2025-2026学年人教版上学期九年级期末数学培优卷

2025-2026学年上学期九年级期末数学培优卷 一、单选题 1．“明天温州市最高气温为25℃”这一事件是（    ） A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件 2．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．不能确定 3．一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了，根据以上情境，可列方程为（） A． B． C． D． 4．如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 7．已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如下表： … … … … 则下列判断中正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．抛物线与y轴交于正半轴 C．对称轴是直线 D．当时的函数值比时的函数值大 8．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 10．若两个函数图象关于点P成中心对称，则称这两个函数关于点P互为“对称函数”．现作抛物线：关于上处的点的对称函数得到抛物线，再作关于上处的点的对称函数得到抛物线，再作关于上处的点的对称函数得到抛物线……以此类推，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，该图案绕它的中心至少旋转 后可以和自身完全重合． 12．如图，在中，，，以点为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是 ． 13．某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是 ． 14．小昆同学用一张面积为的扇形薄纸板制作一个圆锥形圣诞帽．如果做成的圆锥形圣诞帽的底面半径为，则该圆锥形圣诞帽的母线长为 ． 15．用长为的铝合金制成如图所示的矩形窗框，则窗户的透光面积最大值为 ． 16．如图，已知为正六边形的内切圆，M，N是与的切点，连接，若，则五边形的周长为 ． .三、解答题 17．一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． (1)从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率． (2)先从中任意摸出1个球，再从余下的2个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表），求两次都摸到红球的概率． 18．解方程 (1)（配方法） (2) (3) 19．如图，在平面直角坐标系中，已知顶点为． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)把向右平移4个单位长度，得到，画出． (3)与关于某点成中心对称，则该对称中心的坐标为________． 20．如图，在中，，，，设P、Q分别为、上的动点，在点P自点A沿方向向点B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作速移动，它们移动的速度均为每秒，当点Q到达点C时，P点就停止运动．设P、Q移动时间为x秒． (1)设的面积为，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域． (2)是否存在点P，使成为等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 21．正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一，实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系． 小明进行了三次训练，令训练时实心球着地点到出手点的水平距离分别为、、，（即三次训练的掷球成绩），若三次训练实心球所到达的最大高度相同，请回答以下问题： (1)第一次训练时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 竖直高度 根据上述数据，则实心球到达最大高度是________； (2)第二次训练时，实心球的竖直高度与水平距离的函数图象的一部分如图所示，其中为第二次训练抛物线的顶点． ①结合图象及（1）中数据分析，直接判断，的大小关系________； ②求出抛物线的解析式； (3)令第三次训练实心球到达最高点时，它与出手点的水平距离为，且第三次成绩介于前两次之间，则的取值范围是________． 22．抛物线交轴于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标； (3)在抛物线对称轴上找一点，使以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标． 23．如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 24．综合与实践 某数学兴趣小组开展综合实践活动．如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的顶点在轴上，顶点在轴上，顶点在第一象限内，，，将矩形纸片折叠，使得点的对应点恰好在轴上，折痕为，过点作轴交于点，抛物线经过点，且抛物线的对称轴为轴． 初步感知 （1）的长为_____． （2）求折痕所在直线及抛物线的解析式． 延伸探究 （3）设抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点，在线段上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （4）设以点为圆心，为半径的圆与轴交于点，（在的上方），与抛物线除点外的交点为，请直接写出四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级期末数学培优卷 一、单选题 1．“明天温州市最高气温为25℃”这一事件是（    ） A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件 【答案】B 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，也属于不确定事件，熟练掌握是解题的关键． 该事件涉及天气预测，具有不确定性，可能发生也可能不发生，因此属于随机事件． 【详解】∵ 明天温州市最高气温可能为25℃，也可能不为25℃，该事件是否发生无法提前确定； ∴ 这一事件是随机事件． 故选：B． 2．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列式求解即可． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， ，， ． 故选 ：B． 3．一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了，根据以上情境，可列方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 起始有1人会做实验，第一轮教学后增加x人，第二轮教学后增加人，总人数为49，据此列方程即可． 【详解】解：∵起始会做实验的人数为1， 第一轮教学后，新学会的人数为x，此时总会做人数为， 第二轮教学后，新学会的人数为， ∴总会做人数为， 故选：D． 4．如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变换中的旋转问题，掌握旋转的性质和坐标系中线段中点坐标的求法是解题的关键． 根据题意可知点C是线段的中点，而线段中点的横坐标等于两端点横坐标之和再除以2，线段中点的纵坐标等于两端点纵坐标之和再除以2，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，三点共线，且，即点C是线段的中点， ，将和代入，得， 点的坐标为． 故选：A． 5．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质可得，由于，则． 【详解】解：根据题意得，四边形是的内接四边形，， 则 由于 则 故选：D． 6．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根的判别式，对k是否为零进行分类讨论及熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．需要讨论方程是否为二次方程，当时，方程变为一次方程，有实根；当时，利用判别式求范围． 【详解】解：∵ 方程有实数根， 当时，方程为， 解得，有实根； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∴ ，即； 综上，． 故选：A． 7．已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如下表： … … … … 则下列判断中正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．抛物线与y轴交于正半轴 C．对称轴是直线 D．当时的函数值比时的函数值大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据对称性求出对称轴，进而判断出开口方向和增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，随着值的增大而减小， ∴抛物线的开口方向向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时的函数值比时的函数值小， 当时，， ∴抛物线与y轴交于负半轴； 综上，只有选项C正确，符合题意； 故选C． 8．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点，， ∴根据对称性可知：抛物线的对称轴为直线，，故①正确； ∵， ∴，即，故②正确； 由图象可知：当时，或，故③错误； 当时，则有，当时，则有， ∴，故，故④错误； 当时，则有， ∴， ∵图象开口向上，即， ∴，故⑤错误； 综上所述：正确的结论有①②，共2个； 故选A． 9．如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了树状图或者列表法求概率．要使棋子回到点A处，前两次掷得的点数之和必须为4，8或12．因此，所求事件中可能出现的结果数应该等于两次掷得的点数之和为4的结果数+两次掷得的点数之和为8的结果数+两次掷得的点数之和为12的结果数． 【详解】解：随机地掷一枚质地均匀的骰子两次，所有可能出现的结果如下：       第二次 第一次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 总共有36种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为4，8或12． 两次掷得的点数之和4的结果有3种：，，； 两次掷得的点数之和为8的结果有5种：，，，，； 两次掷得的点数之和为12的结果有1种：， 所以，使棋子回到点A处的可能结果总共有（种）． 因此，棋子回到点A处的概率为． 故选：C． 10．若两个函数图象关于点P成中心对称，则称这两个函数关于点P互为“对称函数”．现作抛物线：关于上处的点的对称函数得到抛物线，再作关于上处的点的对称函数得到抛物线，再作关于上处的点的对称函数得到抛物线……以此类推，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查二次函数的性质，中心对称图形的性质，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 根据题意得出当时，，则对称中心为，的顶点坐标为，确定的顶点坐标为，得出：，依次类推，得到：，即可求解． 【详解】解：当时，，则对称中心为， 的顶点坐标为， ∵关于上处的点的对称函数得到抛物线， ∴的顶点坐标为， ∴：． 当时，， 则对称中心为， ∴的顶点坐标为， ∴：． 当时，， 则对称中心为， ∴的顶点坐标为， ∴：． ∴以此类推，得到： ∴：． 故选A． 二、填空题 11．如图，该图案绕它的中心至少旋转 后可以和自身完全重合． 【答案】60 【分析】本题考查了旋转角．解题的关键是熟练掌握旋转中心，旋转方向，旋转角．根据图形的旋转对称性，用除以6计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴旋转的角度是的整数倍， ∴旋转的角度至少是． 故答案为：60． 12．如图，在中，，，以点为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是 ． 【答案】点在内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，由题意并结合即可得解，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，以点为圆心，为半径画圆，且， ∴， ∴点与的位置关系是点在内， 故答案为：点在内． 13．某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了用频率估计概率以及概率的计算，解题的关键是分别计算不同正整数对应的概率，再与折线图中稳定的频率对比． 先确定从1到9中不同正整数的倍数个数，计算对应的概率，再结合折线图中频率稳定的范围（约0.33），找出最符合的． 【详解】解：从1到9的连续整数共有9个．根据“用频率估计概率”，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，折线图中事件发生的频率稳定在0.33左右，因此需计算不同正整数时，“选到的倍数”的概率： 若，到9中2的倍数有，共4个，概率为，与0.33不符． 若，到9中3的倍数有，共3个，概率为，与折线图中稳定的频率（约0.33）接近． 若，到9中4的倍数有，共2个，概率为，与0.33不符． 其他更大的（如），1到9中的倍数更少，概率更小，均不符合． 因此，正整数的值最可能是3． 故答案为：3． .14．小昆同学用一张面积为的扇形薄纸板制作一个圆锥形圣诞帽．如果做成的圆锥形圣诞帽的底面半径为，则该圆锥形圣诞帽的母线长为 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了圆锥的侧面积． 扇形面积等于圆锥的侧面积，利用圆锥侧面积公式，代入底面半径，求解母线长． 【详解】解：由圆锥的侧面积公式，其中，， 代入得： 两边除以： 解得： 故答案为：4． 15．用长为的铝合金制成如图所示的矩形窗框，则窗户的透光面积最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的应用以及矩形面积公式的计算，正确地列出函数关系式是解决问题的关键． 设窗的高度为，宽为，则根据矩形面积公式列出二次函数，求函数值的最大值即可． 【详解】解：设窗的高度为，宽为， 由矩形面积公式得：， ∵， ∴当时，最大值为． 故答案为：． 16．如图，已知为正六边形的内切圆，M，N是与的切点，连接，若，则五边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆与内切多边形，多边形的内角，等边三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，先推导出是等边三角形，得到，求出，得到，可推导出，，同理可得：，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵为正六边形的内切圆， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵M，N是与的切点， ∴，即 ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴五边形的周长为． 故答案为：． .三、解答题 17．一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． (1)从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率． (2)先从中任意摸出1个球，再从余下的2个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表），求两次都摸到红球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式计算概率，用列表法或树状图法求概率，熟记概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）用树状图求解即可． 【详解】（1）解：口袋中共有 3 个球，其中红球有 2 个， 所以，从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率． （2）画树状图： 所有可能的结果共有6种：(红球 1，红球 2)、(红球1，白球)、(红球 2，红球 1)、(红球 2，白球)、(白球，红球 1)、(球，红球 2) ，其中“两次都摸到红球“的结果有 2 种:(红球 1，红球 2)、(红球 2，红球 1)， 所以，（两次都摸到红球）． 18．解方程 (1)（配方法） (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）先移项，再利用平方差公式和提公因式法求解即可； （3）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解： ∴， 解得，； （2）解： ∴或， 解得，； （3）解： ∴， 解得，． 19．如图，在平面直角坐标系中，已知顶点为． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)把向右平移4个单位长度，得到，画出． (3)与关于某点成中心对称，则该对称中心的坐标为________． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3) 【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称、中心对称及平移的性质，熟练掌握点的坐标关于原点对称、中心对称及平移的性质是解题的关键； （1）分别得出点A、B、C关于原点对称的点，然后问题可求解； （2）根据平移方式可进行作图； （3）分别连接，然后根据坐标系可进行求解． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：所作如图所示； （3）解：分别连接，由坐标系可知：该对称中心的坐标为； 故答案为：． 20．如图，在中，，，，设P、Q分别为、上的动点，在点P自点A沿方向向点B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作速移动，它们移动的速度均为每秒，当点Q到达点C时，P点就停止运动．设P、Q移动时间为x秒． (1)设的面积为，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域． (2)是否存在点P，使成为等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】（1）由勾股定理可得，取的中点，连接，过点作于点，则，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，进而可得，由此可得为等边三角形，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由题意得，则，由含度角的直角三角形的性质可得，再结合，由三角形的面积公式可得，由此即可得出y关于x的函数解析式及函数的定义域； （2）由（1）得，，，，，，然后分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别列方程求解即可；综合以上，即可求出的值． 【详解】（1）解：在中，，，， 根据勾股定理可得： ， 如图，取的中点，连接，过点作于点， ， ，为的中点， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：存在，或或，理由如下： 由（1）得：，，，，， 分三种情况讨论： ①当时， 即：， 解得：； ②当时， 则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 解得：； ③当时， 如图，过点作于点， ， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， ； 综上，或或， 答：存在点P，使成为等腰三角形，此时或或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用（几何问题），含度角的直角三角形，三角形的面积公式，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，三角形外角的性质，三线合一，公式法解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 21．正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一，实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系． 小明进行了三次训练，令训练时实心球着地点到出手点的水平距离分别为、、，（即三次训练的掷球成绩），若三次训练实心球所到达的最大高度相同，请回答以下问题： (1)第一次训练时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 竖直高度 根据上述数据，则实心球到达最大高度是________； (2)第二次训练时，实心球的竖直高度与水平距离的函数图象的一部分如图所示，其中为第二次训练抛物线的顶点． ①结合图象及（1）中数据分析，直接判断，的大小关系________； ②求出抛物线的解析式； (3)令第三次训练实心球到达最高点时，它与出手点的水平距离为，且第三次成绩介于前两次之间，则的取值范围是________． 【答案】(1) (2)①；②第一次训练抛物线解析式为，第二次训练抛物线的解析式为： (3) 【分析】该题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据表格中的数据可知，和的纵坐标相同，得出对称轴直线：，则抛物线的顶点坐标为，即可求解； （2）设第一次训练抛物线的解析式可表示为：，当时，，即可求出函数解析式为，令，求出值即可解答；设第二次训练抛物线的解析式可表示为：，当时，，即可求出函数解析式为，令，求出值即可解答； 由①即可求解； （3）根据题意设第三次训练抛物线的解析式，根据当时，，求出，令，求出，得，根据第三次成绩介于前两次之间，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知，和的纵坐标相同， 对称轴直线：， 抛物线的顶点坐标为， 实心球到达最大高度是， 故答案为：； （2）解：①设第一次训练抛物线的解析式可表示为：， 当时，， ， 解得：， 函数解析式为， 令，则， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 实心球着地点的水平距离为米； 设第二次训练抛物线的解析式可表示为：， 当时，， ， 解得， 函数解析式为， 令，则， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 实心球着地点的水平距离为米； ； ②由①知第一次训练抛物线解析式为，第二次训练抛物线的解析式为：； （3）解：根据题意设第三次训练抛物线的解析式， 当时，， ， 解得：， ， 令，， 解得：，（舍去，不符合题意）， ， 第三次成绩介于前两次之间， ， ， 故答案为：． 22．抛物线交轴于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标； (3)在抛物线对称轴上找一点，使以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】本题考查了抛物线的解析式，根据动点求面积最值问题，坐标系中特殊三角形问题，把握二次函数相关的特征与性质，分析出面积与线段关系，并能够进行准确的计算是解题的关键． （1）将A、B两点的坐标代入解析式求解即可； （2）过点作轴交于点，先利用A、B两点的坐标求出直线的解析式，设，求得，列出与的函数关系式即可求解； （3）设点坐标为，根据两点距离公式可求得、、，再根据等腰三角形有两边相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图1，过点作轴交于点， 设直线的解析式为，将A、B两点的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积有最大值，， 此时； （3）∵ 抛物线的解析式为， ∴对称轴为， 设点坐标为， 由点，，可得： ，，， 当时，，解得：，，即点，， 当时，，解得：，即点，， 当时，，解得：，即点， 综上所述：点坐标为或或或或． 23．如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理： （1）连接，由，得到，结合，推出，再根据为的直径，得到，进而得到即，即可证明结论； （2）延长交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（2）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）证明：延长交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （3）解：由（2）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 24．综合与实践 某数学兴趣小组开展综合实践活动．如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的顶点在轴上，顶点在轴上，顶点在第一象限内，，，将矩形纸片折叠，使得点的对应点恰好在轴上，折痕为，过点作轴交于点，抛物线经过点，且抛物线的对称轴为轴． 初步感知 （1）的长为_____． （2）求折痕所在直线及抛物线的解析式． 延伸探究 （3）设抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点，在线段上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （4）设以点为圆心，为半径的圆与轴交于点，（在的上方），与抛物线除点外的交点为，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）3；（2）折痕所在直线的解析式为，抛物线的解析式为；（3）存在，或；（4）312 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得，，根据勾股定理得到，再利用线段的和差即可求解； （2）设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，求出的长，得到，结合，利用待定系数法求出折痕所在直线的解析式，进而得到，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （3）根据抛物线的性质得到，，设点的坐标为，利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答； （4）根据勾股定理得到，根据圆的半径相同得到，则有，，再根据圆和抛物线的对称性得到，再利用四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1）∵矩形纸片， ∴，，， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴， 故答案为：3； （2）设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 设折痕所在直线的解析式为， 代入和，得， 解得， ∴折痕所在直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵抛物线经过点，且抛物线的对称轴为轴， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴综上，折痕所在直线的解析式为，抛物线的解析式为； （3）对于抛物线， 令，则，解得，， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴设点的坐标为，其中， ∴， 解得，， ∴点的坐标为或； （4）∵， ∴， ∵以点为圆心，为半径的圆与轴交于点，（在的上方）， ∴， ∴，， ∴， ∵圆与抛物线除点外的交点为，且圆与抛物线都关于轴对称， ∴点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理与折叠问题、待定系数法求函数解析式、抛物线与坐标轴的交点、圆的基本性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $