第二十二章 分式（知识清单）数学人教版五四制八年级上册

第二十二章 分式 1.如果把A÷B写成的形式，其中A、B都是整式，且B中含有字母，那么代数式就叫做分式．其中A叫作分式的分子，B叫作分式的分母。 2.分式有意义的条件是分母不等于零，分式无意义的条件是分母等于零。分式的值为正数的条件是分子、分母同号，分式的值为负数的条件是分子、分母异号。 3.分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零。 4.分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 5.利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除1以外的公因式约去，叫做分式的约分． 6.一个分式的分子与分母，如果除1以外没有其他的公因式，我们称这个分式为最简分式． 7.把整式的除法转化成分式的形式，可以利用约分进行运算。分式约分的结果应当是最简分式或整式。 8.两个分式相乘，把分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 9.分式乘方就是把分式的分子、分母各自乘方。 10.同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。异分母分式相加减，先把他们通分，变为同分母分式，再加减。 11.这种不改变每个分式的值，把几个异分母的分式化成同分母分式的变形叫做分式的通分。 12.通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 13.分式的混合运算法则：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 14.分母中含有未知数的方程叫做分式方程。求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 15.在分式方程变形的过程中得到的适合整式方程，但不适合原方程的解叫作分式方程的增根。 16.解分式方程的一般步骤：①去分母，把分式方程转化为整式方程；②求出整式方程的解；③检验整式方程的解是否符合分式方程；④得出结论 17.两个整式A与B(B≠0)相除，叫作A与B的比，记作A:B或 ，其中A叫作比的前项，B叫作比的后项。 18.表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例。如果a与b的比等于c与d的比，那么就说a，b，c，d四个数成比例。可以写成a:b=c:d或=。在比例中，a，b，c，d叫作组成比例的项，其中a与d叫作比例的外项， b与c叫作比例的内项。当比例的两个内项相等，即当时，b叫作a和c的比例中项。 19.比例的基本性质：在比例中，两外项的乘积等于两内项的乘积。如果=，那么ad = bc. 20.在同一单位长度下，两条线段长度的比，叫作这两条线段的比。如果四条线段a，b，c，d的长成比例，我们就把这四条线段a，b，c，d称为成比例线段，简称比例线段。 易错点1 分式的值为0时，忽略分母不为0的条件 错误：分式的值为0时，忽略分母不为0的条件，导致结果错误。 注意：在解分式为的分式时，要考虑分母不为0的情况。 例题1 若分式的值为0，则a，b满足的条件是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【解析】解：因为分式的值为0，所以且， 所以且， 所以，且， 故选：D． 易错点2 含参类分式方程漏解 错误：错误理解有增根和无解的情况。 注意：无解情况下不要忽略整式方程无意义。 例题2 若分式方程无解，则a的值是 ． 【答案】或 【解析】解： ， 分式方程无解， ①整式方程无解时，，解得； ②整式方程有解，解为分式方程的增根，，解得； 综上所述，a的值是或； 故答案为：或． 1．若分式的值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵分式的值为， ∴， 解得， 故选：C． 2．若分式的值为，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：分式的值为， ，且， 解得：， 故选：A． 3．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．或 B．或0 C．或0或2 D．或或0 【答案】D 【解析】解：原方程：， 将第二个分母变形为，方程可改写为：， 两边乘以最简公分母，得：， 展开并整理：， 则， 情况1：整式方程无解， 当（即）时，方程变为，显然无解，原分式方程也无解， 情况2：解为增根， 当（即）时，解为：， 若此解使分母为零（即或），则为增根： 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，的值为、或． 故选：D． 4．若分式的值为0．则的值为 【答案】 【解析】解：∵分式的值为0． ∴且， 解得． 故答案为：． 5．若分式的值为0，则 ． 【答案】 【解析】解：分式的值为0， 且． 解得． 故答案为∶． 6．若分式的值为0，则m的值为 ． 【答案】 【解析】解：∵的值为0， ∴，且， 解得：， 故答案为：． 7．若关于x的分式方程无解，则实数m的值为 ． 【答案】或2 【解析】解：， 方程两边都乘以， 得：， 整理，得：， ∵关于x的分式方程无解， ∴①整式方程无解，即，解得：； 当时，此时方程为，方程不成立，故不是增根； ②当产生增根，当时，此时，解得：； ∴或 2 ． 故答案为：或 2 ． 8．若关于的分式方程无解，则的取值是 ． 【答案】或 【解析】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∵关于的分式方程无解， ∴当，即时，原方程无解； 当，即时，则原方程有增根， ∴或，即或， ∴当时，，此时不满足题意；当时，， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或． 9．当取什么值时，分式． (1)分式有意义； (2)分式的值为0． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵分式有意义， ∴， 解得：； （2）解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 10．（1）已知，求代数式的值． （2）已知关于的分式方程． 当时，求这个分式方程的解； 若此分式方程无解，求的值． 【答案】（）；（）；或． 【解析】解：（）∵， ∴设，，， ∴； （）当时，， ， 检验：当时， ∴分式方程的解为； ， ∵此分式方程无解， ∴当，即时，此方程无解，即分式方程无解； 当，即时， ∵分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得：； 综上可得：或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 分式 1.如果把A÷B写成的形式，其中A、B都是_________，且B中___________，那么代数式就叫做________．其中A叫作分式的分子，B叫作分式的分母。 2.分式有意义的条件是_______________，分式无意义的条件是__________________。分式的值为正数的条件是分子、分母__________，分式的值为负数的条件是分子、分母_________。 3.分式值为零的条件是_____________________________________。 4.分式的分子与分母同乘（或除以）______________________________，分式的值不变。 5.利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中_____________________________，叫做分式的约分． 6.一个分式的分子与分母，如果除1以外没有其他的公因式，我们称这个分式为___________________． 7.把整式的除法转化成分式的形式，可以利用________进行运算。分式约分的结果应当是___________________________。 8.两个分式相乘，把______________________________，分母的积作积的分母。两个分式相除，把______________________________________，再与被除式相乘。 9.分式乘方就是把____________________________________。 10.同分母的分式相加减，________________________。异分母分式相加减，先___________________，变为同分母分式，再加减。 11.这种不改变每个分式的值，__________________________________________的变形叫做分式的通分。 12.通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做__________________。 13.分式的混合运算法则：先乘方，______________，________________，有括号的先算括号里面的． 14.分母中_______________________叫做分式方程。求出使分式方程中令_______________________________________________，这个值叫方程的解． 15.在分式方程变形的过程中得到的适合________________，但____________________________叫作分式方程的增根。 16.解分式方程的一般步骤：①去分母，把_____________________________；②求出_______________________；③检验整式方程的解是否符合分式方程；④得出结论 17.两个整式A与B(B≠0)相除，叫作__________________，记作A:B或 ，其中A叫作比的________，B叫作比的_________。 18.表示两个比相等的式子叫作____________，简称比例。如果a与b的比等于c与d的比，那么就说a，b，c，d四个数成比例。可以写成________________或_____________。在比例中，a，b，c，d叫作组成比例的项，其中a与d叫作___________________， b与c叫作___________________。当比例的两个内项相等，即当时，b叫作a和c的__________________。 19.比例的基本性质：在比例中，两外项的乘积等于__________________________。如果=，那么_______________. 20.在同一单位长度下，两条线段长度的比，叫作_________________________。如果四条线段a，b，c，d的长成比例，我们就把这四条线段a，b，c，d称为___________________，简称______________。 易错点1 分式的值为0时，忽略分母不为0的条件 错误：分式的值为0时，忽略分母不为0的条件，导致结果错误。 注意：在解分式为的分式时，要考虑分母不为0的情况。 例题1 若分式的值为0，则a，b满足的条件是（   ） A． B． C．或 D．且 易错点2 含参类分式方程漏解 错误：错误理解有增根和无解的情况。 注意：无解情况下不要忽略整式方程无意义。 例题2 若分式方程无解，则a的值是 ． 1．若分式的值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．若分式的值为，则x的值为（    ） A． B． C． D． 3．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．或 B．或0 C．或0或2 D．或或0 4．若分式的值为0．则的值为 5．若分式的值为0，则 ． 6．若分式的值为0，则m的值为 ． 7．若关于x的分式方程无解，则实数m的值为 ． 8．若关于的分式方程无解，则的取值是 ． 9．当取什么值时，分式． (1)分式有意义； (2)分式的值为0． 10．（1）已知，求代数式的值． （2）已知关于的分式方程． 当时，求这个分式方程的解； 若此分式方程无解，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $