专题02 实数的初步认识（期末复习专项训练，10大题型）八年级数学上学期新教材苏科版

专题02 实数的初步认识 题型1 近似数（常考点） 题型6 实数运算（重点） 题型2 实数分类（常考点） 题型7 实数与数轴之间的化简（重点） 题型3 实数比较大小（常考点） 题型8 无理数中的整数部分与小数部分（难点） 题型4 平方根与立方根（常考点） 题型9 实数中的规律问题（难点） 题型5 实数中的非负性（常考点） 题型10 实数中的新定义（难点） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 近似数（常考点） 1．下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位 B．精确到千分位 C．精确到千位 D．万精确到个位 2．用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到十分位） D．（精确到） 3．用四舍五入法对取近似值，精确到百分位是 ． 题型二 实数分类（常考点） 1．下列各数中：1.2， ， 0， ，1.010010001，，，0.35，，正分数的个数为（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．在下列实数中：，，，，0，，（相邻两个1之间0的个数逐次加），无理数的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．在下列各数中：2022，，，（每两个1之间的0依次加1），无理数有 个． 题型三 实数比较大小（常考点） 1．在，0，，π这四个数中，最大的数是（   ） A． B．0 C． D．π 2．已知：，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．比较大小： ．（填“”或者“”） 题型四 平方根与立方根（常考点） 1．下列说法不正确的是（    ） A．0的算术平方根是0 B． C．的平方根是 D．9的立方根是3 2．下列说法正确的是（    ） A．一定没有平方根 B．立方根等于它本身的数是0，1 C．的算术平方根是6 D．25的平方根是 3．已知和是一个正数的两个平方根，的立方根是3，则的算术平方根是 题型五 实数中的非负性（常考点） 1．已知等腰三角形的两边长分别为、，且、满足，则此等腰三角形的周长为（） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 2．若，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 3．已知，则的值为 ． 题型六 实数运算（重点） 1．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2． 3．计算 (1)． (2) 题型七 实数与数轴之间的化简（重点） 1．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2．已知a、b、c在数轴上位置如下图所示，化简 ． 3．已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示： (1)化简：； (2)若实数，满足，求的立方根． 题型八 无理数中的整数部分与小数部分（难点） 1．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）． 2．先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． (1)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值； (2)已知，其中x是整数，且，求的值． 3．阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则． 根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则　　 ，　　 ； (2)若，其中p是整数，且，求的值． (3)若，其中a是整数，且，求的值； 题型九 实数中的规律问题（难点） 1．通过观察后再回答问题． 200 (1)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决问题： 已知，，则______； (2)已知，，用含m的代数式表示n（请写出解答过程）． 2．问题情境：学习《实数》之后，在数学活动课上，王老师出示了一组有规律的算式．仔细观察下列算式，并探求规律： ，，，， 实践探究： (1)按照此规律，①计算：_____； ②第个式子是_____（用含的式子表示，且为整数）； (2)计算：． 3．（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 题型十 实数中的新定义（难点） 1．阅读材料： 材料一：对实数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：；． 解决问题： (1)_______；_______； (2)已知，且，求的值； (3)对于正数，满足关系式时，求a的值． 2．对于，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：； (1)已知，，求，的值； (2)在（1）的条件下，关于的不等式组恰好有2个整数解，求实数的取值范围． (3)若对于任意不相等的实数，都成立，且，求的值． 3．定义新运算：，例如，因为，所以，． (1)计算：______，______，当时，若，则与满足的关系式为______； (2)若点在第四象限，且满足，求点P的坐标； (3)t为常数，若关于x的不等式组有整数解，求t的取值范围． $专题02 实数的初步认识 题型1 近似数（常考点） 题型6 实数运算（重点） 题型2 实数分类（常考点） 题型7 实数与数轴之间的化简（重点） 题型3 实数比较大小（常考点） 题型8 无理数中的整数部分与小数部分（难点） 题型4 平方根与立方根（常考点） 题型9 实数中的规律问题（难点） 题型5 实数中的非负性（常考点） 题型10 实数中的新定义（难点） 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 近似数（常考点） 1．下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位 B．精确到千分位 C．精确到千位 D．万精确到个位 【答案】C 【分析】本题主要考查近似数的知识点． 根据近似数的精确度定义，科学记数法的精确度由系数的最后一位数字决定，需结合指数判断实际精确位． 【详解】∵ 近似数的精确度取决于最后一位有效数字的位置； 选项A.：最后一位数字0在千分位，故精确到千分位，不是百分位，不符合题意； 选项B.：中系数最后一位在千分位，乘以后精确到十位，不是千分位，不符合题意； 选项C.：中系数最后一位在百分位，乘以后精确到千位，正确，符合题意； 选项D.：万，最后一位有效数字在万位，故精确到万位，不是个位，不符合题意． 故选C． 2．用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到十分位） D．（精确到） 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的近似数，根据四舍五入法，对按照不同精度取近似值，逐项分析判断是否正确即可． 【详解】解：A、对精确到取近似值为，故此选项错误，符合题意； B、对精确到百分位取近似值为，故此选项正确，不符合题意； C、对精确到十分位取近似值为，故此选项正确，不符合题意； D、对精确到取近似值为，故此选项正确，不符合题意； 故选：A． 3．用四舍五入法对取近似值，精确到百分位是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解一个数的近似数，精确到百分位，即对千分位上的数字进行四舍五入． 【详解】解：数字的千分位是，根据四舍五入规则，需要进位， 因此百分位上的加变成，故近似值为． 故答案为： 题型二 实数分类（常考点） 1．下列各数中：1.2， ， 0， ，1.010010001，，，0.35，，正分数的个数为（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的分类，正分数是指大于0的分数，包括有限小数、无限循环小数和百分数等，但排除整数、无理数和负数，据此解答即可． 【详解】解：1.2（有限小数）、1.010010001（有限小数）、、0.35（有限小数）是正分数； 是无理数，不是分数；0是整数；是负数；是负数；是整数，不是分数， ∴正分数有4个． 故选：B． 2．在下列实数中：，，，，0，，（相邻两个1之间0的个数逐次加），无理数的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是无理数的概念，解题关键是依据无理数 “无限不循环小数” 的定义，区分有理数与无理数． 先明确无理数是 “无限不循环小数”，再逐一判断每个数的类型，统计无理数的个数． 【详解】解：逐一分析各数： ：分数，是有理数； 是无限不循环小数，故是无理数； ：是无限不循环小数，故是无理数； ：分数，是有理数； 0：整数，是有理数； ：有限小数，是有理数； （相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）：是无限不循环小数，是无理数． 综上所述共有3个无理数． 故选：B． 3．在下列各数中：2022，，，（每两个1之间的0依次加1），无理数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查无理数的定义，实数的分类，掌握知识点是解题的关键． 根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，判断每个数是否为无理数即可． 【详解】解：2022是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 中的是无理数，因此是无理数； （每两个1之间的0依次加1）是无限不循环小数，属于无理数． ∴无理数有2个． 故答案为：2． 题型三 实数比较大小（常考点） 1．在，0，，π这四个数中，最大的数是（   ） A． B．0 C． D．π 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，通过比较四个数的大小，负数小于零，零小于正数，正数中大于，因此最大； 【详解】解：∵ ， ， ， ∴ 是最大的数； 故选：D 2．已知：，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的大小比较方法，解答此题的关键要明确：正数大于零，负数小于零，正数永远大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．分别计算，，的值，利用负指数法则，注意指数优先级，利用零指数法则，然后根据实数大小的比较方法，判断出，，大小关系即可． 【详解】解：，，， ， 故选：． 3．比较大小： ．（填“”或者“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，根据两个负数比较大小的法则，绝对值大的反而小，进行求解即可． 【详解】解：，， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 题型四 平方根与立方根（常考点） 1．下列说法不正确的是（    ） A．0的算术平方根是0 B． C．的平方根是 D．9的立方根是3 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的立方根，求一个数的平方根，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据平方根、算术平方根和立方根的概念，判断各选项的正确性． 【详解】解：0的算术平方根是0，故选项A说法正确，不符合题意； ∵， ∴，故选项B说法正确，不符合题意； ∵， ∴的平方根是，故选项C说法正确，不符合题意； ∵， ∴9的立方根不是3，而是， 故选项D说法不正确，符合题意； 故选：D． 2．下列说法正确的是（    ） A．一定没有平方根 B．立方根等于它本身的数是0，1 C．的算术平方根是6 D．25的平方根是 【答案】D 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念，需注意负数没有平方根，算术平方根是非负数，立方根包括负数．根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、可能是非负数，可能有平方根，原说法错误，不符合题意； B、立方根等于它本身的数是0，，原说法错误，不符合题意； C、的算术平方根是，原说法错误，不符合题意； D、25的平方根是，正确，符合题意； 故选D． 3．已知和是一个正数的两个平方根，的立方根是3，则的算术平方根是 【答案】3 【分析】本题考查了平方根的定义，立方根的定义，求一个数的算术平方根． 利用平方根互为相反数的性质求a，利用立方根的定义求b，再计算，求其算术平方根即可． 【详解】解：和是一个正数的两个平方根， ， 解得， 又的立方根是3， ， 解得， ， 的算术平方根， 故答案为： 题型五 实数中的非负性（常考点） 1．已知等腰三角形的两边长分别为、，且、满足，则此等腰三角形的周长为（） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质，三角形三边关系等，熟练掌握这些知识点是解题关键． 根据非负数的性质，求出a和b的值，再根据等腰三角形的性质分类讨论边长组合，利用三角形三边关系判断是否成立，最后计算周长． 【详解】解：∵，且，， ∴且， ∴，， 当腰长为2，底边为3时，三边为2、2、3， ∵，，， ∴能组成三角形，周长为； 当腰长为3，底边为2时，三边为3、3、2， ∵，，， ∴能组成三角形，周长为； 故此等腰三角形的周长为7或8， 故选A 2．若，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、有理数的加法运算． 由于平方、绝对值和算术平方根都具有非负性，且它们的和为零，因此每个部分都必须为零，从而可求出，，的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴． 故选：B． 3．已知，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查偶次方和算术平方根的非负性，代入求值；利用平方和算术平方根的非负性，求出a和b的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：6． 题型六 实数运算（重点） 1．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根、立方根和绝对值的概念．根据算术平方根的非负性、立方根的性质以及平方运算规则，逐一判断各选项． 【详解】解：A．，故原计算错误； B． ，故原计算错误； C．，，则，故原计算错误； D．，故原计算正确， 故选：D． 2． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算、负整数指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为 ：． 3．计算 (1)． (2) 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和立方根，再进行加减运算即可． （2）先计算零指数幂，然后根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型七 实数与数轴之间的化简（重点） 1．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根、立方根以及绝对值的性质等知识，正确判断符号是正确化简的前提． 根据实数在数轴上对应的点的位置判断出：，的符号，再根据算术平方根、立方根以及绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：实数a，b在数轴上对应的点的位置可知：，，且， 因此，，， 所以，．， 故选D 2．已知a、b、c在数轴上位置如下图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根和立方根，整式的加减运算，数轴的知识，解题的关键是得到，，． 利用数轴得到，，，再根据算术平方根的定义，绝对值的定义，立方根的定义化简，然后计算即可． 【详解】由图可知，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 3．已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示： (1)化简：； (2)若实数，满足，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是实数与数轴，非负数的性质，算术平方根的性质，求一个数的立方根，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义和算术平方根的性质是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置判断出绝对值和根号里边式子的正负，利用绝对值和算术平方根的代数意义化简，去括号合并即可得到结果； （2）利用非负数的性质求得实数a，b的值，再代入计算求立方根即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴其立方根为． 题型八 无理数中的整数部分与小数部分（难点） 1．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定m、n的值，再代入计算即可； （3）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到的大小，确定x、y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，而， ， 的整数部分是4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）解：，而， ， 的整数部分，小数部分为， ； （3）解：， ， 又，其中x是整数，且， ， ， 故答案为：. 2．先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． (1)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值； (2)已知，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1)1 (2)19 【分析】本题考查的是无理数的估算，确定无理数整数部分及小数部分， （1）根据求出，再根据求出，代入求出结论即可； （2）先求出的整数部分是1，小数部分是，再求出，代入计算即可 ． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是3，小数部分为， ，即， 的整数部分是， ； （2）解：，即， 的整数部分是1，小数部分是， ，其中x是整数，且， ， ． 3．阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则． 根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则　　 ，　　 ； (2)若，其中p是整数，且，求的值． (3)若，其中a是整数，且，求的值； 【答案】(1)2， (2) (3)4 【分析】本题主要考查算术平方根及实数的运算，熟练掌握算术平方根及实数的运算是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有的整数部分为9，小数部分为，然后问题可求解； （3）由题意易得的整数部分为3，小数部分为，则有，，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为， 又∵，其中m是整数，且， ∴，， 故答案为：2，； （2）解：∵，即， ∴， 即的整数部分为9，小数部分为， 又∵，其中p是整数，且， ∴，， ∴； （3）解：∵，即， ∴， ∴， 即的整数部分为3，小数部分为， 又∵，即，其中a是整数，且， ∴，， ∴． 题型九 实数中的规律问题（难点） 1．通过观察后再回答问题． 200 (1)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决问题： 已知，，则______； (2)已知，，用含m的代数式表示n（请写出解答过程）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根的理解和规律的应用，熟练掌握算术平方根定义，是解题的关键． （1）从表格中可发现当的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍，从到被开方数扩大到原来的倍，结果扩大到原来的倍，即可得到答案； （2）根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【详解】（1）解：从表格中可发现当的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍， ∴从到被开方数扩大到原来的倍， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 2．问题情境：学习《实数》之后，在数学活动课上，王老师出示了一组有规律的算式．仔细观察下列算式，并探求规律： ，，，， 实践探究： (1)按照此规律，①计算：_____； ②第个式子是_____（用含的式子表示，且为整数）； (2)计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，仔细观察，找出规律是解题的关键． （1）①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，从而得出答案； ②第一个式子为：，第二个式子为：，第三个式子为：，第四个式子为：，从而推出第个式子是； （2）结合（1），将二次根式化简，然后再计算有理数的乘法即可． 【详解】（1）解：①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，那么， 故答案为：； ②第一个式子为：， 第二个式子为：， 第三个式子为：， 第四个式子为：， 那么第个式子是， 故答案为：； （2）解： 3．（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 【答案】（）（答案不唯一）；（）；（）；． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，求平方根等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据（）规律求出的值，然后代入即可求解； 根据（）规律求出的关系，再结合即可求出的值． 【详解】解：（）； ； ； ； ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （）解：由； ； ； ； ， ∵， ∴， 故答案为：； （）由若，根据（）规律得，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十 实数中的新定义（难点） 1．阅读材料： 材料一：对实数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：；． 解决问题： (1)_______；_______； (2)已知，且，求的值； (3)对于正数，满足关系式时，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义下实数的运算，求平方根，理解新定义是关键． （1）利用新定义计算解题即可； （2）根据，且，可得，，再根据当时，；当时，，即可求解； （3）由于，由，可得，根据是正数可求． 【详解】（1）解：；； 故答案为：，； （2）解：∵，且 ∴， ∴， 故的值为； （3）解：为正数， ，，， ， ， ，则（负值舍去）． 2．对于，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：； (1)已知，，求，的值； (2)在（1）的条件下，关于的不等式组恰好有2个整数解，求实数的取值范围． (3)若对于任意不相等的实数，都成立，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组求出a，b的值； （2）据（1）求出的a，b的值和新运算列出方程组求出m的取值范围，根据题意列出不等式，解不等式求出实数k的取值范围； （3）根据新运算列出方程组，可求出a，b的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 解得：，； （2）由（1）可得，， 根据题意得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组恰好有2个整数解，即， ∴， 解得：； （3）由，得到， 整理得：， ∵对于任意不相等的实数，都成立， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 3．定义新运算：，例如，因为，所以，． (1)计算：______，______，当时，若，则与满足的关系式为______； (2)若点在第四象限，且满足，求点P的坐标； (3)t为常数，若关于x的不等式组有整数解，求t的取值范围． 【答案】(1)3，3，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查有理数的运算，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义进行计算即可； （2）点在第四象限，得到，根据新定义进行计算即可； （3）解不等式，得，根据定义得到，分类讨论进行计算即可． 【详解】（1）解：， ；； ， 故， 即； 故答案为：3，3，； （2）解：点在第四象限， ， ， ， ， 联立解得， 点P坐标为； （3）解：解不等式，得， 由定义，， 分情况讨论：当时，不等式的解集为． 不等式组有整数解，故一定有解，代入解得； 当时，不等式的解集为， 不等式组有整数解，故一定有解，代入解得． 综上，． $