精品解析：安徽省淮北市第一中学2024-2025学年高一新生分班考试数学试卷.

2024淮北一中高一新生分班数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请选出符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共36分． 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数和无理数的定义分析判断即可. 【详解】因为是无理数，1，，0均是有理数，故A正确，BCD错误. 故选：A. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合指数幂运算求解即可. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：D. 3. 将340万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合科学记数法分析判断即可. 【详解】340万即为3400000，用科学记数法表示为. 故选：D. 4. 下列设计的图案，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称、轴对称图形的定义判断即可. 【详解】中心对称图形，即图形可以找到一个中心，绕其旋转与原图重合， 对于所以A、D都不是是中心对称图形，所以B、C都是中心对称图形， 轴对称图形，即图形可以找到一条直线，图形关于该直线对称， 所以B都是轴对称图形，C不是. 故选：C 5. 如图，中，是的平分线，是边上的高，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形内角和，角平分线和高的性质求的度数. 【详解】由，则， 由是的平分线，则， 由是边上的高，则， 所以. 故选：B 6. 下列说法中正确的是（ ） A. “打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B. 天气预报说“明天降水的概率为”，是指明天有一半的时间会下雨 C. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，则甲的成绩更稳定 D. 数据6，6，7，7，8的中位数与众数均为7 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据事件的分类分析判断；对于B：根据概率的定义分析判断；对于C：根据平均数和方差的意义分析判断；对于D：根据中位数和众数的定义分析判断. 【详解】对于选项A：“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，故A错误； 对于选项B：天气预报说“明天降水的概率为”，是指明天下雨的可能性为，与降雨时间无关，故B错误； 对于选项C：因为平均数相同，方差分别是，所以甲的成绩更稳定，故C正确； 对于选项D：数据6，6，7，7，8的中位数为7，众数为6和7，故D错误； 故选：C. 7. 如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合俯视图的定义分析判断即可. 【详解】该几何体的俯视图是 故选：A. 8. 一次函数满足，且随的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，，结合一次函数图象分析判断即可. 【详解】因为一次函数满足随的增大而减小，则， 且，则， 所以函数的图象不经过第一象限. 故选：A. 9. 如图，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行可得，结合题中角度运算求解即可. 【详解】因为，则， 即， 所以. 故选：C. 10. 在矩形中，，为的中点，连接交的延长线于点，为上一点，当时，的长为（ ） A 4 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先由条件证明得到，根据等角对等边证得，再利用勾股定理求解AP即可． 【详解】在矩形中，， 则，，， 可得， 又因为E为CD的中点，则， 在和中，可得， 所以，则，， 又因为，，则，可得， 在中，， 由勾股定理得：，解得：． 故选：B． 11. 我国古代问题，以绳测井：若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？（注：绳几折即把绳平均分成几等份）（ ） A. 36尺，8尺 B. 28尺，6尺 C. 28尺，8尺 D. 13尺，3尺 【答案】A 【解析】 【分析】设绳子长为x尺，根据题意可得，运算求解即可. 【详解】设绳子长为x尺， 根据题意可得，解得， 所以绳长为36尺，井深为尺. 故选：A． 12. 如图1．将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设正方形的边长为2a，，则，再根据翻折变换的性质表示出DE、EH，然后利用勾股定理列出方程求出x，再根据同角的余角相等求出，然后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解． 【详解】设正方形的边长为2a，，则， 由题意可得，， 在中，则， 即，解得， 因为，则， 又因为，则， 所以． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 分解因式：______. 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式3，再逆用完全平方公式，即可写出答案. 【详解】 故答案为： 14. 若与是同类项，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据同类项的定义可得，进而运算求解即可. 【详解】若与是同类项，则， 可得，所以. 故答案为：6. 15. 如图，是的直径，弦于点，若，则的半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由垂径定理、圆的性质及三角函数的定义求相关角、线段，进而求圆的半径. 【详解】由，，在中， 由是的直径，则，在中， 连接，在中，则的半径为. 故答案为： 16. 已知与的相似比为，则与的面积比为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积比与相似比的关系求解. 【详解】由三角形面积比是相似比的平方，所以与的面积比为. 故答案为： 17. 小明的爸爸是个“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数，并将记录结果整理成了如下的统计表： 步数/万步 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 天数 3 7 5 12 3 在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是__________． 【答案】、 【解析】 【分析】根据众数、中位数的定义及表格数据求众数和中位数. 【详解】由众数的定义，根据表格知走万步共有12天，即众数为， 由中位数的定义，根据表格知第15、16个数据分别为、，即中位数为. 故答案为：、 18. 如图，点是反比例函数图象上的两点，过点分别作轴于点，轴于点，连接，已知点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及三角形面积的求法列方程可得，进而得到，再求出，应用三角形面积公式求面积. 【详解】由且轴，则，可得， 所以，故，所以， 由轴，，则，故， 所以 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小，第19，20题每小题6分，第21，22题每小题8分，第23，24题每小题9分，第25，26题每小题10分，共66分．答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】由指数幂、绝对值的运算及特殊角的函数值化简求值. 【详解】. 20. 解不等式组，并求出不等式组的整数解之和． 【答案】 【解析】 【分析】解一元一次不等式组求解，进而确定所有整数解，即可得. 【详解】由， 所以不等式的整数解有，它们的和为. 21. 为了解某次“初中学生书法比赛”的成绩情况，随机抽取了30名学生的成绩进行统计，并将统计情况绘成如图所示的频数分布直方图，已知成绩（单位：分）均满足“”．根据图中信息回答下列问题： （1）图中的值为___________； （2）若要绘制该样本扇形统计图，则成绩在“”所对应扇形的圆心角度数为___________； （3）此次比赛共有300名学生参加，若将“”的成绩记为“优秀”，则获得“优秀”的学生大约有___________人； （4）在这些抽查的样本中，小明的成绩为92分，若从成绩在“”和“”的学生中任选2人，请用列表或画树状图的方法，求小明被选中的概率． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）根据题干给定的直方图，分析计算即可得； （4）应用列表法、树状图得到任选2人中含小明的选法数，再求其被选中的概率. 【小问1详解】 由题意，可得； 【小问2详解】 由直方图知，成绩在“”所对应扇形的圆心角度数； 【小问3详解】 由直方图知，300名学生中，获得“优秀”的学生大约有人； 【小问4详解】 由小明的成绩为92分在“”的成绩区间内，记为，该区间另一学生记为， 成绩在“”内的学生也有2人，记为， 列表表示如下， - - - - - - - - - - 树状图表示如下， 综上，从成绩在“”和“”的学生中任选2人共有6种选法， 其中包含的有3种，则小明被选中的概率. 22. 如图，两座建筑物的水平距离为60m，从点测得点的仰角为，从点测得点的俯角为，求两座建筑物的高度．（参考数据：） 【答案】两座建筑物的高度分别为80m和35m 【解析】 【分析】过点D作于E，则．在中，求出AB，在中求出AE即可得答案． 【详解】过点D作于E， 则， 在中，，即，可得； 在中，，即，可得； 则． 所以两座建筑物的高度分别为80m和35m． 23. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）已知，求和的长． 【答案】（1）证明见解析； （2），. 【解析】 【分析】（1）连接，利用等腰三角形、圆及对顶角性质得到，再由切线的定义即可证； （2）连接，根据圆、等腰三角形的性质得是的中点，连接，根据已知及三角形相似求出和的长. 【小问1详解】 连接，在中，则， 由，则，故， 根据对顶角相等知，而， 所以，在中，则， 所以，而为圆的半径，故是的切线； 【小问2详解】 连接，由为直径，则，又， 所以是的中点，则，， 显然，则，可得， 连接，由圆的内接四边形的性质可得， 则，故，而， 所以，则， 由，，则， 由，即，易知， 所以，即，而，， 所以， 综上，，. 24. 某商店销售型和型两种电脑，其中型电脑每台的利润为400元，型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． （1）求关于的函数关系式． （2）该商店购进型和型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进型电脑60台．若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 【答案】（1）且，为自然数； （2）该商店购进型和型电脑各台、台时利润最大，为元； （3）方案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意用表示出，并确定自变量范围，即可得； （2）利用一次函数的性质求利润最大值及对应的电脑进货台数； （3）根据已知得且，为自然数，讨论参数，结合一次函数性质求利润最大值，进而确定对应进货方案. 【小问1详解】 由题意且，为自然数， 所以且，为自然数； 【小问2详解】 由中，随的增大而减小， 所以台时，最大利润元， 综上，该商店购进型和型电脑各台、台时利润最大，为元； 【小问3详解】 由题意且，为自然数， 当时，随的增大而减小，则台时利润最大，即购进型和型电脑各台、台时利润最大， 当时，，则在上，任意为自然数都有利润最大， 当时，随的增大而增大，则台时利润最大，即购进型和型电脑各台、台时利润最大. 25. 小明在课外学习时遇到下面的问题. 定义；如果二次函数（是常数）与（是常数）满足，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”． 小明是这样思考的，由函数可知，根据，求出，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参考小明的方法解决下面的问题， （1）写出函数的“旋转函数”． （2）若函数与互为“旋转函数”，求的值； （3）已知函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点关于原点的对称点分别是，试证明经过点的二次函数与函数互为“旋转函数”． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 分析】（1）由函数新定义有求参数，即可得； （2）由函数新定义求参数值，再由指数幂的运算求值； （3）根据已知求得，进而得到，再设所求二次函数为并求出参数，结合函数新定义即可证. 【小问1详解】 中，则， 所以函数的“旋转函数”为； 【小问2详解】 两个二次函数的二次项系数满足, 由题意，则； 【小问3详解】 令，可得或，不妨设， 令，则，故， 所以， 设经过点的二次函数为，且， 所以所求二次函数为， 而， 显然两函数满足，得证. 26. 如图，已知二次函数的图象与轴相交于不同的两点，且． （1）若抛物线的对称轴为直线，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）若该抛物线与轴相交于点，连接，且，抛物线的对称轴与轴相交于点，点是直线上的一点，点的纵坐标为，连接，满足，求该二次函数的表达式． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）写出抛物线的对称轴列方程求参数； （2）根据函数的图象特征求参数范围； （3）根据已知得到，进而有，结合已知求得，过作于点，根据已知及三角形相似列方程求参数，即可得. 【小问1详解】 由抛物线的对称轴为，可得； 【小问2详解】 由题设与轴有两个不同交点，且与y轴的交点在x轴上方， 所以，可得； 【小问3详解】 由，，，则，故， 由在二次函数图象上，则，可得， 所以，令， 所以，可得或， 所以，且， 抛物线的对称轴为，点的纵坐标为，故， 过作于点，则，又， 所以，则，又，， 在中，，，又， 在中，，则， 由，则，可得， 所以，所求二次函数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024淮北一中高一新生分班数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请选出符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共36分． 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. 1 C. D. 0 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将340万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列设计图案，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，是平分线，是边上的高，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中正确的是（ ） A. “打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B. 天气预报说“明天降水的概率为”，是指明天有一半的时间会下雨 C. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，则甲的成绩更稳定 D. 数据6，6，7，7，8的中位数与众数均为7 7. 如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A B. C. D. 8. 一次函数满足，且随的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 在矩形中，，为的中点，连接交的延长线于点，为上一点，当时，的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 11. 我国古代问题，以绳测井：若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？（注：绳几折即把绳平均分成几等份）（ ） A 36尺，8尺 B. 28尺，6尺 C. 28尺，8尺 D. 13尺，3尺 12. 如图1．将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 分解因式：______. 14. 若与是同类项，则__________． 15. 如图，是直径，弦于点，若，则的半径为__________． 16. 已知与的相似比为，则与的面积比为__________． 17. 小明的爸爸是个“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数，并将记录结果整理成了如下的统计表： 步数/万步 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 天数 3 7 5 12 3 在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是__________． 18. 如图，点是反比例函数图象上的两点，过点分别作轴于点，轴于点，连接，已知点，则__________． 三、解答题（本大题共8个小，第19，20题每小题6分，第21，22题每小题8分，第23，24题每小题9分，第25，26题每小题10分，共66分．答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 20. 解不等式组，并求出不等式组的整数解之和． 21. 为了解某次“初中学生书法比赛”的成绩情况，随机抽取了30名学生的成绩进行统计，并将统计情况绘成如图所示的频数分布直方图，已知成绩（单位：分）均满足“”．根据图中信息回答下列问题： （1）图中的值为___________； （2）若要绘制该样本扇形统计图，则成绩在“”所对应扇形的圆心角度数为___________； （3）此次比赛共有300名学生参加，若将“”的成绩记为“优秀”，则获得“优秀”的学生大约有___________人； （4）在这些抽查的样本中，小明的成绩为92分，若从成绩在“”和“”的学生中任选2人，请用列表或画树状图的方法，求小明被选中的概率． 22. 如图，两座建筑物的水平距离为60m，从点测得点的仰角为，从点测得点的俯角为，求两座建筑物的高度．（参考数据：） 23. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）已知，求和的长． 24. 某商店销售型和型两种电脑，其中型电脑每台的利润为400元，型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． （1）求关于的函数关系式． （2）该商店购进型和型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进型电脑60台．若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 25. 小明在课外学习时遇到下面的问题. 定义；如果二次函数（是常数）与（是常数）满足，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”． 小明是这样思考的，由函数可知，根据，求出，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参考小明的方法解决下面的问题， （1）写出函数的“旋转函数”． （2）若函数与互为“旋转函数”，求的值； （3）已知函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点关于原点的对称点分别是，试证明经过点的二次函数与函数互为“旋转函数”． 26. 如图，已知二次函数的图象与轴相交于不同的两点，且． （1）若抛物线的对称轴为直线，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）若该抛物线与轴相交于点，连接，且，抛物线的对称轴与轴相交于点，点是直线上的一点，点的纵坐标为，连接，满足，求该二次函数的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $