2026年高考数学二轮信息必刷卷01（天津卷）2026年高考数学二轮复习讲练测

2026年高考二轮信息必刷卷01 数 学·参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C C D A C B C D A 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． / 11． 12． 13． 14． 15． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分） 【解析】（1）因为，，，由余弦定理得，，解得.（4分） （2）因为，，， 由正弦定理得，，， 所以的面积.（9分） （3）因为，所以是锐角，，， ，， 所以.（14分） 17．（15分） 【解析】（1）取中点，连接， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面；（5分） （2）以为原点，方向为轴建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为；（11分） （3）由（1）知平面； 故点到平面的距离即为到平面的距离； ，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为.（15分） 18．（15分） 【解析】（1）由题意，，，，的面积为， 则， 即，所以椭圆的离心率为.（4分） （2）由（1）知，则， 而，即，则，则， 则椭圆的方程为，即.（7分） 易知直线的斜率存在，设直线的方程为，则，即， 联立，得， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以，（10分） 即，则，解得，则， 所以，，即，， 所以直线的方程为，即，（13分） 因为平分，又点到直线的距离为， 则点到直线的距离也为，所以，所以， 所以椭圆方程为.（15分）    19．（15分） 【解析】（1）设等差数列的公差为，由是和的等比中项，得， 即，而，解得，因此；（2分） 设等比数列的公比为，由，，得，而，解得， 因此.（4分） （2）由（1）知，当为奇数时，，当为偶数时，， 因此，（6分） 设； 设，， 两式相减得， 因此，所以.（10分） （3）由，，，，，，， 得对应的区间为，则； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个， 所以.（15分） 20．（16分） 【解析】（1）当时，，求导得，所以， 又，所以切点为， 所以切线方程为，即；（4分） （2）由，求导得， 若，，所以在上单调递增； 若，令，得，解得，（6分） 当 时，，则在 上单调递减； 当 时，，则在 上单调递增； 综上所述：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（9分） （3）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（2）知，且，所以， 解得，所以的取值范围．（12分） （ii）由（i）得，所以，， 两边同时取自然对数，得，， 两式相减得，即，（14分） 要证，只需证明， 即，所以， 令，只需证明，构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式成立， 于是原不等式成立．（16分） 7 / 7学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考二轮信息必刷卷01 数 学 考情速递 高考·新动向：试卷结构稳定，设问方式创新 ：2025年试卷延续“9道选择题+6道填空题+5道解答题”的固定结构与分值分布，2026年大概率保持这一稳定框架。不过命题上有创新，比如2025年第9题综合双曲线、抛物线与平面几何，还设计了不同运算量的解题路径；解答题也打破固化思维，对学生逻辑表达和解题灵活性要求更高。 高考·新考法：知识交叉融合，综合难度提升 ：不再局限于单一模块考查，2025年出现三角与数列占比略增的情况，且函数与方程、空间向量与立体几何等多模块交叉题频繁出现。如第17题将空间向量与几何体体积综合考查，后续这类跨模块综合题的考查深度可能进一步加大。压轴题型存变，或调整考查形式：函数与零点类题目此前常作为填空压轴题，2025年暂未考查，但2026届高三模拟卷中大量重现。有观点认为，这类题目后续可能从填空题转为解答题考查，以此提升对学生思维过程和推理能力的考查力度。 高考·新情境：素养立意凸显，情境题型丰富 ：试题紧扣六大核心素养，且情境化特征显著。像2025年第13题以健身活动为情境考查概率，还有“跑圈”类随机过程与条件概率的题目。这类结合生活、科学等场景的题型后续会持续增多，以此考查学生数学建模和知识应用能力。 命题·大预测：本套试卷立足新教材，重点考查必备知识、关键能力和核心素养。同时凸显了综合性、应用性、创新性、灵活性。延续“多想少算”的考查理念。第12题题目把圆的方程（隐式曲线的转化）、直线的定点问题、点到直线的距离公式、数形结合思想结合在一起，既考察代数运算（解方程、求距离），又考察几何直观（判断曲线形状、直线的位置变化），是解析几何中“数与形结合”的典型命题思路。第9题题目融合了双曲线的基本性质（顶点、离心率、渐近线）、抛物线的定义（抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离关系）、直线平行的斜率性质三大核心考点，是圆锥曲线板块“小综合”的典型命题思路。这类题目不考复杂计算，而是侧重对圆锥曲线定义和基本性质的灵活调用，符合近年选填题“多考点融合、轻计算重概念”的命题趋势，试卷区分度大，体现了高考的选拔功能。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的大致图象是（     ） A．   B．   C．   D．   4．已知两条不同的直线，两个不同的平面，于是可得到（   ） A．若是一对异面直线，且，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 5．下列说法正确的是（   ） A．一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B．设且，则 C．在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差 D．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1 6．正项等差数列中，，则的最小值为（   ） A．9 B． C． D．6 7．函数的零点所在区间为（   ）. A． B． C． D． 8．已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 9．已知双曲线的左顶点为，离心率为，抛物线上一点到其焦点的距离为.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为(    ) A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．是虚数单位，复数满足，则 . 11．在的展开式中，的系数为 ． 12．若曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 13．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱有5个红球､5个白球，乙箱中有4个红球､6个白球.先从甲箱中随机摸出1个球放入乙箱中，再从乙箱中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为 ；若从甲箱中随机摸出3个球，用表示摸出红球的个数，则随机变量的数学期望为 . 14．如图，在直角梯形中，．若、分别是、上的动点，满足，其中，则的最大值为 ． 15．在中，点是边的中点，在线段上，设且， 则 ；若且的面积为，则的最小值为 . 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的面积； (3)求的值. 17．（15分）如图，在四棱柱中，平面ABCD，，，，.M，N分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求直线到平面的距离. 18．（15分）已知椭圆（）的右顶点为A，已知点，，且的面积为. (1)求椭圆的离心率； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），且平分，求椭圆的方程. 19．（15分）已知是公差大于0的等差数列，，是和的等比中项.是公比大于0的等比数列，，. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设，求； (3)记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和. 20．（16分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 1 / 6学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考二轮信息必刷卷01 数 学 考情速递 高考·新动向：试卷结构稳定，设问方式创新 ：2025年试卷延续“9道选择题+6道填空题+5道解答题”的固定结构与分值分布，2026年大概率保持这一稳定框架。不过命题上有创新，比如2025年第9题综合双曲线、抛物线与平面几何，还设计了不同运算量的解题路径；解答题也打破固化思维，对学生逻辑表达和解题灵活性要求更高。 高考·新考法：知识交叉融合，综合难度提升 ：不再局限于单一模块考查，2025年出现三角与数列占比略增的情况，且函数与方程、空间向量与立体几何等多模块交叉题频繁出现。如第17题将空间向量与几何体体积综合考查，后续这类跨模块综合题的考查深度可能进一步加大。压轴题型存变，或调整考查形式：函数与零点类题目此前常作为填空压轴题，2025年暂未考查，但2026届高三模拟卷中大量重现。有观点认为，这类题目后续可能从填空题转为解答题考查，以此提升对学生思维过程和推理能力的考查力度。 高考·新情境：素养立意凸显，情境题型丰富 ：试题紧扣六大核心素养，且情境化特征显著。像2025年第13题以健身活动为情境考查概率，还有“跑圈”类随机过程与条件概率的题目。这类结合生活、科学等场景的题型后续会持续增多，以此考查学生数学建模和知识应用能力。 命题·大预测：本套试卷立足新教材，重点考查必备知识、关键能力和核心素养。同时凸显了综合性、应用性、创新性、灵活性。延续“多想少算”的考查理念。第12题题目把圆的方程（隐式曲线的转化）、直线的定点问题、点到直线的距离公式、数形结合思想结合在一起，既考察代数运算（解方程、求距离），又考察几何直观（判断曲线形状、直线的位置变化），是解析几何中“数与形结合”的典型命题思路。第9题题目融合了双曲线的基本性质（顶点、离心率、渐近线）、抛物线的定义（抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离关系）、直线平行的斜率性质三大核心考点，是圆锥曲线板块“小综合”的典型命题思路。这类题目不考复杂计算，而是侧重对圆锥曲线定义和基本性质的灵活调用，符合近年选填题“多考点融合、轻计算重概念”的命题趋势，试卷区分度大，体现了高考的选拔功能。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，即， 由可得， 即， 则. 故选：C. 2．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则，且不同时为零，所以，所以； 若，则由，知，所以，所以. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．函数的大致图象是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】由解析式可得函数定义域需满足，解得或 故排除AC， 当,，可知其单调递增，排除B， 又，偶函数，只有D符合. 故选：D 4．已知两条不同的直线，两个不同的平面，于是可得到（   ） A．若是一对异面直线，且，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【答案】A 【详解】对于A，直线上任取一点，过点作，则与确定平面， 因为，故，若直线与平面相交，则直线与平面相交，矛盾， 故直线与平面平行，直线与平面平行， ，，且，，又相交，， 所以且，则，故A正确；    对于B，平行于同一平面的两条直线平行，相交，或异面，故B错误； 对于C，若，则，若则与不垂直，故C错误； 对于D， 若，则或或与相交，故D错误. 故选：A 5．下列说法正确的是（   ） A．一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B．设且，则 C．在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差 D．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1 【答案】C 【详解】对于A，因为，所以数据的第60百分位数为5，故A错误； 对于B，因为且，则， 所以，故B错误； 对于C，在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差，故C正确． 对于D，两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1，故D错误； 故选：C 6．正项等差数列中，，则的最小值为（   ） A．9 B． C． D．6 【答案】B 【详解】由等差数列性质可得，又、， 则 ， 当且仅当即、时等号成立； 故的最小值为. 故选：B. 7．函数的零点所在区间为（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数，且在上单调递增，连续不断， 又因为， 所以结合零点存在定理得函数的零点所在区间为. 故选：C. 8．已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】因为函数的最小正周期为，所以周期，解得， 所以，因为，所以， 所以当，即时，函数在区间上取得最小值. 故选：D. 9．已知双曲线的左顶点为，离心率为，抛物线上一点到其焦点的距离为.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为上一点到其焦点的距离为， 由定义可得，得，所以抛物线方程为. 代入点，可得， 双曲线左顶点为，渐近线斜率为， 由得，直线的斜率为， 因渐近线与直线平行，则，即， 两边平方得，将代入，得，解得（故）， 所以，则，双曲线方程为. 故选：A. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．是虚数单位，复数满足，则 . 【答案】/ 【详解】因为，所以， 则. 故答案为： 11．在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【详解】由二项式定理得，二项式的展开式的通项如下， 为，其中， 令，可得，所以的系数. 故答案为：. 12．若曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】两边平方得， 表示位于轴上方的单位圆，包含， 直线过定点，同一坐标系内画出图形如下：    当过点时，，解得， 当与相切时， 圆心到的距离为，解得， 由对称性可知，当曲线与直线有两个不同的交点时， 实数的取值范围是. 故答案为： 13．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱有5个红球､5个白球，乙箱中有4个红球､6个白球.先从甲箱中随机摸出1个球放入乙箱中，再从乙箱中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为 ；若从甲箱中随机摸出3个球，用表示摸出红球的个数，则随机变量的数学期望为 . 【答案】 【详解】①若先从甲箱摸出的是红球，其概率为 ， 放入乙箱后，乙箱有 个红球，6个白球（共11个球）， 此时再从乙箱摸出红球的概率为 ； 若从甲箱摸出的是白球，其概率为 ， 放入乙箱后，乙箱有4个红球， 个白球（共11个球）， 此时从乙箱摸出红球的概率为 . 由全概率公式，可得概率为：； ②服从超几何分布（超几何分布的期望公式为 ， 其中 是抽取数， 是总体红球数， 是总体球数）， 所以：. 故答案：；. 14．如图，在直角梯形中，．若、分别是、上的动点，满足，其中，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】建立如图所示的直角坐标系，由题意可得：， 设，即，据此可得：， 故，同理可得， 据此可得：， 则 ， 由于，所以当时，取得最大值，为． 故答案为： 15．在中，点是边的中点，在线段上，设且， 则 ；若且的面积为，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为为的中点，可得， 又因为在线段上，则存在实数使得，即, 可得，整理得， 因为，所以且，解得； 由且，可得，所以， 设，即，则， 因为，可得， 当且仅当时，等号成立，所以，即的最小值为. 故答案为：；. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的面积； (3)求的值. 【答案】(1) (2)(3) 【详解】（1）因为，，，由余弦定理得，，解得.（4分） （2）因为，，， 由正弦定理得，，， 所以的面积.（9分） （3）因为，所以是锐角，，， ，， 所以.（14分） 17．（15分）如图，在四棱柱中，平面ABCD，，，，.M，N分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）取中点，连接， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面；（5分） （2）以为原点，方向为轴建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为；（11分） （3）由（1）知平面； 故点到平面的距离即为到平面的距离； ，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为.（15分） 18．（15分）已知椭圆（）的右顶点为A，已知点，，且的面积为. (1)求椭圆的离心率； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），且平分，求椭圆的方程. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意，，，，的面积为， 则， 即，所以椭圆的离心率为.（4分） （2）由（1）知，则， 而，即，则，则， 则椭圆的方程为，即.（7分） 易知直线的斜率存在，设直线的方程为，则，即， 联立，得， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以，（10分） 即，则，解得，则， 所以，，即，， 所以直线的方程为，即，（13分） 因为平分，又点到直线的距离为， 则点到直线的距离也为，所以，所以， 所以椭圆方程为.（15分）    19．（15分）已知是公差大于0的等差数列，，是和的等比中项.是公比大于0的等比数列，，. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设，求； (3)记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和. 【答案】(1)，；(2)；(3)480. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由是和的等比中项，得， 即，而，解得，因此；（2分） 设等比数列的公比为，由，，得，而，解得， 因此.（4分） （2）由（1）知，当为奇数时，，当为偶数时，， 因此，（6分） 设； 设，， 两式相减得， 因此，所以.（10分） （3）由，，，，，，， 得对应的区间为，则； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个， 所以.（15分） 20．（16分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析 【详解】（1）当时，，求导得，所以， 又，所以切点为， 所以切线方程为，即；（4分） （2）由，求导得， 若，，所以在上单调递增； 若，令，得，解得，（6分） 当 时，，则在 上单调递减； 当 时，，则在 上单调递增； 综上所述：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（9分） （3）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（2）知，且，所以， 解得，所以的取值范围．（12分） （ii）由（i）得，所以，， 两边同时取自然对数，得，， 两式相减得，即，（14分） 要证，只需证明， 即，所以， 令，只需证明，构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式成立， 于是原不等式成立．（16分） 1 / 15学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $