专题7.4 正弦函数、余弦函数的性质（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

本讲义聚焦正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值及对称性等核心知识点，从周期函数定义切入，通过表格系统梳理正弦、余弦函数性质，再设计7类应用题型，构建从定义到性质到应用的完整学习支架。 资料特色在于融合几何直观与代数运算，如结合函数图像理解周期性，通过典例与变式分层训练单调性等性质应用，培养数学思维的逻辑推理和数学语言的应用意识。课中助力教师分层教学，课后即学即练与综合题帮助学生查漏补缺，巩固知识。

专题7.4 正弦函数、余弦函数的性质 教学目标 1. 用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性(对称性)、单调性和最大(小)值等性质．进一步掌握正弦函数、余弦函数的图象及性质． 2. 能应用正弦函数、余弦函数的图象与性质解决有关数学问题． 教学重难点 1.重点 正弦函数、余弦函数的图象及性质； 2.难点 正弦函数、余弦函数的图象及性质的运用. 知识点01 周期函数的定义 周期函数的定义: 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做_____函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 最小正周期的定义： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的__________. 【即学即练】 1．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（  ） A． B． C． D． 2．已知函数的最小正周期为，则 ， ． 知识点02 正弦函数的性质 正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=sinx 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 【即学即练】 1．函数的一条对称轴为（  ） A． B． C． D． 2．已知函数y＝3sinx. (1) 求函数的定义域、值域；　　(2) 求函数的最小正周期； 　　(3) 求函数的单调增区间． 知识点03 余弦函数的性质 余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=cosx 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 【即学即练】 1．函数图象的一条对称轴的方程为（  ） A． B． C． D． 2．（多选）设函数，则下列结论正确的有（  ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 题型01 正弦、余弦函数的周期及其应用 【典例1】下列函数中，最小正周期为π的函数是（  ） A． B． C． D． 正余弦函数的周期常见求法: （1）定义法，即利用周期函数的定义求解． （2）公式法，对形如或（，，是常数，，）的函数， （3）观察法，即通过观察函数图象求其周期． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解． 【变式1】函数的最小正周期是 ； 【变式2】设是定义域为R且最小正周期为的函数，且有，则（  ） A． B． C．0 D．1 【变式3】设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数，则 ． 题型02 正弦、余弦函数的奇偶性及其应用 【典例1】（1）函数奇偶性是 ． （2）已知，，若，则（  ） A． B． C． D． 判断函数奇偶性的方法: （1）利用定义判断一个函数的奇偶性，要考虑两方面：①函数的定义域是否关于原点对称；②与的关系； （2）判断函数的奇偶性常用方法是：①定义法；②图象法． 【变式1】下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知，函数是奇函数，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式3】若函数是奇函数,则 . 【变式4】已知函数是定义在上的奇函数，则 . 题型03 正弦、余弦函数的对称性及其应用 【典例1】若函数的图象关于直线对称，则（  ） A． B． C． D． 正、余弦函数的对称性： （1）正弦曲线（余弦曲线）既是轴对称图形，也是中心对称图形； （2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值； （3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0． 【变式1】函数的图象（  ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【变式2】已知函数，则下列说法正确的是（  ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【变式3】将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的值可能是（  ） A． B． C． D． 【变式4】将函数的图象向左平移1个单位长度后，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求出图象的一个对称中心的坐标 ． 题型04 正、余弦函数的单调性及其应用 【典例1】（1）函数的单调减区间是（  ） A． B． C． D． （2）函数的单调增区间为（　　） A． B． C． D．不存在 （3）函数的最小正周期为 ，若函数在区间上单调递增，则的最大值为 . 求正、余弦函数以及正切函数的单调区间的策略: (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)、y＝Atan(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，方法亦如此． 【变式1】函数的单调递减区间为（  ） A． B． C． D． 【变式2】若函数在区间单调递增，在区间上单调递减，则＝（  ） A．3 B．2 C． D． 【变式3】已知函数，则单调增区间为 . 【变式4】若函数的图象与函数的图象有共同的对称轴，且在上单调递减，则的最大值为_________- 题型05 比较大小 【典例1】（1）已知则以下不等式正确的是（  ） A． B． C． D． （2）已知实数，，且满足，则下列关系式成立的是（  ） A． B． C． D． 借助三角函数的图象解（或）的方法： （1）作出直线，作出（或）的图象． （2）确定（或）的x值． （3）确定（或）的解集． 【变式1】已知，，，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）下列不等式中成立的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）下列不等式成立的是（  ） A． B． C． D． 题型06 正弦、余弦函数最值与值域问题 【典例1】已知函数对任意实数恒成立，则实数的范围为 . 【变式1】若函数是奇函数，使得取到最大值时的一个值为（  ） A． B．0 C． D． 【变式2】若实数满足，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】若函数在上的值域为，则的取值范围为 . 【变式4】已知 (1)求的最小正周期及所有周期； (2)求的值； (3)当时，求函数的最大值和最小值并求相应的x值； (4)求的单调增区间． 题型07 正弦、余弦函数的综合应用 【典例1】（1）（多选）已知函数，若将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（  ） A．函数 B．函数的周期为 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象的一条对称轴是直线 （2）已知（其中），其函数图像关于直线对称，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为 ． 【变式1】（多选）已知函数在区间上有最大值，则（  ） A．的取值范围为 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上恒无零点 【变式2】已知函数，现有以下说法： ①直线是图象的一条对称轴； ②在单调递增； ③，. 则上述说法正确的序号是 . 【变式3】已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)若方程在区间上有解，求实数的取值范围. 1．当，若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 2．若函数对任意的x都有，则等于（  ） A．3或0 B．或0 C．0 D．或3 3．先将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，最后向上平移1个单位长度，得到的新函数图象的一个对称中心可以是（  ） A．） B． C． D． 4．下列命题正确的是（  ） A．在第二象限是减函数 B．在上是减函数 C．奇函数 D．在第一、四象限内是增函数 5．已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②的最小值是；③在区间上单调递减．其中正确结论的个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．设函数，其中.若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（  ） A．为函数的一个对称中心 B．的图像关于直线对称 C．在上为严格减函数 D．函数的最小正周期为 7．（多选）下列函数在区间上单调递增的是（  ） A． B． C． D． 8．（多选）已知函数，则下列关于的性质的描述正确的有（  ） A．关于点对称 B．的最小正周期为 C．在上单调递减 D．关于直线对称 9．（多选）已知函数，下列说法正确的有（  ） A．的图象关于点对称 B．若，则是的整数倍 C．在有2个零点 D．不等式的解集为， 10．已知函数，（其中，为常数，且）有且仅有5个零点，则a的值为 ，的取值范围是 ． 11．已知函数满足，则的最小值为_____________ 12．已知函数是偶函数，将的图象沿轴向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.已知的图象相邻对称中心之间的距离为，则 ，若的图象在其某对称轴处对应的函数值为，则在上的最大值为 . 13．设，函数的最小正周期为，且． (1)求和的值； (2)列表，并在给定坐标系中作出函数在上的图像； (3)若，求x的取值范围． 14．已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，且，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意的，，都有，求的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.4 正弦函数、余弦函数的性质 教学目标 1. 用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性(对称性)、单调性和最大(小)值等性质．进一步掌握正弦函数、余弦函数的图象及性质． 2. 能应用正弦函数、余弦函数的图象与性质解决有关数学问题． 教学重难点 1.重点 正弦函数、余弦函数的图象及性质； 2.难点 正弦函数、余弦函数的图象及性质的运用. 知识点01 周期函数的定义 周期函数的定义: 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 最小正周期的定义： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 【即学即练】 1．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于在区间上单调递减，此时在区间上单调递减，且最小正周期为，故A正确； 因为，最小正周期为 ，故B错误； 由于，当时，，此时不是单调函数，故C错误； 对于D，，当时，，此时是单调递增函数，故D错误. 故选：A. 2．已知函数的最小正周期为，则 ， ． 【答案】 2 【分析】①根据周期，得；②代入解析式即可得解. 【解析】函数的最小正周期为， 所以，； ， . 故答案为：2； 知识点02 正弦函数的性质 正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=sinx 图象 定义域 R 值域 [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 【即学即练】 1．函数的一条对称轴为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数性质求出对称轴通式即可求出结果. 【解析】函数的对称轴满足， 解得，令，则， 故选：A. 2．已知函数y＝3sinx. (1) 求函数的定义域、值域；　　(2) 求函数的最小正周期； 　　(3) 求函数的单调增区间． 【答案】A 【分析】利用正弦函数的性质即可求解. 【解析】(1) 由函数的解析式，知函数对任意x∈R均有意义，故函数的定义域为R. 由－1≤sinx≤1，得－3≤3sinx≤3， 故函数的值域为[－3，3]． (2) 函数的最小正周期T＝2π. (3) ，k∈Z. 知识点03 余弦函数的性质 余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=cosx 图象 定义域 R 值域 [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 奇偶性 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 【即学即练】 1．函数图象的一条对称轴的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合余弦函数图像整体代入法求解即可； 【解析】若图象的一条对称轴的方程为， 结合余弦函数图像，整体代入得：， 所以， 经验证，只有，当时， 符合条件， 故选：A. 2．（多选）设函数，则下列结论正确的有（  ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】由周期公式可判断A；利用余弦函数减区间解不等式可判断B；根据余弦型函数的对称轴过最值点，直接验证可判断CD. 【解析】函数的最小正周期，所以A正确； 由得：，因为是的真子集，所以在区间上单调递减，故B正确； 因为，所以的图象关于直线对称，故C不正确；D正确. 故选：ABD 题型01 正弦、余弦函数的周期及其应用 【典例1】下列函数中，最小正周期为π的函数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的周期公式即可判断AC；作出函数的图象，结合周期的定义即可判断BD. 【解析】对于A，函数的最小正周期为，故A不符合题意； 对于B，作出函数的图象，    由图可知，函数的最小正周期为，故B符合题意； 对于C，函数的最小正周期为，故C不符合题意； 对于D，函数，其图象如图，    由图可知，函数不是周期函数，故D不符合题意. 故选：B. 正余弦函数的周期常见求法: （1）定义法，即利用周期函数的定义求解． （2）公式法，对形如或（，，是常数，，）的函数， （3）观察法，即通过观察函数图象求其周期． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解． 【变式1】函数的最小正周期是 ； 【答案】 【分析】利用正弦型函数的周期公式计算作答. 【解析】函数的最小正周期. 故答案为： 【变式2】设是定义域为R且最小正周期为的函数，且有，则（  ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】利用给定函数的性质，结合分段函数解析式代入计算作答. 【解析】因为是定义域为R且最小正周期为的函数，且， 所以. 故选：A 【变式3】设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由最小正周期为求得，再令，，求出对称轴，即可得出答案． 【解析】因为的最小正周期为， 所以， 所以， 令，， 解得， 所以的对称轴为直线， 当时，，其它各项均不符合， 所以是函数的对称轴， 故选：A． 【变式4】已知函数，则 ． 【答案】2022 【分析】首先求出函数的周期，再求出，根据周期性计算可得. 【解析】易知函数的最小正周期， 而 ， 由周期性知，这样连续六项的和均为， 而共有项，， 所以． 故答案为： 题型02 正弦、余弦函数的奇偶性及其应用 【典例1】（1）函数奇偶性是 ． 【答案】偶函数 【分析】先根据诱导公式化简函数，然后用定义判断奇偶性即可. 【解析】因为， 又定义域为关于原点对称，， 所以是偶函数， 故答案为：偶函数. （2）已知，，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入，可得，借助，再代入可得解 【解析】由题意， 由于为偶函数，因此 因此 故选：C 判断函数奇偶性的方法: （1）利用定义判断一个函数的奇偶性，要考虑两方面：①函数的定义域是否关于原点对称；②与的关系； （2）判断函数的奇偶性常用方法是：①定义法；②图象法． 【变式1】下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的奇偶性、周期性即可逐一判断各个选项. 【解析】对于A，是以为最小正周期的奇函数，故A不符合题意； 对于B，是以为最小正周期的偶函数，故B不符合题意； 对于C，若，则，为偶函数，故C不符合题意； 对于D，若，显然其定义域为全体实数，且，所以是奇函数，且它的最小正周期为，故D符合题意. 故选：D. 【变式2】已知，函数是奇函数，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，函数是奇函数，可得，可得的值. 【解析】解:由，函数是奇函数， 可得：，即：，又， 可得：， 故选：C. 【变式3】若函数是奇函数,则 . 【答案】 【分析】由为奇函数可得，于是可得函数，进而可得所求 【解析】∵函数是奇函数， ∴， ∴， 经检验为奇函数，满足题意， ∴． 故答案为： 【变式4】已知函数是定义在上的奇函数，则 . 【答案】0 【分析】根据题意得到关于对称，根据余弦函数的性质可得到，代入函数即可得到答案 【解析】因为是定义在上的奇函数，故关于对称， 所以，解得， 因为，所以， 所以， 所以， 故答案为：0 题型03 正弦、余弦函数的对称性及其应用 【典例1】若函数的图象关于直线对称，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由余弦函数的对称性直接求解. 【解析】 因为的图象关于直线对称， 所以，得， 因为，所以. 故选：C. 正、余弦函数的对称性： （1）正弦曲线（余弦曲线）既是轴对称图形，也是中心对称图形； （2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值； （3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0． 【变式1】函数的图象（  ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】B 【分析】根据选项，采用代入法，判断选项. 【解析】A.，所以函数不关于直线对称，故A错误； B. ，所以函数关于直线对称，故B正确； C. ，所以函数不关于点对称，故C错误； D. ，所以函数不关于点对称，故D错误； 故选：B 【变式2】已知函数，则下列说法正确的是（  ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【答案】B 【分析】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答. 【解析】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确； 对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确； 对于C，， 令，，，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确. 故选：B. 【变式3】将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的值可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数图象平移规律、伸缩变化可得的图象，再由图象关于轴对称得到，，然后逐项验证是否为整数可得答案. 【解析】将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的， 纵坐标不变得到的图象， 将的图象向左平移个单位长度得到的图象， 该图象关于轴对称，所以，，，， 若，解得，若，解得， 若，解得，若，解得， 故选：D. 【变式4】将函数的图象向左平移1个单位长度后，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求出图象的一个对称中心的坐标 ． 【答案】答案举例：，等（写出一个或一个以上就给分） 【分析】根据正弦型函数的图象变换可得，再求解函数的对称中心即可. 【解析】由题可知 则函数图象的一个对称中心的横坐标满足，所以 则函数的对称中心为. 故答案为：（写出一个或一个以上就给分） 题型04 正、余弦函数的单调性及其应用 【典例1】（1）函数的单调减区间是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体法求解正弦型函数的单调性，即可求解. 【解析】令,所以， 当，由于，故D正确，ABC均错误， 故选：D. （2）函数的单调增区间为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】（1）利用平方关系化为关于二次函数研究单调区间求解即可。 【解析】即， 由此可知与同增同减即可得函数的单调增区间， 则增区间满足或，， 即或，， 解得或， 所以函数的单调增区间为：. 故选：C. （3）函数的最小正周期为 ，若函数在区间上单调递增，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据正弦函数的周期公式和单调递增区间可求出结果. 【解析】函数的最小正周期. 由，，得，， 所以的单调递增区间为，， 若函数在区间上单调递增，则，， 则，则，即的最大值为. 故答案为：；. 求正、余弦函数以及正切函数的单调区间的策略: (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)、y＝Atan(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，方法亦如此． 【变式1】函数的单调递减区间为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用整体代换代入减区间，求解不等式可得答案. 【解析】令，解得， 所以的单调递减区间为． 故选：B. 【变式2】若函数在区间单调递增，在区间上单调递减，则＝（  ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先根据求出，，再根据函数在区间单调递增，得到，求出，从而得到. 【解析】由题意得，故，， 解得，， 又因为函数在区间单调递增，所以，解得， 因为，所以， 故，解得， 故，解得， 又，故，所以 故选：C 【变式3】已知函数，则单调增区间为 . 【答案】 【分析】由题可得，然后根据正弦函数的性质即得. 【解析】由题得， 由，可得， 所以函数的单调增区间为. 故答案为：. 【变式4】若函数的图象与函数的图象有共同的对称轴，且在上单调递减，则的最大值为_________- 【答案】 【分析】由，可求出的对称轴，再根据轴对称图形对称区间的单调性的性质将区间置于两相邻对称轴之间，从而可求得的最大值. 【解析】由，得， 所以的图象的对称轴为， 令，得，令，得， 因为对称轴两侧的单调性相反，且在上单调递减， 所以在直线的右侧，在直线的左侧， 所以，所以的最大值为， 故答案为： 题型05 比较大小 【典例1】（1）已知则以下不等式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象的单调性与对称性，以及1,2,3与对称轴的距离，即可判断函数值的大小. 【解析】， 在上是增函数，在上是减函数； 且的图象关于对称， 又， . 故选：D （2）已知实数，，且满足，则下列关系式成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的性质得到，在根据对数函数的性质判断A，正弦函数的性质判断B，不等式的性质判断C，幂函数的性质判断D. 【解析】因为在上单调递减，又实数，，且满足， 所以，即， 对于A：因为在定义域上单调递增，所以，故A错误； 对于B：因为在上单调递增，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：因为在定义域上单调递增，所以，故D错误； 故选：C 借助三角函数的图象解（或）的方法： （1）作出直线，作出（或）的图象． （2）确定（或）的x值． （3）确定（或）的解集． 【变式1】已知，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式和正弦函数在上的单调性可得大小关系. 【解析】由诱导公式知：，， 在上单调递增，，即. 故选：D. 【变式2】（多选）下列不等式中成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由诱导公式与三角函数的性质判断， 【解析】对于A，，故，故A正确， 对于B，，故，故B错误， 对于C，，故C正确， 对于D，，，而，故，故D正确， 故选：ACD 【变式3】（多选）下列不等式成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】研究选项AB中的角所在的区间的单调性，可判断，C选项根据诱导公式化简后相等，可判断，D选项需把两个函数化成同名函数，再根据角所在区间单调性可判断大小. 【解析】所以正确. 所以正确. 所以错误. 所以错误. 故选：AB 题型06 正弦、余弦函数最值与值域问题 【典例1】已知函数对任意实数恒成立，则实数的范围为 . 【答案】 【分析】对任意实数恒成立，则，讨论与0的大小可得答案. 【解析】因对任意实数恒成立，则. 当时，符合题意； 当时，； 当时，. 综上，. 故答案为： 【变式1】若函数是奇函数，使得取到最大值时的一个值为（  ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的奇偶性求出,再根据对称轴使得取到最大值,计算即可. 【解析】若函数是奇函数,所以. 所以, 当取到最大值时,,即,可得， 当时, . 故选:. 【变式2】若实数满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由三角函数的值域可知，，所以，所以， 当且仅当时取等号，此时, 所以，， 所以． 故选：C． 【变式3】若函数在上的值域为，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由，则， 的值域为，则，解得. 故答案为：. 【变式4】已知 (1)求的最小正周期及所有周期； (2)求的值； (3)当时，求函数的最大值和最小值并求相应的x值； (4)求的单调增区间． 【答案】(1)，函数的所有周期是; (2)1; (3)时，，时，; (4)，． 【分析】（1）根据最小正周期公式即可得出结果，进而写出所有周期表达式；（2）将代入计算可得；（3）利用整体代换法得出的范围，利用三角函数单调性即可求得其最大值和最小值；（4）由计算可得其单调增区间. 【解析】（1）由和周期公式可得，即的最小正周期， 所以函数的所有周期是最小正周期的整数倍即. （2）将代入可得； （3）当时，， 当，即时，， 当，即时，， 所以，时， 时，． （4）由， 得， 所以函数的单调增区间为：，． 题型07 正弦、余弦函数的综合应用 【典例1】（1）（多选）已知函数，若将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（  ） A．函数 B．函数的周期为 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象的一条对称轴是直线 【答案】ABC 【分析】首先结合伸缩变换和平移变换求出的解析式即可判断A；利用周期公式判断B；利用整体代入法求出的单调递增区间即可判断C；利用代入检验法可判断D. 【解析】由题意可知，函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的后，其解析式为， 向右平移个单位长度后，得到，故A正确； 由周期公式可知，函数的周期为，故B正确； 由，， 故的单调递增区间为，， 从而函数在区间上单调递增，故C正确； 因为，故D错误. 故选：ABC. （2）已知（其中），其函数图像关于直线对称，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为 ． 【答案】 【分析】由三角函数的对称性求出，再由的范围求出的范围，根据三角函数的性质即可求出答案. 【解析】函数关于直线对称， 所以，所以， 因为，所以，所以， 当，则， 要使函数在区间上有且只有三个零点，所以， 所以的范围为：. 故答案为： 【变式1】（多选）已知函数在区间上有最大值，则（  ） A．的取值范围为 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上恒无零点 【答案】BC 【解析】对于A，当时，有，且，， ∵函数在区间上有最大值， ∴，∴，故A错误； 对于B，当时，有，而， 则，所以在区间上单调递减，故B正确； 对于C，当时，有，而， 则，所以在区间上单调递增，故C正确； 对于D，取，，则， 故在有零点，故D错误. 故选：BC. 【变式2】已知函数，现有以下说法： ①直线是图象的一条对称轴； ②在单调递增； ③，. 则上述说法正确的序号是 . 【答案】①② 【分析】根据对称性公式，判断①；根据复合函数的单调性判断②；根据单调性和对称性，周期性，判断③. 【解析】①， 所以函数关于直线对称，故①正确； ②设，则，根据符合函数单调性可知，内层函数在单调递增，外层函数在也是单调递增函数，所以函数在单调递增，故②正确； ③，所以函数的周期为，并且函数关于直线对称，且在区间单调递增，所以函数的最大值是， ，， 所以，，故③错误. 故答案为：①② 【变式3】已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)若方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）令，则， 的单调递减区间为； （2）， ， 在上单调递增， ， 方程在区间上有解，的取值范围为. 1．当，若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦函数的单调性解三角不等式，即得答案. 【解析】由题意，， 当时，， 而在上单调递减，在上单调递增， 故的取值范围为， 故选：B 2．若函数对任意的x都有，则等于（  ） A．3或0 B．或0 C．0 D．或3 【答案】D 【分析】是的一条对称轴，故而为的最大值或最小值． 【解析】任意实数都有恒成立， 是的一条对称轴，当时，取得最大值3或最小值． 故选：． 3．先将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，最后向上平移1个单位长度，得到的新函数图象的一个对称中心可以是（  ） A．） B． C． D． 【答案】B 【分析】先进行伸缩变换得到，再进行平移变换得到，从而求出对称中心. 【解析】的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到， 再向右平移个单位长度，最后向上平移1个单位长度得到， 令，解得， 故对称中心为， 当时，对称中心为，B正确，经验证，其他选项均不正确. 故选：B 4．下列命题正确的是（  ） A．在第二象限是减函数 B．在上是减函数 C．奇函数 D．在第一、四象限内是增函数 【答案】C 【解析】对于A，在每一个区间上都是减函数， 在第二象限是减函数，故A错误； 对于B，在上是增函数，故B错误； 对于C，， 所以的定义域为，关于原点对称， ， 所以是奇函数，故C正确； 对于D，在的每一个区间上是增函数， 不能说在第一、四象限内是增函数，故D错误. 故选：C. 5．已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②的最小值是；③在区间上单调递减．其中正确结论的个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由已知得，易知，故是周期函数，故①正确； 当时，，，故②错误； 结合解析式，知在上单调递减，在上单调递减，而，故③错误． 故选：B 6．设函数，其中.若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（  ） A．为函数的一个对称中心 B．的图像关于直线对称 C．在上为严格减函数 D．函数的最小正周期为 【答案】D 【分析】由对任意的恒成立得函数在取得最大值，从而可以求解，得到函数的解析式，然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断． 【解析】解：由对任意的恒成立得函数在取得最大值， 所以，则， 所以， 整理得， 对于，，则不是函数的对称中心，故错误； 对于，，则不是函数的对称中轴，故错误； 对于，令，， 解得，，， 显然不包含区间，故错误； 对于，，所以的最小正周期为，故正确． 故选：D． 7．（多选）下列函数在区间上单调递增的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据三角函数的单调性对选项进行分析，从而确定答案. 【解析】A选项，时，，单调递增，故A符合. B选项，时，，单调递减，故B不符合. C选项，时，，，单调递减，故C不符合. D选项，时，，，单调递增，故D符合. 故选：AD. 8．（多选）已知函数，则下列关于的性质的描述正确的有（  ） A．关于点对称 B．的最小正周期为 C．在上单调递减 D．关于直线对称 【答案】BD 【分析】根据三角函数的对称性、周期性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】A项：对称中心纵坐标应为1，故A错误； B项：的最小正周期：，故B正确； C项：当时，， 所以在上单调递减， 而，应在上单调递增，故C错误； D项：对称轴：，即， 当时，，故D正确. 故选：BD 9．（多选）已知函数，下列说法正确的有（  ） A．的图象关于点对称 B．若，则是的整数倍 C．在有2个零点 D．不等式的解集为， 【答案】AD 【解析】A：由，即的图象关于点对称，对； B：由，则，可得， 所以，则是的整数倍，错； C：由，则，结合正弦函数的图象及周期性知：共有3个零点，错； D：由题设，则，可得，解集为，对. 故选：AD 10．已知函数，（其中，为常数，且）有且仅有5个零点，则a的值为 ，的取值范围是 ． 【答案】 1 【解析】由条件可得函数必有一个零点为，即可求出，然后令可得，然后可建立不等式求解. 【解析】因为函数，为偶函数，有且仅有5个零点 所以必有一个零点为，所以，即 令，可得，即，即 因为有且仅有5个零点，所以，解得 故答案为：1； 11．已知函数满足，则的最小值为_____________ 【答案】 【分析】根据题意可知为的对称中心，结合余弦函数对称性分析求解. 【解析】因为，可知为的对称中心， 则，可得， 解得， 且，可知：当时，取到最小值. 故答案为： 12．已知函数是偶函数，将的图象沿轴向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.已知的图象相邻对称中心之间的距离为，则 ，若的图象在其某对称轴处对应的函数值为，则在上的最大值为 . 【答案】 【解析】由题意，根据三角函数图象的对称性求出，根据函数图象的平移变换与拉伸变换，求出的解析式，由已知求出的最小正周期，即可得的值，再结合三角函数的性质，求出，得到的解析式，即可得在上的最大值. 【解析】函数是偶函数， ，， 又， ， ， 将的图象沿轴向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为， ， 的图象相邻对称中心之间的距离为， ，解得， 的图象在其某对称轴处对应的函数值为， ， ， 当时，，， 故， 在上的最大值为. 故答案为：；. 13．设，函数的最小正周期为，且． (1)求和的值； (2)列表，并在给定坐标系中作出函数在上的图像； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)， (2)表格，图像见解析 (3) 【分析】（1）利用最小正周期和，结合给定范围与三角函数性质即可求解； （2）列表描点即可得出答案； （3）由余弦函数的图像与性质解不等式即可得出答案. 【解析】（1）函数的最小正周期为，且， ， ， ， ， ， ； （2）跟据第一问知，列表如下： 函数在上的图像如下图： （3），即， ，， 则，， 即，， 的取值范围为：. 14．已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，且，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意的，，都有，求的取值范围． 【答案】(1);(2);(3) 【解析】（1）解：由函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是， 可得，解得，所以，即， 又由，可得， 因为，所以，所以， 将的向右平移个单位长度，可得函数， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知：，不等式，即为， 可得，解得， 所以不等式的解集为. （3）解：由（1）知：， 当，可得，当时，， 因为对任意的 ，，都有， 即当时，恒成立，即恒成立， 即当时，恒成立， 设，可得恒成立， 令， 当时，即时，即时，， 所以，即，即实数的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $