第二十三章 二次根式知识归纳与题型突破（13类题型）（复习讲义）数学人教版五四制八年级上册

第二十三章 二次根式知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、二次根式 1．二次根式的概念 1．二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2．二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 2．二次根式有无意义的条件 1．二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2．二次根式无意义：被开方数为负数，即； 3．二次根式的性质 1．二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2．二次根式的性质：（） 3．二次根式的性质： 二．最简二次根式与同类二次根式 1．最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 （2）化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） （3）分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号. 2．同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 三、二次根式的运算 1．二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2．二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3．二次根式的除法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4．二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 03 题型归纳 题型一　判断是否为二次根式 例题：（23-24八年级下·广西河池·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，掌握其定义是解决此题的关键． 形如的代数式叫做二次根式，其中a叫做被开方数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中的被开方数，故不是二次根式，不符合题意； B、中的a不一定大于等于0，故不是二次根式，不符合题意； C、是三次根式，故不是二次根式，不符合题意； D、是二次根式，符合题意， 故选：D． 巩固训练 1．下列根式是二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如的式子是二次根式． 根据二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，，不是二次根式，是二次根式， ∴A、B、D不符合要求；C符合要求； 故选：C． 2．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A．当时，原式无意义，故A不一定不是二次根式； B．当时，原式无意义，故B不一定是二次根式； C．恒成立，故C一定是二次根式； D．当时，原式无意义，故D不一定是二次根式； 故选：C． 3．x为实数，下列式子一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件判断A，B，再根据分式有意义的条件判断C，D． 【详解】因为，所以有意义，则A符合题意； 当时，，二次根式无意义，则B不符合题意； 当时，，分式无意义，则C不符合题意； 当时，，分式无意义，则D不符合题意． 故选：A． 4．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式的定义“一般地，我们把形如的式子叫做二次根式”即可判断． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意； B、被开方数是负数，选项说法错误，不符合题意； C、当时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意； D、因为，所以是二次根式，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 5．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，对每个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、被开方数有可能是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意； B、是二次根式，故此选项符合题意； C、是有理数，不符合二次根式的定义，故此选项不合题意； D、时，被开方数是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意； 故选：B． 题型二　求二次根式的值 例题：（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】当时， ． 故选：C． 巩固训练 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式求值，将代入二次根式，直接求解即可． 【详解】解：当时， 故选：B． 2．（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把代入原式化简即可． 【详解】解：当时，原式， 故选：B． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 题型三　根据二次根式有意义条件求范围 例题：（23-24八年级下·辽宁营口·期末）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的条件，可得：，据此求出实数的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：． 故选：B． 巩固训练 1．（23-24八年级下·山东聊城·期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式被开方数必须为非负数，否则二次根式无意义．掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式性质，被开方数大于等于0，列不等式求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故选：B． 2．（23-24八年级下·新疆和田·期中）使有意义的字母的取值范围（    ） A．全体实数 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故选C． 3．（2024·贵州铜仁·一模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 由二次根式有意义的条件可得一元一次不等式，解之，即可得解． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可得：， 解得：， 故答案为：． 4．（2024·湖北·模拟预测）当x取何值时，二次根式有意义： ． 【答案】且． 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】此题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据条件列出不等式是解决此题的关键． 二次根式有意义的条件：被开方数，分式有意义的条件分母，列出不等式即可． 【详解】解：由题意可得： ， ∴且． 故答案为：且． 5．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）使式子有意义的的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件．根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得且， 故答案为：且． 题型四　根据二次根式有意义求值 例题：（23-24八年级下·吉林松原·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值等知识点，根据二次根式的非负性求得x、y的值成为解题的关键． 先根据二次根式的非负性求得x，进而求得y，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出的值，进而得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知实数x，y满足，则的小数部分是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及无理数的估算，结合已知条件求得的值是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求得的值，然后求出，利用无理数的估算求得小数部分． 【详解】解：由题意可得：， 则， 则， ， ， 则的小整数部分是2，小数部分是， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，求出x的值是解题关键；利用二次根式有意义的条件进行求解即可； 【详解】解：由题意知：， 解得：， ， ， 故答案为：25； 题型五　二次根式的乘除混合运算 例题：（2024八年级下·安徽·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【详解】解： 巩固训练 1．计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键； （1）按照从左至右的顺序进行计算即可； （2）按照从左至右的顺序进行计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式      ． 3．计算： (1)； (2)，． 【答案】(1)； (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算： （1）先把带分数化为假分数，再根据二次根式乘除法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案； （2）直接根据二次根式乘法计算法则求解即可； （3）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案； （4）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型六　最简二次根式的判断 例题：（23-24九年级上·河南洛阳·期中）下列二次根式，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、被开方数含有能开得尽方的因数4，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数含有能开得尽方的因数9，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有分母，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 巩固训练 1．下列二次根式中的最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，掌握满足最简二次根式的条件：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是关键．利用最简二次根式的概念判断每个选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．下列根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键：最简二次根式应满足两个条件：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 按照最简二次根式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B. ，被开方数的字母因式是整式，且被开方数不含能开得尽方的因式，是最简二次根式，故选项符合题意； C. ，被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故选项不符合题意； D. ，被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故选项不符合题意； 故选：． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：，即A不是最简二次根式，不符合题意； ，即B不是最简二次根式，不符合题意； ，即C不是最简二次根式，不符合题意； 无法继续化简，故D是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 4．下列选项中的式子，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、不能再化简，是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】此题主要考查最简二次根式的判断．根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A、是最简二次根式； B、，故不是最简二次根式； C、，故不是最简二次根式； D、，故不是最简二次根式； 故选：A． 题型七　化为最简二次根式 例题：（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）化简： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式乘法和除法法则进行化简即可． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 巩固训练 1．（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）化简： ， ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可求解． 【详解】解：； ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江·期中）化简成最简二次根式： ； ． 【答案】 / 【详解】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行计算即可． 【解答】解：；． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确计算是解题的关键． 3．（22-23八年级上·宁夏银川·阶段练习）化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质． 4．（23-24八年级·全国·假期作业）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)2（a，b，c均大于0）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）直接计算得到答案； （2）直接计算得到答案； （3）直接计算得到答案； （4）直接计算得到答案； （5）直接计算得到答案． 【详解】（1） 故的最简二次根式为：； （2） 故的最简二次根式为：； （3） 故的最简二次根式为：； （4） 故的最简二次根式为：； （5）∵a，b，c均大于0 ∴． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的相关知识． 题型八　同类二次根式的判断 例题：（23-24八年级下·江西上饶·期中）下列根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是正确化简二次根式．先进行化简，然后根据同类二次根式的定义，即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故不符合题意； B、与不是同类二次根式，故不符合题意； C、与不是同类二次根式，故不符合题意； D、与是同类二次根式，故符合题意； 故选：D． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的识别，掌握定义是解题的关键，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定． 【详解】解：，与不是同类二次根式，故A选项不合题意； 不能化简，与不是同类二次根式，故B选项不合题意； ，与不是同类二次根式，故C选项不合题意； ，与是同类二次根式，故D选项符合题意； 故选：D． 2．（2023·广西来宾·一模）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的知识，属于基础题，解答本题需要掌握二次根式的化简法则及同类二次根式的被开方数相同．将各选项中的二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同即可判断出答案． 【详解】解：A．，即和不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B．，即和不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C．，即和不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D．，，即和是同类二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式．将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； B、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； C、与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确； D、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； 故选：C． 题型九　二次根式的加减运算 例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的加减运算： （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固训练 1．计算：． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式加减运算，熟练掌握二次根式化简是解题的关键． 先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算． （1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)7 【知识点】实数的混合运算、二次根式的加减运算 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先去绝对值，化简二次根式及立方根，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： （2）解： 4．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了实数的运算及二次根式的加减运算． （1）根据化简绝对值，算术平方根以及立方根的定义进行计算即可求解； （1）先化简二次根式，再计算加减即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查二次根式的加减混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （2）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （3）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （4）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． 【详解】（1）解： ; （2）解： ; （3）解： ; （4）解： . 题型十　二次根式的混合运算 例题：（23-24八年级下·山西太原·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质等知识点，根据二次根式的性质化简二次根式成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的四则混合运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 巩固训练 1．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的立方根、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的化简，加减乘除混合运算，掌握二次根式的化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式，求出立方根，根据加减法即可求解． （2）化简二次根式，根据二次根式的乘除法，加减法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平方差公式，完全平方公式进行展开再合并同类项，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简括号内，再运算除法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、零指数幂、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，零指数幂等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先化简绝对值，零指数幂，二次根式的除法，然后合并即可求解； （2）根据完全平方公式和平方差公式展开，然后合并即可求解． 【详解】（1） ； （2） ． 4．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）利用平方差公式及完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，零指数幂和负整数指数幂等知识点， (1)先化简二次根式，再计算加减即可； (2)先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可； (3)先利用平方差公式，绝对值法则展开，再计算加减即可； (4)先根据零指数幂和负整数指数幂法则化简，再计算加减即可； 熟练掌握二次根式的混合运算法则是解决此题的关键． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型十一　比较二次根式的大小 例题：（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小： （1） 8； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用分子有理化，即可比较大小． 【详解】解：（1）， ， ∴，∴，故答案为：； （2）， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）比较下列实数的大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较和二次根式的性质等知识点．把根号外的因式平方后移入根号内，比较结果的大小，即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·上海·期末）比较大小： ．（填“”，“”，或“”） 【答案】 【分析】本题考查了比较实数的大小，以及二次根式的性质，先把根号外的因式移入根号内，再根据实数的大小比较方法（绝对值大的反而小）比较大小即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】= 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键． 把分母有理化即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型十二　已知字母的值，化简求值 例题：（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）计算：已知，，，求的值． 【答案】13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式、平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用完全平方公式、平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·河北承德·期末）若，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值． （1）直接代入求解即可； （2）求得和的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴；， ∴． 2．（23-24八年级下·广东汕尾·期末）已知，求下列代数式的值 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，掌握公式是解题的关键． （1）将代入中即可求解； （2）利用完全平方公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴． 3．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知求下列各式的值： (1)和； (2) 【答案】(1)6；2 (2)34 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． （1）将、的值直接代入求值即可； （2）将、的值代入，计算即可． 【详解】（1） （2） 题型十三　已知条件式，化简求值 例题：（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可． 本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 【详解】，， ，， ∴原式= ． 原式． 巩固训练 1．（2024·湖南怀化·一模）已知实数满足，求的值． 【答案】2022 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先根据二次根式有意义的条件得到，据此化简二次根式得到，则． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先根据二次根式有意义的条件得出x的值，代入等式得出y的值，再代入所求代数式，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解：由题意知， 解得：， 则， ∴原式． 3．（22-23八年级上·山西运城·期末）若 x，y 为实数，且 ． 求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可． 【详解】解：依题意得：且， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 二次根式知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、二次根式 1．二次根式的概念 1．二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2．二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 2．二次根式有无意义的条件 1．二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2．二次根式无意义：被开方数为负数，即； 3．二次根式的性质 1．二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2．二次根式的性质：（） 3．二次根式的性质： 二．最简二次根式与同类二次根式 1．最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 （2）化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） （3）分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号. 2．同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 三、二次根式的运算 1．二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2．二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3．二次根式的除法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4．二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 03 题型归纳 题型一　判断是否为二次根式 例题：（23-24八年级下·广西河池·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列根式是二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 2．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．x为实数，下列式子一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 4．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C．3 D． 题型二　求二次根式的值 例题：（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 巩固训练 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（   ） A． B．2 C． D． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 题型三　根据二次根式有意义条件求范围 例题：（23-24八年级下·辽宁营口·期末）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级下·山东聊城·期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·新疆和田·期中）使有意义的字母的取值范围（    ） A．全体实数 B． C． D． 3．（2024·贵州铜仁·一模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 4．（2024·湖北·模拟预测）当x取何值时，二次根式有意义： ． 5．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）使式子有意义的的取值范围是 ． 题型四　根据二次根式有意义求值 例题：（23-24八年级下·吉林松原·期中）若，则 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为 ． 2．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知实数x，y满足，则的小数部分是 ． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，则 ． 题型五　二次根式的乘除混合运算 例题：（2024八年级下·安徽·专题练习）计算：． 巩固训练 1．计算∶ (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)，． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六　最简二次根式的判断 例题：（23-24九年级上·河南洛阳·期中）下列二次根式，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列二次根式中的最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 2．下列根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列选项中的式子，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型七　化为最简二次根式 例题：（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）化简： ； ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）化简： ， ． 2．（23-24八年级下·浙江·期中）化简成最简二次根式： ； ． 3．（22-23八年级上·宁夏银川·阶段练习）化简： (1) (2) (3) 4．（23-24八年级·全国·假期作业）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)2（a，b，c均大于0）． 题型八　同类二次根式的判断 例题：（23-24八年级下·江西上饶·期中）下列根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广西来宾·一模）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型九　二次根式的加减运算 例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 巩固训练 1．计算：． 2．计算： (1) (2) 3．计算： (1) (2) 4．计算： (1)； (2)； 5．计算： (1) (2) (3) (4) 题型十　二次根式的混合运算 例题：（23-24八年级下·山西太原·单元测试）计算： (1)； (2)． 巩固训练 1．计算． (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1) (2) 5．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十一　比较二次根式的大小 例题：（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小： （1） 8； （2） ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）比较下列实数的大小： ． 2．（23-24七年级下·上海·期末）比较大小： ．（填“”，“”，或“”） 3．（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 题型十二　已知字母的值，化简求值 例题：（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）计算：已知，，，求的值． 巩固训练 1．（23-24八年级下·河北承德·期末）若，，求下列各式的值． (1)； (2)． 2．（23-24八年级下·广东汕尾·期末）已知，求下列代数式的值 (1)； (2)． 3．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知求下列各式的值： (1)和； (2) 题型十三　已知条件式，化简求值 例题：（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 巩固训练 1．（2024·湖南怀化·一模）已知实数满足，求的值． 2．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且，求的值． 3．（22-23八年级上·山西运城·期末）若 x，y 为实数，且 ． 求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $