5.3二元一次方程组的应用（行程问题）专项练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册

5.3二元一次方程组的应用（行程问题）专项练习 一、单选题 1．小明和小亮练习赛跑，如果小明让小亮先跑2秒，那么小明跑6秒就追上小亮；如果小明让小亮先跑16米，那么小明跑8秒就追上小亮．设小明每秒跑的路程为x米，小亮每秒跑的路程为y米，则根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．小明在教材116页活动2汽车轮胎换位的探究中，获得了数学信息，知道电动车一般也是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000公里报废，后轮行驶3000公里报废，如果在电动车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（   ）公里． A．3000 B．3750 C．4000 D．4500 3．甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，经小时相遇．如果甲比乙先出发小时，那么在乙出发后经小时两人相遇．则甲的速度为（   ）千米小时． A．2 B． C．5 D． 4．滨德高速（S12）是连通滨州德州的重要路线，全长约144km．一辆小汽车，一辆货车分别从滨州、德州两地同时相向开出，经过45分钟相遇，“……”．设小汽车和货车的速度分别为xkm/h，ykm/h．可以列出方程组为．则“……”处省略的条件为（   ） A．相遇时货车比小汽车多行12km B．相遇45分钟后货车比小汽车少行12km C．相遇时小汽车比货车多行12km D．相遇45分钟后小汽车比货车多行12km 5．甲、乙两地相距千米，小轿车从甲地出发，小时后，大客车从乙地出发，相向而行．又经过小时两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行千米．设大客车每小时行千米，小轿车每小时行千米，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（　　）倍． A．2 B．2.5 C．3 D．4 7．小明郊游时，早上9时下车，先走平路然后登山，到山顶后又沿原路返回到下车处，正好是下午2时．若他走平路每小时行4km，爬山时每小时走3km，下山时每小时走6km，小明从上午到下午一共走的路程是（    ） A．5km B．10km C．20km D．答案不唯一 8．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km．它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（　　） A．120km B．140km C．160km D．180km 9．小刚去距县城远的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小刚乘车的路程和步行的路程分别为x和y，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 10．作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午8时30分从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走，登山每小时走，下山每小时走，求小明家到山顶的路程．”李老师查看解答时发现答案中的方程组中有污损：则答案中另一个方程应为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是 ． 12．已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒．如果火车速度不变，那么火车的速度是 米/秒，火车的长度为 米． 13．甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔分钟相遇一次；如果同向而行，每隔分钟相遇一次．已知甲比乙跑得快，则甲每分钟跑 圈． 14．某同学家离学校4千米，每天骑自行车上学和放学．有一天上学时顺风，从家到学校共用12分钟，放学时逆风，从学校回家共用时20分钟，已知该同学在无风时骑自行车的速度为x千米/时，风速为y千米/时，则根据题意，列出方程组 ． 15．一列火车正在匀速行驶，它先用26秒的时间通过了长256米的隧道甲（即从火车头进入入口到车尾离开出口），又用16秒的时间通过了长96米的隧道乙．则下列结论：①这列火车长160米；②这列火车的行驶速度为每秒16米；③若保持原速度不变，则这列火车通过长160米的隧道丙需用时10秒；④若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题 16．甲、乙两人相距．若两人同时出发相向而行，则出发后相遇；若两人仍是相向而行，但甲比乙先出发，则乙出发后两人相遇．求甲、乙两人的速度． 17．自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下表： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为元、元和元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示） (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 18．从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要36分钟，从乙地到甲地需要24分钟，甲地到乙地全程是多少？根据题意，老师给出的方程组为 (1)方程组中x表示______； (2)甲地到乙地全程是多少？ 19．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 20．【问题背景】 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮胎换位的建议． 【资料显示】 汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到时报废．如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎． 【问题解决】 (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量设为单位“1”，则前轮行驶每千米的磨损量为______，后轮行驶每千米的磨损量为______； (2)汽车行驶里程达到多少时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶总里程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《5.3二元一次方程组的应用（行程问题）专项练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C B A C B B D 1．A 【分析】根据两种追击情况，分别找出小明和小亮路程的等量关系，从而列出方程组．本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，熟练掌握根据行程问题中的追及等量关系列方程组是解题的关键． 【详解】解：小明让小亮先跑2秒，小明跑6秒追上小亮，此时小亮跑了秒，小明跑的路程等于小亮跑的路程，即； 小明让小亮先跑16米，小明跑8秒追上小亮，此时小明跑的路程等于小亮跑的路程加上16米，即． 所以方程组为 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，根据题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为， 设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里， 由题意可得， 两式相加可得， 解得：， 故这对轮胎最多可以行驶3750公里， 故选：B． 3．B 【分析】设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据相遇问题中的路程关系建立方程组求解． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据题意，得 ， 解得． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了列二元一次方程组，因为设小汽车和货车的速度分别为xkm/h，ykm/h，全长约144km，经过45分钟相遇，列出，再结合“”得出相遇时小汽车比货车多行12km，据此即可作答． 【详解】解：依题意∵设小汽车和货车的速度分别为xkm/h，ykm/h，全长约144km，经过45分钟相遇， ∴， ∵， ∴则“……”处省略的条件为相遇时小汽车比货车多行12km， 故选：C． 5．B 【分析】题目中存在两个等量关系：小轿车行驶的路程大客车行驶的路程千米，小轿车的速度大客车的速度千米，据此即可求得答案． 【详解】题目中存在两个等量关系：小轿车行驶的路程大客车行驶的路程千米，小轿车的速度大客车的速度千米，设大客车每小时行千米，小轿车每小时行千米，可得 故选：B． 【点睛】本题主要考查实际问题与二元一次方程组，能根据题目中的等量关系得到二元一次方程组是解题的关键． 6．A 【分析】设普通火车的平均速度为x千米/小时，城际快车的平均速度为y千米/小时，则两地间的距离为2x千米，利用路程=速度×时间，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出y=2x，进而可得出城际快车的平均速度是普通火车平均速度的2倍． 【详解】解：设普通火车的平均速度为x千米/小时，城际快车的平均速度为y千米/小时，则两地间的距离为2x千米， 依题意得， 解得：， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 7．C 【分析】本题是求小明从上午到下午一共走的路程，也就是山路和平路往返各一次．在这些路程里有山路，有平路，都是未知的，所以要设它们未知数．设平路有xkm，山路有ykm．本题只包含一个等量关系：走山路时间+走平路时间=2+12-9．（走山路时间包括上山所用时间和下山所用时间，走平路时间包括往返两次平路时间）．据此列出方程，求出x+y值即可． 【详解】解：设平路有xkm，山路有ykm． 则， 解，得x+y＝10， ∴2（x+y）＝20， 故选：C． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用．本题设了2个未知数，只有一个等量关系．先尝试去做，可以发现答案就在这一个等量关系里．所以在做数学题的时候，不放弃也是一种方法．整体思想的运用是解题的关键． 8．B 【分析】设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，然后画出图形、确定等量关系、列出关于x和y的二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图： 设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得： ， 解得： ． ∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km． 故答案为B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，弄清题意、确定等量关系、列出方程组是解答本题的关键． 9．B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，找准等量关系是解题的关键． 根据总路程为可得；根据总时间为2小时，利用时间=路程/速度，可得乘车时间与步行时间之和为2． 【详解】∵ 总路程为， ∴ ； ∵ 总时间为，且时间=路程速度， ∴ 乘车时间，步行时间， ∴， 故方程组正确为． 故选：B． 10．D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．设小明上山时间为小时，下山时间为小时，根据路程相等得，即；总时间方面，去程平路时间加上上山时间共3.5小时，返程平路时间加下山时间共2小时，两者相减可得另一方程． 【详解】解：上山路程为，下山路程为，平路的路程为，因原路返回，路程相等， 故，即； 去程总时间为至，共3.5小时， 即平路时间加上上山时间，得， 返程总时间为至，共2小时， 即平路时间加上下山时间，得， ∴减去，得， 即， 故选：D． 11．2.2 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲地到乙地的上坡路长，平路长，根据“从甲地到乙地需，从乙地到甲地需”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，进而可求出结论． 【详解】解：设甲地到乙地的上坡路长，平路长， 依题意，得：， 解得：， ∴． 即甲地到乙地全程是． 故答案为：2.2． 12． 10 200 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设火车的速度为米／秒，火车的长度为米，根据铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒，再建立方程组求解即可. 【详解】解：设火车的速度为米／秒，火车的长度为米， 根据题意，得， 解得， 即火车的速度为10米／秒，火车的长度为200米． 故答案为：， 13． 【分析】设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，根据“如果同时同地出发，相向而行，每隔3分钟相遇一次；如果同向而行，每隔7分钟相遇一次”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈， 依题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 14． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．根据题意，由路程，时间，速度的关系分别列出顺风和逆风时对应的方程即可． 【详解】解：根据题意，可列方程组为 ． 故答案为：． 15．①②④ 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解火车通过隧道的路程是隧道长与火车长的和是解题的关键．设火车长x米，行驶的速度为每秒y米，根据火车通过隧道的路程是隧道长与火车长的和列出方程组求解，可求得①和②的结果，再根据时间与路程的关系，可求得③和④结果，即可判断答案． 【详解】解：设火车长x米，行驶的速度为每秒y米， 根据题意，得， 解得， 火车长160米，行驶的速度为每秒16米， 故①②正确； 若保持原速度不变，则这列火车通过长160米的隧道丙需用时秒, 故③错误； 若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间为秒，是原来的一半, 故④正确； 故答案为：①②④． 16．甲的速度为12 千米/时，乙的速度为6 千米/时 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是熟知行程问题的等量关系． 设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，根据路程等于速度乘以时间可列出二元一次方程组进行求解． 【详解】解：， 设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，        依题意得： ，                          解得 ，                                   答：甲的速度为12 千米/时，乙的速度为6 千米/时． 17．(1)实际支付高速费用元，比原价优惠了元． (2)此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：此次行程高速费原价总共为：元， 实际支付高速费用：元， 优惠了元； （2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元， 由题意得： 解得： 答：此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是元和元． 【点睛】本题考查了代数式、二元一次方程组，掌握二元一次方程是解题的关键． 18．(1)从甲地到乙地的上坡路程 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，解题的关键是根据往返行程中上坡、下坡和平路的速度及时间关系列出方程组，并通过解方程组求出各路段长度进而得到全程． （1）根据方程组中时间与速度的关系，结合往返时上坡和下坡的转换，判断x的实际意义； （2）解所给二元一次方程组，求出和y的值，再将两者相加得到甲地到乙地的全程． 【详解】（1）解：观察方程组，第一个方程表示从甲地到乙地的时间，其中为上坡时间，第二个方程表示从乙地到甲地的时间，其中为下坡时间．由于往返时上坡和下坡路段相同，故x表示从甲地到乙地的上坡路程（单位：）． 故答案为：从甲地到乙地的上坡路程． （2）解：原方程组化简为： ①②得：， 解得． 将代入②：，即， 解得． ∴全程为． 答：甲地到乙地全程是． 19．(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 20．(1)， (2)应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，轮胎报废时汽车的行驶总里程为千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据汽车前后轮轮胎报废的里程，即可得出安装在前、后轮的轮胎行驶每千米的磨损量； （2）设应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，再行驶千米，两对轮胎同时报废，根据两对轮胎同时报废时两对轮胎的磨损量均为1，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到60000千米时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到80000千米时报废， ∴设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮行驶每千米的磨损量为，后轮行驶每千米的磨损量为， 故答案为：，； （2）解：设应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，再行驶千米，两对轮胎同时报废， 根据题意得， 解得， ∴， 答：应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，轮胎报废时汽车的行驶总里程为千米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $