第五章 一元一次方程 章节（13知识点回顾+28题型巩固） 2025-2026学年北师大版七年级数学上册同步讲义与测试

第五章 一元一次方程 章节（13知识点回顾+28题型巩固） 目录 知识梳理 1.等量关系与方程 2.一元一次方程 3.方程的解 4.列一元一次方程 5.等式的基本性质 6.利用等式的基本性质解一元一次方程 7.利用移项解一元一次方程 8.利用去括号解一元一次方程 9.利用去分母解一元一次方程 10.等积变形问题 11.等长变形问题 12.“盈不足”问题 13.行程问题 题型巩固 一、判断各式是否是方程 二、列方程 三、判断是否是方程的解 四、已知方程的解，求参数 五、判断是否是一元一次方程 六、判断是否是一元一次方程解 七、等式的性质 八、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 九、解一元一次方程（二）——去括号 十、解一元一次方程（三）——去分母 十一、已知一元一次方程的解，求参数 十二、一元一次方程解的关系 十三、绝对值方程 十四、工程问题(一元一次方程的应用) 十五、销售盈亏(一元一次方程的应用) 十六、比赛积分(一元一次方程的应用) 十七、方案选择(一元一次方程的应用) 十八、数字问题(一元一次方程的应用) 十九、几何问题(一元一次方程的应用) 二十、动点问题（一元一次方程的应用） 二十一、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 二十二、行程问题(一元一次方程的应用) 二十三、比例分配(一元一次方程的应用) 二十四、日历问题(一元一次方程的应用) 二十五、古代问题(一元一次方程的应用) 二十六、其他问题(一元一次方程的应用) 二十七、配套问题(一元一次方程的应用) 二十八、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 知识梳理 知识点1.等量关系与方程 1. 找等量关系的常用方法 ①根据几何图形的周长、面积、体积公式确定等量关系； ②根据题目中的不变量确定等量关系； ③根据关键词确定等量关系， 如“ 一共有 ……”“ 比 ……多……”“比……少……”通常表示和差关系，“是……的几倍”通常表示倍数关系 . 2. 方程的定义： 含有未知数的表示量相等的等式称为方程 . 3. 方程与等式的区别与联系 (1)方程一定是等式，等式不一定是方程； (2)方程中含有未知数，而等式中不一定含有未知数 . 知识点2.一元一次方程 1. 一元一次方程的定义 在一个方程中， 只含有一个未知数， 且方程中的代数式都是整式， 未知数的次数都是 1， 这样的方程叫作一元 一次方程 . 例如： x+1=0 是一元一次方程 . 2. 一元一次方程必须满足三个条件 : ①只含有一个未知数； ②方程的分母中不含字母(即为整式方程)； ③ 未知数的次数都是 1. 3. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程 变形后总可以化为 ax+b=0 的形式，其中 x 是未知数， a， b 是已知数，且 a ≠ 0. 我们把ax+b=0 叫作一元一次方程的标准形式 . 知识点3.方程的解 方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解 . 特别提醒： 方程的解与解方程的关系： (1)方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个结果，是一个具体的数值，而解方程是变形的过程； (2)方程的解是通过解方程求得的 . 知识点4.列一元一次方程 1. 列一元一次方程的一般步骤 (1) 审题： 提取问题中的数量信息，正确理解问题中表示数量关系的关键性词语(如多、少、倍……) . (2) 分析： 厘清问题中的关系，找出等量关系 . (3) 建模： 设出未知数，并用含有未知数的代数式表示等量关系中的量，将问题转化为方程，可直接或 接设未知数 . 2. 列一元一次方程的基本思路 知识点5.等式的基本性质 1. 等式的基本性质 等式的基本性质 用文字表示 用字母表示 基本性质 1 等式的两边都加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式 如果 a=b，那么 a±c=b±c 基本性质 2 等式的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式 如果 a=b，那么 ac=bc，(c ≠ 0) 2.等式的其他性质 (1)对称性：若 a=b，则 b=a； (2)传递性：若a=b， b=c，则a=c. 知识点6.利用等式的基本性质解一元一次方程 利用等式的基本性质解一元一次方程的步骤 : 第一步 : 利用等式的基本性质 1，在方程左、右两边同时加(或减)同一个代数式，使方程化为 ax=b( a ≠ 0)的形式 . 第二步 : 利用等式的基本性质 2, 在方程左、右两边同时除以未知数的系数，将未知数的系数化为 1，从而使方程化为 x= 的形式 . 注意： 一般地，从方程中解出未知数的值以后，可以将其代入原方程检验，看这个值是否使原方程的左、右两边相等. 知识点7.利用移项解一元一次方程 1. 移项  把方程中某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形称为移项 . 移项要注意变号 . 2. 移项的依据  移项的依据是等式的基本性质 1，在方程的两边都加(或减) 同一个适当的整式，使含未知数的项集中在方程的一边，常数项集中在另一边 . 3. 移项解一元一次方程的步骤 (1) 移项： 把含有未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边； (2) 合并同类项： 把方程变形为 ax=b(a， b 为常数，且a ≠ 0)的形式； (3)未知数的系数化为 1： 得到方程的解 x= . 知识点8.利用去括号解一元一次方程 1.在解方程时，把方程中含有的括号去掉的过程叫作去括号 . 2.解含有括号的一元一次方程的步骤   (1) 去括号(按照去括号法则去括号)； (2) 移项； (3) 合并同类项； (4) 未知数的系数化为 1. 3. 解方程中去括号的顺序 先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号，也可以由外向内去括号. 知识点9.利用去分母解一元一次方程 1. 解含有分母的一元一次方程时，方程各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，这个过程叫作去分母 . 2. 解含有分母的一元一次方程的步骤 (1)去分母； (2)去括号； (3)移项； (4)合并同类项； (5)未知数的系数化为 1. 知识点10.等积变形问题 1. 等积变形指图形或物体的形状发生变化，但变化前后的体积或面积不变 . 等积变形问题中的等量关系为变化前图形的面积或物体的体积 = 变化后图形的面积或物体的体积 . 2. 易错警示 等积变形问题中涉及求圆柱体积时，会用到圆柱底面半径，读题时要看清题目中所给条件是直径还是半径 . 知识点11.等长变形问题 1. 等长变形是 指图形 或物体的形状发生变化， 但变化前后物体的周长不变 . 2. 一般用固定长度的线段围成不同形状的图形， 关 键是根据周长这一不变量列方程求解 . 知识点12.“盈不足”问题 盈不足问题，也称为盈亏问题，是古代中国《九章算术》中研究的一种数学问题 . 这类问题涉及将一定数量的物品平均分配给一定数量的人，由于物品和人数都未知，只已知在两次分配中一次是盈(有余)，一次是亏(不足)；或者两次都盈；或者两次都亏时，求参加分配的物品总量及人员总数 . 盈不足问题的基本运算公式为 ( 盈 + 亏 )÷ ( 两次分得之差 )=人数 . 每人所得数 × 人数 - 亏 = 物数 . 知识点13.行程问题 1.相遇问题 相遇问题 沿直线运动 沿圆周运动 图示 甲、乙由同一地点相背而行 等量关系 路程 += += 圆周长 时间 若同时出发，则 = 2. 追及问题 追及问题 沿直线运动 沿圆周运动( 同时同地 ) 同地不同时 同时不同地 图示 3. 航行问题 航行问题 顺水航行 逆水航行 图示 速度关系 = + = － 题型巩固 题型一、判断各式是否是方程 1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）下列各式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）是关于x的一元一次方程，则m的取值范围 ． 题型二、列方程 3．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）根据“减去的7倍等于8”的数量关系可得方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意列出方程． (1)从正方形的铁皮上，截去宽的一个长方形条，余下的面积是，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？ (2)某商店规定，购买超过15000元的物品可以采用分期付款方式付款，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电脑，他需要用多长时间才能付清全部货款？ 题型三、判断是否是方程的解 5．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）在下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·北京·月考）当x取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于x的方程的解是 ． x 0 1 2 3 14 10 6 2 题型四、已知方程的解，求参数 7．（25-26七年级上·广东江门·期中）已知是方程的解，则的值为 ． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）若是关于的方程的解，求代数式的值． 题型五、判断是否是一元一次方程 9．（25-26七年级上·河南周口·期中）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）若方程是关于x的一元一次方程，则m的取值范围是 ． （2）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 题型六、判断是否是一元一次方程解 11．（24-25七年级下·山西晋城·期中）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业），，分别是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）； （4）． 题型七、等式的性质 13．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）下列等式的变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式： (1)如果，那么 ． (2)如果，那么 ． (3)如果，那么 ． (4)如果，那么 ． 题型八、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 15．（25-26七年级上·甘肃甘南·月考）若关于的一元一次方程与的解互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26七年级上·河南周口·期中）解方程： 题型九、解一元一次方程（二）——去括号 17．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）关于的方程（k为常数，）的解为 ．（用含的代数式表示） 18．（25-26七年级上·河南周口·期中）解方程： 题型十、解一元一次方程（三）——去分母 19．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）解方程，下面去分母变形正确的是（   ）． A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）解方程 (1)； (2) 题型十一、已知一元一次方程的解，求参数 21．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）某同学解方程时，把“□”处的系数看错了，解得，他把“□”处的系数看成了（   ） A．4 B．-4 C．6 D．-6 22．（25-26六年级上·上海·期中）（1）当时，求一次式的值． （2）已知关于x的方程与的解相同，求m的值． 题型十二、一元一次方程解的关系 23．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 24．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）关于的方程与的解互为相反数，求的值． 题型十三、绝对值方程 25．（25-26七年级上·安徽黄山·期中）若为有理数且，则的取值是（    ） A． B． C．或2 D． 26．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我们知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：若 ，则 ； (2)填空：使得 成立的是 ； (3)由以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由． (4)由以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时的值，如果没有，说明理由． 题型十四、工程问题(一元一次方程的应用) 27．（25-26七年级上·天津河东·月考）一项工程，甲单独做要天完成，乙单独做要天完成，现由甲先做天，剩下的由甲、乙合作完成，则还需要几天完成这项工程（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 28．（25-26七年级上·吉林长春·期中）今年年初，新民大街历史文化街区保护提升活化利用工程启动，新民大街历史文化街区全长1445米，施工团队在修建了80天后，为加快建设脚步，抢抓工期，施工团队决定提升修建速度，每天修建长度是原来的1.5倍，共用140天完成全部任务，求原来每天施工长度． 题型十五、销售盈亏(一元一次方程的应用) 29．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）商场销售某品牌冰箱，已知进价为1800元，若按标价的八折销售，每件可获利200元，冰箱标价 元． 30．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）某品牌运动鞋原价元/双，促销方案如下： 方案一（普通优惠）：购买2双及以上时，超出2双的部分打8折． 方案二（会员优惠）：办理会员卡需付元工本费（仅首次办理需要，之后购买都享受会员价），会员价元/双． 小华发现在某个购买数量下，两种方案的总花费相同．请问小华购买了多少双运动鞋？总花费是多少元？ 题型十六、比赛积分(一元一次方程的应用) 31．（25-26七年级上·甘肃甘南·月考）某次考试有道选择题，每做对一题得分，不做或做错一题扣分，小李共得分，那么他不做或做错的题目是（    ） A．道 B．道 C．道 D．道 32．（23-24七年级上·全国·期末）表是某次篮球联赛积分的一部分 球队 比赛现场 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 备注：总积分=胜场积分+负场积分 (1)请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（直接写出答案）； (2)某队的胜场总积分能否等于负场总积分的3倍？为什么？ (3)若某队的胜场总积分是负场总积分的n倍，n为正整数，试求n的值． 题型十七、方案选择(一元一次方程的应用) 33．（25-26七年级上·四川达州·月考）为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客． 门票定价为元/人，非节假日打8折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即人以下（含人）的团队按原价售票；超过人的团队，其中人仍按原价售票，超过人部分的游客打7折售票．某旅行社导游李娜于月1日（节假日）带A团，月日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款元，A，B两个团队合计人，则A团有 人． 34．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）联合国教科文组织正式宣布每年的3月14日为“国际数学日”，以纪念圆周率的诞生，在国际数学日到来之际，学校计划订购一批数学教具，以下是某商店给出的优惠方案： 当销售量不超过100个时，单价为15元/组： 当销售量超过100个时，超过的部分按照单价的八折销售． (1)若购买80组教具，花费______元；若购买130组教具，花费_______元． (2)学校购买数学教具共花费2220元，请用一元一次方程求出购买了多少组教具． 题型十八、数字问题(一元一次方程的应用) 35．（25-26七年级上·四川达州·月考）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，∵，∴是“快乐数”；又如：四位数，∵，∴不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则m的值为 ． 36．（25-26七年级上·福建厦门·期中）七年级一次数学活动中，甲乙两位同学对钟面问题展开探索研究，问题如下：“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？” 甲同学采用“配对法”，将这12个数分成6组：，，，，，，通过添加正负号让其中三组中各数的和都为1，另外三组中各数的和都为； 乙同学采用“奇偶法”，将这12个数按奇偶性分成两组：，，通过适当地添加正负号，先使所有的奇数的和为0，再使所有的偶数的和也为0，这样就可以使这12个数的和为0了． (1)甲，乙两位同学的办法中______； A．甲同学办法可行 B．乙同学办法可行 C．甲，乙同学办法均可行 D．甲，乙同学办法均不可行 (2)在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加方式，如果不能，请说明理由； (3)在1，2，3，4，…，2024，2025共2025个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为2026，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加方式，如果不能，请说明理由． 题型十九、几何问题(一元一次方程的应用) 37．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图是一枚长方形庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其周长是260，长和宽的比为．问这枚纪念币的长和宽?设这枚纪念币的长为，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 38．（25-26七年级上·吉林·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为7（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ； 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（例如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 题型二十、动点问题（一元一次方程的应用） 39．（25-26七年级上·河南郑州·期中）在数轴上点A、B表示的数分别为，．若点N从A点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向B匀速运动，点M从B点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向A匀速运动．设点M，N同时出发，运动时间为秒，点P为线段的中点，经过 秒后，点到原点的距离为． 40．（25-26七年级上·甘肃甘南·月考）【问题背景】如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是．点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向数轴正半轴运动；同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向数轴负半轴运动．设运动时间为秒． 【问题再现】（1）运动秒后，点表示的数为______，点表示的数为______；（用含的代数式表示） 【问题推广】（2）经过多少秒后，点和点相遇？ 【拓展提升】（3）若点到达点后立即返回，以原速向数轴负半轴运动，点到达点后也立即返回，以原速向数轴正半轴运动，求、两点第二次相遇时，相遇点在数轴上表示的数． 题型二十一、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 41．（25-26七年级上·北京·期中）某地对居民用电的收费标准为：如果每月用电量不超过100度，那么每度按元收费，如果超过100度，超出部分按每度元收费，已知该户居民这个月缴纳电费元，若设该户居民一个月用电x度，则可列方程为 ． 42．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 超过10吨但不超过25吨的部分 3 超过25吨的部分 (1)如果小李家9月份交水费元，则小李家这个月用水多少吨？ (2)小李家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水40吨（其中10月份用水超过25吨），一共交水费136元，求小李家11月份用水多少吨？ 题型二十二、行程问题(一元一次方程的应用) 43．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）一天，小明在家和学校之间行走，为了好奇，他测了一下在无风时的速度是40米/分．从家到学校用了20分钟，从原路返回用了18分钟20秒，设风的速度是米/分，则所列方程为（   ） A． B． C． D． 44．（25-26七年级上·北京·月考）列方程解应用题： 长期坚持跑步可以增强心肺功能，让身体更加健康．周六早上小健和小乐相约去奥森跑步．小健家离奥森近，决定步行前往，他从家出发时刻与到达奥森时手表显示信息分别如图1和图2所示． 小乐出发比小健晚了5分钟，且家离奥森比小健家离奥森远米，所以小乐决定骑自行车前往，小乐骑行的平均速度是小健步行的平均速度的倍，最终小乐与小健在同一时刻到达奥森．求小健步行的平均速度和平均步长． 题型二十三、比例分配(一元一次方程的应用) 45．（2024七年级上·全国·专题练习）曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 46．（24-25七年级上·陕西延安·期末）在清冰雪劳动中，某武警部队出动兵力人参加三条街道的清冰雪劳动，其中街道清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加街道和街道的清冰雪劳动，并且参加街道清冰雪的人数是参加街道清冰雪人数的． (1)求参加街道清冰雪劳动的有多少人？ (2)求参加街道和街道清冰雪劳动的各有多少人？ 题型二十四、日历问题(一元一次方程的应用) 47．（25-26七年级上·山西阳泉·月考）在如图所示的2025年2月份的日历表中，任意框住日历上竖列上的三个相邻数，这三个相邻数的和可能是（　　） A．21 B．51 C．69 D．75 48．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）观察下图阴影方框内中间的数与其他四个数的关系． (1)中间的数用y表示，左边的数是（   ），下面的数是（   ），方框中5个数的和是（   ）． (2)当5个数的和是时，这5个数分别是多少？在下图方格中填一填． 题型二十五、古代问题(一元一次方程的应用) 49．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、物价各几何．题目大意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9钱，就多出11钱；如果每人出6钱，就还差16钱，问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？设有人买鸡，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 50．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．图1“洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字．观察图1中的每一组点所对应的数字，回答下列问题： (1)根据“洛书”，图2中______，______； (2)根据图2所填数字，我们不难发现：方格中每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等．若图3符合“洛书”的规律，每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等，求c的值． 题型二十六、其他问题(一元一次方程的应用) 51．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）用一根长28米的铁丝围成一个长方形，使长方形的长比宽多4米，此时长方形的面积为（   ）平方米． A．40 B．45 C．50 D．54 52．（25-26七年级上·福建三明·期中）我们在第三章的学习过程中，经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程．归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略，请用归纳策略解答问题：如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开．剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；… (1)归纳：完成以下表格： 剪开次数（刀） 1 2 3 4 … n 绳子数量（段） 5 9 ______ ______ … ______ (2)问题解决： ①剪10刀时，绳子变为多少段？ ②有可能刚好剪得2025段吗？请说明理由． 题型二十七、配套问题(一元一次方程的应用) 53．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片480个或镜框60个．2个镜片和1个镜框配套，应如何分配工人生产镜片和镜框，才能使每天生产的产品配套？设安排x名工人生产镜片，则下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 54．（25-26七年级上·河南周口·期中）列方程解应用题 某车间有30名工人，每人每天能生产甲种零件12个或乙种零件15个．若要使每天生产的甲、乙两种零件按配套，应安排多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件？ 题型二十八、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 55．（25-26七年级上·吉林·期中）12与x的差等于x的2倍，则x的值为 ． 56．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在巴黎奥运会上，中国体育健儿以为国而战的情怀，顽强拼搏的信念，团结协作的品质，为祖国和人民赢得了荣誉，生动地诠释了新时代中国精神，成为广大青少年的榜样，掀起了运动的热潮．某校七年级乒乓球社团人数增加，需购买一批乒乓球拍和乒乓球，已知一副乒乓球拍比一盒乒乓球贵20元，买12副乒乓球拍和8盒乒乓球共需640元． (1)求一副乒乓球拍和一盒乒乓球的价格各是多少元； (2)在“双12”促销活动中，某体育用品商店制订以下优惠方案： 方案一：商品按原价打9折优惠； 方案二：商品按原价出售，每满200元返30元； 方案三：商品按原价出售，超过800元的部分打7折优惠； 现计划购买23副乒乓球拍和20盒乒乓球，请通过计算说明按照哪种方案购买较为合算. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 章节（13知识点回顾+28题型巩固） 目录 知识梳理 1.等量关系与方程 2.一元一次方程 3.方程的解 4.列一元一次方程 5.等式的基本性质 6.利用等式的基本性质解一元一次方程 7.利用移项解一元一次方程 8.利用去括号解一元一次方程 9.利用去分母解一元一次方程 10.等积变形问题 11.等长变形问题 12.“盈不足”问题 13.行程问题 题型巩固 一、判断各式是否是方程 二、列方程 三、判断是否是方程的解 四、已知方程的解，求参数 五、判断是否是一元一次方程 六、判断是否是一元一次方程解 七、等式的性质 八、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 九、解一元一次方程（二）——去括号 十、解一元一次方程（三）——去分母 十一、已知一元一次方程的解，求参数 十二、一元一次方程解的关系 十三、绝对值方程 十四、工程问题(一元一次方程的应用) 十五、销售盈亏(一元一次方程的应用) 十六、比赛积分(一元一次方程的应用) 十七、方案选择(一元一次方程的应用) 十八、数字问题(一元一次方程的应用) 十九、几何问题(一元一次方程的应用) 二十、动点问题（一元一次方程的应用） 二十一、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 二十二、行程问题(一元一次方程的应用) 二十三、比例分配(一元一次方程的应用) 二十四、日历问题(一元一次方程的应用) 二十五、古代问题(一元一次方程的应用) 二十六、其他问题(一元一次方程的应用) 二十七、配套问题(一元一次方程的应用) 二十八、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 知识梳理 知识点1.等量关系与方程 1. 找等量关系的常用方法 ①根据几何图形的周长、面积、体积公式确定等量关系； ②根据题目中的不变量确定等量关系； ③根据关键词确定等量关系， 如“ 一共有 ……”“ 比 ……多……”“比……少……”通常表示和差关系，“是……的几倍”通常表示倍数关系 . 2. 方程的定义： 含有未知数的表示量相等的等式称为方程 . 3. 方程与等式的区别与联系 (1)方程一定是等式，等式不一定是方程； (2)方程中含有未知数，而等式中不一定含有未知数 . 知识点2.一元一次方程 1. 一元一次方程的定义 在一个方程中， 只含有一个未知数， 且方程中的代数式都是整式， 未知数的次数都是 1， 这样的方程叫作一元 一次方程 . 例如： x+1=0 是一元一次方程 . 2. 一元一次方程必须满足三个条件 : ①只含有一个未知数； ②方程的分母中不含字母(即为整式方程)； ③ 未知数的次数都是 1. 3. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程 变形后总可以化为 ax+b=0 的形式，其中 x 是未知数， a， b 是已知数，且 a ≠ 0. 我们把ax+b=0 叫作一元一次方程的标准形式 . 知识点3.方程的解 方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解 . 特别提醒： 方程的解与解方程的关系： (1)方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个结果，是一个具体的数值，而解方程是变形的过程； (2)方程的解是通过解方程求得的 . 知识点4.列一元一次方程 1. 列一元一次方程的一般步骤 (1) 审题： 提取问题中的数量信息，正确理解问题中表示数量关系的关键性词语(如多、少、倍……) . (2) 分析： 厘清问题中的关系，找出等量关系 . (3) 建模： 设出未知数，并用含有未知数的代数式表示等量关系中的量，将问题转化为方程，可直接或 接设未知数 . 2. 列一元一次方程的基本思路 知识点5.等式的基本性质 1. 等式的基本性质 等式的基本性质 用文字表示 用字母表示 基本性质 1 等式的两边都加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式 如果 a=b，那么 a±c=b±c 基本性质 2 等式的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式 如果 a=b，那么 ac=bc，(c ≠ 0) 2.等式的其他性质 (1)对称性：若 a=b，则 b=a； (2)传递性：若a=b， b=c，则a=c. 知识点6.利用等式的基本性质解一元一次方程 利用等式的基本性质解一元一次方程的步骤 : 第一步 : 利用等式的基本性质 1，在方程左、右两边同时加(或减)同一个代数式，使方程化为 ax=b( a ≠ 0)的形式 . 第二步 : 利用等式的基本性质 2, 在方程左、右两边同时除以未知数的系数，将未知数的系数化为 1，从而使方程化为 x= 的形式 . 注意： 一般地，从方程中解出未知数的值以后，可以将其代入原方程检验，看这个值是否使原方程的左、右两边相等. 知识点7.利用移项解一元一次方程 1. 移项  把方程中某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形称为移项 . 移项要注意变号 . 2. 移项的依据  移项的依据是等式的基本性质 1，在方程的两边都加(或减) 同一个适当的整式，使含未知数的项集中在方程的一边，常数项集中在另一边 . 3. 移项解一元一次方程的步骤 (1) 移项： 把含有未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边； (2) 合并同类项： 把方程变形为 ax=b(a， b 为常数，且a ≠ 0)的形式； (3)未知数的系数化为 1： 得到方程的解 x= . 知识点8.利用去括号解一元一次方程 1.在解方程时，把方程中含有的括号去掉的过程叫作去括号 . 2.解含有括号的一元一次方程的步骤   (1) 去括号(按照去括号法则去括号)； (2) 移项； (3) 合并同类项； (4) 未知数的系数化为 1. 3. 解方程中去括号的顺序 先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号，也可以由外向内去括号. 知识点9.利用去分母解一元一次方程 1. 解含有分母的一元一次方程时，方程各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，这个过程叫作去分母 . 2. 解含有分母的一元一次方程的步骤 (1)去分母； (2)去括号； (3)移项； (4)合并同类项； (5)未知数的系数化为 1. 知识点10.等积变形问题 1. 等积变形指图形或物体的形状发生变化，但变化前后的体积或面积不变 . 等积变形问题中的等量关系为变化前图形的面积或物体的体积 = 变化后图形的面积或物体的体积 . 2. 易错警示 等积变形问题中涉及求圆柱体积时，会用到圆柱底面半径，读题时要看清题目中所给条件是直径还是半径 . 知识点11.等长变形问题 1. 等长变形是 指图形 或物体的形状发生变化， 但变化前后物体的周长不变 . 2. 一般用固定长度的线段围成不同形状的图形， 关 键是根据周长这一不变量列方程求解 . 知识点12.“盈不足”问题 盈不足问题，也称为盈亏问题，是古代中国《九章算术》中研究的一种数学问题 . 这类问题涉及将一定数量的物品平均分配给一定数量的人，由于物品和人数都未知，只已知在两次分配中一次是盈(有余)，一次是亏(不足)；或者两次都盈；或者两次都亏时，求参加分配的物品总量及人员总数 . 盈不足问题的基本运算公式为 ( 盈 + 亏 )÷ ( 两次分得之差 )=人数 . 每人所得数 × 人数 - 亏 = 物数 . 知识点13.行程问题 1.相遇问题 相遇问题 沿直线运动 沿圆周运动 图示 甲、乙由同一地点相背而行 等量关系 路程 += += 圆周长 时间 若同时出发，则 = 2. 追及问题 追及问题 沿直线运动 沿圆周运动( 同时同地 ) 同地不同时 同时不同地 图示 3. 航行问题 航行问题 顺水航行 逆水航行 图示 速度关系 = + = － 题型巩固 题型一、判断各式是否是方程 1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）下列各式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查方程的定义，根据方程的定义（含有未知数的等式），逐一判断各选项是否同时满足等式和含有未知数的条件即可． 【详解】解：A、不含未知数，不是方程，不符合题意； B、是方程，符合题意； C、不是等式，不是方程，不符合题意； D、不是等式，不是方程，不符合题意； 故选B． 2．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）是关于x的一元一次方程，则m的取值范围 ． 【答案】 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】根据题意，方程是关于的方程，故的系数不能为零，解答即可． 本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由方程 是关于 的方程， 故 ， 解得 ， 故答案为：． 题型二、列方程 3．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）根据“减去的7倍等于8”的数量关系可得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列方程 【分析】本题考查了列方程，将文字描述转化为数学方程，注意“y的7倍”为，“x减去y的7倍”即，列出方程即可 【详解】解：的7倍为，x减去y的7倍为，等于8，即， 方程为， 故选：A 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意列出方程． (1)从正方形的铁皮上，截去宽的一个长方形条，余下的面积是，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？ (2)某商店规定，购买超过15000元的物品可以采用分期付款方式付款，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电脑，他需要用多长时间才能付清全部货款？ 【答案】(1) (2) 【知识点】列方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）首先假设出原来的正方形铁皮的边长，进而得出关于x的等式求出即可； （2）根据等量关系为：首付需要的月数列出方程即可． 【详解】（1）解：设原来的正方形铁皮的边长为， 根据题意得：； （2）解：设王叔叔需用x个月的时间， 根据题意得：． 题型三、判断是否是方程的解 5．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）在下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了方程的解．通过将代入每个方程，验证方程左右两边是否相等，从而确定解为的方程，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故不是的解， B、，故不是的解， C、，故是的解， D、，故不是的解， 故选：C． 6．（25-26七年级上·北京·月考）当x取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于x的方程的解是 ． x 0 1 2 3 14 10 6 2 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、判断是否是方程的解 【分析】本题主要考查代数式的值与方程的解，理解表格信息，掌握方程与解的关系是解题的关键． 通过表格数据，分析当x取不同值时，的值，代入方程观察方程是否成立，即可求解． 【详解】解：根据表格可知当时，，即， 方程的解是． 故答案为：． 题型四、已知方程的解，求参数 7．（25-26七年级上·广东江门·期中）已知是方程的解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程等知识点，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．根据方程解的定义，将代入方程，即可得出一个关于的一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解；把代入方程， 得，即， 移项，得，即， 两边同时除以，得． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）若是关于的方程的解，求代数式的值． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 把代入原方程中求出，整体代入即可得到答案． 【详解】解：因为是关于的方程的解， 所以把代入，得， 所以． 题型五、判断是否是一元一次方程 9．（25-26七年级上·河南周口·期中）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题关键． 根据一元一次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程）判断各选项． 【详解】∵ 一元一次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为1；③整式方程． 选项A：，未知数次数为2，不符合②． 选项B：，只含未知数，次数为1，且为整式，符合定义． 选项C：，含两个未知数，不符合①． 选项D：，分母含未知数，不是整式方程，不符合③． ∴ 是一元一次方程的只有B． 故选B． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）若方程是关于x的一元一次方程，则m的取值范围是 ． （2）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 2 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解决问题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义. （1）根据一次项系数不等于即可得到的值. （2）根据未知数的次数等于即可解决. 【详解】解：（1）由题意可得： 故答案为： （2）由题意可得： 故答案为：2. 题型六、判断是否是一元一次方程解 11．（24-25七年级下·山西晋城·期中）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步骤是关键．把代入每个方程，当左边等于右边时，是该方程的解；当左边不等于右边时，不是该方程的解，据此判断即可． 【详解】解：A．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； B．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； C．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； D．把代入方程得：左边，右边，左边=右边，符合题意． 故选：D． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业），，分别是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】是方程的解；是方程的解；是方程的解． 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把，，分别代入四个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到结论． 【详解】解：把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 综上所述，是方程的解；是方程的解；是方程的解． 题型七、等式的性质 13．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）下列等式的变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可，解题的关键是正确理解等式性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；、等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立． 【详解】解：、如果，那么，原选项错误，不符合题意； 、如果，那么，原选项错误，不符合题意； 、如果，那么，原选项正确，符合题意； 、如果，当时，那么，原选项错误，不符合题意； 故选：． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式： (1)如果，那么 ． (2)如果，那么 ． (3)如果，那么 ． (4)如果，那么 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为的数（或字母），等式仍成立． （1）（2）分别根据等式的性质判断即可； （3）（4）分别根据等式的性质判断即可； 【详解】（1）解：如果，，根据等式性质，在等式两边都减去； 故填：； （2）如果，那么，根据等式性质，在等式两边都减去； 故填：； （3）如果，那么，根据等式性质，在等式两边都除以； 故填：； （4）如果，那么，根据等式性质，在等式两边都乘以； 故填：． 题型八、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 15．（25-26七年级上·甘肃甘南·月考）若关于的一元一次方程与的解互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，先求出的方程的解为，根据题意可得方程的解为，将代入求出的值即可． 【详解】解：， 解得， 两方程的解互为相反数， 方程的解为， 代入得， 解得， 故选：A． 16．（25-26七年级上·河南周口·期中）解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是通过移项、合并同类项等步骤将方程化为最简形式求解． 1． 将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，得到； 2． 合并同类项，得到； 3． 系数化为1，求出的值． 【详解】解：， ， ， ． 题型九、解一元一次方程（二）——去括号 17．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）关于的方程（k为常数，）的解为 ．（用含的代数式表示） 【答案】或 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、绝对值方程 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值的代数意义，将实数轴按绝对值内表达式的零点（即和）分为三个区间：、和，在每个区间内去绝对值符号，求解方程，并验证解是否满足区间条件即可，熟练掌握绝对值的意义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， 当时，方程化为， 此时解得； 验证：对于，总有，故解符合题意； 当时，方程化为， 此时解得， 验证：对于，该解不满足（当时，当时，当 时方程无解），故无解； 当时，方程化为， 此时解得， 验证：对于，总有，故解符合题意； 综上所述，方程的解为 或， 故答案为：或． 18．（25-26七年级上·河南周口·期中）解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【详解】解：， ， ， ． 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，先利用乘法分配律展开方程两边的括号，再进行移项合并同类项后即可得出结果． 题型十、解一元一次方程（三）——去分母 19．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）解方程，下面去分母变形正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程的去分母步骤。方程两边同乘分母的最小公倍数6，去分母后得到等式. 【详解】解：方程： 两边同乘6： ∵, , , ∴ 即 ，与选项A一致. 其他选项B、C、D均变形错误， 故选A. 20．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）解方程 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解答本题的关键． （1）本题先去分母，再去括号，然后移项合并同类项求出未知数即可得解． （2）本题先去分母，再去括号，然后移项合并同类项求出未知数即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， ， ， 解得：． 题型十一、已知一元一次方程的解，求参数 21．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）某同学解方程时，把“□”处的系数看错了，解得，他把“□”处的系数看成了（   ） A．4 B．-4 C．6 D．-6 【答案】C 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查一元一次方程的解，理解看错系数后代入解满足方程是解题关键． 设同学看错的系数为，将代入看错的方程，求解． 【详解】解：设同学看错的系数为， ∵ 同学看错系数后解得， ∴ 将 代入方程 得： ∴ ∴ 故他把“□”处的系数看成了 6． 故选：C． 22．（25-26六年级上·上海·期中）（1）当时，求一次式的值． （2）已知关于x的方程与的解相同，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查整式的化简求值，解一元一次方程； （1）去括号，合并同类项，将原式化简，再将代入求值即可； （2）先解求出，再代入方程即可求出m的值. 【详解】解：（1） ； 当时，原式． （2）解方程得， 根据同解方程的定义把代入关于x的方程中，得： ， 解得． 题型十二、一元一次方程解的关系 23．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 【答案】B 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、一元一次方程解的关系 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，熟练掌握一元一次方程的解及其解法是解题的关键；通过变量替换，将关于y的方程转化为与原方程相同的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则关于y的方程化为， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴关于z的一元一次方程，的解是， ∴， ∴； 故选B． 24．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）关于的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题主要考查一元一次方程解的综合应用；先把两个方程的解表示出来，再根据相反数的定义，让两个解相加等于0，计算求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， ∵解互为相反数， ∴ ， ， ． 题型十三、绝对值方程 25．（25-26七年级上·安徽黄山·期中）若为有理数且，则的取值是（    ） A． B． C．或2 D． 【答案】C 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值方程的性质，将方程分为两种情况求解． 【详解】解：， 或， 当时，； 当 时，， 的取值为或 2， 故选： C． 26．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我们知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：若 ，则 ； (2)填空：使得 成立的是 ； (3)由以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由． (4)由以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时的值，如果没有，说明理由． 【答案】(1)6或 (2)或3 (3)有最小值，最小值为7 (4)有最小值，当时，最小值为3 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值方程、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义与分类讨论思想，熟练掌握“利用绝对值的几何意义（数轴上点的距离）分析问题，结合分类讨论求解”是解题的关键． （1）根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解； （2）根据绝对值的几何意义（数轴上点到和的距离和），分区间讨论求解； （3）利用绝对值的几何意义，分析数轴上点到和的距离和的最小值； （4）根据绝对值的几何意义，分析数轴上点到、、的距离和的最小值及对应的值． 【详解】（1）解：， 或 ， 当时，， 当时，， 或； （2）解：分三种情况： 当时：，，解得； 当时，（无解）， 当时，，解得， 或， （3）解：表示数轴上对应的点到和对应的点的距离和， 当在与之间（含端点）时，距离和最小，最小值为； （4）解：表示数轴上对应的点到、、对应的点的距离和， 当时，距离和最小， 最小值为． 题型十四、工程问题(一元一次方程的应用) 27．（25-26七年级上·天津河东·月考）一项工程，甲单独做要天完成，乙单独做要天完成，现由甲先做天，剩下的由甲、乙合作完成，则还需要几天完成这项工程（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】A 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意并正确找出等量关系．设还需要天完成这项工程，将工作总量视为单位“”，列方程求解即可． 【详解】解：设还需要天完成这项工程， 根据题意可得 解得， 即还需要天完成， 故选：A． 28．（25-26七年级上·吉林长春·期中）今年年初，新民大街历史文化街区保护提升活化利用工程启动，新民大街历史文化街区全长1445米，施工团队在修建了80天后，为加快建设脚步，抢抓工期，施工团队决定提升修建速度，每天修建长度是原来的1.5倍，共用140天完成全部任务，求原来每天施工长度． 【答案】8.5米 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意建立等量关系列方程． 设原来每天施工长度为x米，根据总天数列方程求解即可． 【详解】解：设原来每天施工长度为x米， 则提升修建速度后每天修建长度为米， ∴， 即，解得， ∴原来每天施工长度为8.5米． 题型十五、销售盈亏(一元一次方程的应用) 29．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）商场销售某品牌冰箱，已知进价为1800元，若按标价的八折销售，每件可获利200元，冰箱标价 元． 【答案】 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设冰箱标价为元，根据八折销售获利元，列出关于的一元一次方程求解． 【详解】解：设冰箱标价为元，则售价为元． 根据题意，得． 解得，． 答：冰箱标价为元． 故答案为：． 30．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）某品牌运动鞋原价元/双，促销方案如下： 方案一（普通优惠）：购买2双及以上时，超出2双的部分打8折． 方案二（会员优惠）：办理会员卡需付元工本费（仅首次办理需要，之后购买都享受会员价），会员价元/双． 小华发现在某个购买数量下，两种方案的总花费相同．请问小华购买了多少双运动鞋？总花费是多少元？ 【答案】两种方案总花费相同时小华买了6双运动鞋，总费用是元． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了销售盈亏(一元一次方程的应用) ，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 设小华购买了双运动鞋，根据题意列出一元一次方程求解，再求总费用． 【详解】解：设小华购买了双运动鞋， 要使总花费相同，方案一要有优惠， 即， ， 解得：， ， 答：两种方案总花费相同时小华买了6双运动鞋，总费用是元． 题型十六、比赛积分(一元一次方程的应用) 31．（25-26七年级上·甘肃甘南·月考）某次考试有道选择题，每做对一题得分，不做或做错一题扣分，小李共得分，那么他不做或做错的题目是（    ） A．道 B．道 C．道 D．道 【答案】B 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设做对题数为，则不做或做错题数为，根据题意得，即可求解． 【详解】解：设做对题数为，则不做或做错题数为， 根据题意得， 解得 不做或做错题数为（道） 故选：B． 32．（23-24七年级上·全国·期末）表是某次篮球联赛积分的一部分 球队 比赛现场 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 备注：总积分=胜场积分+负场积分 (1)请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（直接写出答案）； (2)某队的胜场总积分能否等于负场总积分的3倍？为什么？ (3)若某队的胜场总积分是负场总积分的n倍，n为正整数，试求n的值． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2)不能，理由见解析 (3)n的值为2，5，12或26 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找准等量关系列出一元一次方程求解即可． （1）根据表格中胜场与负场的次数结合总积分即可求解； （2）设该队胜了m场，则负了场，根据胜场总积分等于负场总积分的3倍，即可得出关于m的一元一次方程解之即可得出m的值，结合m为整数即可得出结论； （3）设该队胜了a场，则负了场，根据胜场总积分等于负场总积分的n倍，结合n为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格中前进球队可知，胜场为10场，负场为4场，总积分为24分， 则有， 同理其他球队也满足，胜场负场总积分， ∴胜一场积2分，负一场积1分； （2）解：不能，理由如下： 设该队胜了m场，则负了场， 若某队的胜场总积分等于负场总积分的3倍， ∴， 解得， ∵m为整数， ∴某队的胜场总积分不能等于负场总积分的3倍； （3）解：设该队胜了a场，则负了场， 根据题意可得，， 解得， 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，分母为零，此时不存在n的值； 综上，n的值为2，5，12或26． 题型十七、方案选择(一元一次方程的应用) 33．（25-26七年级上·四川达州·月考）为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客． 门票定价为元/人，非节假日打8折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即人以下（含人）的团队按原价售票；超过人的团队，其中人仍按原价售票，超过人部分的游客打7折售票．某旅行社导游李娜于月1日（节假日）带A团，月日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款元，A，B两个团队合计人，则A团有 人． 【答案】或 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了方案选择(一元一次方程的应用)，解题关键是正确列出方程求解． 设A团人数为x，则B团人数为．A团节假日购票，付款按分段函数计算；B团非节假日购票，按8折计算付款．根据总付款元，分和两种情况列方程求解． 【详解】解：设A团有x人，则B团有人． B团非节假日购票款为：． A团节假日购票款： 当时，为元； 当时，为元． 总付款为元， 因此：当时，， 解得：，符合． 当时，， 解得：，符合． 故A团有人或人． 故答案为：或． 34．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）联合国教科文组织正式宣布每年的3月14日为“国际数学日”，以纪念圆周率的诞生，在国际数学日到来之际，学校计划订购一批数学教具，以下是某商店给出的优惠方案： 当销售量不超过100个时，单价为15元/组： 当销售量超过100个时，超过的部分按照单价的八折销售． (1)若购买80组教具，花费______元；若购买130组教具，花费_______元． (2)学校购买数学教具共花费2220元，请用一元一次方程求出购买了多少组教具． 【答案】(1)1200，1860 (2)购买了160组教具 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式，解题的关键是根据各数量之间的关系列出代数式． （1）利用总价单价数量，结合该商店给出的优惠方案，即可求出结论； （2）设购教具的组数为组，，由（元元，可得出，结合（1）的结论及总价为2220元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：购买80组教具，花费的钱数为（元）， 购买130组教具，花费的钱数为 （元）， 故答案为：1200；1860． （2）解：设购教具的组数为组， （元元， ， 依题意得，， 解得：， 答：购买教具的组数为160组． 题型十八、数字问题(一元一次方程的应用) 35．（25-26七年级上·四川达州·月考）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，∵，∴是“快乐数”；又如：四位数，∵，∴不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则m的值为 ． 【答案】3 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数字问题（一元一次方程的应用），新定义下的实数运算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据“快乐数”的定义，对于四位数，有，，，代入条件建立方程求解． 【详解】解：由题意，得， 即， 整理得， 解得：． 经检验，数字1、5、3、8互不相等且均不为0，符合条件． 故答案为：3． 36．（25-26七年级上·福建厦门·期中）七年级一次数学活动中，甲乙两位同学对钟面问题展开探索研究，问题如下：“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？” 甲同学采用“配对法”，将这12个数分成6组：，，，，，，通过添加正负号让其中三组中各数的和都为1，另外三组中各数的和都为； 乙同学采用“奇偶法”，将这12个数按奇偶性分成两组：，，通过适当地添加正负号，先使所有的奇数的和为0，再使所有的偶数的和也为0，这样就可以使这12个数的和为0了． (1)甲，乙两位同学的办法中______； A．甲同学办法可行 B．乙同学办法可行 C．甲，乙同学办法均可行 D．甲，乙同学办法均不可行 (2)在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加方式，如果不能，请说明理由； (3)在1，2，3，4，…，2024，2025共2025个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为2026，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加方式，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)A (2)能做到，举例：，，，，，，，，，，， (3)不能，理由见解析 【知识点】有理数加法运算、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数的加法计算，正确理解题意是解题的关键。 （1）根据有理数的加法计算法则可判断甲同学的添加方式；对于偶数分组，可先求出所有数字之和，然后根据所有的负数之和的绝对值等于所有正数之和，再由偶数之和为偶数判定乙同学的添加方式不可行． （2）设所有正数之和为m，则所有的负数之和为，根据钟表上的所有数字之和等于78建立方程求解即可； （3）把1到2024这2024个整数分为1012组，每组两个数字为连续的数字，设共有x组的和为，则有组的和为，根据所有数字之和为2026建立方程求解即可． 【详解】（1）解：按照甲的方法：将这12个数分成6组：，，，，，令其中三组的和为，另外三组的和为1，最后的结果为，符合题意； 按照乙的“奇偶法”将这12个数按奇偶性分成两组：，对于后一组，因为，，应该是，但是所有偶数的和都是偶数，不可能出现奇数21或，故不符合题意． 故选：A； （2）解：钟面上的所有数之和为： 设所有正数之和为m，则所有的负数之和为， ∴， 解得； ∴只要从12个数中选出的正数之和为37，剩余的数都为负数．这样就能做到保证最后所有数之和为 ∴满足题意的添加方式可以为； （3）解：不能使它们的和为2026，理由如下： 把共2024个整数分为1012组：，， 设共有x组的和为，则有组的和为， ∴， 解得， ∵x为整数， ∴不符合题意， ∴不能使它们的和为2026． 题型十九、几何问题(一元一次方程的应用) 37．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图是一枚长方形庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其周长是260，长和宽的比为．问这枚纪念币的长和宽?设这枚纪念币的长为，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据这枚纪念币的长为，得到宽为，再结合“其周长是”建立方程，即可解题． 【详解】解：因为长方形纪念币长和宽的比为， 设这枚纪念币的长为，则宽为， 因为其周长是， 可列方程为； 故选：A． 38．（25-26七年级上·吉林·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为7（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ； 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（例如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 【答案】（1）；（2）①，②和；（3）或或． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上的翻折 【分析】本题考查了实数和数轴的关系，数轴上的折叠问题． （1）利用数轴的对称性可得答案； （2）①先确定好折痕点对应的数，再利用距离相等可得答案； ②利用数轴上、两点到折痕的距离为，从而可得答案； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵表示的点与表示的点重合， ∴折痕为， 则表示的点与表示的点重合． 故答案为：； （2）解：①∵折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合， ∴折痕表示的点为， 设3表示的点与数表示的点重合， 则， 则； ∴表示的点与表示的点重合； 故答案为：； ②∵数轴上、两点之间距离为， ∴数轴上、两点到折痕的距离为， ∵在的左侧，，， ∴、两点表示的数分别是和； 故答案为：和； （3）解：设折痕处对应的点所表示的数是x， 如图1，当时， 设，则， ∴，解得：， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 如图2，当时， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 如图3，当时， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或． 故答案为：或或． 题型二十、动点问题（一元一次方程的应用） 39．（25-26七年级上·河南郑州·期中）在数轴上点A、B表示的数分别为，．若点N从A点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向B匀速运动，点M从B点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向A匀速运动．设点M，N同时出发，运动时间为秒，点P为线段的中点，经过 秒后，点到原点的距离为． 【答案】6或14 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查数轴上的动点问题，据点N和点M的运动方向与速度，分别表示出它们的位置对应的数（代数式表示），进而可得点P表示的数为，根据题意建立含有t的一元一次方程，解出t的值即可． 【详解】解：运动时间为秒，点N为；点M为． 点为的中点，为 P点到原点的距离为2，即： 解得： 故答案为：6或14． 40．（25-26七年级上·甘肃甘南·月考）【问题背景】如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是．点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向数轴正半轴运动；同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向数轴负半轴运动．设运动时间为秒． 【问题再现】（1）运动秒后，点表示的数为______，点表示的数为______；（用含的代数式表示） 【问题推广】（2）经过多少秒后，点和点相遇？ 【拓展提升】（3）若点到达点后立即返回，以原速向数轴负半轴运动，点到达点后也立即返回，以原速向数轴正半轴运动，求、两点第二次相遇时，相遇点在数轴上表示的数． 【答案】（1）；（2）经过秒后，点和点相遇（3）、两点第二次相遇时，相遇点在数轴上表示的数是 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上点的平移（动点问题）、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴上的动点问题（一元一次方程的应用），分析动点的运动阶段、用含时间的代数式表示动点位置是解题的关键． （1）用 “初始位置 ± 速度 × 时间” 即可得出、表示的数； （2）由“位置相等”列方程求解即可； （3）先计算点到、点到的时间，确定两者“到达端点并返回”的时间节点，再针对“均返回后”的阶段，重新用含的代数式表示、的位置（注意“返回后的运动时间总时间到达端点的时间”），最后利用“位置相等”列方程求解即可． 【详解】解：（1）点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向数轴正半轴运动，秒后表示的数为：； 点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向数轴负半轴运动，秒后表示的数为：； （2）当点和点相遇时，二者位置相等， 列方程为，解得， 所以经过秒后，点和点相遇； （3）根据题意可知，点从到所需的时间为（秒）， 所以时，点表示的数为， 此时点还未到达点，仍在向左运动， 点从到所需的时间为（秒）， 所以这时点已从点的位置返回后运动了（秒）， 这时点表示的数为， 所以第二次相遇发生在点、点均返回后， 设第二次相遇的时间为秒（）， 这时点经过秒到达点后向负半轴运动，点表示的数为， 点经过秒到达点后向正半轴运动，点表示的数为， 列方程为， 整理得， 解得， 当时，点表示的数为， 所以、两点第二次相遇时，相遇点在数轴上表示的数是． 题型二十一、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 41．（25-26七年级上·北京·期中）某地对居民用电的收费标准为：如果每月用电量不超过100度，那么每度按元收费，如果超过100度，超出部分按每度元收费，已知该户居民这个月缴纳电费元，若设该户居民一个月用电x度，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据收费标准，用电量超过100度时，电费由两部分组成：前100度按每度元收费，超出部分按每度元收费，已知总电费为77.4元，据此列方程． 【详解】解：依题意，（元）， ∵， ∴用电量x超过度， 因此，总电费为前度的电费加上超出部分的电费，即， 故答案为：． 42．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 超过10吨但不超过25吨的部分 3 超过25吨的部分 (1)如果小李家9月份交水费元，则小李家这个月用水多少吨？ (2)小李家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水40吨（其中10月份用水超过25吨），一共交水费136元，求小李家11月份用水多少吨？ 【答案】(1)小李家9月份用水13吨 (2)小李家11月份用水11吨 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用——分段计费等知识，理解表格提供的分段计费标准是解题关键． （1）先求出用水10吨时，应交水费元，用水25吨时，应交水费元，设小李家9月份用水x吨，列方程，解方程即可求解； （2）设小李家11月份用水y吨，则10月份用水吨，根据10月份用水超过25吨，得到．分和两种情况分别列方程，解方程，舍去不合题意情况即可求解． 【详解】（1）解：当用水10吨时，应交水费（元）， 当用水25吨时，应交水费（元）， 设小李家9月份用水x吨， 由题意得， 解得． 答：小李家9月份用水13吨； （2）解：设小李家11月份用水y吨，则10月份用水吨． ∵两个月一共用水40吨，其中10月份用水超过25吨， ∴． ①当时，列方程得， 解得（不合题意，舍去）； ②当时，列方程得， 解得（符合题意）． 答：小李家11月份用水11吨． 题型二十二、行程问题(一元一次方程的应用) 43．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）一天，小明在家和学校之间行走，为了好奇，他测了一下在无风时的速度是40米/分．从家到学校用了20分钟，从原路返回用了18分钟20秒，设风的速度是米/分，则所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查实际问题与一元一次方程；根据无风速度、时间和风的速度，利用顺风速度和逆风速度的概念，结合距离相等列出方程即可． 【详解】解：∵ 从家到学校用时20分钟，返回用时18分钟20秒 = 分钟， 返回时间较短，说明返回时顺风， ∴ 从家到学校逆风，速度 = （米/分）， 返回顺风，速度 = （米/分）． ∵ 距离相等， ∴ ． 故选：D． 44．（25-26七年级上·北京·月考）列方程解应用题： 长期坚持跑步可以增强心肺功能，让身体更加健康．周六早上小健和小乐相约去奥森跑步．小健家离奥森近，决定步行前往，他从家出发时刻与到达奥森时手表显示信息分别如图1和图2所示． 小乐出发比小健晚了5分钟，且家离奥森比小健家离奥森远米，所以小乐决定骑自行车前往，小乐骑行的平均速度是小健步行的平均速度的倍，最终小乐与小健在同一时刻到达奥森．求小健步行的平均速度和平均步长． 【答案】小健步行的平均速度为米/分，平均步长为米． 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．直接利用小乐骑行的平均速度是小健步行的平均速度的倍，进而得出等式求出答案． 【详解】解∶设小健步行的平均速度为x米/分， 根据题意得， 解得， 小健一共步行 (步)， 其平均步长为 (米) 答∶小健步行的平均速度为米/分，平均步长为米． 题型二十三、比例分配(一元一次方程的应用) 45．（2024七年级上·全国·专题练习）曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 【答案】1500人 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人，根据“高中总人数初中总人数”列出方程并解答． 【详解】解：设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人， 依题意，得． 解得． ∴． ∴（人． 答：高、初中毕业班学生一共有1500人． 46．（24-25七年级上·陕西延安·期末）在清冰雪劳动中，某武警部队出动兵力人参加三条街道的清冰雪劳动，其中街道清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加街道和街道的清冰雪劳动，并且参加街道清冰雪的人数是参加街道清冰雪人数的． (1)求参加街道清冰雪劳动的有多少人？ (2)求参加街道和街道清冰雪劳动的各有多少人？ 【答案】(1)参加街道清冰雪劳动的有人； (2)参加街道清冰雪劳动的有人，参加街道清冰雪劳动的有人． 【知识点】 分数与整数的乘法、比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了分数乘法的应用、一元一次方程的实际应用，解题关键是根据题意，找准等量关系，列出正确的方程式． （1）根据分式乘法的运算，用总人数乘以街道清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的分率即可求解； （2）设参加街道的清冰雪劳动有人，参加街道清冰雪的人数为人，由（1）可得参加街道清冰雪劳动的为人，根据总数为人列方程，即可求解． 【详解】（1）解：（人）， 答：参加街道清冰雪劳动的有人； （2）解：设参加街道的清冰雪劳动有人，那么参加街道清冰雪的人数为人， ， 解得，， ， 答：参加街道清冰雪劳动的有人，参加街道清冰雪劳动的有人． 题型二十四、日历问题(一元一次方程的应用) 47．（25-26七年级上·山西阳泉·月考）在如图所示的2025年2月份的日历表中，任意框住日历上竖列上的三个相邻数，这三个相邻数的和可能是（　　） A．21 B．51 C．69 D．75 【答案】B 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设三个数中最小的数为x，则另外两数分别为，，令三个数之和分别为四个选项中的数，解之即可得出x的值，再结合x为正整数，即可得出答案． 【详解】解：设三个数中最小的数为x，则另外两数分别为，， 由于x为正整数，则依题意， A、，解得：，不符合题意； B、，解得：，另外两数分别为，，符合题意； C、，解得：，另外两数分别为，（无此数），不符合题意； D、，解得：，另外两数分别为，（无此数），不符合题意； 故选：B． 48．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）观察下图阴影方框内中间的数与其他四个数的关系． (1)中间的数用y表示，左边的数是（   ），下面的数是（   ），方框中5个数的和是（   ）． (2)当5个数的和是时，这5个数分别是多少？在下图方格中填一填． 【答案】(1)，， (2)见解析 【知识点】数字类规律探索、日历问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了数字类规律探索，列代数式，日历问题(一元一次方程的应用)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）结合日历填写即可； （2）根据题意列出方程求解，再求得其余四个数即可． 【详解】（1）解：中间的数用y表示，左边的数是，下面的数是，方框中5个数的和是． 故答案为：，，； （2）设中间的数用y表示， 则， 解得：， 左边的数是，上面的数是，下面的数是，右边的数是， 故这5个数分别是，，，，，如图， 题型二十五、古代问题(一元一次方程的应用) 49．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、物价各几何．题目大意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9钱，就多出11钱；如果每人出6钱，就还差16钱，问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？设有人买鸡，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据每人出9钱，就多出11钱，得出鸡的价格是钱，结合每人出6钱，就还差16钱，则鸡的价格是钱，最后由这些鸡的总价不变列出等式，即可作答． 【详解】解：∵设有人买鸡，每人出9钱，就多出11钱；如果每人出6钱，就还差16钱，且这些鸡的总价不变 ∴可列出， 故选：A 50．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．图1“洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字．观察图1中的每一组点所对应的数字，回答下列问题： (1)根据“洛书”，图2中______，______； (2)根据图2所填数字，我们不难发现：方格中每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等．若图3符合“洛书”的规律，每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等，求c的值． 【答案】(1)5，6； (2) 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据“洛书”中的点，找出，的值； （2）根据第二行及对角线上的三个数的和相等，可求出第三行第一个方格中的数为7，再根据第三行及第三列上的三个数的和相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据“洛书”，图2中，． 故答案为：5，6； （2）解：第三行第一个方格中的数为， 根据题意得：， 解得． 答：的值为． 题型二十六、其他问题(一元一次方程的应用) 51．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）用一根长28米的铁丝围成一个长方形，使长方形的长比宽多4米，此时长方形的面积为（   ）平方米． A．40 B．45 C．50 D．54 【答案】B 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设宽为x米，则长为米，根据周长公式建立方程，求解后计算面积即可． 【详解】解∶设宽为x米，则长为米， 根据题意可知：， 解得：， 则宽为5米，长为（米）， 则长方形的面积为（平方米）， 故选B． 52．（25-26七年级上·福建三明·期中）我们在第三章的学习过程中，经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程．归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略，请用归纳策略解答问题：如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开．剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；… (1)归纳：完成以下表格： 剪开次数（刀） 1 2 3 4 … n 绳子数量（段） 5 9 ______ ______ … ______ (2)问题解决： ①剪10刀时，绳子变为多少段？ ②有可能刚好剪得2025段吗？请说明理由． 【答案】(1)13，17， (2)①剪10刀时，绳子变为41段；②有可能，见解析 【知识点】图形类规律探索、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了图形的变化类，一元一次方程的应用，培养学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案． （1）根据图形，找出规律：每剪一次，绳子的数量增加4段，依次规律，填数值即可； （2）①把代入（1）的规律即可得出答案； ②假设（1）中的代数式的值为2025，求出n的值，判断n的值是否为正整数即可得出答案． 【详解】（1）解：∵剪1刀，绳子变为5段，； 剪2刀，绳子变为9段， ； 由此可得，剪3刀，绳子变为段， 剪4刀，绳子变为段， …… 可得，剪n刀，绳子变为段； 故答案为：13，，； （2）解：①由（1）可知剪开次数（刀）为n，则绳子数量（段）为， 当时，， 所以剪10刀时，绳子变为41段． ②有可能． 理由：由（1）可知剪开次数（刀）为n，则绳子数量（段）为． 当时，，，是正整数， ∴有可能刚好剪得2025段． 题型二十七、配套问题(一元一次方程的应用) 53．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片480个或镜框60个．2个镜片和1个镜框配套，应如何分配工人生产镜片和镜框，才能使每天生产的产品配套？设安排x名工人生产镜片，则下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用．已知安排名工人生产镜片，那么生产镜框的工人数量为名，然后分别计算出镜片和镜框的数量，根据两个镜片和一个镜框配套这一条件列出方程． 【详解】解：安排名工人生产镜片，那么生产镜框的工人数量为名， ∴可列方程为， 故选：A． 54．（25-26七年级上·河南周口·期中）列方程解应用题 某车间有30名工人，每人每天能生产甲种零件12个或乙种零件15个．若要使每天生产的甲、乙两种零件按配套，应安排多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件？ 【答案】应安排20人生产甲种零件，10人生产乙种零件． 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用－配套问题． 设安排x人生产甲种零件，则人生产乙种零件，则每天生产甲种零件个，乙种零件个，根据甲、乙两种零件按配套列方程求解即可． 【详解】解：设安排x人生产甲种零件，则人生产乙种零件， ∵每人每天能生产甲种零件12个或乙种零件15个， ∴每天生产甲种零件个，乙种零件个， ∵甲、乙两种零件按配套， ∴， 解得：， 即安排20人生产甲种零件，10人生产乙种零件． 题型二十八、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 55．（25-26七年级上·吉林·期中）12与x的差等于x的2倍，则x的值为 ． 【答案】4 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了解一元一次方程． 根据题意，列出关于x的一元一次方程，然后通过移项和合并同类项求解． 【详解】解：由题意，得方程：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 两边同时除以，得：． 故答案为：4． 56．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在巴黎奥运会上，中国体育健儿以为国而战的情怀，顽强拼搏的信念，团结协作的品质，为祖国和人民赢得了荣誉，生动地诠释了新时代中国精神，成为广大青少年的榜样，掀起了运动的热潮．某校七年级乒乓球社团人数增加，需购买一批乒乓球拍和乒乓球，已知一副乒乓球拍比一盒乒乓球贵20元，买12副乒乓球拍和8盒乒乓球共需640元． (1)求一副乒乓球拍和一盒乒乓球的价格各是多少元； (2)在“双12”促销活动中，某体育用品商店制订以下优惠方案： 方案一：商品按原价打9折优惠； 方案二：商品按原价出售，每满200元返30元； 方案三：商品按原价出售，超过800元的部分打7折优惠； 现计划购买23副乒乓球拍和20盒乒乓球，请通过计算说明按照哪种方案购买较为合算． 【答案】(1)一副乒乓球拍的价格为40元，一盒乒乓球的价格为20元 (2)按照方案二购买较为合算，见解析 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程和对应的算式是解题的关键． （1）设一副乒乓球拍的价格是元，则一盒乒乓球的价格是元，根据买12副乒乓球拍和8盒乒乓球共需640元建立方程求解即可； （2）根据所给的优惠方案，分别计算出三种优惠方案下的费用，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设一副乒乓球拍的价格是元，则一盒乒乓球的价格是元， 根据题意，得，     解得，     ∴． 答：一副乒乓球拍的价格为40元，一盒乒乓球的价格为20元． （2）解：方案一：（元）． 方案二：元， ， （元）．     方案三：（元）．         ， 按照方案二购买较为合算. 学科网（北京）股份有限公司 $