第3讲 长方体和正方体(专项提升训练）五年级数学寒假专项提升（青岛五四版）

第3讲 长方体和正方体聪明的测量员 知识回顾 单元知识框架： 温馨提示：图片放大更清晰。 单元知识点梳理： 知识点01：长方体和正方体的基本特征 1、 长方体的特征： （1） 长方体有6个面，每个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形） （2） 长方体有12条棱，相对的4条棱长是相等的。 （3） 长方体有8个顶点 （4） 相交于一个顶点的三条棱的长度，分别叫作长方体的长、宽、高。 （5） 长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 2、 正方体的特征： （1） 正方体有6个面，每个面都是完全相同的正方形； （2） 正方体有12条棱，所有的棱的长度都是相等的； （3） 正方体有8个顶点； （4） 正方体的棱长总和=棱长×12 知识点02：长方体和正方体的表面积 1、 表面积的定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积； 2、 长方体表面积的计算公式： 长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 3、 正方体表面积的计算公式： 正方体的表面积=棱长×棱长×6 4、实际应用：解决与表面积相关的实际问题，如粉刷墙壁，包装礼盒等。 知识点03：长方体和正方体的体积 1、 体积的定义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2、 长方体体积的计算公式 长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh。 长方体的体积也可以表示为底面积×高，即V=Sh。 3、 正方体体积的计算公式： 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示：V= 正方体的体积同样可以表示为底面积×高，即V=Sh 4、 实际应用：解决与体积相关的实际问题，如计算容器容量、物体占地面积等。 知识点04：体积单位和容积单位 1、 常用的体积单位：立方米（）、立方分米（）、立方厘米（） 2、 常用的容积单位：升（L）、毫升（ml）。 3、 单位之间的换算： 1立方米=1000立方分米；1立方分米=1000立方厘米；1升=1000毫升；1毫升=1000立方厘米。 易错点剖析 1．在（    ）里填上合适的体积或容积单位。 一个饮料瓶的容积约是250( )。     一间教室所占的空间约是140( )。 一台饮水机的体积约是90( )。     汽车油箱可装汽油38( )。 【答案】 毫升/mL 立方米/m3 立方分米/dm3 升/L 【分析】1毫升液体的体积就是1立方厘米，计量比较少的液体，通常用“毫升”作单位，所以计量一个饮料瓶的容积用“毫升”作单位比较合适； 棱长1米的正方体，体积是1立方米，所以计量一间教室所占的空间用“立方米”作单位比较合适； 棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，一个粉笔盒的体积约为1立方分米，所以计量一台饮水机的体积用“立方分米”作单位比较合适； 1升液体的体积就是1立方分米，结合单位前的数据，所以计量汽车油箱可装汽油的量用“升”作单位比较合适。 【详解】一个饮料瓶的容积约是250毫升。 一间教室所占的空间约是140立方米。 一台饮水机的体积约是90立方分米。 汽车油箱可装汽油38升。 2．1.05平方米＝( )平方分米  0.03立方米＝( )立方分米＝( )立方厘米 3.16升＝( )毫升    700毫升＝( )升＝( )立方分米 【答案】 105 30 30000 3160 0.7/ 0.7/ 【分析】根据进率：1平方米＝100平方分米，1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，1升＝1000毫升，1升＝1立方分米；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【详解】（1）1.05×100＝105（平方分米） 1.05平方米＝105平方分米 （2）0.03×1000＝30（立方分米） 30×1000＝30000（立方厘米） 0.03立方米＝30立方分米＝30000立方厘米 （3）3.16×1000＝3160（毫升） 3.16升＝3160毫升 （4）700÷1000＝0.7（升） 0.7升＝0.7立方分米 700毫升＝0.7升＝0.7立方分米 3． 千米＝( )米        平方米＝( )平方分米 时＝( )分          吨＝( )千克 【答案】 750 60 25 160 【分析】根据1千米＝1000米，1平方米＝100平方分米，1时＝60分，1吨＝1000千克，单位大变小乘进率，进行换算即可。 【详解】×1000＝750（米）；×100＝60（平方分米） ×60＝25（分）；×1000＝160（千克） 千米＝750米；平方米＝60平方分米 时＝25分；吨＝160千克 4．第24届冬季奥林匹克运动会纪念钞每张面额为20元，每张票面长145毫米，宽70毫米。刘老师将买来的冬奥会纪念钞装在如图所示的长方体收藏盒内；彩带打结部分长12厘米，包装这个冬奥会纪念钞收藏盒至少需要多长的彩带？ 【答案】74厘米 【分析】观察图形可知，包装这个冬奥会纪念钞收藏盒至少需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋彩带打结部分的长度，代入数据计算解答。 【详解】15×2＋8×2＋4×4＋12 ＝30＋16＋16＋12 ＝74（厘米） 答：包装这个冬奥会纪念钞收藏盒至少需要74厘米的彩带。 5．在北京的水立方内，有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽是25米，深是2.5米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）如果用瓷砖贴池的四周和底面，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （3）如果池内水深2米，这个游泳池注水多少吨？（1立方米水重1吨） 【答案】（1）1250平方米；（2）1625平方米；（3）2500吨 【分析】（1）占地面积＝长×宽，代入数据计算即可； （2）贴瓷砖的面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，代入数据计算即可； （3）注水的体积＝长×宽×水深，水的质量＝体积×单位体积的质量，据此解答。 【详解】（1）50×25＝1250（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是1250平方米。 （2）（50×2.5＋25×2.5）×2＋50×25 ＝（125＋62.5）×2＋1250 ＝375＋1250 ＝1625（平方米） 答：贴瓷砖的面积是1625平方米。 （3）50×25×2×1 ＝1250×2×1 ＝2500（吨） 答：这个游泳池注水2500吨。 【点睛】此题考查了有关长方体的实际应用，牢记长方体的体积、表面积计算公式并能灵活运用是解题关键。 6．养鸡场新建了一排鸡舍，为保证鸡舍的适宜温度和通风，要安装一些通风管。如果要做一节长2米，横截面是边长为50厘米的正方形的通风管，至少需要铁皮多少平方米？做15节这样的通风管呢？ 【答案】4平方米；60平方米 【分析】求做一节长2米，横截面是边长为50厘米的正方形的通风管至少需要铁皮的面积，就是求长方体通风管的表面积，这个通风管只有前后左右四个面，且四个面的面积相等，都是长2米、宽50厘米的长方形，先根据进率“1米＝100厘米”统一单位后，再根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个面的面积，再乘4即可； 用一根通风管所需铁皮的面积乘15，就是做15根这样的通风管需要铁皮的面积。 【详解】50厘米＝0.5米 做一节至少需要：0.5×2×4＝4（平方米） 做15节就至少需要：15×4＝60（平方米） 答：做1节通风管至少需要铁皮4平方米，做15节这样的通风管至少需要铁皮60平方米。 强化练习 一、填空题 1．一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的棱长和扩大到原来的( )倍，表面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 2 4 8 【分析】正方体的棱长和＝棱长×12，棱长扩大到原来的2倍也就是一个因数扩大到原来的2倍，那么积也会扩大到原来的2倍； 正方体的表面积＝棱长×棱长×6，棱长扩大到原来的2倍也就是两个因数都扩大到原来的2倍，那么积会扩大到原来的（2×2）倍； 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，棱长扩大到原来的2倍也就是3个因数都扩大到原来的2倍，那么体积会扩大到原来的（2×2×2）倍；据此解答。 【详解】由分析可得：它的棱长和扩大到原来的2倍； 2×2＝4 它的表面积扩大到原来的4倍； 2×2×2 ＝4×2 ＝8 它的体积扩大到原来的8倍。 2．把一根长5分米的铁丝，做成一个长6厘米，宽4厘米，高2厘米的长方体后，还剩( )厘米． 【答案】2 【分析】要求还剩多少厘米，首先求出长方体的棱长总和，长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，然后用这根铁丝的长度减去长方体的棱长总和． 【详解】5分米=50厘米， （6+4+2）×4， =12×4， =48（厘米）， 50﹣48=2（厘米）； 答：还剩2厘米． 故答案为2． 4． 720分＝( )时     9000毫升＝( )升 360秒＝( )分     6升300毫升＝( )毫升    7.56平方米＝( )平方厘米    3050立方分米＝( )立方米 【答案】 12 9 6 6300 75600 3.05 【分析】高级单位转低级单位用原数乘进率；低级单位转高级单位用原数除以进率。 【详解】720分＝（720÷60）时 ＝12时；9000毫升＝（9000÷1000）升＝9升； 360秒＝（360÷60）分 ＝6分；6升300毫升＝6300毫升； 7.56平方米＝（7.56×10000）平方厘米 ＝75600平方厘米； 3050立方分米＝（3050÷1000）立方米＝3.05立方米 【点睛】本题考查单位换算，解答本题的关键是掌握单位间的进率。 4．0.3升＝( )毫升＝( )立方厘米   0.85升＝( )毫升     5.2立方米＝( )立方厘米   3260毫升＝( )升( )毫升 【答案】 300 300 850 5200000 3 260 【分析】高级单位换低级单位乘进率，根据1升＝1000毫升，用0.3×1000即可，根据1毫升＝1立方厘米，则0.3×1000毫升＝0.3×1000立方厘米；用0.85×1000即可；根据1立方米＝1000000立方厘米，用5.2×1000000即可；低级单位换高级单位除以进率，根据1升＝1000毫升，把3260拆成3000＋260，用3000÷1000即可。 【详解】0.3升＝0.3×1000毫升＝300毫升＝300立方厘米 0.85升＝0.85×1000毫升＝850毫升 5.2立方米＝5.2×1000000立方厘米＝5200000立方厘米 3260毫升＝3000毫升＋260毫升＝3000÷1000升260毫升＝3升260毫升 【点睛】本题考查单位换算，明确各单位之间的进率是解题的关键。 5．一个长方体木箱的长是6dm，宽是5dm，高是3dm，它的棱长总和是( )dm，占地面积是( )。 【答案】 56 30 【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；占地面积＝长×宽。据此计算。 【详解】棱长总和：（6＋5＋3）×4 ＝14×4 ＝56（分米） 占地面积：6×5＝30（平方分米） 【点睛】此题考查的是长方体的棱长总和、面积的计算公式，学生应该熟练掌握。 6．用一根长43分米的铁条，焊接成1个长5dm、宽2dm，高3dm的长方体铁架后，还剩铁条( )分米。 【答案】3 【分析】由题意可知：焊接成长方体铁架用的铁条长度是长方体的棱长之和，将数据带入长方体棱长公式求出棱长和，再用总长－棱长和即可求出剩下的长度。 【详解】43－（5＋2＋3）×4 ＝43－10×4 ＝43－40 ＝3（分米） 还剩铁条3分米。 【点睛】本题主要考查长方体有关棱长的应用，牢记公式是解题的关键。 7．用铁丝做一个长方体纸盒的框架，已知长5厘米，宽和高都是3厘米，共需铁丝( )厘米，如果用这个框架做一个无盖的纸盒，大约需要( )平方厘米硬纸板。 【答案】 44 63 【分析】求出这个长方体的棱长和，填出第一空；求出这个无盖长方体的表面积，填出第二空。 【详解】5×4＋3×4＋3×4 ＝20＋12＋12 ＝44（厘米） 5×3＋5×3×2＋3×3×2 ＝15＋30＋18 ＝63（平方厘米） 所以，做这个框架共需铁丝44厘米，如果用这个框架做一个无盖的纸盒，大约需要63平方厘米硬纸板。 【点睛】本题考查了长方体的棱长和和表面积，解题关键在于熟记公式。 8．一个棱长为10厘米的正方体容器装满水，放入一个石块后，水溢出了250毫升，那么这个石块的体积是( )立方厘米。如果用同样的空容器装溢出的水，水面高度是( )厘米。 【答案】 250 2.5 【分析】正方体容器装满水，放入一个石块后，溢出的水的体积就是石块的体积；溢出的水的体积÷容器底面积＝水面高度。 【详解】250毫升＝250立方厘米 250÷（10×10） ＝250÷100 ＝2.5（厘米） 【点睛】关键是利用转化思想，将石块体积转化为溢出的水的体积，掌握长方体体积公式。 9．在括号里填上适当的单位。 一个墨水瓶的容积约是60( )   数学课本的体积约是460( ) 一个文具盒的体积约是0.35( )  一个热水瓶的容积约2( ) 【答案】 毫升/mL 立方厘米/cm3 立方分米/dm3 升/L 【分析】根据实际生活经验，对体积单位、容积单位及数据的大小可知，计量一个墨水瓶的容积应用“毫升”作单位；计量数学课本的体积应用“立方厘米”作单位；计量一个文具盒的体积应用“立方分米”作单位；计量一个热水瓶的容积应用“升”作单位。 【详解】由分析可知： 一个墨水瓶的容积约是60毫升   数学课本的体积约是460立方厘米 一个文具盒的体积约是0.35立方分米  一个热水瓶的容积约2升 【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 10．做一个长是4分米，宽是3分米，高是2分米的无盖长方体油箱，至少需要铁皮( )平方分米。它的容积是( )立方分米。 【答案】 40 24 【分析】铁皮的面积等于长方体五个面的面积，即铁皮的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，据此可求出铁皮的面积；根据长方体的容积公式：V＝abh，据此进行计算即可。 【详解】4×3＋（4×2＋3×2）×2 ＝12＋（8＋6）×2 ＝12＋14×2 ＝12＋28 ＝40（平方分米） 4×3×2 ＝12×2 ＝24（立方分米） 则至少需要铁皮40平方分米。它的容积是24立方分米。 【点睛】本题考查长方体的表面积和容积，熟记公式是解题的关键。 二、判断题 11．一辆汽车油箱的容积大约是40mL。( ) 【答案】× 【分析】1毫升＝1立方厘米，1立方厘米大约是一个手指尖的体积，油箱的容积为40mL时较小，应该用40L比较合适，据此解答。 【详解】分析可知，用40mL计量油箱的容积不合适，一辆汽车油箱的容积大约是40L。 故答案为：× 【点睛】根据数据和容积单位结合生活实际选择合适的容积单位是解答题目的关键。 12．求一个长方体鱼缸最多能盛多少升水，是求这个长方体的质量。( ) 【答案】× 【分析】容器所能容纳物体的体积叫做它们的容积，求鱼缸可以装水多少升就是求鱼缸的容积，据此解答。 【详解】求一个长方体鱼缸最多能盛多少升水，是求这个长方体的容积。 故答案为：× 【点睛】掌握容积的意义是解答题目的关键。 13．9个棱长相同的小正方体可以拼成一个大正方体。( ) 【答案】× 【分析】用同样大小的正方体可以拼成一个大正方体，每条棱长上至少需要2个小正方体，所以拼成一个大正方体至少需要2×2×2＝8个。 【详解】由分析可得， 8个棱长相同的小正方体可以拼成一个大正方体。 故答案为：× 【点睛】此题考查的是立体图形的组合。 14．两个体积相等的盒子，它们的容积不一定相等。( ) 【答案】√ 【分析】求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高进行计算，而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高，然后计算。 【详解】两个体积相等的盒子，如果材料不同，容积不一定相等，所以原题说法正确。 【点睛】一个物体有体积，但它不一定有容积。 15．长方体中，如果有两个相对的面是正方形，那么其余的面一定是完全一样的长方形。( ) 【答案】√ 【分析】通常长方体的六个面都是长方形，特殊的长方体有两个相对的面可以是正方形。 【详解】长方体中最多会有两个相对的面是正方形，其余的四个面都是长方形且完全相同，原题说法正确。 故答案为：√ 16．把两个一样的正方体拼成一个长方体后，体积和表面积都不变。( ) 【答案】× 【分析】几何体在拼接的过程中，因为面的重合，会引起表面积的减少；而两个正方体拼接在一起，每个正方体所占空间的大小没有改变，只是合二为一了，所以体积不会减少；据此解答。 【详解】如图： 把两个完全一样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了两个面，体积还是两个正方体的体积之和，所以表面积减少了，体积不变，原题说法错误。 故答案为：× 17．一个正方体的棱长总和是24dm，它的表面积是24，体积是8。( ) 【答案】√ 【分析】棱长总和÷12＝棱长，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】24÷12＝2（分米） 2×2×6＝24（平方分米） 2×2×2＝8（立方分米） 故答案为：√ 【点睛】关键是熟悉正方体特征，掌握正方体表面积和体积公式。 18．一个长方体的长是4米，宽是2米，高是5分米，体积是40立方米。( ) 【答案】× 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，据此代入数值进行计算即可。 【详解】5分米＝0.5米 4×2×0.5 ＝8×0.5 ＝4（立方米） 则这个长方体的体积是4立方米。原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查长方体的体积，熟记公式是解题的关键。 19．计量一个物体的体积有多大，就看它包含多少个体积单位。( ) 【答案】√ 【分析】体积是指物体所占空间的大小，所以计量一个物体的体积，要看这个物体含有多少个体积单位。 【详解】由分析可知： 计量一个物体的体积有多大，就看它包含多少个体积单位。说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查体积，明确体积的定义是解题的关键。 20．“加工一个长方体油桶，要用多少铁皮”是求这个油桶的表面积。( ) 【答案】√ 【分析】长方体的表面积：长方体的6个面的面积之和；据此解答。 【详解】根据题干可得： 结合油桶的特征，要求油箱要用多少铁皮，是求这个长方体的表面积。 故答案为：√ 【点睛】考查了对于长方体的表面积的含义的理解。 三、选择题 21．一个长4分米、宽2分米、高2分米的长方体，它占地面积最大是( )． A．4平方分米 B．8平方分米 C．16平方分米 【答案】B 【详解】【解答】4×2=8（平方分米），答：它的占地面积最大是8平方分米．故选B． 【分析】求占地面积最大是多少，必须用最长的两条棱长相乘，即可解答． 22．用一根52厘米长的铅丝，正好可以焊成长6厘米，宽4厘米，高（　 　）厘米的长方体教具。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据长方体的棱长的特点，长方体是由4条长，4条宽，4条高组成的，（棱长之和－长×4－宽×4）÷4，即可求出高是多少。 【详解】（52－6×4－4×4）÷4 ＝（52－24－16）÷4 ＝（52－40）÷4 ＝12÷4 ＝3（厘米） 高3厘米的长方体教具。 故答案为：B 23．在一个长是6dm，宽是3dm，高是2dm的长方体中割一个最大的正方体，这个正方体的体积是（    ）。 A．216 B．27 C．8 【答案】C 【分析】长方体中割一个最大的正方体，正方体的棱长就是长方体中最短的棱长即2dm，然后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，计算即可。 【详解】2×2×2 ＝4×2 ＝8（立方分米） 故选：C 【点睛】本题考查正方体的体积，熟记正方体的体积公式是解题的关键。 24．一个正方体的表面积是，则这个正方体的体积是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，已知正方体的表面积可以求出正方体的棱长，然后根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。 【详解】96÷6＝16 因为4的平方是16，所以正方体的棱长是4cm 则这个正方体的体积是： 4×4×4＝ 故答案为：B 【点睛】此题主要考查正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 25．一个长方体的体积是85.4立方分米，高是7分米，这个长方体的底面积是（ ）． A．12.2平方分米 B．24.2 平方分米 C．6.1平方分米 D．12.2立方分米 【答案】A 【分析】已知长方体的体积和高，求长方体的底面积，用长方体的体积÷高=长方体的底面积，据此列式计算. 【详解】85.4÷7=12.2（平方分米） 故答案为A. 26．一个长方体正好能截成两个正方体，截完后表面积增加了32平方厘米，则每个正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．9 B．27 C．54 D．64 【答案】D 【分析】一个长方体正好能截成两个正方体，截完后表面积增加了两个正方体的面，求出一个面，确定棱长，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，计算即可。 【详解】32÷2＝16（平方厘米） 16＝4×4 4×4×4＝64（立方厘米） 故答案为：D 【点睛】关键是掌握正方体体积公式，确定正方体棱长是解答本题的关键。 27．一个长方体的长、宽、高分别是a，b，h米，如果长与宽不变，高增加2米后，那么现在的长方体的体积比原来长方体的体积增加（    ）立方米。 A．2ab B．2abh C．ab（h＋2）    D．4a＋4b 【答案】A 【分析】要想求现在的长方体增加了多少立方米，我们首先要求出现在的长方体的体积和原来的长方体的体积，然后相减，根据长方体的体积公式，用字母把关系式表示出来，化简即可解答。 【详解】根据分析可知： a×b×（h＋2）－a×b×h ＝abh＋2ab－abh ＝2ab（立方米） 所以现在的长方体的体积比原来长方体的体积增加2ab立方米； 故答案为：A 【点睛】本题考查了用字母表示数和长方体的体积公式，解题的关键是根据体积公式，用字母表示出前后的体积，然后作差即可解答。 28．一根长方体木料，长5米，宽0.5米，厚2分米，把它锯成三段，表面积最少增加（    ）平方分米。 A．4 B．1 C．10 D．40 【答案】D 【分析】锯成3段，需要锯2次，每锯1次就增加两个面，所以一共增加4个面；要使增加的表面积最少，那么这里要平行于最小面切割，由此即可解答。 【详解】0.5米＝5分米 5×2×4 ＝10×4 ＝40（平方分米） 故选：D 【点睛】此题考查的是长方体表面积计算，解答此题关键是抓住长方体的切割特点，得出锯成3段增加的面数：要使增加的表面积最少，则平行于最小面切割。 29．一根长8分米，宽和高都是2分米的长方体木料，锯成3段，表面积至少增加（    ）平方分米。 A．4 B．8 C．16 D．18 【答案】C 【分析】把一个长方体锯成3段，需要锯2次，这样表面就增加了4个横截面的面积，要使表面积至少增加多少，就要把最小的面进行横截，最小的面是宽和高都是2分米的面积。 【详解】2×2×4＝16（平方分米） 故答案为：C 【点睛】本题的关键是将长方形锯成3段，需要锯2次，最后增加了4个横截面。 30．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，其体积将扩大到原来的（    ）。 A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 【答案】D 【分析】长方体体积＝长×宽×高，长方体的长、宽、高都扩大到原来的相同倍数，体积扩大到原来的倍数×倍数×倍数，据此分析。 【详解】2×2×2＝8 一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，其体积将扩大到原来的8倍。 故答案为：D 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式，根据积的变化规律进行分析。 四、计算题 31．计算下面各图形的体积和表面积．（单位：厘米）   【答案】解：1）正方体的体积：  3.5×3.5×3.5， =12.25×3.5， =42.875（立方厘米）； 正方体的表面积： 3.5×3.5×6， =12.25×6， =73.5（平方厘米）； 答：正方体的体积是42.875立方厘米，表面积是73.5平方厘米． 2）长方体的体积： 13×5×5， =65×5， =325（立方厘米）； 长方体的表面积： （13×5+5×5+5×13）×2， =（65+25+65）×2， =155×2， =310（平方厘米）； 答：长方体的体积是325立方米，表面积是310平方厘米   【详解】【分析】（1）正方体的体积V=a3  ， 表面积S=6a2  ， 正方体的棱长已知，代入公式即可求解．（2）长方体的体积V=abh，表面积S=（ab+bh+ah）×2，长方体的长、宽、高已知，代入公式即可求解． 32．求下面图形的表面积和体积。（单位：分米） 【答案】192平方分米；160立方分米； 22平方分米；4立方分米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，把图中数据代入公式计算，据此解答。 【详解】（4×4＋4×10＋4×10）×2 ＝（16＋40＋40）×2 ＝96×2 ＝192（平方分米） 4×4×10 ＝16×10 ＝160（立方分米） 所以，长方体的表面积是192平方分米，体积是160立方分米。 （0.5×4＋0.5×2＋4×2）×2 ＝（2＋1＋8）×2 ＝11×2 ＝22（平方分米） 0.5×2×4 ＝1×4 ＝4（立方分米） 所以，长方体的表面积是22平方分米，体积是4立方分米。 五、解答题 33．方形雨水管横截面的长是10厘米，宽是8厘米。每一节雨水管长2米。做25节这样的雨水管至少需要多少平方米？ 【答案】18平方米 【分析】由题意可知，一节方形雨水管所用的材料是前、后、左、右四个面的面积，用“（长×高＋宽×高）×2”求出一节雨水管需要的材料，再乘25节即可求出25节这样的雨水管至少需要多少材料。 【详解】10厘米＝0.1米，8厘米＝0.08米； （0.1×2＋0.08×2）×2×25 ＝0.36×2×25 ＝18（平方米） 答：做25节这样的雨水管至少需要18平方米。 【点睛】明确一个方形雨水管所用的材料是前、后、左、右四个面的面积是解答本题的关键。 34．用下面的纸板折成一个长方体这盒，这个纸盒的表面积是多少？（单位：厘米） 【答案】248平方厘米 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，由此根据长方体表面积公式计算纸盒的表面积即可。 【详解】（10×6＋10×4＋6×4）×2 ＝（60＋40＋24）×2 ＝124×2 ＝248（平方厘米） 答：这个纸盒的表面积是248平方厘米。 【点睛】熟练掌握长方体的计算公式是解答此题的关键。 35．家具厂订购500根方木，每根方木横截面的面积是2.4平方分米，长是3米，这些方木一共是多少立方米？ 【答案】36立方米 【分析】根据长方体的体积公式：V＝Sh，据此求出一根方木的体积，再乘500即可求解。 【详解】3米＝30分米 2.4×30×500 ＝72×500 ＝36000（立方分米） ＝36（立方米） 答：这些方木一共是36立方米。 【点睛】本题考查长方体的体积，熟记公式是解题的关键。 36．一个正方体玻璃容器的棱长是2分米，向容器中倒入5升水，再把一块石头完全浸没在水中，这时量得容器内水深15厘米。石头的体积是多少立方分米？ 【答案】1立方分米 【分析】将15厘米化成1.5分米，再根据长方体的体积公式，求出石头浸没水中后水和石头的体积和。最后，将其减去水的体积，求出石头的体积即可。 【详解】15厘米＝1.5分米，5升＝5立方分米 2×2×1.5－5 ＝6－5 ＝1（立方分米） 答：石头的体积是1立方分米。 【点睛】本题考查了长方体的体积，长方体体积＝长×宽×高。 37．一个长方体玻璃缸，从里面量长40厘米，宽25厘米，缸内水深12厘米。把一块石头浸入水中后，水面升到16厘米，求石块的体积。 【答案】4000立方厘米 【分析】石头浸入水中后，水面上升，石头排开水的体积，即是石块的体积。水面从12厘米上升到16厘米，上升了16－12＝4（厘米），根据玻璃缸的长和宽，计算这上升的4厘米水的体积即可。 【详解】40×25×（16－12） ＝40×25×4 ＝1000×4 ＝4000（立方厘米） 答：石块的体积是4000立方厘米。 【点睛】本题主要考查长方体的体积计算在实际中的应用。 38．有一个长方体鱼缸，如图，放进去一块珊瑚石（完全沉没），水面升高了5厘米，这块珊瑚石的体积是多少？ 【答案】27立方分米 【分析】珊瑚石的体积等于上升部分水的体积，根据长方体体积＝长×宽×高即可求得。 【详解】5厘米＝0.5分米 9×6×0.5 ＝54×0.5 ＝27（立方分米） 答：这块珊瑚石的体积是27立方分米。 【点睛】把不规则物体的体积转化为上升部分水的体积是解答题目的关键。 39．往一个棱长为5分米的正方体鱼缸里倒入50升水，再竖直放入一根长方体铁条（水没有溢出且铁条也未完全浸没），这时量得鱼缸水面高度为25厘米，请你算一算，这根长方体铁条的底面积是多少平方分米？ 【答案】5平方分米 【分析】先求出放入铁条后一共的体积，再减去原来水的体积，得出水面上升的体积也就是放入水中的铁条的体积，再除以浸在水中铁条的高也就是水的高度，就得铁条底面积。 【详解】25厘米＝2.5分米，50升＝50立方分米 （5×5×2.5－50）÷2.5 ＝（62.5－50）÷2.5 ＝12.5÷2.5 ＝5（平方分米） 答：这根长方体铁条的底面积是5平方分米。 【点睛】解答此题关键是明确水面上升的体积就是放入水中的铁条的体积。 40．有一个长15厘米，宽9厘米，高6厘米的长方体礼品盒，如图，包扎带打结部分是15厘米，问包扎这个礼品至少要用绳子多少？ 【答案】87厘米 【详解】15+15×2+9×2+6×4=87（厘米） 41．张华家有一个长方体玻璃鱼缸（无盖），长9分米，宽6分米，高8分米。 （1）制作这个鱼缸需要多少玻璃？ （2）鱼缸里原来有一些水，将4块同样大的彩石完全浸入水中后，水面上升了5厘米（水没有溢出）。每个彩石的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）294平方分米； （2）6750立方厘米 【分析】（1）结合长方体的表面积公式，列式计算出这个无盖长方体玻璃鱼缸的表面积，求出制作这个鱼缸需要多少玻璃； （2）水面上升的部分为长方体，它的长9分米、宽6分米、高5厘米，据此利用长方体的体积公式，求出这部分的体积。再将其除以4，求出每个彩石的体积是多少立方厘米。 【详解】（1）9×6＋9×8×2＋6×8×2 ＝54＋144＋96 ＝294（平方分米） 答：制作这个鱼缸需要294平方分米的玻璃。 （2）9分米＝90厘米，6分米＝60厘米 90×60×5÷4 ＝27000÷4 ＝6750（立方厘米） 答：每个彩石的体积是6750立方厘米。 【点睛】本题考查了长方体的表面积和体积，灵活运用长方体的表面积和体积公式是解题的关键。 42．装修一间长8米、宽6米、高3米的会议室，在会议室的四周和顶棚贴塑料壁纸，扣除门窗面积20平方米，至少需要壁纸多少平方米？ 【答案】112平方米 【分析】由题意可知，壁纸的面积等于会议室五个面的面积减去门窗的面积，根据长方体五个面的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，据此进行计算即可。 【详解】8×6＋（8×3＋6×3）×2－20 ＝48＋（24＋18）×2－20 ＝48＋42×2－20 ＝48＋84－20 ＝132－20 ＝112（平方米） 答：至少需要壁纸112平方米。 【点睛】本题考查长方体的表面积，明确长方体五个面的面积的计算方法是解题的关键。 43．一间教室的长是8米、宽是6米、高是3.5米，要粉刷教室的四壁及天花板，除去门、窗、黑板共23平方米，要粉刷的面积有多大？如果每平方米用涂料0.25千克，那么粉刷这间教室至少需要多少千克涂料？ 【答案】123平方米；30.75千克 【分析】根据题意，粉刷教室的四壁及天花板，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门、窗、黑板的面积，就是需粉刷的面积；然后用每平方米用涂料的质量乘粉刷的面积，即可求出粉刷这间教室至少需要涂料的质量。 【详解】8×6＋8×3.5×2＋6×3.5×2 ＝48＋56＋42 ＝146（平方米） 146－23＝123（平方米） 0.25×123＝30.75（千克） 答：要粉刷的面积为123平方米，粉刷这间教室至少需要30.75千克涂料。 【点睛】关键是先弄清粉刷这间教室的四壁及天花板，缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 长方体和正方体聪明的测量员 知识回顾 单元知识框架： 温馨提示：图片放大更清晰。 单元知识点梳理： 知识点01：长方体和正方体的基本特征 1、 长方体的特征： （1） 长方体有6个面，每个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形） （2） 长方体有12条棱，相对的4条棱长是相等的。 （3） 长方体有8个顶点 （4） 相交于一个顶点的三条棱的长度，分别叫作长方体的长、宽、高。 （5） 长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 2、 正方体的特征： （1） 正方体有6个面，每个面都是完全相同的正方形； （2） 正方体有12条棱，所有的棱的长度都是相等的； （3） 正方体有8个顶点； （4） 正方体的棱长总和=棱长×12 知识点02：长方体和正方体的表面积 1、 表面积的定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积； 2、 长方体表面积的计算公式： 长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 3、 正方体表面积的计算公式： 正方体的表面积=棱长×棱长×6 4、实际应用：解决与表面积相关的实际问题，如粉刷墙壁，包装礼盒等。 知识点03：长方体和正方体的体积 1、 体积的定义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2、 长方体体积的计算公式 长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh。 长方体的体积也可以表示为底面积×高，即V=Sh。 3、 正方体体积的计算公式： 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示：V= 正方体的体积同样可以表示为底面积×高，即V=Sh 4、 实际应用：解决与体积相关的实际问题，如计算容器容量、物体占地面积等。 知识点04：体积单位和容积单位 1、 常用的体积单位：立方米（）、立方分米（）、立方厘米（） 2、 常用的容积单位：升（L）、毫升（ml）。 3、 单位之间的换算： 1立方米=1000立方分米；1立方分米=1000立方厘米；1升=1000毫升；1毫升=1000立方厘米。 易错点剖析 1．在（    ）里填上合适的体积或容积单位。 一个饮料瓶的容积约是250( )。     一间教室所占的空间约是140( )。 一台饮水机的体积约是90( )。     汽车油箱可装汽油38( )。 【答案】 毫升/mL 立方米/m3 立方分米/dm3 升/L 【分析】1毫升液体的体积就是1立方厘米，计量比较少的液体，通常用“毫升”作单位，所以计量一个饮料瓶的容积用“毫升”作单位比较合适； 棱长1米的正方体，体积是1立方米，所以计量一间教室所占的空间用“立方米”作单位比较合适； 棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，一个粉笔盒的体积约为1立方分米，所以计量一台饮水机的体积用“立方分米”作单位比较合适； 1升液体的体积就是1立方分米，结合单位前的数据，所以计量汽车油箱可装汽油的量用“升”作单位比较合适。 【详解】一个饮料瓶的容积约是250毫升。 一间教室所占的空间约是140立方米。 一台饮水机的体积约是90立方分米。 汽车油箱可装汽油38升。 2．1.05平方米＝( )平方分米  0.03立方米＝( )立方分米＝( )立方厘米 3.16升＝( )毫升    700毫升＝( )升＝( )立方分米 【答案】 105 30 30000 3160 0.7/ 0.7/ 【分析】根据进率：1平方米＝100平方分米，1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，1升＝1000毫升，1升＝1立方分米；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【详解】（1）1.05×100＝105（平方分米） 1.05平方米＝105平方分米 （2）0.03×1000＝30（立方分米） 30×1000＝30000（立方厘米） 0.03立方米＝30立方分米＝30000立方厘米 （3）3.16×1000＝3160（毫升） 3.16升＝3160毫升 （4）700÷1000＝0.7（升） 0.7升＝0.7立方分米 700毫升＝0.7升＝0.7立方分米 3． 千米＝( )米        平方米＝( )平方分米 时＝( )分          吨＝( )千克 【答案】 750 60 25 160 【分析】根据1千米＝1000米，1平方米＝100平方分米，1时＝60分，1吨＝1000千克，单位大变小乘进率，进行换算即可。 【详解】×1000＝750（米）；×100＝60（平方分米） ×60＝25（分）；×1000＝160（千克） 千米＝750米；平方米＝60平方分米 时＝25分；吨＝160千克 4．第24届冬季奥林匹克运动会纪念钞每张面额为20元，每张票面长145毫米，宽70毫米。刘老师将买来的冬奥会纪念钞装在如图所示的长方体收藏盒内；彩带打结部分长12厘米，包装这个冬奥会纪念钞收藏盒至少需要多长的彩带？ 【答案】74厘米 【分析】观察图形可知，包装这个冬奥会纪念钞收藏盒至少需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋彩带打结部分的长度，代入数据计算解答。 【详解】15×2＋8×2＋4×4＋12 ＝30＋16＋16＋12 ＝74（厘米） 答：包装这个冬奥会纪念钞收藏盒至少需要74厘米的彩带。 5．在北京的水立方内，有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽是25米，深是2.5米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）如果用瓷砖贴池的四周和底面，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （3）如果池内水深2米，这个游泳池注水多少吨？（1立方米水重1吨） 【答案】（1）1250平方米；（2）1625平方米；（3）2500吨 【分析】（1）占地面积＝长×宽，代入数据计算即可； （2）贴瓷砖的面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，代入数据计算即可； （3）注水的体积＝长×宽×水深，水的质量＝体积×单位体积的质量，据此解答。 【详解】（1）50×25＝1250（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是1250平方米。 （2）（50×2.5＋25×2.5）×2＋50×25 ＝（125＋62.5）×2＋1250 ＝375＋1250 ＝1625（平方米） 答：贴瓷砖的面积是1625平方米。 （3）50×25×2×1 ＝1250×2×1 ＝2500（吨） 答：这个游泳池注水2500吨。 【点睛】此题考查了有关长方体的实际应用，牢记长方体的体积、表面积计算公式并能灵活运用是解题关键。 6．养鸡场新建了一排鸡舍，为保证鸡舍的适宜温度和通风，要安装一些通风管。如果要做一节长2米，横截面是边长为50厘米的正方形的通风管，至少需要铁皮多少平方米？做15节这样的通风管呢？ 【答案】4平方米；60平方米 【分析】求做一节长2米，横截面是边长为50厘米的正方形的通风管至少需要铁皮的面积，就是求长方体通风管的表面积，这个通风管只有前后左右四个面，且四个面的面积相等，都是长2米、宽50厘米的长方形，先根据进率“1米＝100厘米”统一单位后，再根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个面的面积，再乘4即可； 用一根通风管所需铁皮的面积乘15，就是做15根这样的通风管需要铁皮的面积。 【详解】50厘米＝0.5米 做一节至少需要：0.5×2×4＝4（平方米） 做15节就至少需要：15×4＝60（平方米） 答：做1节通风管至少需要铁皮4平方米，做15节这样的通风管至少需要铁皮60平方米。 强化练习 一、填空题 1．一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的棱长和扩大到原来的( )倍，表面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 2．把一根长5分米的铁丝，做成一个长6厘米，宽4厘米，高2厘米的长方体后，还剩( )厘米． 3. 720分＝( )时     9000毫升＝( )升 360秒＝( )分     6升300毫升＝( )毫升    7.56平方米＝( )平方厘米    3050立方分米＝( )立方米 4．0.3升＝( )毫升＝( )立方厘米   0.85升＝( )毫升     5.2立方米＝( )立方厘米   3260毫升＝( )升( )毫升 5．一个长方体木箱的长是6dm，宽是5dm，高是3dm，它的棱长总和是( )dm，占地面积是( )。 6．用一根长43分米的铁条，焊接成1个长5dm、宽2dm，高3dm的长方体铁架后，还剩铁条( )分米。 7．用铁丝做一个长方体纸盒的框架，已知长5厘米，宽和高都是3厘米，共需铁丝( )厘米，如果用这个框架做一个无盖的纸盒，大约需要( )平方厘米硬纸板。 8．一个棱长为10厘米的正方体容器装满水，放入一个石块后，水溢出了250毫升，那么这个石块的体积是( )立方厘米。如果用同样的空容器装溢出的水，水面高度是( )厘米。 9．在括号里填上适当的单位。 一个墨水瓶的容积约是60( )   数学课本的体积约是460( ) 一个文具盒的体积约是0.35( )  一个热水瓶的容积约2( ) 10．做一个长是4分米，宽是3分米，高是2分米的无盖长方体油箱，至少需要铁皮( )平方分米。它的容积是( )立方分米。 二、判断题 11．一辆汽车油箱的容积大约是40mL。( ) 12．求一个长方体鱼缸最多能盛多少升水，是求这个长方体的质量。( ) 13．9个棱长相同的小正方体可以拼成一个大正方体。( ) 14．两个体积相等的盒子，它们的容积不一定相等。( ) 15．长方体中，如果有两个相对的面是正方形，那么其余的面一定是完全一样的长方形。( ) 16．把两个一样的正方体拼成一个长方体后，体积和表面积都不变。( ) 17．一个正方体的棱长总和是24dm，它的表面积是24，体积是8。( ) 18．一个长方体的长是4米，宽是2米，高是5分米，体积是40立方米。( ) 19．计量一个物体的体积有多大，就看它包含多少个体积单位。( ) 20．“加工一个长方体油桶，要用多少铁皮”是求这个油桶的表面积。( ) 三、选择题 21．一个长4分米、宽2分米、高2分米的长方体，它占地面积最大是( )． A．4平方分米 B．8平方分米 C．16平方分米 22．用一根52厘米长的铅丝，正好可以焊成长6厘米，宽4厘米，高（　 　）厘米的长方体教具。 A．2 B．3 C．4 D．5 23．在一个长是6dm，宽是3dm，高是2dm的长方体中割一个最大的正方体，这个正方体的体积是（    ）。 A．216 B．27 C．8 24．一个正方体的表面积是，则这个正方体的体积是（    ）。 A． B． C． 25．一个长方体的体积是85.4立方分米，高是7分米，这个长方体的底面积是（ ）． A．12.2平方分米 B．24.2 平方分米 C．6.1平方分米 D．12.2立方分米 26．一个长方体正好能截成两个正方体，截完后表面积增加了32平方厘米，则每个正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．9 B．27 C．54 D．64 27．一个长方体的长、宽、高分别是a，b，h米，如果长与宽不变，高增加2米后，那么现在的长方体的体积比原来长方体的体积增加（    ）立方米。 A．2ab B．2abh C．ab（h＋2）    D．4a＋4b 28．一根长方体木料，长5米，宽0.5米，厚2分米，把它锯成三段，表面积最少增加（    ）平方分米。 A．4 B．1 C．10 D．40 29．一根长8分米，宽和高都是2分米的长方体木料，锯成3段，表面积至少增加（    ）平方分米。 A．4 B．8 C．16 D．18 30．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，其体积将扩大到原来的（    ）。 A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 四、计算题 31．计算下面各图形的体积和表面积．（单位：厘米）   32．求下面图形的表面积和体积。（单位：分米） 五、解答题 33．方形雨水管横截面的长是10厘米，宽是8厘米。每一节雨水管长2米。做25节这样的雨水管至少需要多少平方米？ 34．用下面的纸板折成一个长方体这盒，这个纸盒的表面积是多少？（单位：厘米） 35．家具厂订购500根方木，每根方木横截面的面积是2.4平方分米，长是3米，这些方木一共是多少立方米？ 36．一个正方体玻璃容器的棱长是2分米，向容器中倒入5升水，再把一块石头完全浸没在水中，这时量得容器内水深15厘米。石头的体积是多少立方分米？ 37．一个长方体玻璃缸，从里面量长40厘米，宽25厘米，缸内水深12厘米。把一块石头浸入水中后，水面升到16厘米，求石块的体积。 38．有一个长方体鱼缸，如图，放进去一块珊瑚石（完全沉没），水面升高了5厘米，这块珊瑚石的体积是多少？ 39．往一个棱长为5分米的正方体鱼缸里倒入50升水，再竖直放入一根长方体铁条（水没有溢出且铁条也未完全浸没），这时量得鱼缸水面高度为25厘米，请你算一算，这根长方体铁条的底面积是多少平方分米？ 40．有一个长15厘米，宽9厘米，高6厘米的长方体礼品盒，如图，包扎带打结部分是15厘米，问包扎这个礼品至少要用绳子多少？ 41．张华家有一个长方体玻璃鱼缸（无盖），长9分米，宽6分米，高8分米。 （1）制作这个鱼缸需要多少玻璃？ （2）鱼缸里原来有一些水，将4块同样大的彩石完全浸入水中后，水面上升了5厘米（水没有溢出）。每个彩石的体积是多少立方厘米？ 42．装修一间长8米、宽6米、高3米的会议室，在会议室的四周和顶棚贴塑料壁纸，扣除门窗面积20平方米，至少需要壁纸多少平方米？ 43．一间教室的长是8米、宽是6米、高是3.5米，要粉刷教室的四壁及天花板，除去门、窗、黑板共23平方米，要粉刷的面积有多大？如果每平方米用涂料0.25千克，那么粉刷这间教室至少需要多少千克涂料？ 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $