期末应用与解决问题专项08：典型问题·数形规律-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 期末应用与解决问题专项08：典型问题·数形规律 一、填空题。 1．学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一排，2桌拼成一排能坐6人（如下图）。照这样排下去，4张方桌拼在一起能坐( )人，n张方桌拼在一起能坐( )人。 【答案】 10 2n＋2 【分析】由图可知：每增加1张桌子，人数就多坐2人。1张方桌可以坐4人（4人可以看作2×1＋2）；2张方桌可以坐（2×2＋2）人；3张方桌可以坐（2×3＋2）人，4张方桌可以坐（2×4＋2）人，5张方桌可以坐（2×5＋2）人，那么第n张方桌可以坐（2n＋2）人。 【详解】2×4＋2 ＝8＋2 ＝10（人） 所以学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一排，2桌拼成一排能坐6人（如下图）。照这样排下去，4张方桌拼在一起能坐10人，n张方桌拼在一起能坐（2n＋2）人。 2．如图所示，用3根火柴可以拼成1个三角形，5根火柴可以拼成2个三角形，7根火柴可以拼成3个三角形……照这样下去，拼10个三角形需要( )根火柴，67根火柴可以拼( )个三角形，n根火柴可以拼( )个三角形。 【答案】 21 33 （n－1）÷2 【分析】如图，拼一个三角形需要3根火柴，拼2个三角形需要2×2＋1＝4＋1＝5（根）火柴，拼成3个三角形需要2×3＋1＝6＋1＝7（根），……那么拼10个三角形需要（2×10＋1）根。据此可知，用三角形的个数乘2再加上1根，就是需要的火柴棒的个数。那么用火柴的根数减去1，算出结果再除以2，就是拼出三角形的个数。据此用字母表示三角形的个数。 【详解】2×10＋1 ＝20＋1 ＝21（根） （67－1）÷2 ＝66÷2 ＝33（个） 根据分析，照这样下去，拼10个三角形需要21根火柴，67根火柴可以拼33个三角形，n根火柴可以拼（n－1）÷2个三角形。 3．根据图形的排列规律填空。 第8个图形小三角形的个数是( )个，第n个图形小三角形的个数是( )个。 【答案】 64 【分析】观察这几个图形的小三角形数量：第1个图形有1个小三角形，正好是12；第2个图形有4个，是22；第3个有9个，是32；第4个有16个，是42。能总结出规律：第n个图形的小三角形个数就是序号n的平方。那第8个图形的话，代入n＝8，就是82＝64个。所以第8个图形小三角形有64个，第n个图形的个数是n2个。 【详解】82＝8×8＝64 第n个图形小三角形个数＝n2（n为图形序号） 第8个图形有64个小三角形，第n个图形有n2个小三角形。 【点睛】通过“数每个图形的小三角形数量→对应序号的平方”，把图形的排列规律转化为“序号与平方数”的数量关系，既体现了“形→数”的转化思想，也让规律的应用（求任意序号的图形数量）变得直接清晰。 4．下图是用大小相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形，按照图中铺瓷砖的规律一直铺下去。第4个图形有( )个黑色三角形和( )白色三角形，第8个图形有( )个黑色三角形和( )白色三角形。 【答案】 10 15 36 45 【分析】先观察前3个图形中黑、白三角形的数量，总结规律： 黑色三角形：第1个图形1个（1），第2个3个（1＋2），第3个6个（1＋2＋3），可推出第n个图形的黑色三角形数量是前n个自然数的和，公式为； 白色三角形：第1个图形3个（1＋2），第2个6个（1＋2＋3），第3个10个（1＋2＋3＋4），可推出第n个图形的白色三角形数量是前n＋1个自然数的和，公式为。再代入n＝4和n＝8，计算对应数量。 【详解】第4个图形： 黑色三角形： 白色三角形： ＝15 第8个图形： 黑色三角形： ＝36 白色三角形： 故第4个图形有10个黑色三角形和15个白色三角形，第8个图形有36个黑色三角形和45个白色三角形。 5．观察下面的点群，请回答问题。 (1)第( )个点群中包含25个点。 (2)第个点群中包含( )个点。 【答案】(1)7 (2)4n－3 【分析】从点群中发现规律，第1个点群有1个点，第2个点群有5个点，是1＋4，第3个点群有9个点，是1＋4＋4，第4个点群有13个点，是1＋4＋4＋4，由此可发现第n个点群有1＋（n－1）×4，也就是4n－3，依此解答。 【详解】（1）根据分析，第n个点群有1＋（n－1）×4， 1＋（n－1）×4 ＝1＋4n－4 ＝4n－3 点群中包含25个点也就是： 4n－3＝25 4n－3＋3＝25＋3 4n＝28 4n÷4＝28÷4 n＝7 所以第7个点群中包含25个点。 （2）第个点群中包含4n－3个点。 6．下面每个图中黑色的小正方形有多少个？照样子列式算一算。           ( )               ( )                ( ) 【答案】 5 7 21 【分析】每个图都是一个大正方形，其中包含白色小正方形区域（也是正方形），黑色小正方形数量＝大正方形总数量－白色小正方形数量。 ①：大正方形边长为2（总数量：），白色正方形边长为1（数量：），黑色数量：（题目已给）。 ②：大正方形边长为3（总数量：），白色正方形边长为2（数量：），黑色数量：。 ③：大正方形边长为4（总数量：），白色正方形边长为3（数量：），黑色数量：。 以此类推求出第十个图形黑色的小正方形有多少个。 【详解】 所以下面每个图中黑色小正方形分别有个，个，个。 7．某装饰品的吊链儿由大小不同的菱形组成，如第一幅图中有一个，第二幅图中有3个，第三幅图中有5个。照这样下去，第八幅图中有( )个菱形，第n幅图中有( )个菱形。 【答案】 15 2n－1 【分析】先把图的序号和对应菱形数量一一对应，即第一幅图1个、第二幅图3个、第三幅图5个；观察相邻两个数的变化，发现“每次都多2个”（1＋2＝3，3＋2＝5）；从第1幅图开始递推，第1幅1个，第2幅1＋2，第3幅1＋2＋2，以此类推，第n幅图就是1加（n－1）个2；把n＝8代入计算第8幅图菱形的数量。据此解答。 【详解】第一幅：1个 第二幅：1＋2＝3（个） 第三幅：1＋2＋2＝5（个） 由此得出：第n幅图：1＋（n－1）×2 ＝1＋2n－2 ＝（2n－1）个 把n＝8代入，得 2×8－1 ＝16－1 ＝15（个） 所以照这样下去，第八幅图中有15个菱形，第n幅图中有（2n－1）个菱形。 8．仔细观察图中正方形和直角三角形的个数有什么关系，再填空。 图形序号 ① ② ③ … 正方形个数 2 3 4 … 直角三角形个数 4 8 12 … 当正方形有10个时，三角形有( )个。第n个图形时，正方形有( )个，三角形有( )个。 【答案】 36 n＋1/1＋n 4n 【分析】观察可知，第1个图形有2个正方形，第2个图形有3个正方形，第3个图形有4个正方形……那么第n个图形有（n＋1）个正方形；第1个图形有4个直角三角形，第2个图形有（4×2）个直角三角形，第3个图形有（4×3）个直角三角形……那么第n个图形有4n个直角三角形，先根据正方形的个数求出n的值，再把n的值代入4n求出直角三角形的个数，据此解答。 【详解】当正方形有10个时。 n＋1＝10 解：n＋1－1＝10－1 n＝9 4n＝4×9＝36（个） 分析可知，当正方形有10个时，三角形有36个。第n个图形时，正方形有（n＋1）个，三角形有4n个。 9．仔细观察下图的排列规律。 第10个图形有( )个顶点。 【答案】31 【分析】由图可知，第1个图形有4个顶点，第2个图形有（4＋3）个顶点，第3个图形有（4＋3×2）个顶点，第4个图形有（4＋3×3）个顶点……以此类推，每次增加3个顶点，那么第n个图形有[4＋3（n－1）]个顶点，最后求出n＝10时含有字母式子的值，据此解答。 【详解】4＋3（n－1） ＝4＋3n－1×3 ＝4＋3n－3 ＝3n＋4－3 ＝（3n＋1）个 当n＝10时，3n＋1 ＝3×10＋1 ＝30＋1 ＝31（个） 所以，第10个图形有31个顶点。 10．我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。如图，第七行第一个数是( )，第四个数是( )。 【答案】 1 20 【分析】观察可知，第几行就有几个数，每行第一个数和最后一个数都是1，中间的任意一个数都等于该行上面一行相邻两个数的和，由此写出第7行的7个数，即可求得。 【详解】分析可知，第7行的数为1、6、15、20、15、6、1，则第一个数是1，第四个数是20。 11．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。 (1)第5幅图对应的算式是( )。 (2)81＝36＋45是第( )幅图对应的算式。 【答案】(1)36＝15＋21 (2)8 【分析】（1）题目中“三角形数”的规律为第二个数等于第一个数加2，第三个数等于第二个数加3，第四个数等于第三个数加4，依此类推，所以“三角形数”是1、3、6、10、15、21…“正方形数”的规律为12、22、32、42、52…即1、4、9、16、25…，根据题目已知条件：从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。可得出最后结果 。 （2）通过观察可知，第1幅图的边长有2个点，它对应的“正方形数”（即等号左边的数）是22，第2幅图的边长有3个点，它对应的“正方形数”（即等号左边的数）是92，第3幅图的边长有4个点，它对应的“正方形数”（即等号左边的数）是42…，因此等号左边的数是n2，就是第幅图。 【详解】（1）第5幅图对应的“正方形数”是，对应的两个相邻的“三角形数”是15和21 所以，第5幅图对应的算式是36＝15＋21。 （2） （幅） 所以，81＝36＋45是第8幅图对应的算式。 12．如图，麓麓在地上摆放了一些相同的正方体木块，现在把露在外面的表面涂成红色，从上向下数，每层正方体被涂成红色的面数分别为： 第一层：侧面个数＋上面个数＝1×4＋1＝5； 第二层：侧面个数＋上面个数＝2×4＋3＝11； 第三层：侧面个数＋上面个数＝3×4＋5＝17； 第四层：侧面个数＋上面个数＝4×4＋7＝23； ………… 当他在第n层涂了119个红色的面时，请判断n等于( )。 【答案】20 【分析】观察图形可知，第一层侧面的个数是1×4，第二层侧面的个数是2×4，第三层侧面的个数是3×4，……则第n层侧面的个数是n×4；第一层上面的个数是1，第二层上面的个数是（2×2－1），第三层上面的个数是（2×3－1），……则第n层上面的个数是（2×n－1），据此根据等量关系：第n层侧面个数＋第n层上面个数＝119，列出方程并解出方程，即可得到n。 【详解】n×4＋2×n－1＝119 解：6n－1＝119 6n－1＋1＝119＋1 6n＝120 6n÷6＝120÷6 n＝20 当他在第n层涂了119个红色的面时，n等于20。 二、选择题。 13．与1＋表示相同结果的算式是( )。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从1开始的连续奇数相加，和等于奇数个数的平方。如1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，以此类推。 【详解】先看算式的前半部分1＋3＋5＋7＋9＝52，后半部分5＋3＋1＝32，则与1＋表示相同结果的算式是52＋32。 故答案为：C 14．观察下图，照这样接着画下去，第6个图形最外圈有( )个正方形。 A．56 B．52 C．44 D．36 【答案】C 【分析】观察图形可知，第1、2、3、4个图形最外圈正方形分别有4个、12个、20个、28个，发现最外圈正方形的个数依次增加8个，据此发现规律，并按规律解答。 【详解】观察图形可知： 第1个图形：最外圈正方形有4个； 第2个图形：最外圈正方形有12个，12＝8×2－4； 第3个图形：最外圈正方形有20个，20＝8×3－4； 第4个图形：最外圈正方形有28个，28＝8×4－4； …… 规律：第n个图形最外圈正方形有（8n－4）个。 当n＝6时 8n－4 ＝8×6－4 ＝48－4 ＝44（个） 所以，第6个图形最外圈有44个正方形。 故答案为：C 15．如下图：正方形纸片按规律拼成如下图形，第( )个图案恰好有37个纸片。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】观察可知，第1个图形有5个纸片，5＝1×4＋1；第1个图形有9个纸片，9＝2×4＋1；第3个图形有13个纸片，13＝3×4＋1……由此可知，纸片的个数＝第几个图形就用几×4＋1，反过来求第几个图形，用（纸片的个数－1）÷4即可。 【详解】（37－1）÷4 ＝36÷4 ＝9（个） 第9个图案恰好有37个纸片。 故答案为：C 16．在运河文化展厅展示了房屋模型，乐乐对此十分好奇，搭建3间这样的房屋模型一共使用了13根木棒。他想知道，如果按照同样的搭建规律，要搭建10间这样的房屋模型，一共需要用到( )根木棒。 A．40 B．41 C．42 D．53 【答案】B 【分析】由图可知，搭建1间这样的房屋模型需要5根木棒，搭建2间这样的房屋模型需要（5＋4×1）根木棒，搭建3间这样的房屋模型需要（5＋4×2）根木棒……以此类推，每次增加4根木棒，那么搭建n间这样的房屋模型需要[5＋4×（n－1）]根木棒，最后求出n＝10时含有字母式子的值，据此解答。 【详解】5＋4×（n－1） ＝5＋（4n－4） ＝5＋4n－4 ＝5－4＋4n ＝（1＋4n）根 当n＝10时。 1＋4n ＝1＋4×10 ＝1＋40 ＝41（根） 所以，一共需要用到41根木棒。 故答案为：B 17．古希腊数学家毕达哥拉斯用石子在沙滩上画画，发现了数与形的规律。按照如图中图形的排列规律，第⑩个图形中直角三角形的个数是( )。 A．38 B．40 C．42 D．44 【答案】B 【分析】根据图示可知： ①幅图直角三角形个数为4个， ②幅图直角三角形个数为8个，8＝2×4， ③幅图直角三角形个数为12个，12＝3×4， n幅图直角三角形个数为4n个，据此解答。 【详解】n幅图直角三角形个数为4n个 当n＝10时，4n＝4×10＝40 第⑩个图形中直角三角形的个数是40。 故答案为：B 18．观察如图，按规律画下去，当某幅图中〇的个数有25个时，□的个数为( )。 A．144 B．121 C．100 D．81 【答案】A 【分析】观察图形可知：第1个图中〇有1个，没有□；第2个图中〇有3个，1个□（1×1）；第3个图中〇有5个，4个□（2×2）；第4个图中〇有7个，9个□（3×3）……可以发现□的个数是〇个数去掉左下角一个后，数列〇数乘横排〇数，且数列〇数等于横排〇数。 【详解】〇的个数有25个时，去掉左下角1个〇：25－1＝24（个） 24÷2＝12（个） 所以□的个数为：12×12＝144（个） 故答案为：A 19．如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘爬了一周，又回到O点。下面可以反映蚂蚁与O点距离变化的是( )。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘爬行，在开始时经过O至圆上这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而增加；在半圆弧这一段路程，根据圆的特征可知，蚂蚁到O点的距离不变，从圆上回到O点这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而减小。据此判断。 【详解】 A．，图中只有两段路程，第一段路程随着时间的增加而增加，而第二段路程不变，说明蚂蚁一直在半圆上运动，而没有回到O点，所以不符合蚂蚁与O点距离变化的描述； B．，图中一开始蚂蚁就处在离O比较远的距离，显然不符合题意； C．，第一段路程随着时间的增加而增加，第二段路程不变，第三段路程随着时间的增加而减小。符合蚂蚁与O点距离变化的描述； D．，图中只有两段路程，反映的是蚂蚁从O点出发后，就直接原路返回来了，所以不符合蚂蚁与O点距离变化的描述。 故答案为：C 20．按下图三幅图的样子继续画，第10幅图中阴影面积可以表示为( )（图中每个圆的半径为r）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可知，第1幅图，阴影部分的面积等于1个边长是2r正方形面积－1个半径为r的圆的面积；面积＝4r2－πr2，可以写成：1×（4－π）r2； 第2幅图阴影部分面积等于1个边长为2r的正方形和－2个半径为r的圆的面积和；面积＝2×4r2－2×πr2，可以写成：2×（4－π）r2； 第3幅图阴影部分面积等于3个边长为2r的正方形面积和－3个半径为r的圆的面积和；面积＝3×4r2－3×πr2，可以写成：3×（4－π）r2； …… 由此可知，第n幅图阴影部分面积等于n个边长为2r的正方形面积和－n个半径为r的圆的面积和，即n×（4－π）r2，据此求出第10幅图阴影部分面积。 【详解】根据分析可知，第n幅图阴影部分面积为：n×（4－π）r2； 则第10幅图中阴影面积可以表示为10×（4－π）r2。 故答案为：D 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 期末应用与解决问题专项08：典型问题数形规律 昆日期、 日用时： 贝评价： 一、填空题。 1.学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一排，2桌拼成一排能坐6 人（如下图)。照这样排下去，4张方桌拼在一起能坐( )人，n张方桌拼在一起能坐 )人 △ △ △△ △△△ 2.如图所示，用3根火柴可以拼成1个三角形，5根火柴可以拼成2个三角形，7根火柴可以 拼成3个三角形...照这样下去，拼10个三角形需要( )根火柴，67根火柴可以拼 )个三角形，n根火柴可以拼( )个三角形。 3.根据图形的排列规律填空。 第8个图形小三角形的个数是( )个，第n个图形小三角形的个数是( )个。 4.下图是用大小相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形，按照图中铺瓷砖的规律一直铺下 去。第4个图形有( )个黑色三角形和( )白色三角形，第8个图形有( )个黑色 三角形和( )白色三角形。 黑色三角形 1 6 白色三角形 3 6 10 第1页共5页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 5.观察下面的点群，请回答问题。 ● ●● ● ) ● (1)(2) (3) (4) (n) (1)第( )个点群中包含25个点。 (2)第n个点群中包含( )个点。 6.下面每个图中黑色的小正方形有多少个？照样子列式算一算。 ① ② ③ ⑩ 22-12=3 7.某装饰品的吊链儿由大小不同的菱形组成，如第一幅图中有一个，第二幅图中有3个，第 三幅图中有5个。照这样下去，第八幅图中有( )个菱形，第n幅图中有( )个 菱形。 1个 3个 5个 8.仔细观察图中正方形和直角三角形的个数有什么关系，再填空。 2 图形序号 ① ② ③ 正方形个数 2 4 直角三角形个数 48 12 当正方形有10个时，三角形有( )个。第n个图形时，正方形有( )个，三角形 有( )个。 第2页共5页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 9.仔细观察下图的排列规律。 图1 图2 图3 图4 第10个图形有( )个顶点。 10.我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数 构成的三角形图，我们把它称为杨辉三角”。如图，第七行第一个数是( ),第四个数 是( ) 杨辉三角 第1行 第2行 ------------- 第3行 -------------- 第4行 4 第5行 10 1---.--- 第6行 11.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10..这样的数称为三角形数，而把1、4、9、 16..这样的数称为正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的正方形数都可以看作两 个相邻的三角形数之和。 ●● ●●●0 ●●● ●●0● 6●● ●/●●● /●●●● 4=1+3 9=3+6 16=6+10 (1)第5幅图对应的算式是( )。 (2)81=36+45是第( )幅图对应的算式。 12.如图，麓麓在地上摆放了一些相同的正方体木块，现在把露在外面的表面涂成红色，从上 向下数，每层正方体被涂成红色的面数分别为： …第一层 …第二层 …第三层 第3页共5页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 第一层：侧面个数+上面个数=1×4+1=5 第二层：侧面个数+上面个数=2×4+3=11： 第三层：侧面个数+上面个数=3×4+5=17： 第四层：侧面个数+上面个数=4×4+7=23： 当他在第n层涂了119个红色的面时，请判断n等于( ) 二、选择题。 13.与1+3+5+7+9+5+3+1表示相同结果的算式是( ) A.52 B.32 C.52+32 D.82 14.观察下图，照这样接着画下去，第6个图形最外圈有( )个正方形。 A.56 B.52 C.44 D.36 15.如下图：正方形纸片按规律拼成如下图形，第( )个图案恰好有37个纸片。 第1个 第2个 第3个 A.7 B.8 C.9 D.10 16.在运河文化展厅展示了房屋模型，乐乐对此十分好奇，搭建3间这样的房屋模型一共使用 了13根木棒。他想知道，如果按照同样的搭建规律，要搭建10间这样的房屋模型，一共需要 用到( )根木棒。 A.40 B.41 C.42 D.53 17.古希腊数学家毕达哥拉斯用石子在沙滩上画画，发现了数与形的规律。按照如图中图形的 排列规律，第⑩个图形中直角三角形的个数是( ) 第4页共5页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ① ② ③ A.38 B.40 C.42 D.44 18.观察如图，按规律画下去，当某幅图中O的个数有25个时，口的个数为( )。 (1) (2) (3) (4) A.144 B.121 C.100 D.81 19.如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘爬了一周，又回到O点。下面可以反映蚂 蚁与O点距离变化的是( )。 距离 距离↑ A B O 时间 时间 距离↑ 距离↑ D 时间 时间 20.按下图三幅图的样子继续画，第10幅图中阴影面积可以表示为( )（图中每个圆 的半径为r)。 88888888 1 2 3 A.40r2 B.10x(π-2)r2 C.9x(4-π)r2 D.10×(4-元)r 第5页共5页品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 期末应用与解决问题专项08：典型问题数形规律 昆日期、 日用时： 贝评价： 一、填空题。 1.学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一排，2桌拼成一排能坐6 人（如下图)。照这样排下去，4张方桌拼在一起能坐( )人，n张方桌拼在一起能坐 )人 △ 7 7 △ △△ △△△ 【答案】 10 2m+2 【分析】由图可知：每增加1张桌子，人数就多坐2人。1张方桌可以坐4人(4人可以看作 2×1+2);2张方桌可以坐(2×2十2)人；3张方桌可以坐(2×3十2)人，4张方桌可以坐(2×4 +2)人，5张方桌可以坐(2×5+2)人，那么第n张方桌可以坐(2n+2)人。 【详解】2×4+2 =8+2 =10(人) 所以学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一排，2桌拼成一排能坐6 人（如下图）。照这样排下去，4张方桌拼在一起能坐10人，n张方桌拼在一起能坐(2n+2) 人。 2.如图所示，用3根火柴可以拼成1个三角形，5根火柴可以拼成2个三角形，7根火柴可以 拼成3个三角形...照这样下去，拼10个三角形需要( )根火柴，67根火柴可以拼 )个三角形，n根火柴可以拼( )个三角形。 e... 【答案】 21 33 (n-1)÷2 【分析】如图，拼一个三角形需要3根火柴，拼2个三角形需要2×2+1=4+1=5（根）火柴， 拼成3个三角形需要2×3+1=6+1=7（根），..那么拼10个三角形需要(2×10+1)根。 第1页共15页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 据此可知，用三角形的个数乘2再加上1根，就是需要的火柴棒的个数。那么用火柴的根数减 去1，算出结果再除以2，就是拼出三角形的个数。据此用字母表示三角形的个数。 【详解】2×10+1 =20+1 =21(根) (67-1)÷2 =66÷2 =33(个) 根据分析，照这样下去，拼10个三角形需要21根火柴，67根火柴可以拼33个三角形，n根 火柴可以拼(n一1)÷2个三角形。 3.根据图形的排列规律填空。 第8个图形小三角形的个数是( )个，第n个图形小三角形的个数是( )个。 【答案】 64 n2 【分析】观察这几个图形的小三角形数量：第1个图形有1个小三角形，正好是1？；第2个图 形有4个，是22；第3个有9个，是32：第4个有16个，是42。能总结出规律：第n个图形 的小三角形个数就是序号n的平方。那第8个图形的话，代入n=8,就是82=64个。所以第 8个图形小三角形有64个，第n个图形的个数是2个。 【详解】82=8×8=64 第n个图形小三角形个数=n2(n为图形序号) 第8个图形有64个小三角形，第n个图形有n2个小三角形。 【点睛】通过数每个图形的小三角形数量→对应序号的平方”，把图形的排列规律转化为序 号与平方数”的数量关系，既体现了形→数的转化思想，也让规律的应用（求任意序号的图 形数量)变得直接清晰。 4.下图是用大小相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形，按照图中铺瓷砖的规律一直铺下 去。第4个图形有( )个黑色三角形和( )白色三角形，第8个图形有( )个黑色 三角形和( )白色三角形。 第2页共15页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 黑色三角形 1 3 6 白色三角形3 6 10 【答案】 10 15 36 45 【分析】先观察前3个图形中黑、白三角形的数量，总结规律： 黑色三角形：第1个图形1个(1)，第2个3个（1+2)，第3个6个(1+2+3)，可推出 第n个图形的黑色三角形数量是前n个自然数的和，公式为K”+D 2: 白色三角形：第1个图形3个(1+2)，第2个6个(1+2+3)，第3个10个(1+2+3+4)， 可推出第n个图形的白色三角形数量是前n十1个自然数的和，公式为n+1)x(n+2 2 2。再代入n =4和n=8,计算对应数量。 【详解】第4个图形： 黑色三角形： 4×(4+1D 2 20 2 =10 白色三角形： (4+1)×(4+2) s30 2 =15 第8个图形： 黑色三角形： 8×(8+1) 2 -72 2 =36 白色三角形： 第3页共15页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (8+1)×(8+2) 2 90 2 =45 故第4个图形有10个黑色三角形和15个白色三角形，第8个图形有36个黑色三角形和45 个白色三角形。 5.观察下面的点群，请回答问题。 ● ● ● ●● 。 ●9 ● ●● ● (1)(2)(3) ● (4) (n) (1)第( )个点群中包含25个点。 (2)第n个点群中包含( )个点。 【答案】(1)7 (2)4n-3 【分析】从点群中发现规律，第1个点群有1个点，第2个点群有5个点，是1+4，第3个 点群有9个点，是1+4+4，第4个点群有13个点，是1+4+4+4，由此可发现第n个点群 有1+（n一1)×4，也就是4n一3，依此解答。 【详解】(1)根据分析，第n个点群有1+(n一1)×4， 1+（n-1)×4 =1+4n-4 =4n-3 点群中包含25个点也就是： 4n-3=25 4n-3+3=25+3 4n=28 4n÷4=28÷4 n=7 所以第7个点群中包含25个点。 (2)第n个点群中包含4n一3个点。 第4页共15页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 6.下面每个图中黑色的小正方形有多少个？照样子列式算一算。 ① ② ③ 0 22-12=3 【答案】 57 21 【分析】每个图都是一个大正方形，其中包含白色小正方形区域（也是正方形），黑色小正方 形数量=大正方形总数量一白色小正方形数量。 ①：大正方形边长为2（总数量：2），白色正方形边长为1（数量：1），黑色数量：22-12=3 (题目已给)。 ②：大正方形边长为3（总数量：32)，白色正方形边长为2（数量：2)，黑色数量：32-2。 ③：大正方形边长为4（总数量：42），白色正方形边长为3（数量：32)，黑色数量：42-32。 以此类推求出第十个图形黑色的小正方形有多少个。 【详解】32-22=5 42-32=7 112-102=21 所以下面每个图中黑色小正方形分别有5个，7个，21个。 7.某装饰品的吊链儿由大小不同的菱形组成，如第一幅图中有一个，第二幅图中有3个，第 三幅图中有5个。照这样下去，第八幅图中有( )个菱形，第n幅图中有( )个 菱形。 <◆> 1个 3个 5个 【答案】 15 2n-1 【分析】先把图的序号和对应菱形数量一一对应，即第一幅图1个、第二幅图3个、第三幅图 5个：观察相邻两个数的变化，发现每次都多2个”(1+2=3,3+2=5)；从第1幅图开始 递推，第1幅1个，第2幅1+2，第3幅1+2+2，以此类推，第n幅图就是1加(n一1)个 第5页共15页 画学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 2；把n=8代入计算第8幅图菱形的数量。据此解答。 【详解】第一幅：1个 第二幅：1+2=3（个) 第三幅：1+2+2=5（个） 由此得出：第n幅图：1+(n一1)×2 =1+2m-2 =(2n-1)个 把n=8代入，得 2×8-1 =16-1 =15(个) 所以照这样下去，第八幅图中有15个菱形，第n幅图中有(2n一1)个菱形。 8.仔细观察图中正方形和直角三角形的个数有什么关系，再填空。 图形序号 ② ③ 正方形个数 2 3 4 直角三角形个数 4 8 12 当正方形有10个时，三角形有( )个。第n个图形时，正方形有( )个，三角形 有( )个。 【答案】 36 n+1/1+n 4n 【分析】观察可知，第1个图形有2个正方形，第2个图形有3个正方形，第3个图形有4 个正方形..那么第n个图形有(n十1)个正方形：第1个图形有4个直角三角形，第2个图 形有（4×2)个直角三角形，第3个图形有（4×3)个直角三角形..那么第n个图形有4n个 直角三角形，先根据正方形的个数求出n的值，再把n的值代入4n求出直角三角形的个数， 据此解答。 【详解】当正方形有10个时。 n+1=10 第6页共15页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 解：n+1-1=10-1 n=9 4n=4×9=36（个) 分析可知，当正方形有10个时，三角形有36个。第n个图形时，正方形有(n十1)个，三角 形有4n个。 9.仔细观察下图的排列规律。 图1 图2 图3 图4 第10个图形有( )个顶点。 【答案】31 【分析】由图可知，第1个图形有4个顶点，第2个图形有(4+3)个顶点，第3个图形有(4 十3×2)个顶点，第4个图形有(4十3×3)个顶点..以此类推，每次增加3个顶点，那么第 n个图形有[4十3(n一1)]个顶点，最后求出n=l0时含有字母式子的值，据此解答。 【详解】4+3(n-1) =4+3n-1×3 =4+3n-3 =3n+4-3 =(3+1)个 当n=10时，3n+1 =3×10+1 =30+1 =31(个) 所以，第10个图形有31个顶点。 10.我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数 构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。如图，第七行第一个数是( ),第四个数 是( ) 第7页共15页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 杨辉三角 第1行 第2行 ------------- 第3行 第4行 第5行 第6行 【答案】 1 20 【分析】观察可知，第几行就有几个数，每行第一个数和最后一个数都是1，中间的任意一个 数都等于该行上面一行相邻两个数的和，由此写出第7行的7个数，即可求得。 【详解】分析可知，第7行的数为1、6、15、20、15、6、1，则第一个数是1，第四个数是 20。 11.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10..这样的数称为三角形数”，而把1、4、9、 16.这样的数称为正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的正方形数都可以看作两 个相邻的三角形数之和。 ●y● ●●●● ●●● ●●/●● 6●● ●y●●● 6●●● 4=1+3 9=3+6 16=6+10 (1)第5幅图对应的算式是( )。 (2)81=36+45是第( )幅图对应的算式 【答案】(1)36=15+21 (2)8 【分析】(1)题目中三角形数”的规律为第二个数等于第一个数加2，第三个数等于第二个 数加3，第四个数等于第三个数加4，依此类推，所以三角形数是1、3、6、10、15、21..正 方形数”的规律为12、22、32、42、52..即1、4、9、16、25.，根据题目已知条件：从图中可 以发现，任何一个大于1的正方形数”都可以看作两个相邻三角形数之和。可得出最后结果。 (2)通过观察可知，第1幅图的边长有2个点，它对应的正方形数”（即等号左边的数）是 22,第2幅图的边长有3个点，它对应的正方形数”（即等号左边的数）是92，第3幅图的边 长有4个点，它对应的正方形数”（即等号左边的数)是42.，因此等号左边的数是，就是 第8页共15页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第(-1)幅图。 【详解】（1)第5幅图对应的正方形数”是62=6×6=36，对应的两个相邻的三角形数”是15 和21 所以，第5幅图对应的算式是36=15+21。 (2)81=9×9=92 9-1=8(幅) 所以，81=36+45是第8幅图对应的算式。 12.如图，麓麓在地上摆放了一些相同的正方体木块，现在把露在外面的表面涂成红色，从上 向下数，每层正方体被涂成红色的面数分别为： …第一层 …第二层 …第三层 第一层：侧面个数十上面个数=1×4+1=5： 第二层：侧面个数+上面个数=2×4十3=11： 第三层：侧面个数+上面个数=3×4+5=17： 第四层：侧面个数+上面个数=4×4+7=23： 当他在第n层涂了119个红色的面时，请判断n等于( )。 【答案】20 【分析】观察图形可知，第一层侧面的个数是1×4，第二层侧面的个数是2×4，第三层侧面的 个数是3×4，..则第n层侧面的个数是n×4;第一层上面的个数是1，第二层上面的个数是 (2×2一1)，第三层上面的个数是（2×3一1)，..则第n层上面的个数是(2×n一1)，据 此根据等量关系：第n层侧面个数+第n层上面个数=119，列出方程并解出方程，即可得到 1n。 【详解】n×4+2×n-1=119 解：6n-1=119 6n-1+1=119+1 6n=120 6n÷6=120÷6 第9页共15页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 n=20 当他在第n层涂了119个红色的面时，n等于20。 二、选择题。 13.与1+3+5+7+9+5+3+1表示相同结果的算式是( ) A.52 B.32 C.52+32 D.82 【答案】C 【分析】从1开始的连续奇数相加，和等于奇数个数的平方。如1=12,1+3=22,1+3+5 =32,1+3+5+7=42,以此类推。 【详解】先看算式的前半部分1+3+5+7+9=52，后半部分5+3+1=32，则与1十 3+5+7+9+5+3+1表示相同结果的算式是52+32。 故答案为：C 14.观察下图，照这样接着画下去，第6个图形最外圈有( )个正方形。 。。。·。· A.56 B.52 C.44 D.36 【答案】C 【分析】观察图形可知，第1、2、3、4个图形最外圈正方形分别有4个、12个、20个、28 个，发现最外圈正方形的个数依次增加8个，据此发现规律，并按规律解答。 【详解】观察图形可知： 第1个图形：最外圈正方形有4个： 第2个图形：最外圈正方形有12个，12=8×2一4： 第3个图形：最外圈正方形有20个，20=8×3一4： 第4个图形：最外圈正方形有28个，28=8×4一4： 规律：第n个图形最外圈正方形有(8n一4)个。 当n=6时 8n-4 =8×6-4 第10页共15页 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 期末应用与解决问题专项08：典型问题·数形规律 一、填空题。 1．学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一排，2桌拼成一排能坐6人（如下图）。照这样排下去，4张方桌拼在一起能坐( )人，n张方桌拼在一起能坐( )人。 2．如图所示，用3根火柴可以拼成1个三角形，5根火柴可以拼成2个三角形，7根火柴可以拼成3个三角形……照这样下去，拼10个三角形需要( )根火柴，67根火柴可以拼( )个三角形，n根火柴可以拼( )个三角形。 3．根据图形的排列规律填空。 第8个图形小三角形的个数是( )个，第n个图形小三角形的个数是( )个。 4．下图是用大小相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形，按照图中铺瓷砖的规律一直铺下去。第4个图形有( )个黑色三角形和( )白色三角形，第8个图形有( )个黑色三角形和( )白色三角形。 5．观察下面的点群，请回答问题。 (1)第( )个点群中包含25个点。 (2)第个点群中包含( )个点。 6．下面每个图中黑色的小正方形有多少个？照样子列式算一算。           ( )               ( )                ( ) 7．某装饰品的吊链儿由大小不同的菱形组成，如第一幅图中有一个，第二幅图中有3个，第三幅图中有5个。照这样下去，第八幅图中有( )个菱形，第n幅图中有( )个菱形。 8．仔细观察图中正方形和直角三角形的个数有什么关系，再填空。 图形序号 ① ② ③ … 正方形个数 2 3 4 … 直角三角形个数 4 8 12 … 当正方形有10个时，三角形有( )个。第n个图形时，正方形有( )个，三角形有( )个。 9．仔细观察下图的排列规律。 第10个图形有( )个顶点。 10．我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。如图，第七行第一个数是( )，第四个数是( )。 11．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。 (1)第5幅图对应的算式是( )。 (2)81＝36＋45是第( )幅图对应的算式。 12．如图，麓麓在地上摆放了一些相同的正方体木块，现在把露在外面的表面涂成红色，从上向下数，每层正方体被涂成红色的面数分别为： 第一层：侧面个数＋上面个数＝1×4＋1＝5； 第二层：侧面个数＋上面个数＝2×4＋3＝11； 第三层：侧面个数＋上面个数＝3×4＋5＝17； 第四层：侧面个数＋上面个数＝4×4＋7＝23； ………… 当他在第n层涂了119个红色的面时，请判断n等于( )。 二、选择题。 13．与1＋表示相同结果的算式是( )。 A． B． C． D． 14．观察下图，照这样接着画下去，第6个图形最外圈有( )个正方形。 A．56 B．52 C．44 D．36 15．如下图：正方形纸片按规律拼成如下图形，第( )个图案恰好有37个纸片。 A．7 B．8 C．9 D．10 16．在运河文化展厅展示了房屋模型，乐乐对此十分好奇，搭建3间这样的房屋模型一共使用了13根木棒。他想知道，如果按照同样的搭建规律，要搭建10间这样的房屋模型，一共需要用到( )根木棒。 A．40 B．41 C．42 D．53 17．古希腊数学家毕达哥拉斯用石子在沙滩上画画，发现了数与形的规律。按照如图中图形的排列规律，第⑩个图形中直角三角形的个数是( )。 A．38 B．40 C．42 D．44 18．观察如图，按规律画下去，当某幅图中〇的个数有25个时，□的个数为( )。 A．144 B．121 C．100 D．81 19．如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘爬了一周，又回到O点。下面可以反映蚂蚁与O点距离变化的是( )。 A． B． C． D． 20．按下图三幅图的样子继续画，第10幅图中阴影面积可以表示为( )（图中每个圆的半径为r）。 A． B． C． D． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $