精品解析：黑龙江省伊春市嘉荫县乡镇中学两校联考2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年八年级上学期12月月考 数学试题 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，以为边的三角形共有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 2. 图中的图形属于是轴对称图形的有（    ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 3. 已知三角形的两边长分别为1和3，第三边长为整数，则第三边长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 下列结论正确的是（ ） A. 直角三角形三条角平分线的交点在三角形的外部 B. 三角形的重心是三角形三条中线的交点 C. 锐角三角形的三条中线的交点在三角形的外部 D. 直角三角形的三条高的交点在斜边上 5. 已知：如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为（ ）秒时，和全等． A. 1 B. 1或3 C. 1或7 D. 3或7 6. 如图，，，若，，则的长是（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为4米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了（ ） A. B. C. D. 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（ ） A. 43 B. 33 C. 38 D. 48 10. 已知实数满足，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 若三角形的两边长分别为5和2，且周长为奇数，则第三边的长度可以为___________（写出一个即可）． 12. 如图，是的两条高，，则___________． 13. 已知点A的坐标为，点B的坐标为，在坐标轴上找一点C，使与全等，那么点C的坐标是_____． 14. 如图，把长方形沿折叠后，点C，D分别落在，的位置．与交于点G，若，则___________°． 15. 如果是完全平方式，则的值为_____________． 16. 若一个正方形的面积为，则此正方形的周长为________． 17. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 18. 小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为______ ． 19. 已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒，已知1皮秒等于秒，那么这个工具1秒可以擦除___________次（用科学记数法表示）． 20. 已知，且，则代表的整式是______． 三、解答题（60分） 21. 如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 22. 如图1，点，分别在射线，上运动（不与点重合），，分别是和的平分线，延长交于点． （1）若，求的度数； （2）如图2，若，过点作交于点，求与的数量关系． 23. 如图，在中，点是边上一点，，作，使，且，连接． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 24. 如图1，在中，． （1）若，点D，E在BC上，，，则的度数为          ； （2）如果把中“”的条件去掉，其余条件不变，如图2，那么的度数会改变吗？请说明理由． 25. 现要在长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．设大长方形的相邻两边长分别和，小长方形的相邻两边长分别为和． （1）如图1，若，，求和的值； （2）如图2， ①若小长方形的周长为，求大长方形的周长； ②若比大3，求种植草坪（空白部分）面积比种植鲜花（阴影部分）的面积的2倍多多少？ 26. “激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， （1）求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6300元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期12月月考 数学试题 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，以为边的三角形共有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的定义．根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形． 【详解】解：以为边的三角形共有3个，它们是，，． 故选：C 2. 图中的图形属于是轴对称图形的有（    ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断，即可求解． 【详解】解：图形①沿着中间竖直直线折叠，两边部分能完全重合，是轴对称图形， 图形②沿着任意一条直线折叠，两边的部分都不能完全重合，不是轴对称图形， 图形③沿着任意一条直线折叠，两边的部分都不能完全重合，不是轴对称图形， 图形④沿着过圆心的竖直直线折叠，两边部分能完全重合，是轴对称图形， 综上所述，图形①④是轴对称图形． 故选：B． 3. 已知三角形的两边长分别为1和3，第三边长为整数，则第三边长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，设三角形第三边长是x，由三角形三边关系定理得到，由第三边长为整数，即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三边长是x， 由三角形三边关系定理得到：， ∴， ∵第三边长为整数， ∴第三边长是3， 故选：B． 4. 下列结论正确的是（ ） A. 直角三角形三条角平分线的交点在三角形的外部 B. 三角形的重心是三角形三条中线的交点 C. 锐角三角形的三条中线的交点在三角形的外部 D. 直角三角形的三条高的交点在斜边上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线、角平分线、高，根据定义和性质判断各选项即可，掌握相关概念及性质是解题的关键． 【详解】解：、任何三角形的角平分线交点都在三角形内部，原选项结论错误，不符合题意； 、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意； 、任何三角形的中线交点都在三角形内部，原选项结论错误，不符合题意； 、直角三角形的三条高交于直角顶点，不在斜边上，原选项结论错误，不符合题意； 故选：． 5. 已知：如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为（ ）秒时，和全等． A. 1 B. 1或3 C. 1或7 D. 3或7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得． 【详解】解：由题意得：， 若，， 根据证得， ，即， 若，， 根据证得， ，即． 当t的值为1或7秒时．与全等． 故选：C． 6. 如图，，，若，，则的长是（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．证明，得到，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7. 某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为4米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形，过点作，垂足为D，根据垂直定义可得，再利用旋转的性质可得米，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为D， ∴， 由旋转得：， ∵， ∴， ∴栏杆A端升高了， 故选：A． 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、不是同类项，不能合并，原运算错误，不符合题意； 故选A． 9. 有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（ ） A. 43 B. 33 C. 38 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了完全平方公式的几何应用．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，则正方形A，B的面积之和为，依题意得图1中阴影部分的面积，则，再根据图2中阴影部分的面积，得，进而得，由此即可得出答案． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∴正方形A，B的面积之和为， 如图所示： 在正方形中，， ∴，， ∴图1中阴影部分的面积为：， ∵图1中阴影部分的面积为：5， ∴，即， 在正方形中，， ∴图2中阴影部分的面积为：， 又∵图2中阴影部分的面积为：38， ∴， ∴， ∴， ∴正方形A，B的面积之和为43． 故选：A． 10. 已知实数满足，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值． 由已知可得，然后通过变形以及整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选D． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 若三角形的两边长分别为5和2，且周长为奇数，则第三边的长度可以为___________（写出一个即可）． 【答案】4（或6） 【解析】 【分析】根据三角形三边关系，第三边c满足两边之差小于第三边且第三边小于两边之和，即；又周长为奇数，结合已知两边和为7（奇数），故c需为偶数，据此即可解答． 【详解】解：设第三边长为c，由三角形三边关系，得，即． ∵周长为，其中7为奇数， ∴要使为奇数，则c需为偶数． ∵在范围内， ∴c为偶数时可取4或6． 故答案为4（或6）． 12. 如图，是的两条高，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是掌握等面积法求高． 利用三角形的等面积法求高即可． 【详解】解：根据等面积得，， ∴， 故答案为：． 13. 已知点A的坐标为，点B的坐标为，在坐标轴上找一点C，使与全等，那么点C的坐标是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等判定，解题的关键是结合三角形全等的性质写出点的坐标． 根据题意画出图形，如图所示，分两种情况，结合三角形全等的判定和坐标与图形性质求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴轴，，，且在y轴上， ∴， 要在坐标轴上找一点C，使与全等，则点C在x轴上， 分两种情况： 当点C在x轴负半轴时，，连接， ∵，，， ∴，此时； 当点C在x轴正半轴时，，连接， ∵，，， ∴，此时； 综上，满足条件的点C坐标为或． 故答案为：或． 14. 如图，把长方形沿折叠后，点C，D分别落在，的位置．与交于点G，若，则___________°． 【答案】56 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，长方形的性质及平行线的性质．通过折叠的性质可得，再利用长方形的性质可得，通过平行线内错角相等和同旁内角互补的性质求得和的度数，最后再利用折叠的性质求得最终结果． 【详解】解：根据折叠的性质可得，， ∵， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：56． 15. 如果是完全平方式，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 若一个正方形的面积为，则此正方形的周长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的作用，根据正方形的面积公式，面积等于边长的平方，因此需要将给定的面积表达式因式分解为完全平方形式，从而求出边长，再计算周长． 【详解】解：正方形的面积为，因式分解得， 所以边长为， 周长为边长的4倍，即， 故答案为：. 17. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行求解即可，解题的关键是根据分式有意义的条件列出不等式并正确求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 18. 小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 又 则“”处的式子为． 故答案为：． 19. 已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒，已知1皮秒等于秒，那么这个工具1秒可以擦除___________次（用科学记数法表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查“科学记数法的运算”，理解题意，先统一单位再根据定义计算是解题关键． 计算1秒内擦除次数，需将总时间1秒除以每次擦除时间（400皮秒），统一时间单位计算即可． 【详解】每次擦除时间为400皮秒，已知1皮秒 等于 秒， 因此每次擦除时间为 秒， 所以擦除次数等于 ， 故答案为： ． 20. 已知，且，则代表的整式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，利用分式的基本性质，分子分母同乘一个不为0的数，分式的值不变，求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（60分） 21. 如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 22. 如图1，点，分别在射线，上运动（不与点重合），，分别是和的平分线，延长交于点． （1）若，求的度数； （2）如图2，若，过点作交于点，求与的数量关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质和内角和定理，熟练应用三角形外角性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，再根据三角形的外角性质求出的度数； （2）根据角平分线的定义得到，再根据三角形的外角性质求出，根据平行线的性质得到，进而得到． 【小问1详解】 解：， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ． 【小问2详解】 ， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ， 故与的数量关系为． 23. 如图，在中，点是边上一点，，作，使，且，连接． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）因为点是上一点，所以即，而，，可根据证明，则； （2）由全等三角形的性质得，由平分，得，则，而，由三角形内角和定理得，求得，则． 【小问1详解】 证明：点是上一点， 即， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， 平分， ， ， ， ， ，且， ， ， ， 的度数是． 24. 如图1，在中，． （1）若，点D，E在BC上，，，则的度数为          ； （2）如果把中“”的条件去掉，其余条件不变，如图2，那么的度数会改变吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）的度数不变，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理． （1）根据等边对等角及三角形内角和求出，，同理可得，根据计算即可； （2）根据等边对等角得到，，即，，则，进而可推出． 【小问1详解】 解：，， ，   同理可得  ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：的度数不变，理由如下： ，， ，， ， ， ， ． 25. 现要在长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．设大长方形的相邻两边长分别和，小长方形的相邻两边长分别为和． （1）如图1，若，，求和的值； （2）如图2， ①若小长方形的周长为，求大长方形的周长； ②若比大3，求种植草坪（空白部分）面积比种植鲜花（阴影部分）的面积的2倍多多少？ 【答案】（1）和的值分别为10和25 （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、列代数式、整式的混合运算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据大长方形的相邻两边长分别为、，再结合图形列出关于x、y的方程组求解即可； （2）①由小长方形的周长为，求得，再列式求大长方形的周长，然后整体代入计算即可求解；②依题意得、，去括号整理得，再将整体代入即可求解． 【小问1详解】 解：依据题意得，，解得， 答：和的值分别为10和25． 【小问2详解】 解：①由题意得，，所以， 所以大长方形的周长为． ②因为， 所以 ． 26. “激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， （1）求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6300元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【答案】（1）购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 （2）最多能购买16个型号的纪念品． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，结合题意“用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍”列分式方程求解即可； （2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，根据“所花费用不超过6300元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买16个型号的纪念品． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $