第27章 圆（复习课件）数学华东师大版九年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了圆的核心概念、性质（垂径定理、圆周角定理等）、位置关系（点与圆、直线与圆）、切线及弧长扇形面积计算等知识，通过单元知识图谱思维导图和考点串讲，将知识点逻辑串联，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于题型剖析结合例题与分层练习，如垂径定理应用、切线判定等基础题型到蒙古包毛毡面积计算的综合题，培养几何直观、推理意识和模型意识。针对训练含分类讨论题等，满足不同学生需求，助力知识巩固，也为教师提供系统复习资料，提升备课效率。

单元复习课件 第27章 圆 华师大版2012·九年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.系统掌握圆的核心概念、基本性质与重要定理，包括垂径定理、圆周角定理、点与圆、直线与圆的位置关系等知识。 3.在探究与解决问题中，深化数形结合思想，发展逻辑推理与直观想象素养，体会圆的文化内涵与几何之美。 2.能够综合运用圆的几何性质进行严谨的证明、推理与计算，熟练解决与切线、弧长、扇形面积相关的综合问题，提升分析转化能力。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一：圆的有关性质 1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 2.[注意] 圆是轴对称图形，它的任意一条_____所在的直线都是它的对称轴.圆也是中心对称图形，圆心即为对称中心． 3.圆心角、弧、弦的性质：在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的量都分别相等. 4.圆内接正多边形、外接圆：把圆 n (n＞2) 等分， 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接 正 n边形，这个圆是正 n 边形的外接圆. 直径 考点串讲 考点一：圆的有关性质 5. 三角形的外接圆：三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.． [注意] (1) 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点；(2) 一个三角形的外接圆是唯一的；(3)三角形的重心是三角形三条中线的交点 。 6.三角形的内切圆：三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. [注意] (1) 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；(2) 一个三角形的内切圆是唯一的. 7.正多边形的相关概念：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距; 正多边形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心. 考点串讲 考点二：点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离 d 与圆的半径 r 比较得到. 设☉O 的半径是 r，点 P 到圆心的距离为 d ，则有 点 P 在圆内 d＜r 点 P 在圆上 d = r 点 P 在圆外 d＞r [注意]点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的大小关系；反过来，也可以通过这种大小关系判断点与圆的位置关系． 考点串讲 考点三：直线与圆的位置关系 设 r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离 图形 公共点个数 直线与圆的 位置关系 公共点名称 直线名称 2 个 交点 割线 1 个 切点 切线 0 个 相离 相切 相交 考点串讲 考点四：圆的垂径定理及圆周角定理 1.垂径定理及其推论： (1) 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的　 . [注意] ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧． (2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 2.圆周角定理及其推论： (1) 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对弧相等. [注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”． (2) 推论1：90° 的圆周角所对的弦是直径. (3) 推论2：圆内接四边形的对角互补.（四点共圆） 两条弧 考点串讲 考点五：弧长和扇形的面积及切线相关定理 1.弧长公式： (1) 在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就就是圆的周长C=2πR，所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式l=×2πR=. 2.扇形面积公式： (1)在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就就是圆的面积S=πR2，所以圆心角为n°的扇形的面积为S扇形= (2) 推论1：90° 的圆周角所对的弦是直径. (3) 推论2：圆内接四边形的对角互补.（四点共圆） 3.切线相关定理：(1) 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(2) 圆的切线垂直于经过切点的半径. (3) 过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 考点串讲 题型一、弧、弦、圆心角的关系 【例题1】如图，AB是⊙O 的直径，BC=CD=DE.∠COD=35°，求∠AOE 的度数． · A O B C D E 解： ∵BC=CD=DE ∴∠AOE=180°-3×35° 又∵∠BOC＝∠COD=∠DOE=35° ∴∠AOE=75° ⌒ ⌒ ⌒ 题型剖析 证明： ∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， ∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 【练习1】如图，在⊙O中，AB=AC ,∠ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. · A B C O ⌒ ⌒ 温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键. ∵AB=CD， ⌒ ⌒ 题型一、弧、弦、圆心角的关系 题型剖析 题型二、垂径定理的应用 【例题1】 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm. 【解析】设圆心为 O，连接 AO，作出过点 O 的弓形高 CD，垂足为 D，可知AO = 5 mm，OD = 3 mm，利用勾股定理进行计算，AD = 4 mm，所以 AB = 8 mm. 8mm A B C D O 8 题型剖析 题型二、垂径定理的应用 【练习1】 如图，AB 是 ⊙O 的直径，且 AB = 2，C，D 是同一半圆上的两点，并且 与 的度数分别是 96° 和 36°，动点 P 是 AB 上的任意一点，则 PC + PD 的最小值是 . 解析：作 D 点关于 AB 的对称点 D′，连接 CD′，与 AB 交于点 P，此时 PC + PD 的最小值即为 CD′ 的长度. 先求出∠COD′ 的度数，再求 CD′. A B C D P O P D′ 题型剖析 题型三、圆周角定理的应用 【例题1】在图中，BC 是☉O 的直径，AD⊥BC，若∠D = 36°，则∠BAD 的度数是（ ） A. 72° B.54° C. 45° D.36 ° 【练习1】如图 ，四边形 ABCD 为 ☉O 的内接正方形，点 P 为劣弧 BC 上的任意一点 (不与 B，C 重合)，则∠BPC 的度数是 . B A B C D C D B A P O 135° 题型剖析 【练习2】如图，已知圆心角∠AOB=110°,则圆周角 ∠ACB= ，∠ADB= . D A O C B 125° 55° 【练习3】如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，则⊙O的半径是 . C A B O 解析：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2. 2 题型剖析 题型三、点与圆的位置关系的应用 【例题1】下列说法中，正确的是(　　) A．三点确定一个圆 B．圆有且只有一个内接三角形 C．三角形的外心到三角形三边的距离相等 D．三角形有且只有一个外接圆 【练习1】正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A . D 上 外 上 题型剖析 题型三、点与圆的位置关系的应用 【练习2】⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为 （ ） A.在⊙O内 B.在⊙O上 C.在⊙O外 D.在⊙O上或⊙O外 【练习3】已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径= . B 5 题型剖析 题型四、直线与圆的位置关系的应用 【例题1】直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5，则有（ ） A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5 【练习1】☉O的最大弦长为8，若圆心O到直线l的距离为d=5，则直线l与☉O . 【练习2】☉O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与☉O的位置关系是（ ） A. 相交或相切 B. 相交或相离 C. 相切或相离 D. 上三种情况都有可能 B 相交 A 题型剖析 题型五、切线的判定与性质 【例题1】如图，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°.求证：DC是⊙O的切线． 解析：如图，连接OC，BC. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠CAB＝30°，∴BC＝ AB＝OB. 又∵BD＝OB，∴BC＝BD＝OB＝ OD， ∴∠OCD＝90°. ∴DC是⊙O的切线． 题型剖析 题型五、切线的判定与性质 【练习1】如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E. 求证:PE是⊙O的切线. O A B C E P 证明：连接OP. ∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OBP=∠C. ∴OP∥AC. ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP. ∴PE为⊙O的切线. 题型剖析 题型五、切线的判定与性质 【练习2】 已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF. （1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： ① _________ ；② _____________ . （2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线. BA⊥EF ∠CAE=∠B A F E O A F E O B C B C 图1 图2 解析：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.∴ ∠D+ ∠DAC=90 °, ∵ ∠D与∠B同对 ,∴ ∠D= ∠B, 又∵ ∠CAE= ∠B,∴ ∠D= ∠CAE, ∴ ∠DAC+ ∠EAC=90°,∴EF是☉O的切线. 题型剖析 题型六、切线长定理的应用 【例题1】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是AB上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为，则△PDE的周长为______，∠DOE的度数为______． 6 60° 题型剖析 题型六、切线长定理的应用 【练习1】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9，BC=14，CA=13.求AF,BD,CE的长. 解：设AF=x，则AE=x. CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC,可得（13-x）+（9-x）=14. 解得x=4. 因此AF=4，BD=5，CE=9. 题型剖析 题型六、切线长定理的应用 【练习2】PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= ; （2）若∠BPA=60 °,则OP= . 【练习3】如图，已知点O是△ABC 的内心， 且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= . B P O A 110 ° 5 6 题型剖析 题型七、正多边形与圆的有关计算 【例题1】如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是 （ ） A．60° B．45° C． 36° D． 30° 【练习1】若正多边形的边心距与半径的比为1:2， 则这个多边形的边数是 . 【练习2】如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状 近似看作为正七边形，则一个内角为 ___度. · O A B C D E C 3 题型剖析 题型七、正多边形与圆的有关计算 【练习3】如图，正六边形ABCDEF的边长为，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？ A B C D E F P G 解析：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD， 作CG⊥BD于G.∵六边形ABCDEF是正六边形 ∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF， ∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长. ∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，BD=HK.∵CG⊥BD， ∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6. ∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18． 题型剖析 题型八、扇形面积和弧长公式的计算 【例题1】如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点O是边BC的中点，半圆O与△ABC相切于点D、E，若阴影部分的面积为，则AB的长为（    ） A． B． C．2 D． 解析：连接DE,OD,OE,OA，根据切线长定理和切线的性质可知四边形ADOE是正方形，从而证明OA⊥DE，由等腰直角三角形的性质推出OA⊥BC，从而证明DE∥BC，利用平行线间距离相等从而得到S△BDE=S△ODE，继而得到阴影部分的面积等于扇形ODE的面积，从而利用得到扇形半径OD的长度，从而得到OA的长，继而得出AB的长． C 题型剖析 题型八、扇形面积和弧长公式的计算 【练习1】如图，已知正方形ABCD的边长为22cm，将正方形ABCD在直线l上顺时针连续翻转4次，则点A所经过的路径长为 (   ) A．4πcm B．（2+2）πcm C．2πcm D．（4+2）πcm 解析：正方形ABCD 在直线l上顺时针连续翻转4次，实际A点经过的路径有三段，其中一段以4cm为半径，圆心角为90°的弧长，另两段是以22cm为半径，圆心角为90°的弧长，然后根据弧长公式计算． B 题型剖析 题型八、扇形面积和弧长公式的计算 【练习2】如图，已知 C，D 是以 AB 为直径的半圆周上的两点，O 是圆心，半径 OA = 2，∠COD = 120°，则图中阴影部分的面积等于_______． 解析：由题意可知，该阴影部分可以合成一部分计算，扇形的圆心角度数为60°，再根据扇形的面积公式计算． 题型剖析 【例题1】如图，四边形 OABC 为菱形，点 B、C 在以点 O 为圆心的圆上，OA = 1，∠1 = ∠2，求扇形 OEF 的面积. 题型九、圆的综合应用题型 解析：连接 OB.在菱形 OABC 中，OC = OA = BC = 1. 又∵ OC = OB， ∴△BOC 为等边三角形.∴∠OCB = 60°. ∴∠AOC = 120°. 又∠1 =∠2，∴∠FOE =∠AOC = 120°. 题型剖析 【练习1】如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 5 的⊙O，四边形 EFGH 是正方形． (1)求正方形 EFGH 的面积； 题型九、圆的综合应用题型 解析：(1)∵ 正六边形的边长与其半径相等， ∴ EF = OF = 5. ∵ 四边形 EFGH 是正方形， ∴ FG = EF = 5， ∴ 正方形 EFGH 的面积是 25. 题型剖析 【练习1】如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 5 的⊙O，四边形 EFGH 是正方形． (2) 连接 OF、OG，求∠OGF 的度数． 题型九、圆的综合应用题型 解析：(2) ∵ 正六边形的边长与其半径相等， ∴∠OFE = 60°.∵ 正方形的内角是 90°， ∴ ∠OFG = ∠OFE +∠EFG = 60°+ 90° = 150°. 由 (1) 得 OF = FG， ∴∠OGF = （ 180° - ∠OFG ） = （ 180° - 150° ）= 15°. 题型剖析 题型九、圆的综合应用题型 【练习2】如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，以 AB 为直径的 ☉O 交 AC 于点 D，过点 D 的切线交 BC 于 E. (1) 求证：BC = 2DE. 解析：(1) 证明：连接 BD，∵ AB 为直径，∠ABC = 90°， ∴ BE 切 ☉O 于点 B. 又∵ DE 切 ☉O 于点 D，∴ DE = BE，∴∠EBD =∠EDB. ∵∠ADB = 90°，∴∠EBD +∠C = 90°，∠BDE +∠CDE = 90°. ∴∠C = ∠CDE，DE = CE. ∴ BC = BE + CE = 2DE. 题型剖析 题型九、圆的综合应用题型 【练习2】如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，以 AB 为直径的 ☉O 交 AC 于点 D，过点 D 的切线交 BC 于 E. (2) 若 tanC = ，DE = 2，求 AD 的长. 解析：(2) 证明： ∵ DE = 2，∴ BC = 2DE = 4. 在 Rt△ABC 中， ∴ AB = BC • = 在 Rt△ABC 中， 又∵△ABD∽△ACB， ∴ 即 ∴ 题型剖析 题型十、圆锥的侧面积与侧面展开图的计算 【例题1】根据下列条件求值（其中r、h、l 分别是圆锥的底面半径、高线、母线长） （1）l = 2，r=1 则 h=_______. (2) h =3, r=4 则 l =_______. (3) l = 10, h = 8 则r=_______. h O r 5 6 题型剖析 题型十、圆锥的侧面积与侧面展开图的计算 【练习1】已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，则这个圆锥的侧面积为 ，全面积为 . 【练习2】一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为20 的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长. 解：设该圆锥的底面的半径为r，母线长为a. 可得 r=10. 可得 a=30. 又 题型剖析 1.四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= ，∠D= . 2.⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= . 3. 已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 . 4. ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= . 5.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 . 70° 90° 100° 5cm 10 3 cm 14cm或2cm 针对训练 6.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形． D · O A B C E 解析：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC ∴∠OEA＝90°，∠ODA=90° ∴四边形ADOE为矩形，AE= ，AD= 又　∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形. 针对训练 7.如图，在△ABC中，点I是内心， （1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，∠BIC=_____. （2）若∠A=80 °，则∠BIC = 度. （3）若∠BIC=100 °，则∠A = 度. （4）试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？ A B C I 120° 130 20 针对训练 8.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC. 解析：连接OD， ∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC∴∠ODC=∠B=90°. 在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB ，OC＝OC ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL）， ∴∠DOC=∠BOC. ∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED， ∵∠DOB=∠ODE+∠OED， ∴∠BOC=∠OED， ∴DE∥OC． 针对训练 9.如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC. (1)求证：△ACB≌△APO； (2)若AP＝，求⊙O的半径． 解析：(1)∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°， 且OA＝OB，∴△AOB为等边三角形． ∴AB＝AO，∠ABO＝60° 又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. 在△ACB和△APO中， ∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB， ∴△ACB≌△APO. O A B P C 针对训练 9.如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC. (1)求证：△ACB≌△APO； (2)若AP＝，求⊙O的半径． 解析： (2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝ ， ∴AO＝1， ∴CB＝OP＝2， ∴OB＝1，即⊙O的半径为1. O A B P C 针对训练 10.蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为35m2，高为3.5m，外围高为1.5m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（精确到1m2）？ 解析：如图是一个蒙古包示意图． 根据题意，下部圆柱的底面积为35m2，高为1.5m；上部圆锥的高为3.5－1.5=2（m）．圆柱的底面积半径为3.34m. 侧面积为2π×3.34×1.5≈31.462，圆锥的母线长为3.89m. 侧面展开扇形的弧长为20.98m. 圆锥的侧面积为40.81m2 20×（31.46+40.81）≈1446m2. 针对训练 圆 圆的性质 与圆有关的位置关系 圆的对称性 圆是中心对称图形 垂径定理 点与圆的位置关系 直线与圆的位置的关系 切线长定理 圆的概念 圆心角、圆周角、弧与弦之间的关系 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的对称轴 切线 切线的性质应用 课堂总结 感谢聆听! $