b, 所以△1BC的面积为csiA=下6：，因此C正确。 4 对于D,由正弦定理可得外接圆半径R=，由等面积法可得内切圆半径T- 15 10 ,二者得比值为8： 3,故D正确.故选：ACD. 11.【答案】ABC 【详解】对于A,设动圆P的半径为r,由条件得PF=”+1,PF2=3-”,则 PF+PF2=4>FF=2,且P,M,N不重合，故点P的轨迹是以耳，耳为焦点的椭圆（去掉P, M,N重合的点)，则曲线C的方程为+父=1K≠-2)，赦A正确： y 43 对于B,由图可知∠MPN与∠PE互补，当P点为椭圆短轴端点时，∠PF,最大， 此时sim∠EP0-号，所以∠BP0=0,则∠KPR的最大值为60，所以 ∠MPN的最小值为120°，故B正确： 对于C, MP.PF+NP.PF=-(r+1)+r(3-r)=2r(1-r）≤2 (+)）)-号当且仅当方时等 2 号成立，故C正确： 对于D,椭圆上任意一点与椭圆上关于原点对称两点连线的斜率之积为定值，有5k一：=3。 2=一4 故D错误 12.【答案】1 【详解】f=2nx++2a/0=1+2a所以+20×(=-1得a=1 18【答案】月 【详解】解：设等比数列{an}的公比为q,q≠0， 若q=1,则4-2=0，与题意矛盾，所以q≠1， 则/9+%+a 41-g）.4 a=48 1-q 解得 1 4-4=a(g-1=-21 4=2 第3页共7页 所以=4时-号 14【给茶11-(]0 【详解】由题意可得每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面， 所以当蚂蚁在下底面A点时，随机移动一次仍在下底面的概率为？，依题 意月=子m-时0-2)-+子B吉克 因风宁子行则质列化是以哈为首或。吉为公比的学比数列， 3 故答案为： 15.【详解】(1)设中位数为x,则0.004×10+0.016×10+0.02×10+（x-80)×0.032=0.5,解得 x=83.125.. .3分 平均数x=55×0.04+65×0.16+75×0.2+85×0.32+95×0.28=81.4. 6分 (2)零假设为H。：跳水运动员是否优秀与强化训练无关，补充完整的表格为 优秀人数 非优秀人数 合计 强化训练前 40 60 100 强化训练后 60 40 100 合计 100 100 200 9分 则x 200×(402-602) -8<10.828,根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断H成立，所以 -100×100×100×100 认为跳水运动员是否优秀与强化训练无关…。 …13分 16.【详解】（1)证明：由2an+1a,=(n+1)an-an+1→ n+1_n=2 a+1a2 →数列 是等差数列. .4分 a 又=1：”-1+2(m-D=2m-1→a,= m-1 .7分 (2)由(1)4=2i- 第4页共7页 ,1,1+2-1=31,1)+2-16=120 .c=2i-1i(2i+0 22i-12i+1 11分 *6++c-0-3写3++(304(242+20-n 20-29-= 0*9 气，+241-2-儿y .15分 17.【详解】 (1)因为PA⊥平面ABCD BCC平面ABCD 所以PA⊥BC 又BC/IAD,AD⊥AB 所以BC⊥AB 又AB,PAC平面PAB AB∩PA=A 所以BC⊥平面PAB 又BCC平面PBC 所以平面PBC⊥平面PAB... .4分 (2)①由(1)PA、AB、AD两两垂直 建立空间直角坐标系，如图所示. 则A(0,0,0),B1,0,0),C1,1,0),D(0,2,0)P(0,0,2) 若P、B、C、D在同一个球面上，则OP=OB=OC=OD 设球心O的坐标为(，，o)有 x++(。-2)2=(。-1)2++z (x。-1)2+y+26=(x。-1)2+0y。-1)2+z (0-1)2+0y0-102+z6=x6+0y0-2)2+26 1 1 半径R=o例-水32+分+兮2妒= 2 所以球的表面积S=4πR2=11π 9分 ②设平面PCD的一个法向量为=(x,y1,1) 所以 (n PC=0 n.PD=0 所以1+y-2五=0 2y-231=0 取x1=1,则为=31=1 所以n=1,1,1), .12分 第5页共7页 又m(3 设直线PO与平面PCD所成角为6，则 PO.n 3 sin0=cos<PO.n> 2 V33 o. × 、11 所以直线P0与平面PCD所成角的正弦值为V33 11 …15分 18【详解】(1)设点x,x≠±2)，则，”，)，=1，整理可得父-上 x-2x+2 44t =1 R的轨迹方程为：二=10x≠士2) 。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。 44t .3分 当t>0时，该轨迹表示双曲线（去掉点（仕2,0）)； .4分 当t<-1或-1<t<0时，该轨迹表示椭圆（去掉点（仕2,0）)： 5分 当t=-1时，该轨迹表示圆（去掉点（仕2,0）)........ 6分 当时，R的轨迹方程为一y=6≠2，由点8在双由 4 得82v2=1,可知K·kw=石。·s1 1 =+22不，则w依烈 .9分 又kgw=2k…所以kvw日 811分 方法一g依题直线EF斜率不为0，设直线EF方程为x=5y+h,E(化1，)，F(x2,2) 联立方程组 [x2-4y2=4 {x=y+h，整理得2-到2+2+作-4=0 s2-4≠0 △=(2s)2-4(s2-4)h2-4)>0 则4+y2=2-4 -2sh l3分 2-4 4=-4 又w产2产2m-h能h-到太 1 即+0-+十h-2日将为+4代入，得A=号 1y2 1 3 2 所以直线BF的方程为x=W一弓，即直线EF过定点 0 3 ..17分 方法二：依题直线EF不过点N,则设直线EF方程为(x-2)+1四=1，E(化1，为)，F(化2,2) 方程等-产-1北为仁-+2广=1整理有21--y广-0 4 4 第6页共7页 联立直线方程有：区-2+K-2[x-21w小-0 4 即 y I 2"x-24 m=0, 14分 从而少⅓1 -2-24m 8,解得m=-3 8 所以直线EF的方程为 x-2)+m=1,即-36 8 十+ 所以直线EF过定点 2 ,0 3 17分 19【详解】(1)当a-=l时，)=m-,)=cosx-1<0,则函数)在x=0,孕单调递诚即 f(x)<f(0)=0 ..3分 (2)f'(x)=cosx-a ①当a≥1时，f'(x)=cosx-a≤0，f(x)≤f(0)=0,不成立 ..4分 ②当a≤0时，f(6)=sinX-之≥0，显然成立5分 ③当0<a<1时，存在，0，孕，使得c%,=a,当x∈@)，f)单调递增，en孕，f单调 递减，faa=min.)f孕}=min(o,1- 0 则0<as2 综上所述：a≤2 .8分 (3)先证明：当ae0,2) 、π 1 27 sin a(1-sin"a a-sin a 4 1-sin a 11分 因为 27 sin ad-sin"a)=27 sint a 1-sin a 4台 1 所以只需证：当a∈ 02时， 21 sink a-sinak a 4 Sin0.…13分 设x=sima,只需证：当0≤x≤1时，x2-x- 27s0 设860- 27’xe[o,1], g=2x-3x,xe03.g>0,e8w)<0 g()）≤g(=0。 。。。。。。。。。。 16分 27 sin a(1-sin"a)27 sin a-sin"a 所以有∑3n2-22角 1-sina 4 1-sina .17分 第7页共7页高三数学答题卡 象 贴条形码区 准考证号 填涂样例 贴缺考标识 正确填涂■ 考生禁填！由监考老师填写。☐ 注L答题前、考生先将自已的蛛名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定的位置贴好条形码 意2.选释题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用签字笔或钢笔答题：字体工整，笔迹清楚。 事3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在试题卷，草稿纸上答题无效。 项4保特卡面请清，不要析叠，不要弄破。考试结束后，请将答题卡，试题卷一并上交。 选择题 1 AB C D 5A幻B☐GD☐ 9A)B☐CD 2A)B☐C☒D回 6AB☐CD 10四®C回 3ABC D 7 [A]B C][D 11 A][B]C][D 4A回☒D 8AB©回 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 填空题 12. 13. 14 请勿在此区域内作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 解答题 15.(本小题13分) (1) (2) 是否优秀 强化训练 合计 优秀 非优秀 强化训练前 强化训练后 合计 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡（共页）第页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 姓名 座位号 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题15分) P A D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题17分) 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡（共页）第2页 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效