第六章 几何图形初步 章节（21知识点回顾+54题型巩固）2025-2026学年人教版七年级数学上册同步讲义与测试

该初中数学讲义通过知识框架图与对比表格系统构建“几何图形初步”单元体系，梳理21个核心知识点，涵盖几何体分类、点线面体关系、线段与角的计算等，用表格明晰立体与平面图形区别、直线射线线段特征，突出空间观念培养。 讲义亮点在于54个分层题型设计，如正方体展开图识别、最短路径问题等，结合几何直观与推理意识，基础题巩固概念，综合题提升应用能力，助力学生分层进阶，教师可据此实施精准复习教学。

第六章 几何图形初步 章节（21知识点回顾+54题型巩固） 目录 知识梳理 1.几何图形与立体图形 2.平面图形 3.从不同方向看立体图形 4.立体图形的展开图 5.点、线、面、体 6.直线 7.射线 8.线段 9.线段的画法及长短比较 10.线段的基本事实 11.线段和、差的意义及作法 12.线段的中点、等分点、线段的倍、分的意 13.角的定义 14.角的表示方法 15.角的单位及换算 16.方位角 17.角的大小比较 18.角的和、差 19.角平分线 20.补角和余角 21.余角、补角的性质 题型巩固 一、常见的几何体 二、组合几何体的构成 三、立体图形的分类 四、几何体中的点、棱、面 五、从不同方向看几何体 六、几何体展开图的认识 七、由展开图计算几何体的表面积 八、由展开图计算几何体的体积 九、正方体几种展开图的识别 十、正方体相对两面上的字 十一、含图案的正方体的展开图 十二、求展开图上两点折叠后的距离 十三、补一个面使图形围成正方体 十四、平面图形形状的识别 十五、用七巧板拼图形 十六、点、线、面、体四者之间的关系 十七、平面图形旋转后所得的立体图形 十八、截一个几何体 十九、直线、射线、线段的联系与区别 二十、画出直线、射线、线段 二十一、点与线的位置关系 二十二、直线、线段、射线的数量问题 二十三、直线相交的交点个数问题 二十四、线段的应用 二十五、两点确定一条直线 二十六、作线段(尺规作图) 二十七、线段的和与差 二十八、线段中点的有关计算 二十九、线段n等分点的有关计算 三十、线段之间的数量关系 三十一、与线段有关的动点问题 三十二、两点之间线段最短 三十三、两点间的距离 三十四、最短路径问题 三十五、角的概念理解 三十六、角的表示方法 三十七、角的分类 三十八、画特殊角 三十九、钟面角 四十、方向角的表示 四十一、与方向角有关的计算题 四十二、角的单位与角度制 四十三、角的度数大小比较 四十四、角的比较 四十五、三角板中角度计算问题 四十六、几何图形中角度计算问题 四十七、角度的四则运算 四十八、实际问题中角度计算问题 四十九、角平分线的有关计算 五十、角n等分线的有关计算 五十一、求一个角的余角五十二、求一个角的补角 五十三、与余角、补角有关的计算 五十四、同(等)角的余(补)角相等的应用 知识梳理 知识点1.几何图形与立体图形 1. 几何图形 几何图形是从物体外形中得到的各种图形，分为立体图形和平面图形. 2. 立体图形二维 三维 有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形. 3. 常见的立体图形 名称 图例 特征 柱 体 圆柱 底面是圆； 侧面是曲面 两个底面互相平行 棱柱 底面是多边形； 侧面都是四边形 锥 体 圆锥 底面是圆； 侧面是曲面 只有一个顶点 棱锥 底面是多边形； 侧面都是三角形底面是几边形就是几棱锥 各侧面有一个公共顶点 名称 图例 特征 球 表面是曲面 知识点2.平面图形 1. 平面图形 有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形. 2. 平面图形与立体图形的区别与联系 平面图形 立体图形 区别 各部分都在同一平面内 各部分不都在同一平面内 联系 立体图形中的某些部分是平面图形，研究立体图形时，常把它转化为平面图形 3. 常见的平面图形(如图6 .1 -2) 知识点3.从不同方向看立体图形 1. 从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形，一般从三个方向看：从前面看，从左面看，从上面看. 2. 常见的立体图形从不同方向看到的平面图形 物体的摆放方式不同，从同一方向看该物体，得到的平面图形可能不同，也可能相同. 知识点4.立体图形的展开图 1. 立体图形的展开图 ：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图. 2. 常见立体图形的展开图 注意不要将圆画 在扇形的半径上 知识点5.点、线、面、体 1. 点、线、面、体的概念 体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体. 面：包围着体的是面. 面有平的面和曲的面两种. 线：面和面相交的地方形成线. 线有直线和曲线. 点：线和线相交的地方是点. 2. 点、线、面、体的关系 特别解读 “有”表 示 存在，“只有”表示唯一，即过两点一定能画出一条直线，且这样的直线唯一. 知识点6.直线 1. 认识直线 基本事实 经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简述为两点确定一条直线 表示方法 (1) 用直线上任意表示两个点的大写字母表示，如直线AB； (2) 用一个小写字母表示，如直线l 特征 (1)无端点；(2)向两边无限延伸；(3)不可度量 2. 点与直线的位置关系 图示 位置关系 (1)点在直线上(直线经过该点)，如左图点A 在直线l 上(直线l 经过点A)； (2)点在直线外(直线不经过该点)，如左图点B 在直线l 外(直线l 不经过点B) 3. 相交直线 (1)两条直线相交：当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点. 如图6 .2 -1①，可以说成直线a 与直线b 相交于点O. (2)两两相交：若平面内的任意一条直线都与其余直线相交，则称为两两相交，如图6.2-1②所示. 如图 6.2-1③所示的情形也称为两两相交，由此可知两两相交的直线的交点最少有1个. 知识点7.射线 1.认识射线 定义 直线上一点和它一旁的部分叫作射线，这一点叫作射线的端点 表示 (1)用射线的端点和射线上另外一点的两个大写字母表示(表示端点的字母必须写在前面)，如: 射线OA； (2)用一个小写字母表示，如: 射线l 特征 有一个端点，不可度量，可以向一个方向无限延伸 2. 射线的识别 端点情况 描述 图示 端点相同 端点相同，延伸方向也相同的射线是同一条射线，如射线OA，射线OB 表示同一条射线 端点相同，但延伸方向不同的射线不是同一条射线，如射线AO 与射线AB 不是同一条射线 端点不同 端点不同的射线一定不是同一条射线，如射线OA，射线AB 不是同一条射线 知识点8.线段 1. 认识线段 定义 直线上两点及两点间的部分叫作线段，这两个点叫作线段的端点 表示方法 (1) 用线段的两个端点的大写字母表示，如线段AB (2)用一个小写字母表示，如线段a 特征 (1)两个端点；(2)无方向；(3)有长短 2. 直线、射线、线段的区别与联系 直线 射线 线段 区别 图形 表示方法 直线AB 或直线BA 或直线l 射线OA 或射线l 线段AB 或线段BA 或线段a 端点个数 0 1 2 延伸情况 向两方无限延伸 向一方无限延伸 不能延伸 度量情况 不能度量 不能度量 能度量 联系 射线和线段都是直线的一部分；线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为直线；射线向反方向无限延伸就成为直线 3. 与线段有关的作图语言举例 (1)连接AB：画以A，B 为端点的线段； (2)延长线段AB：是指从端点A 到B 的方向延长； (3)反向延长线段AB：是指从端点A 到B 相反的方向延长，即延长线段BA. 知识点9.线段的画法及长短比较 1. 尺规作图 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 2. 画一条线段等于已知线段a (1)方法一(测量作图)：利用刻度尺先量出已知线段a 的长度，再画一条等于这个长度的线段. (2)方法二(尺规作图)：如图6.2 -12，用直尺画射线AC，再用圆规在射线AC 上截取AB=a (这就是“作一条线段等于已知线段”的尺规作图). 3.线段长短的比较方法 (1)观察法：通过直观的视觉观察，判断两条线段的长短.两条线段的长短相差很明显时，一般采用这种方法. (2)叠合法(形的比较)：把要比较的两条线段的一个端点重合，然后将两条线段在重合点的同侧叠合在一起，由另一个端点的位置关系可以得出两条线段的长短关系. 叠合法比较线段长短 图例 结论 AB<CD AB=CD AB>CD (3)度量法(数的比较)：用刻度尺测量出线段的长度(单位相同)，再根据长度的大小判断线段的长短关系 如图 6.2-13 所示，已知线段AB，CD，通过测量得AB=1.5 cm，CD=2 cm，可判定AB<CD. 知识点10.线段的基本事实 线段的基本事实 两点的距离 举例 两点的所有连线中，线段最短. 简单说成：两点之间，线段最短 定义 性质 在所有连接A，B 两点的线中，线段AB是最短的，线段AB 的长度就是点A 与点B 之间的距离 连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离 (1)存在性； (2)最短性； (3)唯一性 知识点11.线段和、差的意义及作法 如图6.2-19 ，已知线段a，b(且a>b). (1)线段的和：在直线l 上作线段AB=a，再在AB 的延长线上作线段BC=b，线段AC 就是a 与b 的和，记作AC=a＋b，如图6.2-20① . (2)线段的差：在直线l 上作线段AB=a，再在线段AB 上作线段BD=b，则线段AD 就是a 与b 的差，记作AD=a－b，如图6.2－20 ② . 知识点12.线段的中点、等分点、线段的倍、分的意义 1. 线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点，叫作线段的中点. 如图6.2－24 ，如果M 是线段AB 的中点，则有AM=BM=AB. 2. 等分点 (1)把一条线段分成三条相等的线段的点叫作线段的三等分点. 如图6.2-25，M，N 是线段AB 的三等分点，则有AM=MN=NB=AB. (2)把一条线段分成四条相等的线段的点叫作线段的四等分点. 如图6.2-26 ，M，N，P 是线段AB 的四等分点，则有AM=MN=NP=PB=AB . 3. 线段的倍、分的意义：“线段的倍”指的是一条线段的长度是另一条线段长度的几倍；“线段的分”指的是一条线段的长度是另一条线段长度的几分之几. 如图6.2-27所示，射线AE上有B，C，D三点，它们的长度关系是AB=BC=CD，则AC=2BC，AD=3AB，AB=AC，AB=AD，AC=AD. 知识点13.角的定义 1. 角的定义 定义 示例 组成元素 “静”态的观点 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角 这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的大小与所画边的长短无关 “动”态的观点 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 起始位置的边叫作角的始边，终止位置的边叫作角的终边 2. 平角与周角 射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形成的角叫作平角，如图6 .3－1；继续旋转，当OB 和OA 重合时，所形成的角叫作周角，如图6.3－2 .可逆时针，也可顺时针. 知识点14.角的表示方法 角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下几种 图例 记法 说明 用三个大写字母表示左图的角记作∠ AOC 字母 O 表示顶点，要写在中间，A，C 表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角(小于平角的角) 用一个大写字母表示左图的角记作∠O 当一个角的顶点处只有一个角时，可用这个顶点字母来表示这个角 用数字1，2，3，…表示，或用小写希腊字母α，β，…表示 ∠ AOB 可记作∠ 1，∠ BOC 可记作∠ 2， ∠ DOC 可记作∠α 要在靠近角的顶点处加上弧线，该表示法形象直观，只方便表示单独的角，不方便表示含有角的角 如∠AOC，∠BOD，∠AOD. 注意：1 . 角的符号应书写标准，“∠”不可与“<”混淆. 2 . 当以某一点为顶点的角有两个或两个以上时，其中任何一个角都不能只用一个顶点字母表示. 3.用数字或希腊字母表示单独角(顶点处必须画弧线，弧线不能跨越其他角的一边，并标上数字或希腊字母).如 ，这里不能用∠1表示∠AOB. 知识点15.角的单位及换算 1. 角的度量单位 度、分、秒是常用的角的度量单位. 把一个周角360 等分，每一份就是1 度的角，记作1°；把1 度的角60 等分，每一份叫作1 分的角，记作1 ′；把1 分的角60 等分，每一份叫作1 秒的角，记作1″. 2. 角的度量方法 使用量角器时，注意量角器的刻度的读数的旋转方向，即选择内刻度的读数还是外刻度的读数. 3. 角度制 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制.拓宽视野 其他度量角的单位制还有：弧度制、密位制等. 4. 角的换算 1 周角=360°，1 平角=180°， 1°=60′，1′=60″，1′=()°，1 ″ = ()′. 1°=60 ′ =3600 ″ ，1″= ()′= ()°. 5. 度和度、分、秒的相互转化方法 ①度化为度、分、秒的方法: 必须先把不足1 度的化为分，再把不足1 分的化为秒，也就是把角的度量单位由大化小的过程，每步要乘60′或6 0 ″ . ②度、分、秒化为度的方法: 必须先把秒化为分，然后加上原有的分，再化为度，也就是把角的度量单位由小化大的过程，每步要乘()′或()°. 知识点16.方位角 1. 定义 方向角就是用角度和方向表示方位的角. 在平面图上，方向规定为“上北，下南，左西，右东”. 2.方向角的形成 一般地，方向角是以第一个方向（正南或正北）为角的始边向第二个方向（正东或正西）转动所形成的角. 3.方向角的表示 方向角一般是指以正南或正北的方向为基准，再加上偏东或偏西的角度. 知识点17.角的大小比较 1. 度量法 用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 2. 叠合法 把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条边重合在一起，另一条边放在重合边的同一侧，再通过比较另一条边的位置来比较两个角的大小，如图4.5-1. 使用叠合法比较角的大小时要注意两点： (1) 重合，即顶点重合，一条边重合； (2) 同侧，即另一条边放在重合边的同一侧 . 知识点18.角的和、差 角的和与差 文字描述 数学语言 图示 角的和 ∠ AOC 是 ∠ AOB与∠ BOC 的和 ∠ AOC= ∠ AOB+ ∠ BOC 角的差 ∠ AOB 是 ∠ AOC 与∠ COB 的差 ∠ AOB= ∠ AOC－∠ COB 知识点19.角平分线 1. 角的平分线 在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线. 数学语言： 如图 4.5-5，若 OC 平分∠ AOB，则 ∠ AOC=∠ BOC= ∠ AOB 或 2 ∠ AOC=2 ∠ BOC= ∠ AOB；反之，若∠ AOC= ∠ BOC=∠ AOB 或 2 ∠ AOC=2 ∠ BOC= ∠ AOB，则 OC 平分∠ AOB. 2. 角的 n 等分线(拓展) 类似角的平分线，在角的内部，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角，这样的射线叫作角的n等分线，例如角的三等分线、四等分线等. 知识点20.补角和余角 1. 补角 如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角， 简称互补 . 数学语言： 如果∠ 3+ ∠ 4=180° ，就说∠ 3是∠ 4的补角，或∠ 4 是∠ 3 的补角， ∠ 3 与∠ 4 互为补角， 如图 4.5-8. 2. 余角  如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这 两个角互为余角，简称互余 . 数学语言： 如果∠ 1+∠ 2=90° ，就说∠ 1是∠ 2的余角，或∠ 2 是∠ 1 的余角， ∠ 1 与∠ 2 互为余角， 如图 4.5-9. 3. 互余、互补是指具有一定数量关系的两个角 . 知识点21.余角、补角的性质 1. 余角的性质  (1)同角的余角相等 .同一个角. 如果∠ 1+ ∠ 2=90° ， ∠ 1+ ∠ 3=90° ，那么∠ 2= ∠ 3.度数相等的角. (2) 等角的余角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=90° ， ∠ 3+ ∠ 4=90° ，且∠ 1= ∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4. 2. 补角的性质 (1) 同角的补角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=180° ， ∠ 1+ ∠ 3=180° ，那么 ∠ 2= ∠ 3. (2) 等角的补角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=180° ， ∠ 3+ ∠ 4=180° ，且∠ 1= ∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4. 题型巩固 题型一、常见的几何体 1．（25-26七年级上·河北衡水·期中）生活中的实物可以抽象出各种各样的几何图形，如图所示的蒙古包屋顶的形状类似于（   ） A．球 B．圆柱 C．棱锥 D．圆锥 题型二、组合几何体的构成 2．（2025·江苏南京·一模）玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ． 题型三、立体图形的分类 3．（25-26七年级上·山东青岛·期中）下列图形属于棱柱的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型四、几何体中的点、棱、面 4．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知一个直棱柱，它有个顶点，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． (1)这个直棱柱是_________棱柱，有_________个面，有_________条棱； (2)求这个直棱柱的所有侧面的面积之和； (3)通过对棱柱的了解，请写出n棱柱的顶点数及棱的条数． 题型五、从不同方向看几何体 5．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，是用个完全相同的棱长为的小正方体搭成的． (1)请在方格纸中分别画出它从正面看，从左面看，从上面看的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从上面看的形状图不变，最多可添加___________个小正方体． 题型六、几何体展开图的认识 6．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）小明在学习了“从立体图形到平面图形”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图1和图2．根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小明总共剪开了________条棱； (2)现在小明想将图2重新粘贴到图1中，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将图2粘贴到图1中的什么位置？请你帮助小明在图1上补全； (3)已知这个长方体纸盒的高为，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是，求这个长方体纸盒的体积． 题型七、由展开图计算几何体的表面积 7．（25-26七年级上·重庆·期中）如图，圆柱的底面直径为，高为．把这个圆柱的侧面沿高剪开后，得到的侧面展开图的面积是 （结果保留）． 题型八、由展开图计算几何体的体积 8．（2025七年级上·广东江门·专题练习）如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（    ） A．40 B．64 C．56 D．84 题型九、正方体几种展开图的识别 9．（25-26七年级上·广东深圳·期中）从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使得剩余的6个小正方形折叠后能围成一个正方体，在下列选项中，不能剪去的小正方形上的字是（   ） A．府 B．久 C．学 D．远 题型十、正方体相对两面上的字 10．（25-26七年级上·贵州贵阳·月考）《中国诗词大会》全新提炼十大主题热词：“欢喜、寻味、燃、寒暑、先生、本来、心动、天下、十年、远方”，绽放穿越寒冬的温暖诗意，讲述对新一年的美好期待与展望小铭选取“欢喜、寻味、本来”三个主题词，写在一个正方体上，使得每个面上都有一个汉字，根据图中该正方体在三种状态所显示的汉字，可推出图中“？”的汉字是 ． 题型十一、含图案的正方体的展开图 11．（25-26七年级上·广东深圳·期中）下列哪一个展开图折叠起来可以形成图中的立方体?（   ） A． B． C． D． 题型十二、求展开图上两点折叠后的距离 12．（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为 ． 题型十三、补一个面使图形围成正方体 13．如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 ． 题型十四、平面图形形状的识别 14．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是 ． 题型十五、用七巧板拼图形 15．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）将一副七巧板拼成如图“小鸟”的图案，则（    ） A． B． C． D． 题型十六、点、线、面、体四者之间的关系 16．（25-26七年级上·广东深圳·期中）学府中学第23届运动会入场仪式上，七（8）班在入场仪式上，用光电效应设计了一幅徐徐展开的同学们刻苦训练的动人画卷，这个展开过程用数学知识解释为 ． 题型十七、平面图形旋转后所得的立体图形 17．（25-26七年级上·四川·期中）如图，已知长方形的长为，宽为，以边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形名称为_________． (2)求此立体图形的体积．（结果保留 ） 题型十八、截一个几何体 18．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，往一个有盖的长方体水杯中持续注入一些水，注水的过程中，可盖上盖子将水杯任意放置，水平面形状不可能是（   ） A．七边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 题型十九、直线、射线、线段的联系与区别 19．（25-26七年级上·福建厦门·月考）下列说法正确的是（    ） A．延长直线 B．延长线段和延长线段的含义相同 C．直线和直线是同一条直线 D．射线和射线是同一条射线 题型二十、画出直线、射线、线段 20．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图，已知平面上四个点．按下列要求画图（不写画法）． (1)； (2)过点作直线； (3)作射线，交于点； 题型二十一、点与线的位置关系 21．（2025·河北廊坊·一模）如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 题型二十二、直线、线段、射线的数量问题 22．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，点A、B、C是直线上的三个点，则图中共有线段、射线条数分别是（   ）    A．2，3 B．3，3 C．3，6 D．2，6 题型二十三、直线相交的交点个数问题 23．（23-24七年级上·江苏南通·期末）【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 题型二十四、线段的应用 24．（2024七年级上·山东·专题练习）如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有 个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 题型二十五、两点确定一条直线 25．（25-26七年级上·河北衡水·期中）2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，盛大阅兵仪式在天安门广场举行，受阅部队的口令“向右看齐”应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．点动成线，线动成面 D．两点之间线段最短 题型二十六、作线段(尺规作图) 26．（24-25七年级上·甘肃白银·月考）已知线段，，用尺规作一条线段，使得； 题型二十七、线段的和与差 27．（25-26七年级上·河北衡水·期中）竹竿作为一种常见的天然植物材料，具有多种作用和功效，如图，将一根竹竿从处分成两部分，截断后的各段竹竿中有一段长为，若，则这根竹竿的原长为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型二十八、线段中点的有关计算 28．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，已知线段，延长到点，使得，反向延长到点，使，点为的中点． (1)求线段的长及线段的长； (2)若为线段上一点，且，求的长． 题型二十九、线段n等分点的有关计算 29．（23-24七年级上·四川绵阳·阶段练习）已知M为线段的三等分点，且，则线段的长为 ． 题型三十、线段之间的数量关系 30．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，C是线段AB上一点，D是线段AC的中点，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型三十一、与线段有关的动点问题 31．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）知识准备： 如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟． 解决问题： 如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动． （1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度． （2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．    题型三十二、两点之间线段最短 32．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）交通部门把A，B两地之间的一段弯曲的公路改成直道后，缩短了A，B两地之间的路程，这是因为 ． 题型三十三、两点间的距离 33．（24-25七年级上·山东青岛·月考）如果A，B，C在同一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离是 ． 题型三十四、最短路径问题 34．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是 （填序号）． 题型三十五、角的概念理解 35．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，给出下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和不是同一个角．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三十六、角的表示方法 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，有下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和是同一个角．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三十七、角的分类 37．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列四个角中，是直角的是（   ） A． B． C． D． 题型三十八、画特殊角 38．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）已知（如图），用量角器求作一个角，使它等于已知角α． 题型三十九、钟面角 39．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）钟表上的时间显示为，此时时针和分针之间形成的角（小于平角）的度数为（    ） A． B． C． D． 题型四十、方向角的表示 40．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）地是海上观测站，从地发现两艘船，的方位如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．船在的南偏东方向 B．船在的南偏西方向 C．船在的北偏东方向 D．船在的北偏东方向 题型四十一、与方向角有关的计算题 41．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，小杰家位于点处，小杰从家向北偏东方向行走500米到达学校处，从学校向正东前进200米到达少年宫处（没有道路），已知少年宫在小杰家东偏北方向． (1)小杰家在少年宫的什么方向？ (2)小杰从少年宫怎样原路返回到家呢？ 题型四十二、角的单位与角度制 42．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）把化成用度表示的角； （2）把化成用度、分、秒表示的角． 题型四十三、角的度数大小比较 43．（2025·河北唐山·一模）如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（　　） A． B．没有量角器，无法确定 C． D． 题型四十四、角的比较 44．（24-25七年级上·广东深圳·期末）下列方法能判断的是（    ） A． B． C． D． 题型四十五、三角板中角度计算问题 45．（25-26七年级上·广东佛山·期中）一副含及的三角板拼成如图所示的图案，点B、C、D在同一直线上，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型四十六、几何图形中角度计算问题 46．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）已知，°，，那么（       ） A．射线在内 B．射线在外 C．射线与射线重合 D．射线与射线重合 题型四十七、角度的四则运算 47．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：① ；② ． 题型四十八、实际问题中角度计算问题 48．钟面上3点20分时，时针与分针的夹角度数是 ． 题型四十九、角平分线的有关计算 49．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，，是内部的一条射线，，分别是，的平分线． (1)若，求的度数； (2)小明通过作图观察发现，无论锐角的大小如何，的度数始终为的一半．他的结论是否正确？请判断，并说明理由． 题型五十、角n等分线的有关计算 50．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 题型五十一、求一个角的余角 51．（25-26七年级上·河南周口·期中）已知，则的余角等于（     ） A． B． C． D． 题型五十二、求一个角的补角 52．（25-26七年级上·河北唐山·期中）若，则的补角的度数为 ． 题型五十三、与余角、补角有关的计算 53．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，和分别是的余角和补角，且射线是的平分线．求的度数． 题型五十四、同(等)角的余(补)角相等的应用 54．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，是平角． (1)若，则的度数为________ (2)在（1）的条件下，请你求出的补角的度数． (3)若OB平分，求出的余角的度数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步 章节（21知识点回顾+54题型巩固） 目录 知识梳理 1.几何图形与立体图形 2.平面图形 3.从不同方向看立体图形 4.立体图形的展开图 5.点、线、面、体 6.直线 7.射线 8.线段 9.线段的画法及长短比较 10.线段的基本事实 11.线段和、差的意义及作法 12.线段的中点、等分点、线段的倍、分的意 13.角的定义 14.角的表示方法 15.角的单位及换算 16.方位角 17.角的大小比较 18.角的和、差 19.角平分线 20.补角和余角 21.余角、补角的性质 题型巩固 一、常见的几何体 二、组合几何体的构成 三、立体图形的分类 四、几何体中的点、棱、面 五、从不同方向看几何体 六、几何体展开图的认识 七、由展开图计算几何体的表面积 八、由展开图计算几何体的体积 九、正方体几种展开图的识别 十、正方体相对两面上的字 十一、含图案的正方体的展开图 十二、求展开图上两点折叠后的距离 十三、补一个面使图形围成正方体 十四、平面图形形状的识别 十五、用七巧板拼图形 十六、点、线、面、体四者之间的关系 十七、平面图形旋转后所得的立体图形 十八、截一个几何体 十九、直线、射线、线段的联系与区别 二十、画出直线、射线、线段 二十一、点与线的位置关系 二十二、直线、线段、射线的数量问题 二十三、直线相交的交点个数问题 二十四、线段的应用 二十五、两点确定一条直线 二十六、作线段(尺规作图) 二十七、线段的和与差 二十八、线段中点的有关计算 二十九、线段n等分点的有关计算 三十、线段之间的数量关系 三十一、与线段有关的动点问题 三十二、两点之间线段最短 三十三、两点间的距离 三十四、最短路径问题 三十五、角的概念理解 三十六、角的表示方法 三十七、角的分类 三十八、画特殊角 三十九、钟面角 四十、方向角的表示 四十一、与方向角有关的计算题 四十二、角的单位与角度制 四十三、角的度数大小比较 四十四、角的比较 四十五、三角板中角度计算问题 四十六、几何图形中角度计算问题 四十七、角度的四则运算 四十八、实际问题中角度计算问题 四十九、角平分线的有关计算 五十、角n等分线的有关计算 五十一、求一个角的余角五十二、求一个角的补角 五十三、与余角、补角有关的计算 五十四、同(等)角的余(补)角相等的应用 知识梳理 知识点1.几何图形与立体图形 1. 几何图形 几何图形是从物体外形中得到的各种图形，分为立体图形和平面图形. 2. 立体图形二维 三维 有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形. 3. 常见的立体图形 名称 图例 特征 柱 体 圆柱 底面是圆； 侧面是曲面 两个底面互相平行 棱柱 底面是多边形； 侧面都是四边形 锥 体 圆锥 底面是圆； 侧面是曲面 只有一个顶点 棱锥 底面是多边形； 侧面都是三角形底面是几边形就是几棱锥 各侧面有一个公共顶点 名称 图例 特征 球 表面是曲面 知识点2.平面图形 1. 平面图形 有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形. 2. 平面图形与立体图形的区别与联系 平面图形 立体图形 区别 各部分都在同一平面内 各部分不都在同一平面内 联系 立体图形中的某些部分是平面图形，研究立体图形时，常把它转化为平面图形 3. 常见的平面图形(如图6 .1 -2) 知识点3.从不同方向看立体图形 1. 从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形，一般从三个方向看：从前面看，从左面看，从上面看. 2. 常见的立体图形从不同方向看到的平面图形 物体的摆放方式不同，从同一方向看该物体，得到的平面图形可能不同，也可能相同. 知识点4.立体图形的展开图 1. 立体图形的展开图 ：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图. 2. 常见立体图形的展开图 注意不要将圆画 在扇形的半径上 知识点5.点、线、面、体 1. 点、线、面、体的概念 体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体. 面：包围着体的是面. 面有平的面和曲的面两种. 线：面和面相交的地方形成线. 线有直线和曲线. 点：线和线相交的地方是点. 2. 点、线、面、体的关系 特别解读 “有”表 示 存在，“只有”表示唯一，即过两点一定能画出一条直线，且这样的直线唯一. 知识点6.直线 1. 认识直线 基本事实 经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简述为两点确定一条直线 表示方法 (1) 用直线上任意表示两个点的大写字母表示，如直线AB； (2) 用一个小写字母表示，如直线l 特征 (1)无端点；(2)向两边无限延伸；(3)不可度量 2. 点与直线的位置关系 图示 位置关系 (1)点在直线上(直线经过该点)，如左图点A 在直线l 上(直线l 经过点A)； (2)点在直线外(直线不经过该点)，如左图点B 在直线l 外(直线l 不经过点B) 3. 相交直线 (1)两条直线相交：当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点. 如图6 .2 -1①，可以说成直线a 与直线b 相交于点O. (2)两两相交：若平面内的任意一条直线都与其余直线相交，则称为两两相交，如图6.2-1②所示. 如图 6.2-1③所示的情形也称为两两相交，由此可知两两相交的直线的交点最少有1个. 知识点7.射线 1.认识射线 定义 直线上一点和它一旁的部分叫作射线，这一点叫作射线的端点 表示 (1)用射线的端点和射线上另外一点的两个大写字母表示(表示端点的字母必须写在前面)，如: 射线OA； (2)用一个小写字母表示，如: 射线l 特征 有一个端点，不可度量，可以向一个方向无限延伸 2. 射线的识别 端点情况 描述 图示 端点相同 端点相同，延伸方向也相同的射线是同一条射线，如射线OA，射线OB 表示同一条射线 端点相同，但延伸方向不同的射线不是同一条射线，如射线AO 与射线AB 不是同一条射线 端点不同 端点不同的射线一定不是同一条射线，如射线OA，射线AB 不是同一条射线 知识点8.线段 1. 认识线段 定义 直线上两点及两点间的部分叫作线段，这两个点叫作线段的端点 表示方法 (1) 用线段的两个端点的大写字母表示，如线段AB (2)用一个小写字母表示，如线段a 特征 (1)两个端点；(2)无方向；(3)有长短 2. 直线、射线、线段的区别与联系 直线 射线 线段 区别 图形 表示方法 直线AB 或直线BA 或直线l 射线OA 或射线l 线段AB 或线段BA 或线段a 端点个数 0 1 2 延伸情况 向两方无限延伸 向一方无限延伸 不能延伸 度量情况 不能度量 不能度量 能度量 联系 射线和线段都是直线的一部分；线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为直线；射线向反方向无限延伸就成为直线 3. 与线段有关的作图语言举例 (1)连接AB：画以A，B 为端点的线段； (2)延长线段AB：是指从端点A 到B 的方向延长； (3)反向延长线段AB：是指从端点A 到B 相反的方向延长，即延长线段BA. 知识点9.线段的画法及长短比较 1. 尺规作图 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 2. 画一条线段等于已知线段a (1)方法一(测量作图)：利用刻度尺先量出已知线段a 的长度，再画一条等于这个长度的线段. (2)方法二(尺规作图)：如图6.2 -12，用直尺画射线AC，再用圆规在射线AC 上截取AB=a (这就是“作一条线段等于已知线段”的尺规作图). 3.线段长短的比较方法 (1)观察法：通过直观的视觉观察，判断两条线段的长短.两条线段的长短相差很明显时，一般采用这种方法. (2)叠合法(形的比较)：把要比较的两条线段的一个端点重合，然后将两条线段在重合点的同侧叠合在一起，由另一个端点的位置关系可以得出两条线段的长短关系. 叠合法比较线段长短 图例 结论 AB<CD AB=CD AB>CD (3)度量法(数的比较)：用刻度尺测量出线段的长度(单位相同)，再根据长度的大小判断线段的长短关系 如图 6.2-13 所示，已知线段AB，CD，通过测量得AB=1.5 cm，CD=2 cm，可判定AB<CD. 知识点10.线段的基本事实 线段的基本事实 两点的距离 举例 两点的所有连线中，线段最短. 简单说成：两点之间，线段最短 定义 性质 在所有连接A，B 两点的线中，线段AB是最短的，线段AB 的长度就是点A 与点B 之间的距离 连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离 (1)存在性； (2)最短性； (3)唯一性 知识点11.线段和、差的意义及作法 如图6.2-19 ，已知线段a，b(且a>b). (1)线段的和：在直线l 上作线段AB=a，再在AB 的延长线上作线段BC=b，线段AC 就是a 与b 的和，记作AC=a＋b，如图6.2-20① . (2)线段的差：在直线l 上作线段AB=a，再在线段AB 上作线段BD=b，则线段AD 就是a 与b 的差，记作AD=a－b，如图6.2－20 ② . 知识点12.线段的中点、等分点、线段的倍、分的意义 1. 线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点，叫作线段的中点. 如图6.2－24 ，如果M 是线段AB 的中点，则有AM=BM=AB. 2. 等分点 (1)把一条线段分成三条相等的线段的点叫作线段的三等分点. 如图6.2-25，M，N 是线段AB 的三等分点，则有AM=MN=NB=AB. (2)把一条线段分成四条相等的线段的点叫作线段的四等分点. 如图6.2-26 ，M，N，P 是线段AB 的四等分点，则有AM=MN=NP=PB=AB . 3. 线段的倍、分的意义：“线段的倍”指的是一条线段的长度是另一条线段长度的几倍；“线段的分”指的是一条线段的长度是另一条线段长度的几分之几. 如图6.2-27所示，射线AE上有B，C，D三点，它们的长度关系是AB=BC=CD，则AC=2BC，AD=3AB，AB=AC，AB=AD，AC=AD. 知识点13.角的定义 1. 角的定义 定义 示例 组成元素 “静”态的观点 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角 这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的大小与所画边的长短无关 “动”态的观点 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 起始位置的边叫作角的始边，终止位置的边叫作角的终边 2. 平角与周角 射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形成的角叫作平角，如图6 .3－1；继续旋转，当OB 和OA 重合时，所形成的角叫作周角，如图6.3－2 .可逆时针，也可顺时针. 知识点14.角的表示方法 角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下几种 图例 记法 说明 用三个大写字母表示左图的角记作∠ AOC 字母 O 表示顶点，要写在中间，A，C 表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角(小于平角的角) 用一个大写字母表示左图的角记作∠O 当一个角的顶点处只有一个角时，可用这个顶点字母来表示这个角 用数字1，2，3，…表示，或用小写希腊字母α，β，…表示 ∠ AOB 可记作∠ 1，∠ BOC 可记作∠ 2， ∠ DOC 可记作∠α 要在靠近角的顶点处加上弧线，该表示法形象直观，只方便表示单独的角，不方便表示含有角的角 如∠AOC，∠BOD，∠AOD. 注意：1 . 角的符号应书写标准，“∠”不可与“<”混淆. 2 . 当以某一点为顶点的角有两个或两个以上时，其中任何一个角都不能只用一个顶点字母表示. 3.用数字或希腊字母表示单独角(顶点处必须画弧线，弧线不能跨越其他角的一边，并标上数字或希腊字母).如 ，这里不能用∠1表示∠AOB. 知识点15.角的单位及换算 1. 角的度量单位 度、分、秒是常用的角的度量单位. 把一个周角360 等分，每一份就是1 度的角，记作1°；把1 度的角60 等分，每一份叫作1 分的角，记作1 ′；把1 分的角60 等分，每一份叫作1 秒的角，记作1″. 2. 角的度量方法 使用量角器时，注意量角器的刻度的读数的旋转方向，即选择内刻度的读数还是外刻度的读数. 3. 角度制 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制.拓宽视野 其他度量角的单位制还有：弧度制、密位制等. 4. 角的换算 1 周角=360°，1 平角=180°， 1°=60′，1′=60″，1′=()°，1 ″ = ()′. 1°=60 ′ =3600 ″ ，1″= ()′= ()°. 5. 度和度、分、秒的相互转化方法 ①度化为度、分、秒的方法: 必须先把不足1 度的化为分，再把不足1 分的化为秒，也就是把角的度量单位由大化小的过程，每步要乘60′或6 0 ″ . ②度、分、秒化为度的方法: 必须先把秒化为分，然后加上原有的分，再化为度，也就是把角的度量单位由小化大的过程，每步要乘()′或()°. 知识点16.方位角 1. 定义 方向角就是用角度和方向表示方位的角. 在平面图上，方向规定为“上北，下南，左西，右东”. 2.方向角的形成 一般地，方向角是以第一个方向（正南或正北）为角的始边向第二个方向（正东或正西）转动所形成的角. 3.方向角的表示 方向角一般是指以正南或正北的方向为基准，再加上偏东或偏西的角度. 知识点17.角的大小比较 1. 度量法 用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 2. 叠合法 把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条边重合在一起，另一条边放在重合边的同一侧，再通过比较另一条边的位置来比较两个角的大小，如图4.5-1. 使用叠合法比较角的大小时要注意两点： (1) 重合，即顶点重合，一条边重合； (2) 同侧，即另一条边放在重合边的同一侧 . 知识点18.角的和、差 角的和与差 文字描述 数学语言 图示 角的和 ∠ AOC 是 ∠ AOB与∠ BOC 的和 ∠ AOC= ∠ AOB+ ∠ BOC 角的差 ∠ AOB 是 ∠ AOC 与∠ COB 的差 ∠ AOB= ∠ AOC－∠ COB 知识点19.角平分线 1. 角的平分线 在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线. 数学语言： 如图 4.5-5，若 OC 平分∠ AOB，则 ∠ AOC=∠ BOC= ∠ AOB 或 2 ∠ AOC=2 ∠ BOC= ∠ AOB；反之，若∠ AOC= ∠ BOC=∠ AOB 或 2 ∠ AOC=2 ∠ BOC= ∠ AOB，则 OC 平分∠ AOB. 2. 角的 n 等分线(拓展) 类似角的平分线，在角的内部，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角，这样的射线叫作角的n等分线，例如角的三等分线、四等分线等. 知识点20.补角和余角 1. 补角 如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角， 简称互补 . 数学语言： 如果∠ 3+ ∠ 4=180° ，就说∠ 3是∠ 4的补角，或∠ 4 是∠ 3 的补角， ∠ 3 与∠ 4 互为补角， 如图 4.5-8. 2. 余角  如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这 两个角互为余角，简称互余 . 数学语言： 如果∠ 1+∠ 2=90° ，就说∠ 1是∠ 2的余角，或∠ 2 是∠ 1 的余角， ∠ 1 与∠ 2 互为余角， 如图 4.5-9. 3. 互余、互补是指具有一定数量关系的两个角 . 知识点21.余角、补角的性质 1. 余角的性质  (1)同角的余角相等 .同一个角. 如果∠ 1+ ∠ 2=90° ， ∠ 1+ ∠ 3=90° ，那么∠ 2= ∠ 3.度数相等的角. (2) 等角的余角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=90° ， ∠ 3+ ∠ 4=90° ，且∠ 1= ∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4. 2. 补角的性质 (1) 同角的补角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=180° ， ∠ 1+ ∠ 3=180° ，那么 ∠ 2= ∠ 3. (2) 等角的补角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=180° ， ∠ 3+ ∠ 4=180° ，且∠ 1= ∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4. 题型巩固 题型一、常见的几何体 1．（25-26七年级上·河北衡水·期中）生活中的实物可以抽象出各种各样的几何图形，如图所示的蒙古包屋顶的形状类似于（   ） A．球 B．圆柱 C．棱锥 D．圆锥 【答案】D 【知识点】常见的几何体 【分析】此题主要考查了认识立体图形，关键是结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等． 根据图形直接得到答案． 【详解】解：如图所示的蒙古包屋顶的形状类似于圆锥． 故选：D． 题型二、组合几何体的构成 2．（2025·江苏南京·一模）玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ． 【答案】 【知识点】组合几何体的构成 【分析】本题考查组合体的体积，将图中组合体分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱，再根据圆柱的体积公式即可求解． 【详解】解：如图，将水的体积分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱， 上半部分的体积为：， 下半部分的体积为：， 故杯中水的体积为：， 故答案为：． 题型三、立体图形的分类 3．（25-26七年级上·山东青岛·期中）下列图形属于棱柱的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】立体图形的分类 【分析】本题考查棱柱，掌握相关知识是解决问题的关键．棱柱有两个互相平行且全等的多边形底面，侧面为四边形且相邻边平行，侧棱平行且相等，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据棱柱的定义第一个图形是四棱柱， 第四个图形是三棱柱， 第五个图形是五棱柱， 而第二个图形是圆柱，第三个图形是圆锥， ∴共有3个棱柱． 故选：B． 题型四、几何体中的点、棱、面 4．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知一个直棱柱，它有个顶点，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． (1)这个直棱柱是_________棱柱，有_________个面，有_________条棱； (2)求这个直棱柱的所有侧面的面积之和； (3)通过对棱柱的了解，请写出n棱柱的顶点数及棱的条数． 【答案】(1)八，10，24； (2) (3)n棱柱共有个顶点，共有条棱 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握棱柱有个顶点，有个面，有条棱． （1）由棱柱有个顶点，有个面，条棱求解可得； （2）由八棱柱有个侧面求解可得； （3）由棱柱有个顶点，有个面，条棱求解可得答案． 【详解】（1）解：因为此直棱柱有个顶点， 所以由知，此棱柱是八棱柱，有个面，有条棱；． （2）八棱柱的所有侧面的面积之和是：； （3）n棱柱共有个顶点，共有条棱． 题型五、从不同方向看几何体 5．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，是用个完全相同的棱长为的小正方体搭成的． (1)请在方格纸中分别画出它从正面看，从左面看，从上面看的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从上面看的形状图不变，最多可添加___________个小正方体． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看几何图形，正确识图是解题的关键． （）根据从正面看、左面看和上面看到的图形画图即可； （）根据从正面看和从上面看的形状图解答即可求解； 【详解】（1）解：画图如下： （2）解：由图可知，在左边第列第一排和第三排各添加一个小正方体，可保持从正面看和从上面看的形状图不变， ∴最多可添加个小正方体， 故答案为：． 题型六、几何体展开图的认识 6．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）小明在学习了“从立体图形到平面图形”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图1和图2．根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小明总共剪开了________条棱； (2)现在小明想将图2重新粘贴到图1中，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将图2粘贴到图1中的什么位置？请你帮助小明在图1上补全； (3)已知这个长方体纸盒的高为，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是，求这个长方体纸盒的体积． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)这个长方体纸盒的体积为立方厘米 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）根据长方体总共有12条棱，有4条棱未剪开，即可得出剪开的棱的条数； （2）根据长方体的展开图的情况可知有4种情况； （3）设底面边长为，根据棱长的和是，列出方程可求出底面边长，进而得到长方体纸盒的体积． 【详解】（1）解：由图可得，小明共剪开了8条棱， 故答案为：8； （2）解：如图，粘贴的位置有四种情况如下： （3）解：∵长方体纸盒的底面是一个正方形， ∴可设底面边长， ∵长方体纸盒所有棱长的和是，长方体纸盒高为， ∴， 解得， ∴这个长方体纸盒的体积为：立方厘米． 题型七、由展开图计算几何体的表面积 7．（25-26七年级上·重庆·期中）如图，圆柱的底面直径为，高为．把这个圆柱的侧面沿高剪开后，得到的侧面展开图的面积是 （结果保留）． 【答案】 【知识点】由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图的面积，掌握“圆柱侧面积底面周长高”是解题的关键． 根据“圆柱侧面积底面周长高”即可求解． 【详解】解：由题意得，侧面展开图的面积为． 故答案为：． 题型八、由展开图计算几何体的体积 8．（2025七年级上·广东江门·专题练习）如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（    ） A．40 B．64 C．56 D．84 【答案】B 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查了长方体的展开图，由图形可得，长方体的高是2，宽是，长是，再由长方体的容积公式计算即可得解，正确得出长方体的长、宽、高是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，长方体的高是2，宽是，长是， 故长方体的容积为：， 故选：B． 题型九、正方体几种展开图的识别 9．（25-26七年级上·广东深圳·期中）从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使得剩余的6个小正方形折叠后能围成一个正方体，在下列选项中，不能剪去的小正方形上的字是（   ） A．府 B．久 C．学 D．远 【答案】C 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题主要考查正方体的侧面展开图，熟练掌握正方体的侧面展开图是解题的关键．根据正方体的侧面展开图可进行求解． 【详解】解：由题意可知不能剪去的小正方形上的字是“学”， 故选：C． 题型十、正方体相对两面上的字 10．（25-26七年级上·贵州贵阳·月考）《中国诗词大会》全新提炼十大主题热词：“欢喜、寻味、燃、寒暑、先生、本来、心动、天下、十年、远方”，绽放穿越寒冬的温暖诗意，讲述对新一年的美好期待与展望小铭选取“欢喜、寻味、本来”三个主题词，写在一个正方体上，使得每个面上都有一个汉字，根据图中该正方体在三种状态所显示的汉字，可推出图中“？”的汉字是 ． 【答案】味 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查学生的空间想象能力和推理能力，通过三个正方体中能看到的数字推出三组相对的数字是完成本题的关键．根据题干三个图判断出寻的相对面是来，喜的相对面是本，欢的相对面是味，即可作答． 【详解】解：由题干三个图可知，寻的邻面是欢，喜，本；喜的邻面是欢，寻；欢的邻面是本，来，寻， ∵“欢喜、寻味、本来”三个主题词，写在一个正方体上，使得每个面上都有一个汉字， 故寻的相对面是来，喜的相对面是本，欢的相对面是味 ∴既与寻，又与本的邻面是味， 故答案为：味． 题型十一、含图案的正方体的展开图 11．（25-26七年级上·广东深圳·期中）下列哪一个展开图折叠起来可以形成图中的立方体?（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题考查立体几何的展开图，解题的关键在于把握立方体展开图中相邻面与相对面的位置逻辑，通过逐一验证选项中各面的相邻关系，确定符合目标立方体结构的展开图． 【详解】解：A．选项A中展开图折叠后可以形成所给的几何体，因此选项A符合题意； B．根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可知，选项B中的图形不是正方体的表面展开图，因此选项B不符合题意； C．选项C中的展开图折叠后虽然能折叠成正方体，但“红桃的尖”所对的面不是“深”而是“您”，因此选项C不符合题意； D．选项D中的展开图折叠后虽然能折叠成正方体，但“红桃的尖”所对的面不是“深”而是“圳”，因此选项D不符合题意； 故选：A． 题型十二、求展开图上两点折叠后的距离 12．（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为 ． 【答案】3 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】将正方体的展开图叠成一个正方体，A、B刚好是同一个面的对角线，于是可以求出结果． 【详解】将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为两倍对角线为6，那么对角线的长度就是， 即正方体上两点间的距离为：3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开与折叠，将正方体的展开图正确折叠是解题的关键，难点在于确定A、B两点折叠后的位置． 题型十三、补一个面使图形围成正方体 13．如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 ． 【答案】A 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题． 【详解】解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 题型十四、平面图形形状的识别 14．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是 ． 【答案】3或4或5 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题考查基本几何图形，分三种情况，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图，分三种情况： 第一种情况剩下的角的个数是3个，第二种情况剩下的角的个数是4个，第三种情况剩下的角的个数是5个， 故答案为：3或4或5． 题型十五、用七巧板拼图形 15．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）将一副七巧板拼成如图“小鸟”的图案，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题主要考查角的运算 ，根据图形得到，再根据计算即可． 【详解】解：如图， ， ∴， 故选：C． 题型十六、点、线、面、体四者之间的关系 16．（25-26七年级上·广东深圳·期中）学府中学第23届运动会入场仪式上，七（8）班在入场仪式上，用光电效应设计了一幅徐徐展开的同学们刻苦训练的动人画卷，这个展开过程用数学知识解释为 ． 【答案】线动成面 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查点、线、面、体之间的关系，解题的关键是理解“线动成面”的几何原理． 分析画卷展开过程中图形的运动形式，对应“线动成面”的几何概念． 【详解】解：画卷展开时，可看作一条线（画卷的边缘）沿着一定方向移动， 因为线的移动会形成面，这种几何变换称为“线动成面”， 所以这个展开过程用数学知识解释为线动成面． 故答案为：线动成面． 题型十七、平面图形旋转后所得的立体图形 17．（25-26七年级上·四川·期中）如图，已知长方形的长为，宽为，以边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形名称为_________． (2)求此立体图形的体积．（结果保留 ） 【答案】(1)圆柱 (2)旋转之后的立体图形体积为． 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查的是点、线、面、体，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键． （1）根据面动成体解答即可； （2）根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，得到的立体图形的名称是圆柱． 故答案为：圆柱； （2）解：由题意可知，如图旋转的圆柱底面半径为，高为， ∴圆柱的体积为， 所以旋转之后的立体图形体积为． 题型十八、截一个几何体 18．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，往一个有盖的长方体水杯中持续注入一些水，注水的过程中，可盖上盖子将水杯任意放置，水平面形状不可能是（   ） A．七边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】A 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了长方体的截面，长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，即可得到答案，解题的关键是熟练掌握面面相交得到线． 【详解】解：∵长方体有六个面，用一个平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴所得水平面形状可能是三角形、四边形、五边形和六边形，不可能出现七边形， 故选：A． 题型十九、直线、射线、线段的联系与区别 19．（25-26七年级上·福建厦门·月考）下列说法正确的是（    ） A．延长直线 B．延长线段和延长线段的含义相同 C．直线和直线是同一条直线 D．射线和射线是同一条射线 【答案】C 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查了直线、射线、线段的基本概念，根据直线、射线、线段的定义和性质判断各选项的正确性即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、直线是无限延伸的，不可延长，故原选项错误，不符合题意； 、延长线段是从点延长，延长线段是从点延长，方向不同，故原选项错误，不符合题意； 、直线没有方向，直线和直线表示同一条直线，故原选项正确，符合题意； 、射线有端点，射线以为端点，射线以为端点，不是同一条射线，故原选项错误，不符合题意； 故选：． 题型二十、画出直线、射线、线段 20．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图，已知平面上四个点．按下列要求画图（不写画法）． (1)； (2)过点作直线； (3)作射线，交于点； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题考查了线段、直线、射线的基本作图，解题的关键是掌握线段、直线、射线的定义及画法． （1）连接点A与点B得到线段； （2）过点A、C作向两端无限延伸的直线； （3）以D为端点作射线，使其与直线相交，交点记为O． 【详解】（1）连接，得到线段； （2）过点、作直线； （3）作射线，射线与直线的交点为点． 题型二十一、点与线的位置关系 21．（2025·河北廊坊·一模）如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【知识点】点与线的位置关系 【分析】该题考查了直线的定义，根据图象解答即可． 【详解】解：根据图象可得，该直线为直线， 故选：C． 题型二十二、直线、线段、射线的数量问题 22．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，点A、B、C是直线上的三个点，则图中共有线段、射线条数分别是（   ）    A．2，3 B．3，3 C．3，6 D．2，6 【答案】C 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了直线、线段、射线的数量问题，理解题意，结合图中信息，以及线段和射线定义进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，观察图中， 则有线段，线段，线段，射线，射线，射线，射线，射线，射线， ∴图中共有线段、射线条数分别是3，6 故选：C 题型二十三、直线相交的交点个数问题 23．（23-24七年级上·江苏南通·期末）【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 【答案】（1）10；（2）29；（3）没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛 【知识点】图形类规律探索、直线相交的交点个数问题 【分析】本题主要考查了直线交点问题、图形规律探究等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键 （1）根据题干分析n条直线，最多有个交点，直接代入即可得解； （2）代入公式求出交点最多个数，当8条直线交于同一点时，个数最少； （3）根据单循环赛制的特点，以及各班级已赛场次的信息，逐步推理出班级之间的比赛关系，进而求出未与七6班比赛的班级以及剩余比赛场数． 【详解】解：（1）5条直线相交，最多有个交点， 故答案为：10； （2）根据题意，最多有个交点，此时， 当8条直线交于同一点时，交点最少，此时， 所以； （3）分析各班级比赛场次信息： 单循环赛制意味着每个班级都要和其余5个班级各赛一场，所以每个班级最多比赛5场， ①七1班赛了5场，这表明七1班与七2、七3、七4、七5、七6班都进行了比赛； ②七5班只赛了1场，由于七1班与所有班级都比赛过，所以七5班这一场比赛就是和七1班进行的，七5班没有和其他班级比赛； ③确定七2班比赛对象：七2班比赛了4场，因为七5班只和七1班比赛，所以七2班除了和七5班没比赛，与七1、七3、七4、七6班都比赛了； ④确定七4班比赛对象：七4班赛了2场，根据前面的推理，七4班的两场比赛是和七1、七2班进行的； ⑤确定七3班比赛对象：七3班比赛了3场，已知七1、七2班与七3班比赛，七5班没和七3班比赛，所以七3班的三场比赛是和七1、七2、七6班进行的（与七4班没有比赛）；通过以上分析可知，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班． 已比赛的场数为： ①七1班与七2、七3、七4、七5、七6班比赛5场； ②七2班与七4、七3、七6班比赛3场（与七1已算在七1班场次中）； ③七3班与七6班比赛1场（与七1、七2重复场次已算）； ④七4班与七1、七2班赛比2场；（全部为重复场次，已算过） ⑤七5班与七1班赛1场；（全部为重复场次，已算过） ⑥七6班与七1、七2、七3班赛3场（全部为重复场次，已算过），总共已赛9场； 6个班级进行单循环比赛，总场数为场，所以还剩下的比赛场数为场； 综上，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛． 题型二十四、线段的应用 24．（2024七年级上·山东·专题练习）如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有 个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 【答案】3 【知识点】线段的应用 【分析】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段的方法：度量法、叠合法、折叠法，据此逐一判断即可． 【详解】解：①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置，方法可行； ②用直尺度量出和的长度，方法可行； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置，方法可行； ④凭感觉估计，不科学，方法不可行． 故答案为：3． 题型二十五、两点确定一条直线 25．（25-26七年级上·河北衡水·期中）2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，盛大阅兵仪式在天安门广场举行，受阅部队的口令“向右看齐”应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．点动成线，线动成面 D．两点之间线段最短 【答案】A 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题考查了两点确定一条直线． “向右看齐”口令要求士兵调整方向，使队伍形成一条直线，这直接应用了“两点确定一条直线”的几何性质． 【详解】解：在队列中，士兵以相邻士兵为参考点调整位置，使所有士兵的视线或身体对齐形成一条直线； ∴这基于“两点确定一条直线”的原理，即通过两个点可唯一确定一条直线，其他点均落在此直线上． 故选：A． 题型二十六、作线段(尺规作图) 26．（24-25七年级上·甘肃白银·月考）已知线段，，用尺规作一条线段，使得； 【答案】图见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差 【分析】本题考查了作线段．先作射线，在射线上截取，再在射线上截取，则线段即为所求． 【详解】解：如图，线段即为所求． ． 题型二十七、线段的和与差 27．（25-26七年级上·河北衡水·期中）竹竿作为一种常见的天然植物材料，具有多种作用和功效，如图，将一根竹竿从处分成两部分，截断后的各段竹竿中有一段长为，若，则这根竹竿的原长为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差，比例，正确理解比例关系及分情况讨论是解题的关键．分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：分两种情况： 当时， ， ， ； 当时，则， ． 综上，这根竹竿的原长为或． 故答案为：C． 题型二十八、线段中点的有关计算 28．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，已知线段，延长到点，使得，反向延长到点，使，点为的中点． (1)求线段的长及线段的长； (2)若为线段上一点，且，求的长． 【答案】(1)； (2)3或1 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，掌握连接两点间的线段的长度叫两点间的距离是关键． （1）利用计算出，则，再利用得到，然后计算，即可得到结果； （2）利用线段中点的定义，讨论：当点P在B、C之间时，计算；当点P在A、B之间时，计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵点为的中点 ∴， ∴； （2）解：∵Q为中点， ∴， ∵， ∴， ①当点P在B、C之间时，， ②当点P在A、B之间时，． 故线段的长为3或1． 题型二十九、线段n等分点的有关计算 29．（23-24七年级上·四川绵阳·阶段练习）已知M为线段的三等分点，且，则线段的长为 ． 【答案】9或/或9 【知识点】线段n等分点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的三等分点，线段之间的倍数关系.画出图形分类讨论时解题的关键. 分两种情况：①点靠近点；②点靠近点.画出图形分别计算即可. 【详解】解：如图1所示： 点是的三等分点， ． 如图2所示： 点是的三等分点， ． 的长度为9或， 故答案为：9或． 题型三十、线段之间的数量关系 30．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，C是线段AB上一点，D是线段AC的中点，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段的和与差、线段之间的数量关系 【分析】本题考查两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据图形和题意可以分别判断各个选项是否正确，本题得以解决． 【详解】解：A、由图可得，，故选项A中的结论成立，不符合题意； B、∵点是线段上一点，∴不一定时的二倍，故选项B中的结论不一定成立，符合题意； C、由图可得，，故选项C中的结论成立，不符合题意； D、∵是线段的中点，∴，故选项D中的结论成立，不符合题意； 故选：B． 题型三十一、与线段有关的动点问题 31．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）知识准备： 如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟． 解决问题： 如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动． （1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度． （2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．    【答案】（1）18厘米/分钟；（2）7厘米/分钟 【知识点】与线段有关的动点问题 【分析】（1）根据题意可求出点P的运动时间，由点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，即得出点Q的运动时间与点P的运动时间相等，再求出点Q运动的距离，最后由速度=路程÷时间求解即可； （2）求出点P的运动时间，即得出点O的运动时间和点Q的运动时间，从而可求出点O的运动距离，再求出点Q的运动距离，最后根据速度=路程÷时间求解即可． 【详解】解：（1）∵，点P旋转的速度为45度/分钟， ∴点P的运动时间为：分钟． ∵点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇， ∴点Q的运动时间为2分钟，且此时点Q运动的距离为厘米， ∴点Q的速度为厘米/分钟； （2）当点P第二次运动到直线上时，点P绕点O顺时针旋转了， ∴此时点P的运动时间为：分钟． ∵点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动， ∴点O的路程为厘米． ∵点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇， ∴点Q的运动时间为6分钟，且此时点Q运动的距离为厘米， ∴点Q的速度为厘米/分钟． 【点睛】本题考查线段上的动点问题，解题关键在于数形结合思想的运用和掌握速度=路程÷时间． 题型三十二、两点之间线段最短 32．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）交通部门把A，B两地之间的一段弯曲的公路改成直道后，缩短了A，B两地之间的路程，这是因为 ． 【答案】两点之间，线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，掌握两点之间所有连线中线段最短是解题的关键． 根据两点之间线段最短即可解答． 【详解】解：两点之间所有连线中，线段最短．弯曲的公路是曲线，其长度大于连接两点的直线段长度，因此改成直道后路程缩短． 故答案为：两点之间，线段最短． 题型三十三、两点间的距离 33．（24-25七年级上·山东青岛·月考）如果A，B，C在同一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离是 ． 【答案】4或8 【知识点】两点间的距离 【分析】本题考查两点间的距离，本题需要分析两种情况，当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，分别求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当点在点的右侧时， ， ∵线段，， ∴， 当点在点的左侧时， ， ∵线段，， ∴， 综上所述，A，C两点间的距离是或， 故答案为：4或8． 题型三十四、最短路径问题 34．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是 （填序号）． 【答案】② 【知识点】最短路径问题 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边式解决问题的关键． 由三角形三边关系得到，根据图形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴ 路线的长度为， 路线的长度为， 故答案为：②． 题型三十五、角的概念理解 35．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，给出下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和不是同一个角．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】角的概念理解 【分析】角是由有公共的端点的两条射线组成的图形，注意是同一个角必须满足：（1）顶点相同；（2）两边所在的射线相同． 【详解】解：根据角的定义可知： ①与满足顶点相同，两边所在的射线相同．和是同一个角，说法正确，符合题意； ②和满足顶点相同，两边所在的射线相同．和是同一个角，说法正确，符合题意； ③和的顶点相同，两边所在的射线不相同．和不是同一个角，说法错误，不符合题意； ④和的顶点不相同，两边所在的射线也不相同．和不是同一个角，说法正确，符合题意． 说法正确的有三个， 故选：C． 【点睛】角是由有公共的端点的两条射线组成的图形，注意是同一个角必须满足：（1）顶点相同；（2）两边所在的射线相同，解决问题的关键是掌握角的概念以及特征． 题型三十六、角的表示方法 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，有下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和是同一个角．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】角的表示方法 【分析】本题考查了角的概念和角的表示方法，掌握角的概念是解题的关键． 根据角的概念和角的表示方法回答即可． 【详解】解：和是同一个角，①正确； 和是同一个角，②正确； 和是对顶角，但不是同一个角，③错误； 和不是同一个角，④错误， 正确的有两个，为①②． 故选：B ． 题型三十七、角的分类 37．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列四个角中，是直角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角的分类 【分析】通过观察各选项图形，结合直角、平角、锐角、钝角的特征进行判断． 【详解】解：A、图形为平角，不是直角，不符合题意； B、图形为锐角，不是直角，不符合题意； C、图形的角度等于，是直角，符合题意； D、图形为钝角，不是直角，不符合题意． 故选：C ． 【点睛】本题考查了直角的定义，解题关键是掌握直角、平角、锐角、钝角的特征，通过图形特征判断角的类型． 题型三十八、画特殊角 38．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）已知（如图），用量角器求作一个角，使它等于已知角α． 【答案】见解析 【知识点】画特殊角 【分析】本题考查用量角器作角．用量角器量出的度数，再作一射线，以点A为顶点，作，则即为所求． 【详解】解：如图，为所求． 题型三十九、钟面角 39．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）钟表上的时间显示为，此时时针和分针之间形成的角（小于平角）的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】钟面角 【分析】本题考查求钟面角，分别求出每分钟时针所走的角度，结合角度加减即可得到答案. 【详解】解：由题意可得， 每分钟时针走：， ∴时针和分针之间形成的角为：， 故选：B． 题型四十、方向角的表示 40．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）地是海上观测站，从地发现两艘船，的方位如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．船在的南偏东方向 B．船在的南偏西方向 C．船在的北偏东方向 D．船在的北偏东方向 【答案】C 【知识点】方向角的表示 【分析】用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西． 此题主要考查了方向角，方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． 【详解】解：船在的南偏西方向，故A、B选项错误； 船在的北偏东方向，故C正确，D错误； 故选：C． 题型四十一、与方向角有关的计算题 41．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，小杰家位于点处，小杰从家向北偏东方向行走500米到达学校处，从学校向正东前进200米到达少年宫处（没有道路），已知少年宫在小杰家东偏北方向． (1)小杰家在少年宫的什么方向？ (2)小杰从少年宫怎样原路返回到家呢？ 【答案】(1)小杰家在少年宫的南偏西方向 (2)小杰从少年宫向正西前进200米到达学校，再从学校向南偏西行走500米回到家 【知识点】方向角的表示、与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了方向角：方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于九十度的角． （1）过点B作南北方向的直线，求出，然后根据方向角的定义解答即可； （2）过点A作南北方向的直线，求出，然后根据方向角的定义解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作南北方向的直线 由题意得，， 所以小杰家在少年宫的南偏西方向； （2）解：过点A作南北方向的直线， 由题意得，， 所以小杰从少年宫向正西前进200米到达学校，再从学校向南偏西行走500米回到家． 题型四十二、角的单位与角度制 42．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）把化成用度表示的角； （2）把化成用度、分、秒表示的角． 【答案】（1）；（2） 【知识点】角的单位与角度制 【分析】此题考查了度分秒之间的转化，熟练掌握度分秒的关系是解题的关键． （1）先把分化成度，再加上原来的度数即可； （2）把度化成分，即可得到答案． 【详解】解：（1）先把化成度，即，所以． （2）因为，所以，因此． 题型四十三、角的度数大小比较 43．（2025·河北唐山·一模）如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（　　） A． B．没有量角器，无法确定 C． D． 【答案】D 【知识点】角的度数大小比较 【分析】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键． 由图知，，故可比较大小． 【详解】解：图中三角尺为等腰直角三角形， ，． ． 故选：D． 题型四十四、角的比较 44．（24-25七年级上·广东深圳·期末）下列方法能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角的比较 【分析】此题考查三角形的边角关系，关键是根据三角形的三边得出角的大小比较解答． 根据角的比较大小解答即可． 【详解】解：A、由图可知，不符合题意； B、根据图可知，不符合题意； C、根据图可知，不符合题意； D、根据图可知，符合题意； 故选：D． 题型四十五、三角板中角度计算问题 45．（25-26七年级上·广东佛山·期中）一副含及的三角板拼成如图所示的图案，点B、C、D在同一直线上，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了三角板中的角度的和差计算，平角的意义，解题的关键是熟练掌握三角板中的角度信息．根据平角得到，再由，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 题型四十六、几何图形中角度计算问题 46．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）已知，°，，那么（       ） A．射线在内 B．射线在外 C．射线与射线重合 D．射线与射线重合 【答案】B 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】此题考查根据角的和差关系判断射线的位置，正确计算是解题关键． 通过计算，可判断射线在外． 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴， ∴射线在外， 故选B． 题型四十七、角度的四则运算 47．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：① ；② ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】将度与度、分与分分别相加，再处理分满60进1度的情况； 先将度除以除数，再将余下的度转化为分继续除． 本题主要考查了度分秒的换算与运算，熟练掌握度分秒之间的进制（，）是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． ， 故答案为：． 题型四十八、实际问题中角度计算问题 48．钟面上3点20分时，时针与分针的夹角度数是 ． 【答案】/20度 【知识点】钟面角、实际问题中角度计算问题 【分析】根据钟面上每相邻两个数字所对应的圆心角为，即一个“大格”所对应的圆心角为，再根据时针与分针转动过程中角的变化关系可求出答案． 【详解】解：钟面上3点20分时，时针与分针的位置如图， 根据钟面角的特征可知， ， ， 所以 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查钟面角，理解钟面上每相邻两个数字所对应的圆心角为以及时针与分针转动过程中角的变化关系是解决问题的关键． 题型四十九、角平分线的有关计算 49．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，，是内部的一条射线，，分别是，的平分线． (1)若，求的度数； (2)小明通过作图观察发现，无论锐角的大小如何，的度数始终为的一半．他的结论是否正确？请判断，并说明理由． 【答案】(1)的度数为 (2)正确，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角的计算，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键． （1）根据角平分线的定义，和分别平分和，则可求得、的值，进而可得； （2）设，根据角平分线的定义可得，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵是的平分线， ∴． ∴； （2）解：小明的结论正确，理由如下： 设（为锐角），则：， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， 即无论的大小如何，始终为的一半． 题型五十、角n等分线的有关计算 50．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题、角n等分线的有关计算 【分析】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：时， 时，时，时，再根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵， ； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵， ， ； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 题型五十一、求一个角的余角 51．（25-26七年级上·河南周口·期中）已知，则的余角等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查余角的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．若两个角的和为，则这两个角互为余角．已知一个角的度数，用减去该角即得其余角的度数． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A． 题型五十二、求一个角的补角 52．（25-26七年级上·河北唐山·期中）若，则的补角的度数为 ． 【答案】 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题主要考查了补角， 根据补角的定义，两个角之和为180°解答即可． 【详解】解：因为， 所以补角为． 故答案为：119°15′． 题型五十三、与余角、补角有关的计算 53．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，和分别是的余角和补角，且射线是的平分线．求的度数． 【答案】 【知识点】与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算 【分析】设，利用建立方程即可解题． 【详解】解：由题意，得． 设，则． 射线是的平分线， ， ， ， 解得， 即． 【点睛】本题考查了余角与补角的定义，角平分线的定义 ，熟练掌握余角和补角关系是解题的关键． 题型五十四、同(等)角的余(补)角相等的应用 54．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，是平角． (1)若，则的度数为________ (2)在（1）的条件下，请你求出的补角的度数． (3)若OB平分，求出的余角的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、求一个角的补角 【分析】（1）利用同角的余角相等求解即可；（2）利用补角的定义直接找出，再利用同角的余角相等求解即可；（3）直接利用角平分线的定义求解即可，再利用余角定义求解． 【详解】（1）解：， . , . （2）是平角， ， 是的补角． ， ， 即的补角的度数为． （3）平分， ， 的余角的度数为. 【点睛】本题考查的知识点是角的计算及余角补角，解题关键是确定角之间的关系. 学科网（北京）股份有限公司 $