第08讲 正切+正弦、余弦（知识详解+3典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年苏科版数学九年级下册重难点讲义与测试

第08讲 正切+正弦、余弦（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：正切的概念 知识点02：用计算器计算锐角的正切值 知识点03：正切值的变化规律 知识点04：正弦、余弦的概念 知识点05：锐角三角函数 知识点06：利用计算器计算锐角的正弦值或余弦值 知识点07：锐角三角函数之间的关系 典例分析 （举三反三） 考点1：已知锐角的一个三角函数值，求其他三角函数值 考点2：折叠问题中求锐角的三角函数值 考点3：探究创新题 习题巩固 一、单选题（5 二、填空题（4） 三、解答题（4 【知识点01】正切的概念 1. 概念 在Rt△ABC中， ∠C＝90 °， 我们把∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A，如图7.1-1 所示，tan A＝＝. 2. 表示法 (1)正切值的大小只与锐角的大小有关，而与所在的直角三角形的边长的大小无关. (2)tan A表示∠A的正切， 习惯上省去角的符号“∠”，但当角是用三个大写字母或数字表示时，它的正切不能省略角的符号“∠”，如tan ∠ABC，tan ∠1. 【知识点02】用计算器计算锐角的正切值 1. 求以度为单位的锐角的正切值的一般步骤 利用计算器可求锐角的正切值，先按计算器上的键，再依次按数字键，最后按 键即可. 2. 求以度、分、秒为单位的锐角的正切值的一般步骤 (1)求以度、分、秒为单位的锐角的正切值，在计算器的面板上先按键，再依次按度的数字键、 、分的数字键、、秒的数字键、键，最后依次按 键； (2)不同的计算器操作程序不同，按键规定一般也不一样. 【知识点03】正切值的变化规律 1. 性质 锐角的正切值随着锐角的增大而增大. 2. 锐角α与β的正切值的变化规律 (1)若0°<α<90°，0°<β<90°， 则tan α>0， tan β>0. (2)若α>β，则tan α>tan β；若α<β，则tan α<tan β. 【知识点04】正弦、余弦的概念 1. 概念 如图7.2-1，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，我们把∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦(sine)，记作 sin A，即sin A＝＝.我们把∠A的邻边b 与斜边c的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cos A，即cos A＝＝. 2. 表示法 (1)在sin A，cos A中，表示正弦、余弦的符号一定是小写，不能是大写. (2)当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示时，它的正弦、余弦习惯上省略角的符号，如sin A，cos α等；当锐角是用三个大写英文字母或数字表示时，它的正弦、余弦不能省略角的符号，如sin ∠ABC，cos ∠1等. (3)“sin A”“cos A”“tan A”是整体符号，不能理解为“sin·A”“cos·A”“tan·A”. (4)sin2A表示sin A·sin A＝(sin A)2，不能写成sin A2；cos2A 表示cos A·cos A＝(cos A)2，不能写成cos A2；tan2A表示tan A·tan A＝(tan A)2，不能写成tan A2. 【知识点05】锐角三角函数 1. 概念 在Rt△ABC中，、和的值都随∠A的大小变化而变化，都随∠A的大小确定而唯一确定，∠A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数. 2.锐角三角函数值的变化规律 (1)因为Rt△ABC的三边长都是正数，所以锐角的三角函数值也都是正数;又因为直角三角形的斜边长大于任意一条直角边长，所以tanA>0，0<sinA<1，0<cosA<1.(0°<∠A<90°) (2)①锐角的正弦值和正切值都随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小:②锐角的余弦值随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大 【知识点06】利用计算器计算锐角的正弦值或余弦值 1. 求以度为单位的锐角正弦值的一般步骤 利用计算器求锐角的正弦值，先按计算器上的 键，再依次按数字键、 键即可. 2. 求以度、分、秒为单位的锐角正弦值的一般步骤 求以度、分、秒为单位的锐角的正弦值时，在计算器的面板上先按 键,再依次按度的数字键、 、分的数字键、、秒的数字键、 键，最后按 、键. 【知识点07】锐角三角函数之间的关系 如图7.2-4，在Rt△ABC中，∠C＝90°. 1. 同一锐角的三角函数之间的关系 (1)sin2A＋cos2A＝1. (2)＝tan A. 2. 互余两角的三角函数之间的关系 sin A＝cos(90°－∠ A). cos A＝sin(90°－∠ A). tan A·tan(90°－∠ A)＝1. 【题型一】已知锐角的一个三角函数值，求其他三角函数值 【典例1-1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）在中，，，若将的三边都扩大3倍，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）在中，，，则的值为 ． 【典例1-3】（24-25九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，是的切线，A为切点，是的弦，过O作于点H．若，，．求： (1)的半径； (2)的值； 【变式1-1】（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，已知中，，D是上一点，，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【变式1-2】（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知Rt△ABC中，∠C=90°，，则tanA= ． 【变式1-3】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，为边上的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【题型二】折叠问题中求锐角的三角函数值 【典例2-1】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【典例2-2】（21-22九年级上·江苏徐州·期末）如图，已知矩形ABCD中，DA：AB＝，将其沿CE折叠，使B、F两点重合，连接AF，则tan∠DAF等于（　　）    A． B． C． D． 【典例2-3】（24-25九年级下·江苏常州·阶段练习）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则= ． 【变式2-1】直角三角形纸片的两直角边的长分别为8和6，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，则的值为 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·江苏常州·期末）小强在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，还原后，再沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，这样就可以求出角的正切值．你能说明小强这样做的道理吗？写出你的说理过程！ 【题型三】探究创新题 【典例3-1】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，则底角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为三分余角．如图，在中，，互为三分余角，且，则 ． 【典例3-3】（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角，如图，在中，，互为半余角，且，则求的正切值． 【变式3-1】（21-22九年级上·江苏苏州·期末）我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且，则tanA＝ ． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）纸是由国际标准化组织定义，世界上多数国家采用的纸张尺寸．纸的几何特征为：①矩形纸张短边长度为；②取长边的中点，沿直线折叠，所得矩形与原矩形相似．    (1)纸长边______； (2)用一张纸作如下操作：在边上有一动点，连接，将沿翻折得． ①当时，求的长； ②以点为圆心，为半径作，若点中只有一个点在内，则长的取值范围是_____ 【变式3-3】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）定义：如果一个圆满足：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点），那么这个圆称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”． (1)如图①，在中，，则边上经过点B的伴随圆的半径为 ； (2)如图②，在中，，直接写出它的所有伴随圆的半径 ； (3)如图③，在中，点E在边上，，D为的中点，且． ①求证：的外接圆是的边上的伴随圆； ②求的值． 一、单选题 1．（2022九年级下·江苏·专题练习）在Rt△ABC中，∠C =90°，sinA=，则cosA的值等于(    ) A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·江苏无锡·月考）在中，，，，则的长为（    ） A．6 B．7.5 C．8 D．12.5 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（　　）    A． B． C． D． 4．（22-23九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在菱形中，．折叠该菱形，使点A落在边上的点M处，折痕分别与边交于点E，F．当点M的位置变化时，长的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 5．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形纸片中，，．把沿对角线折叠，使点落在处，交于点，交于点；、分别是和上的点，线段交于点，把沿折叠，使点落在处，点恰好与点重合．下列选项中正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题 6．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）在中，已知，，则 ． 7．（24-25九年级上·上海·期中）已知在中，，如果的正弦值为，那么的正弦值为 ． 8．（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，则的值为 ． 9．如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，点E在BC上，且AE=EC．若将长方形沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合，则AE= ． 三、解答题 10．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，垂足是，若，，，求的值． 11．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求：    (1)线段的长； (2)的正切值． 12．定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． （1）概念理解： 在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于奇异四边形的有 ； （2）性质探究： ①如图1，四边形ABCD是奇异四边形，AB=AD，求证：CA平分∠BCD； ②如图2，四边形ABCD是奇异四边形，AB=AD，∠BCD=2α，试说明：cosα=； （3）性质应用： 如图3，四边形ABCD是奇异四边形，四条边中仅有BC=CD，且四边形ABCD的周长为6+2，∠BAC=45°，AC=3，求奇异四边形ABCD的面积． 13．（23-24九年级下·江苏常州·阶段练习）【定义学习】 过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”． 如图1，，，垂足分别为A、B，则为“点足三角形”，为“垂角”． 【性质探究】 （1）两条直线相交且所夹锐角为度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数为______度（用表示）． （2）如图2，点O为平面内一点，，，垂足分别为A、B，将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与，，相交于C、D，连接CD． 求证：． 【迁移运用】 （3）如图3，，点A在射线PM上，点B是射线PN上的点，且，．则的外部是否存在一点O使得“点足三角形OAB”的面积为，若存在，求出此时PB的长；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 正切+正弦、余弦（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：正切的概念 知识点02：用计算器计算锐角的正切值 知识点03：正切值的变化规律 知识点04：正弦、余弦的概念 知识点05：锐角三角函数 知识点06：利用计算器计算锐角的正弦值或余弦值 知识点07：锐角三角函数之间的关系 典例分析 （举三反三） 考点1：已知锐角的一个三角函数值，求其他三角函数值 考点2：折叠问题中求锐角的三角函数值 考点3：探究创新题 习题巩固 一、单选题（5 二、填空题（4） 三、解答题（4 【知识点01】正切的概念 1. 概念 在Rt△ABC中， ∠C＝90 °， 我们把∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A，如图7.1-1 所示，tan A＝＝. 2. 表示法 (1)正切值的大小只与锐角的大小有关，而与所在的直角三角形的边长的大小无关. (2)tan A表示∠A的正切， 习惯上省去角的符号“∠”，但当角是用三个大写字母或数字表示时，它的正切不能省略角的符号“∠”，如tan ∠ABC，tan ∠1. 【知识点02】用计算器计算锐角的正切值 1. 求以度为单位的锐角的正切值的一般步骤 利用计算器可求锐角的正切值，先按计算器上的键，再依次按数字键，最后按 键即可. 2. 求以度、分、秒为单位的锐角的正切值的一般步骤 (1)求以度、分、秒为单位的锐角的正切值，在计算器的面板上先按键，再依次按度的数字键、 、分的数字键、、秒的数字键、键，最后依次按 键； (2)不同的计算器操作程序不同，按键规定一般也不一样. 【知识点03】正切值的变化规律 1. 性质 锐角的正切值随着锐角的增大而增大. 2. 锐角α与β的正切值的变化规律 (1)若0°<α<90°，0°<β<90°， 则tan α>0， tan β>0. (2)若α>β，则tan α>tan β；若α<β，则tan α<tan β. 【知识点04】正弦、余弦的概念 1. 概念 如图7.2-1，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，我们把∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦(sine)，记作 sin A，即sin A＝＝.我们把∠A的邻边b 与斜边c的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cos A，即cos A＝＝. 2. 表示法 (1)在sin A，cos A中，表示正弦、余弦的符号一定是小写，不能是大写. (2)当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示时，它的正弦、余弦习惯上省略角的符号，如sin A，cos α等；当锐角是用三个大写英文字母或数字表示时，它的正弦、余弦不能省略角的符号，如 sin ∠ABC，cos ∠1等. (3)“sin A”“cos A”“tan A”是整体符号，不能理解为“sin·A”“cos·A”“tan·A”. (4)sin2A表示sin A·sin A＝(sin A)2，不能写成sin A2；cos2A 表示cos A·cos A＝(cos A)2，不能写成cos A2；tan2A表示tan A·tan A＝(tan A)2，不能写成tan A2. 【知识点05】锐角三角函数 1. 概念 在Rt△ABC中，、和的值都随∠A的大小变化而变化，都随∠A的大小确定而唯一确定，∠A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数. 2.锐角三角函数值的变化规律 (1)因为Rt△ABC的三边长都是正数，所以锐角的三角函数值也都是正数;又因为直角三角形的斜边长大于任意一条直角边长，所以tanA>0，0<sinA<1，0<cosA<1.(0°<∠A<90°) (2)①锐角的正弦值和正切值都随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小:②锐角的余弦值随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大 【知识点06】利用计算器计算锐角的正弦值或余弦值 1. 求以度为单位的锐角正弦值的一般步骤 利用计算器求锐角的正弦值，先按计算器上的 键，再依次按数字键、 键即可. 2. 求以度、分、秒为单位的锐角正弦值的一般步骤 求以度、分、秒为单位的锐角的正弦值时，在计算器的面板上先按 键,再依次按度的数字键、 、分的数字键、、秒的数字键、 键，最后按 、键. 【知识点07】锐角三角函数之间的关系 如图7.2-4，在Rt△ABC中，∠C＝90°. 1. 同一锐角的三角函数之间的关系 (1)sin2A＋cos2A＝1.(2)＝tan A. 2. 互余两角的三角函数之间的关系 sin A＝cos(90°－∠ A). cos A＝sin(90°－∠ A). tan A·tan(90°－∠ A)＝1. 【题型一】已知锐角的一个三角函数值，求其他三角函数值 【典例1-1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）在中，，，若将的三边都扩大3倍，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．设，，，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：设，，， 在中，，， 扩大3倍后的三边为、、， 扩大3倍后的， 故选：A． 【典例1-2】（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）在中，，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求锐角的三角函数值．根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，由三角函数的定义直接解答即可． 【详解】解：由知，如果设，则，． ． 故答案为：． 【典例1-3】（24-25九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，是的切线，A为切点，是的弦，过O作于点H．若，，．求： (1)的半径； (2)的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理、求余弦等相关知识点，熟练掌握切线的性质是关键． （1）根据切线的性质可得到直角三角形，再根据勾股定理即可算出的半径； （2）根据勾股定理可求出弦的长度，根据余弦的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：∵是的切线，A为切点 ∴ ∴在中，根据勾股定理可得： 即半径为； （2）解：∵过点作于点， ∴在中，根据勾股定理可得： ∴． 【变式1-1】（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，已知中，，D是上一点，，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据求得，再在中，运用勾股定理求得，即可作答． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角的三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义． 【变式1-2】（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知Rt△ABC中，∠C=90°，，则tanA= ． 【答案】 【分析】通过勾股定理先求出邻边的长，再求出tanA即可． 【详解】解：∵，在直角三角形ABC中，∠C=90°，设CB=a，则AB=4a， 在直角三角形ABC中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查利用三角函数解直角三角形，能够通过三角函数值求出三边长是解题关键． 【变式1-3】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，为边上的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线定义，勾股定理，解直角三角形，掌握相关知识是解题的关键． （1）先由得出，在中，根据勾股定理求出，再利用得出，推出，即可求解； （2）先由三角形的中线的定义求出，则，然后根据正弦函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：， ， 在中，，， ， 在中，， ， ， ； （2）为边上的中线， ， ， ， ． 【题型二】折叠问题中求锐角的三角函数值 【典例2-1】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理及正切的定义，求出相关线段的长度并能根据定义准确计算是正确解答此题的关键． 由折叠可得，设，则，根据勾股定理建立方程求出的长度，进而根据正切即可求解． 【详解】解： 根据题意得，，设，则． 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得， 故， 故选C． 【典例2-2】（21-22九年级上·江苏徐州·期末）如图，已知矩形ABCD中，DA：AB＝，将其沿CE折叠，使B、F两点重合，连接AF，则tan∠DAF等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，折叠的性质可得，设AB＝2x，则，，根据计算求解即可． 【详解】解：∵， 设AB＝2x，则， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，正切．解题的关键在于找出线段的数量关系． 【典例2-3】（24-25九年级下·江苏常州·阶段练习）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则= ． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形与折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段是解本题的关键．先利用勾股定理求出，进而利用勾股定理建立方程求出，即可求出，最后用三角函数即可得出结论． 【详解】解：由折叠知，，，， ， 在△中，， 设，则， ，， 在△中， 根据勾股定理得， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-1】直角三角形纸片的两直角边的长分别为8和6，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，三角函数，掌握相关知识点是解题的关键． 由折叠，推导出，根据勾股定理，得到，求出，则，即可解答． 【详解】解：由折叠，得， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 故选A． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，则的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，掌握以上知识并正确作出辅助线是解题关键． 证明，从而可证明，设，正方形的边长设为，在中利用勾股定理建立方程，解得，进而可求出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵在正方形纸片中，E是边的中点， ，， 由折叠性质可得，， ，， ． ， 设，正方形的边长设为， ， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（23-24九年级上·江苏常州·期末）小强在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，还原后，再沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，这样就可以求出角的正切值．你能说明小强这样做的道理吗？写出你的说理过程！ 【答案】理由见解析． 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正切的定义，设，由第一次折叠可得，，即得，由第二次折叠可得，，进而可得，最后根据正切的定义即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∵将如图所示的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处， ∴，， ∴， ∵还原后，再沿过点的直线折叠，使点落在上的点处， ∴，， ∴， ． 【题型三】探究创新题 【典例3-1】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，则底角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，当时，，不能构成三角形；当时，,能构成三角形，过A作于D，得，即得． 【详解】如图，等腰是“倍长三角形”，设， 当时，，不能构成三角形，三角形不存在； 当时，,能构成三角形， 过A作于D， 则， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了新定义——“倍长三角形”．熟练掌握新定义，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，余弦定义，分类讨论，是解题的关键． 【典例3-2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为三分余角．如图，在中，，互为三分余角，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 要求的值，想到构造直角三角形，根据已知可得的补角为，所以过点B作，交的延长线于点D，分别在和中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：过点B作，交的延长线于点D， ∵， ∴设，， ，互为三分余角， ， ， 在中，，， ， ， 在中， ． 故答案为：． 【典例3-3】（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角，如图，在中，，互为半余角，且，则求的正切值． 【答案】 【分析】过点作⊥交的延长线与点，求出，得到，根据，得到，求出，再根据正切定义求出答案． 【详解】解：过点作⊥交的延长线与点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】此题考查了等角对等边证明边相等，求角的正切值，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式3-1】（21-22九年级上·江苏苏州·期末）我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且，则tanA＝ ． 【答案】 【分析】作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，则△BCD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出CD、BD的长，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：作BD⊥AC，交AC的延长线于点D， ∵∠A，∠B互为半余角， ∴∠BCD=∠A+∠B=45°， ∴∠CBD=45°， ∴∠BCD=∠CBD， ∴BD=CD， ∵， ∴可设BC=，AC=， ∵BD2+CD2=BC2， ∴BD=CD=， ∴AD=3x+2x=5x， ∴tanA＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，以及正切的定义，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）纸是由国际标准化组织定义，世界上多数国家采用的纸张尺寸．纸的几何特征为：①矩形纸张短边长度为；②取长边的中点，沿直线折叠，所得矩形与原矩形相似．    (1)纸长边______； (2)用一张纸作如下操作：在边上有一动点，连接，将沿翻折得． ①当时，求的长； ②以点为圆心，为半径作，若点中只有一个点在内，则长的取值范围是_____ 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）设，则，利用相似多边形的性质解答即可求解； （）①过点作于点，交于点，可得四边形是矩形，即得，，，又由折叠的性质得，，，即得到，得到，即得到，解得，，即得，进而即可求解；②分别求出点在上和点在上时的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵矩形与原矩形相似， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图，过点作于点，交于点，，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由折叠得，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 则， ∴， ∴； ②当点在上时，如图，点是的中点，则；    当点在上时，如图，连接，则，    在中，， ∴， 解得， ∴长的取值范围为， 故答案为： 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的判定和性质，相似多边形的性质，勾股定理，锐角三角函数等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式3-3】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）定义：如果一个圆满足：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点），那么这个圆称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”． (1)如图①，在中，，则边上经过点B的伴随圆的半径为 ； (2)如图②，在中，，直接写出它的所有伴随圆的半径 ； (3)如图③，在中，点E在边上，，D为的中点，且． ①求证：的外接圆是的边上的伴随圆； ②求的值． 【答案】(1) (2)或或 (3)①证明见解析，② 【分析】（1）由题意知，，可求，根据伴随圆的半径为，计算求解即可； （2）由题意知，分圆心在或上两种情况求解：①当圆心在，如图1，过点与边相切于点，连接，作于，由勾股定理得，，设伴随圆的半径为，则，，证明，则，求值即可；②当圆心在上，如图2，过点与边相切于点，连接，作于，设伴随圆的半径为，则，，同理，可证，则，求值即可；如图3，过点与边相切于点，连接，作于，于，由，求得，设伴随圆的半径为，则，，证明，则，求值即可； （3）①由是直角三角形，可知的外接圆是以中点为圆心，长为半径的圆，如图4，连接，设的半径为，则，则，证明，则，，，则，证明，则，可证是的切线，进而结论得证；②由①可知，，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，由，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 解得，， ∴边上经过点B的伴随圆的半径为， 故答案为：； （2）解：由题意知，分圆心在或上两种情况求解： ①当圆心在，如图1，过点与边相切于点，连接，作于， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 设伴随圆的半径为，则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得； ②当圆心在上，如图2，过点与边相切于点，连接，作于， ∴， 设伴随圆的半径为，则，， 同理，可证， ∴，即， 解得； 如图3，过点与边相切于点，连接，作于，于， ∵， ∴， 解得，， 设伴随圆的半径为，则，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，； 综上所述，它的所有伴随圆的半径为或或， 故答案为：或或； （3）①证明：∵是直角三角形， ∴的外接圆是以中点为圆心，长为半径的圆，如图4，连接， 设的半径为，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线， ∴的外接圆是的边上的伴随圆； ②解：由①可知，， 在，由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，垂径定理，三角形的外接圆，全等三角形的判定与性质，正切等知识．熟练掌握切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切是解题的关键． 一、单选题 1．（2022九年级下·江苏·专题练习）在Rt△ABC中，∠C =90°，sinA=，则cosA的值等于(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数的定义可知sinA=，可设a=4，c=5，由勾股定理可求得b=3，再利用余弦的定义代入计算即可． 【详解】解：∵sinA=， ∴可设a=4，c=5，由勾股定理可求得b=3， ∴cosA=， 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键． 2．（22-23九年级上·江苏无锡·月考）在中，，，，则的长为（    ） A．6 B．7.5 C．8 D．12.5 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数正弦值的求法，理解三角函数正弦值的求法是解答关键． 根据三角函数的正弦值的求法来进行计算求解． 【详解】解：中，，，， ， ． 故选：A． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的正切值．设，根据正弦值，求出的长，再利用，进行求解即可．掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 【详解】解：设， 在中：， ∴， 在中：； 故选：B． 4．（22-23九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在菱形中，．折叠该菱形，使点A落在边上的点M处，折痕分别与边交于点E，F．当点M的位置变化时，长的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据菱形的性质得到，，可知当的长最小时，的长最大，由折叠性质得，故当时，的长最小，即的长最小，如图，过点D作 于G，证明四边形是矩形得到，然后解直角三角形求得即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴当的长最小时，的长最大， 由折叠性质得，故当时，的长最小，即的长最小， 如图，过点D作 于G， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴长的最小值为，此时长的最大值为， 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、折叠性质、矩形的判定与性质、解直角三角形、垂线段最短，熟练掌握菱形的性质和折叠性质，将问题转化为求即的最小值是解答的关键． 5．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形纸片中，，．把沿对角线折叠，使点落在处，交于点，交于点；、分别是和上的点，线段交于点，把沿折叠，使点落在处，点恰好与点重合．下列选项中正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质等，利用矩形的性质和折叠的性质可得，，即可证明，即可判断①；由全等三角形的性质得，设，则，在中，由勾股定理得，求出的值，进而根据正切的定义求出即可判断②；证明，可得，可得，又由得，即得，即可得，即可判断③；延长交于点，延长交的延长线于点，由得，可得，即得，再由得，即可判断④，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴，， 又∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴，故②正确； 由折叠可得，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③错误； 如图，延长交于点，延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的是①②④， 故选：． 二、填空题 6．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）在中，已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件设出直角三角形—直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，由三角函数的定义直接解答即可． 【详解】解：由知，设， 则，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查求锐角的三角函数值．方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 7．（24-25九年级上·上海·期中）已知在中，，如果的正弦值为，那么的正弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数、勾股定理，根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可．掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提． 【详解】解：中，， 的正弦值是，即， ∴设，则，由勾股定理得， ∴， 故答案为∶． 8．（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】设，勾股定理求出，根据余弦定义求出答案． 【详解】解：设， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了求角的余弦值，勾股定理，正弦值公式，正确掌握锐角三角函数值的计算公式是解题的关键． 9．如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，点E在BC上，且AE=EC．若将长方形沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合，则AE= ． 【答案】 【分析】根据题意推出AB=AB1=2，由AE=CE推出AB1=B1C，即AC=4，进一步得出∠ACB=30°，再由折叠得出∠BAE=∠BAC=30°，进一步求得AE即可． 【详解】∵AB=2cm，AB=AB1 ∴AB1=2cm， ∵四边形ABCD是矩形，AE=CE， ∴∠ABE=∠AB1E=90°， ∵AE=CE， ∴AB1=B1C， ∴AC=4cm， ∴∠ACB=30°， ∵将长方形沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合， ∴∠BAE=∠BAC=30°， ∴AE==． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查翻折的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质，特殊角的三角函数，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键． 三、解答题 10．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，垂足是，若，，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系． 首先根据的三角函数求出的长度，然后得出的长度，从而得出的正切值． 【详解】解∵， 在中，， ， ， ． 11．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求：    (1)线段的长； (2)的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质；熟练利用三角函数及勾股定理进行求解是解题的关键． （1）由三角函数得，设，，由勾股定理得，即可求解； （2）由直角三角形的特征得，由等腰三角形的性质得，由正切函数即可求解． 【详解】（1）解：∵是边上的高，， ， 设，， ， ， 解得：， ； （2）解：∵是边的中点，是边上的高， ， ， ∵， ， ． 12．定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． （1）概念理解： 在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于奇异四边形的有 ； （2）性质探究： ①如图1，四边形ABCD是奇异四边形，AB=AD，求证：CA平分∠BCD； ②如图2，四边形ABCD是奇异四边形，AB=AD，∠BCD=2α，试说明：cosα=； （3）性质应用： 如图3，四边形ABCD是奇异四边形，四条边中仅有BC=CD，且四边形ABCD的周长为6+2，∠BAC=45°，AC=3，求奇异四边形ABCD的面积． 【答案】（1）正方形；（2）①见解析，②见解析；（3）9. 【分析】（1）利用奇异四边形的定义直接判断即可； （2）①如图1，过点A作AM⊥CB于M，AN⊥CD于N．证明△AMB≌△AND，根据全等三角形的性质得到AM=AN，根据角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上即可证明. ②由①可知：∠ACD=∠BCD=α，根据CN=CD–DN=CD–BM=CD–（CM–BC）=CD–（CN–BC），得到CN=，在Rt△ACN中，根据余弦的定义即可证明. （3）连接BD．由（2）可知：cos45°=，得到AD+AB=2AC×=6，根据四边形ABCD的周长为6+2，得到BC=CD=，得到∠DAB=90°，根据奇异四边形的性质，有∠BCD=90°，根据S四边形ABCD=S△ADB+S△BDC即可求解. 【详解】（1）根据奇异四边形的定义可知：正方形是奇异四边形，故答案为正方形． （2）①如图1，过点A作AM⊥CB于M，AN⊥CD于N． ∵∠ABC+∠D=180°，∠ABM+∠ABC=180°， ∴∠ABM=∠D， ∵∠AMB=∠AND=90°，AB=AD， ∴△AMB≌△AND， ∴AM=AN，∵AM⊥CB于M，AN⊥CD于N，∴CA平分∠BCD． ②由①可知：∠ACD=∠BCD=α， ∵CN=CD–DN=CD–BM=CD–（CM–BC）=CD–（CN–BC）， ∴CN=， 在Rt△ACN中，cosα==． （3）如图3，连接BD． 由（2）可知：cos45°=，∴AD+AB=2AC×=6， ∵四边形ABCD的周长为6+2，∴BC=CD=， ∵∠BAC=∠DAC=45°， ∴∠DAB=90°， ∵四边形是奇异四边形，∴∠BCD=90°， ∵AD+AB=6，∴（AD+AB）2=AD2+2AD•AB+AB2=36， ∵AD2+AB2=BD2=BC2+CD2=20， ∴AD•AB=8，∴S四边形ABCD=S△ADB+S△BDC=•AD•AB+•CD•BC=9． 13．（23-24九年级下·江苏常州·阶段练习）【定义学习】 过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”． 如图1，，，垂足分别为A、B，则为“点足三角形”，为“垂角”． 【性质探究】 （1）两条直线相交且所夹锐角为度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数为______度（用表示）． （2）如图2，点O为平面内一点，，，垂足分别为A、B，将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与，，相交于C、D，连接CD． 求证：． 【迁移运用】 （3）如图3，，点A在射线PM上，点B是射线PN上的点，且，．则的外部是否存在一点O使得“点足三角形OAB”的面积为，若存在，求出此时PB的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或（2）见详解（3）的长为或． 【分析】（1）当两条直线所夹锐角为度，根据对顶角相等和等角的余角相等可推得当定点O在两直线的同侧，且在直线的下方时，点足三角形垂角度数为度，根据对顶角相等和等角的余角相等可推得当定点O在两直线的同侧，且在直线的上方时，点足三角形垂角度数为α度，根据垂直的性质和四边形内角和可推得当定点O在直线的下方，直线的上方时，点足三角形垂角度数为度，即可作答．． （2）根据旋转的性质可得，根据余弦的定义可推，根据相似三角形的判定可得； （3）分类讨论：当定点O在两直线的同侧，且在PN的下方时，根据对顶角相等和等角的余角相等可推得，根据正切的定义可推得，根据勾股定理可得，根据正切的定义可推得，设则，根据勾股定理可求得，推得，根据正切的定义可推得，设，根据三角形的面积公式和割补法计算面积的方法求得，推得，即可求得； 当定点O在两直线的同侧，根据正切的定义可推得，，设，则，根据三角形的面积公式和割补法计算面积的方法求得，即可求得，根据正切的定义推得，设，则，根据勾股定理可求得； 当定点O在直线的下方，直线的上方时，根据正切的定义推得，根据勾股定理可求得，根据正切的定义推得，设，根据正切的定义推，根据勾股定理求得，根据三角形的面积公式和割补法计算面积的方法得到方程式，进行求解即可． 【详解】解：（1）当两条直线所夹锐角为度，即， 当定点O在两直线的同侧，且在直线的下方时，令两直线交点为点与交于点D，如图： ∵，垂足分别为，且 ∴ 即点足三角形垂角度数为度； 当定点O在两直线的同侧，且在直线的上方时，如图： ∵垂足分别为，且 ∴ 即点足三角形垂角度数为度； 当定点O在直线的下方，直线的上方时，如图： ∵在四边形中， ∴， ∴度， 即点足三角形垂角度数为度度； 综上：点足三角形垂角度数为或度 （2）∵将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与相交于 ∴ ∵， ∴在中，， 在中，， ∴ 即， 又∵， ∴ （3）当定点O在两直线的同侧，且在PN的下方时，令与交于点D，过点A作于点E，如图： ∵ ∴， 又∵ ∴ 在中，，， ∴， ∴ 在中，， 即，即， 设则，且， 在中，， 即， 解得：， 故， 在中，， 即， 设，则， ∵ 即 解得：（舍去），， 故， ∴； 当定点O在两直线的同侧，且在的上方时，令与交于点D，过点B作于点E，如图： 1 学科网（北京）股份有限公司 $