专题09 平行线中常见的辅助线（2重难点题型专练）-2025-2026学年苏科版七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列

宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未一 专题09平行线中常见的辅助线 题型梳理 题型方法 题型一过“拐点”作平行线 题型二延长截线 题型方法 【题型一】过“拐点”作平行线 【例1】(23-24七年级下江苏苏州阶段练习)如图，已知直线AB∥CD,将直角三角尺放在图中所示的位置上，如 果∠GEB=130°，那么∠GFD的度数是() B A.70° B.100° C.130° D.140° 【举一反三】【变式1】(24-25七年级下·江苏南通·期末)如图，已知AB∥DE,∠ABC=55°，∠BCD=25°，则∠CDE的 度数为 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期抹。一 【变式2】(22-23七年级下江苏盐城阶段练习)如图1.已知AB∥CD,BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC· A D 图① 图② 图③ (1)∠BPD ---°； (2)如图②，将BD改为折线BED,BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC,其余条件不变，若∠BED=120°，求 ∠BPD的度数；并进一步猜想∠BPD与∠BED之间的数量关系： (3)如图3，若∠BMN=132°，∠MND=144°，BP、DP分别平分∠ABM、∠CDN,那么∠BPD是多少度. 【变式3】(23-24七年级下·江苏南京·期中)【初步研究】 如图①，AB∥CD,∠PAB=120°，∠PCD=130°.求∠APC度数 小明的思路是：过P作PE∥AB,通过平行线性质，可求∠APC的度数 B C D 图① (1)在图①中作出PE(要求：用直尺和圆规作图，保留痕迹，不写作法)； (2)求∠APC的度数. 【继续探索】 (3)如图②，1∥12,4,4不平行，4，☑分别交1，于A,B,C,D,点P在直线马上运动（点P与A,C两 点不重合)，若∠ABP=a,∠PDC=B,直接写出∠BPD,a,B之间的数量关系. 2 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 图② 备用图 【题型二】延长截线 【例2】(24-25七年级下·江苏无锡期末)如图，直线a∥b,点A在直线a上，点C、D在直线b上，且AB⊥BC, BD平分∠ABC,若∠1=33°，则∠2的度数是() B A.12° B.13 C.14 D.15° 【举一反三】【变式1】(24-25七年级上江苏苏州·期末)如图，五边形ABCDE中，AB∥CD,∠1、∠2、∠3分别是 ∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3= 2 3 【变式2】(23-24七年级下.江苏苏州期中)己知，如图，AB∥CD,直线MN交AB于点M,交CD于点N,点E是 3 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末。 线段MN上一点，P,Q分别在射线MB,ND上，连接PE,EQ,PF平分∠MPE,QF平分∠DQE. B E 图1 图2 (1)如图1，当PE⊥QE时，求∠PFQ的度数： (2)如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由. 【变式3】(24-25七年级下江苏南京期末)学习了“平行线”和“三角形”内容后，某兴趣小组探索了如下问题：如图， 点E、F在AB、CD之间，且位于AD的两侧，连接AE、EF、DF, B (1)如图①，若AB∥CD,∠A=60°，∠E=∠F,则∠D= B ① (2)如图②，若AB∥CD,求证：∠A+∠E=∠D+∠F; 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未。 B D ② (3)如图③，若AB、CD相交于点0，∠A0C=30°， E B D ③ (I)直接写出∠A、∠FDC、∠E、∠F满足的关系； (I)若∠FDC=60°，∠E=a,F=B,平面内存在-点P,连接PA、PF,使∠PAE=∠EAB,∠PFE=5∠EFD, 直接写出∠APF的度数（用含0、B的式子表示）· 好题必刷 一、单选题 1.(23-24七年级下·江苏无锡阶段练习)一块直角三角板如图放置，其中4∥12，∠C=90°，∠A=30°，∠1=20°， 则∠2等于() 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 A.35° B.30° C.45° D.40 2.（23-24七年级下·江苏南京·期末)“抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一.在公园里，小聪 看到小女孩在抖空竹（图1），抽象得到图2，在同一平面内，己知AB∥CD,∠A=70°，∠ECD=110°，则∠E的度数 为() D 图1 图2 A.20 B.30° C.40° D.50° 3.(23-24七年级下江苏镇江·期中)如图，已知AB∥CD,EF⊥AB于点E,LAEH=LFGH=20°，∠H=50°，则 ∠EFG的度数是() B D G A.130° B.140° C.135 D.125° 4. (22-23七年级下江苏常州期末)如图，AB∥CD,∠BAF=;∠EAF,∠DCF=;∠ECF,则∠AEC与LAFC的 3 数量关系是() 6 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未。。 D A.∠AEC=3LAFC B.∠AEC=4LAFC C.∠AEC+3∠AFC=360 D.∠AEC+4∠AFC=360° 二、填空题 5.(24-25七年级下·江苏苏州期末)如图，AB∥CD,己知∠B=66°，∠D=21°，则∠E=°. A B 6.(24-25七年级上江苏苏州期末)如图，点C在点A北偏东50°方向，点C在点B北偏西30°方向，则∠ACB的度 数为° 北 B 7.(24-25七年级下·江苏泰州阶段练习)如图所示，直线AB∥CD,NE平分∠FND,MB平分∠FME,且 2∠E+∠F=168°，则∠FME的度数是一 B C D 7 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 三、解答题 8.(24-25七年级下·江苏南通期末)如图，AB∥CD,点E在直线AB上，点F在直线CD上，点P为平面内一点， B R (图1) (图2) (1)如图1，若点P在AB、CD之间，∠EPF=100°，∠AEP的平分线与∠CFP的平分线交于点Q,求∠Q的度数： (2)如图2，若点P在AB上方，∠EPF=50°，∠CFP的平分线与∠BEP的平分线所在直线相交于点H,求∠H的度数. 9.(23-24七年级下江苏宿迁阶段练习)有一天，李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AB、CD, 然后在平行线间画了一点E.连接BE、DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E,拖动后，分别得到如图②、图③、 图④等图形，这时他突然一想，∠B、∠D与∠BED之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板” 的“度量角度”和“计算”的功能，找到了这三个角之间的关系 ☒① ☒（④ (I)你能探讨出图①至图④各图中的∠B、∠D与∠BED之间的关系吗？请你写出关系式： (2)请你说明图③所写关系式成立的理由. 8 ,,⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 10.(23-24七年级下江苏宿迁期中)如图，AB∥CD,点E、F分别在直线AB、CD上，点O在直线AB、CD之 间，∠E0F=100°. B 4 个 B M D C D 图1 图2 图3 (I)求LBEO+LDFO的值： (2)如图2，直线MN交LBE0、∠CFO的角平分线分别于点M、N,求LEMN-∠FNM的值： (3)如图3，EG在∠AEO内，LAEG=nLOEG,FK在∠DFO内，∠DFK=nZOFK.直线MN交FK、EG分别于点 M、N,若∠FMN-∠ENM=50°，则n的值是_ 9宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未一 专题09平行线中常见的辅助线 题型梳理 题型方法 题型一过“拐点”作平行线 题型二延长截线 题型方法 【题型一】过“拐点”作平行线 【例1】(23-24七年级下江苏苏州阶段练习)如图，已知直线AB∥CD,将直角三角尺放在图中所示的位置上，如 果∠GEB=130°，那么∠GFD的度数是() B A.70° B.100° C.130° D.140° 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差计算，过G点作GH∥AB,根据两直线平行，同旁内角互补，求得 ∠EGH,进而求得∠HGF,再根据平行线的性质可得答案. 【详解】解：过G点作GH∥AB, 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 B H GH∥AB, ∠GEB+∠EGH=180°， ∠EGH=180°-130°=50°， ∠EGF=90°， ∠HGF=90°-50°=40°， AB∥GH∥CD, ∠GFD=180°-40°=140°， 故选：D. 【举一反三】【变式1】(24-25七年级下·江苏南通·期末)如图，已知AB∥DE,∠ABC=55°，∠BCD=25°，则∠CDE的 度数为一。 A D 【答案】150°/150度 【分析】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.根据平行线的性质，可以 求得LBCF和∠DCF的度数，从而可以得到LCDE的度数. 【详解】解：过点C作CFAB, 2 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 D E AB DE, F .AB DE CF, ∠ABC=∠BCF=55°，∠CDE+∠DCF=180°， ∠BCD=25°， ∠DCF=55°-25°=30°， ∠CDE=180°-30°=150°. 故答案为：150°. 【变式2】(22-23七年级下江苏盐城阶段练习)如图1.已知AB∥CD,BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC· A D 图① 图② 图③ (I)∠BPD (2)如图②，将BD改为折线BED,BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC,其余条件不变，若∠BED=I20°，求 ∠BPD的度数；并进一步猜想∠BPD与∠BED之间的数量关系； (3)如图3，若LBMN=132°，∠MND=144°，BP、DP分别平分∠ABM、∠CDN,那么∠BPD是多少度. 【答案】(1)90 (2)∠BPD-60°；∠BPD= 2 ∠BED,理由见解析 (3)LBPD=48° 3 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键： (1)先根据平行线的性质得出∠ABD+∠BDC=∠180°，再根据角平分线的定义得出∠PBD+∠PDB的度数，由三角形 内角和定理即可得出结论； (2)过点E作EF∥AB,,先求出LABE+∠CDE=∠BEF+∠DEF=∠BED=I20°的度数，同理可得 ∠BPD=∠ABP+∠CDP,再由角平分线的定义可得∠ABP+∠CDP=60°；当∠BED=,同理可得结论，即可求解. (3)过M,N分别作AB的平行线MG,NH,先求出∠ABM+LCDN=96°，再由角平分线的定义，即可求解. 【详解】(I)解：：AB∥CD, .∠ABD+∠BDC=∠180°， BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC, ∠PBD+∠PDB=90°， ·∠BPD=180°-90°=90°. 故答案为：90； (2)解：如图所示， 过点E作EF∥AB, B D 图② ∴.∠ABE=∠BEF, AB∥CD ∴.EF∥CD ∴.∠FED=∠CDE 宋老师数学图文制作室 确数子 ©初高中数学备课备考令 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ∠BED=120°， ·LABE+LCDE=∠BEF+∠DEF=∠BED=I20° 同理可得∠BPD=∠ABP+∠CDP BP、DP分别平分∠ABE、LEDC, A∠ABP=∠ABE,∠CDP=∠CDE, 2 ∠1BP+∠CP-∠4BE+∠CDE=60r, :∠BPD=∠ABP+∠CDP=60°. 1 猜想：∠BPD=。∠BED. 2 设∠BED=L, :ZABE +Z CDE Z BEF +Z D EF Z BED a, BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC, ∠ABP=ABE,∠CDP=CDE, 2 GZABP+∠CDP=LABE+∠CDE=,b ∠BPD=∠ABP+∠CDP=I (3)解：如图所示，过M,N分别作AB的平行线MG,NH, C 图③ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 ∠ABM=∠BMG,∠HND=∠CDN,∠GMN+∠MNH=180 ∠BMN+∠MND=∠BMG+∠GMN+∠MNH+∠HND=∠ABM+180°+∠CDN=132°+144°=276° ∴.∠ABM+∠CDN=96° BP、DP分别平分∠ABM、∠NDC, ∠ABP-ABM,∠CDP=CDN, ∠BPD=∠AP+∠CDP-∠48M+∠CDN-96=4袋 【变式3】(23-24七年级下·江苏南京·期中)【初步研究】 如图①，AB∥CD,∠PAB=120°，∠PCD=130°.求∠APC度数. 小明的思路是：过P作PEAB,通过平行线性质，可求∠APC的度数. B C D 图① (1)在图①中作出PE(要求：用直尺和圆规作图，保留痕迹，不写作法)； (2)求∠APC的度数. 【继续探索】 (3)如图②，1∥12，，☑不平行，飞，分别交，2于A,B,C,D,点P在直线马上运动（点P与A,C两点 不重合)，若∠ABP=a,∠PDC=B,直接写出∠BPD,Q,B之间的数量关系. 6 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 图② 备用图 【答案】(1)见解析；(2)∠APC=110°；(3)∠BPD=十B或∠BPD=a-B或∠BPD=B-u 【分析】本题考查了平行线的性质，尺规作图，解题的关键是正确作出辅助线，分类讨论. (1)作AB的垂线MN,再过点P作MN的垂线，即可求解； (2)根据平行线的性质求解即可： (3)分为三种情况讨论：当点P在线段AC上方时，当点P在线段AC上时，当点P在线段AC下方时，利用平行线的 性质即可求解 【详解】(1)如图，PE即为所求： D N (2)由(1)得PEAB, AB∥CD, ·AB∥CD∥PE, ∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°， :∠PAB=120°，∠PCD=130°， 7 宋老师数学图文制作室 ⑧初高中数学备课备考令 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 :∠APE=60°，∠CPE=50°， :∠APC=∠APE+∠CPE=60°+50°=110°； (3)当点P在线段AC上方时，如下图，过点P作PE|I, --------E B :1∥l2, D ·(I2PE, :∠EPD=∠PDC=B,∠ABP=∠EPB=a, ·∠BPD=∠EPD-∠EPB=B-a; 当点P在线段AC上时，如下图，过点P作PEI, B --E :1∥12， :4∥2∥PE, :LABP=∠EPB=Q,∠EPD=∠PDC=B, :∠BPD=∠EPB+∠EPD=a+B: 当点P在线段AC下方时，如下图，过点P作PE‖L, 8 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 .1∥12， ·4l3PE, :LABP=LEPB=a,∠EPD=∠PDC=B, :∠BPD=∠EPB-∠EPD=C-B: 综上所述，∠BPD,a,B之间的数量关系为：∠BPD=a十B或∠BPD=a-B或∠BPD=B-a」 【题型二】延长截线 【例2】(24-25七年级下江苏无锡期末)如图，直线a∥b,点A在直线a上，点C、D在直线b上，且AB⊥BC, BD平分∠ABC,若∠1=33°，则∠2的度数是() A.12° B.13° C.14° D.15° 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直定义，角平分线定义，三角形外角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.延 长CB交直线a于点E,由AB⊥BC,∠1=33°，可得∠AEC=57°，通过平行线的性质可得LECF=LAEC=57°，最后 通过角平分线定义和三角形外角性质即可求解； 【详解】解：延长CB交直线a于点E,如图， 9 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 B D b AB⊥BC,∠1=33°， ∠ABC=90°， .∠AEC=90°-∠1=57°， a∥b, ∠ECF=LAEC=57°， ~BD平分∠ABC, .∠CBD=∠ABD=45°， ~∠ECF是△BCD的外角， ∴∠2=∠ECF-∠CBD=12°， 故选：A· 【举一反三】【变式1】(24-25七年级上江苏苏州期末)如图，五边形ABCDE中，AB∥CD,∠1、∠2、∠3分别是 ∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3= 2 30 D 【答案】180° 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，根据两直线平行，同旁内角互补得到以点B、点C为顶点 的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解. 10