2025-2026学年人教版上学期八年级期末数学培优卷

2025-2026学年上学期八年级期末数学培优卷 一、单选题 1．下列关于三角形的描述，正确的是（    ） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为，外角和为 C．锐角三角形的三个外角都是钝角 D．直角三角形只有一条高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． 根据三角形的定义、三角形内角和定理、直角三角形的性质进行逐项判断即可． 【详解】解：选项A、三角形是由三条不在同一直线的线段首尾顺次连接组成的图形，则 A错误； 选项B、根据三角形内角和定理得，三角形的内角和为，外角和为，则 B错误； 选项C、锐角三角形的每个内角小于，每个外角内角，则三个外角都是钝角，C正确； 选项D、直角三角形有两条直角边作为高，还有从直角顶点向斜边所作的高，有三条高，则D错误； 故选：C． 2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵因式分解是将多项式化为整式的积的形式， A．，右边是积的形式，且等式成立，故该选项正确； B．，等式不成立，且正确因式分解应为，故该选项错误； C．，是从积到多项式，是整式乘法，不是因式分解，故该选项错误； D．，右边不是积的形式，不是因式分解，故该选项错误． 故选：A． 3．已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是（   ） A．3 B．6 C．3或6 D．9 【答案】B 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：①当腰长是3时，则底边长为9，不符合构成三角形的条件，②当底边为3时，则腰长为6，符合构成三角形的条件，由此可得该等腰三角形的腰长． 【详解】解：等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3， 有以下两种情况： ①当腰长是3时，则底边长为：， 此时该等腰三角形的三边为：3，3，9， ，不符合构成三角形的条件； ②当底边为3时，则腰长为：， 此时该等腰三角形的三边为：6，6，3， ，符合构成三角形的条件， 综上所述：该等腰三角形的腰长为6， 故选：． 4．小彤发现一个关于x的分式满足下表信息，则分式可以为（　　） x的取值 … 2 … … 分式的值 … 0 … 无意义 … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为0的条件，根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0）和无意义的条件（分母为0），分别验证各选项是否满足时值为0和时无意义． 【详解】解：当时，分式值为0， 分子为0且分母不为0； 当时，分式无意义， 分母为0， 对于选项A：当时，分子，分母， 分式值不为0，不符合题意； 对于选项B：当时，分母， 分式有意义，不符合题意； 对于选项C：当时，分母， 分式无意义，不符合题意； 对于选项D：当时，分子，分母， 分式值为0； 当时，分母， 分式无意义， 故选D． 5．若点关于x轴对称的点B在第二象限，且a为整数，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标变化，熟练掌握点的坐标变化是解题的关键，根据关于轴对称的点的坐标变化规律，得出点B的坐标，再根据第二象限点的坐标特征列出不等式，求出的值，最后代入点A坐标求解． 【详解】解：∵点关于轴对称的点B为， 又∵点B在第二象限， ∴ ∴， ∵为整数， ∴， ∴点A的坐标为． 故选：C． 6．若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由全等三角形的性质及三角形内角和可知，然后问题可求解． 【详解】解：如图， ∴， ∵这两个三角形全等， ∴； 故选B． 7．如图，已知于点D，现有四个条件：①；②；③；④．那么不能得出的条件是（   ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等． 根据全等三角形的判定方法，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， A、若，，可用证得，故本选项不符合题意； B、若，，可用证得，故本选项不符合题意； C、若，，可用证得，故本选项不符合题意； D、若，，是，不能证得，故本选项符合题意； 故选：D． 8．计算，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方的应用等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 将左边三个同底数幂相加合并，再运用同底数幂相乘的运算法则化简，右边幂的乘方化为同底数形式，然后再比较指数即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 9．如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，连接交于F，再将三角形沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是角的运算及角平分线的定义，正确掌握折叠的性质是解决此题的关键． 根据折叠的性质可得，由角平分线的定义可得，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案． 【详解】解：由折叠可知，， ∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 10．仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法规律的应用和有理数的乘方个位数字的周期性，关键是将和式简化并利用余数确定个位． 利用给定的乘法规律，将原算式转化为 ，再通过 的个位数字循环规律（周期为4）求 的个位数，进而得到最终结果的个位数字． 【详解】解：∵ 根据规律，， ∴ ， 令 ，，则： ∵ 的个位数字循环为：2， 4， 8， 6（周期为4）， 计算 余 2， ∴ 的个位数字与 相同，为 4， ∴ 的个位数字为 ． 故算式值的个位数字为 3． 故选B. 二、填空题 11．两个连续奇数的平方差一定是 的倍数． 【答案】8 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键； 利用平方差公式对两个连续奇数的平方差进行因式分解，结果可提取公因数8，因此是8的倍数． 【详解】解：设两个连续奇数为和（为整数），则平方差为 ， ， ， ， 其中是8的倍数，因此两个连续奇数的平方差一定是8的倍数， 故答案为：8． 12．已知，则= ． 【答案】11 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由已知方程变形得到 ，然后利用完全平方公式求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：11． 13．如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查了折叠的性质，正确运用外角的性质是解题关键． 先根据直角三角形两锐角互余求得，再由翻折的性质可知最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：， ， ， . 故答案为：. 14．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】 解：根据题意得：， 又 则“”处的式子为． 故答案为：． 15．如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是 ． 【答案】 【分析】考查角平分线的性质以及三角形的面积公式，掌握角平分线的性质是解题的关键． 过D作于F，根据角平分线性质得到，由， ，，代入即可求解． 【详解】解：过D作于F， ∵是中的角平分线，， ∴， ∵ ∵， ∴ 解得：， 故答案为：． 16．如图，在中，点P在边上方，连接，，当取得最小值时，的度数是 ． 【答案】45° 【分析】本题考查了轴对称的性质、最短路径问题、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 过点作，作点关于的对称点，连接，推出的最小值为的长，进而解题． 【详解】解：过点作，作点关于的对称点，连接， ∴，， ∴， ∴的最小值为的长，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为：． 三、解答题 17．如图，是的角平分线，．请说明的理由． 【答案】见解析 【分析】由角平分线定义，得，由两直线平行内错角相等，得到，，等量代换即可得证 【详解】证明： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图，已知直角，利用它作一个直角三角形，使该直角三角形的斜边等于已知线段a，一个锐角等于已知角． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，尺规作一个角等于已知角，过一点向已知线段作垂线，掌握相关的作图技巧是问题求解的关键． 先在直角内作，然后在射线上截取，最后过点作的垂线,即可完成求作． 【详解】解：如图， 作法：1．以直角的一边为一边，在直角内作， 2．在射线上截取， 3．过点作的垂线，垂足为， 则为所求作的三角形． 19．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法、公式法以及综合运用提取公因式和公式法因式分解是解题的关键． （1）直接运用提取公因式法求解即可； （2）直接运用平方差公式分解即可； （3）先提取公因式2，再运用完全平方公式分解即可； （4）先计算多项式乘多项式，然后合并同类项，最后运用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． （4）解： ． 20．计算： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：．其中，． 【答案】(1) (2) (3)，2 【分析】本题考查了二次根式的性质，立方根的定义，绝对值的化简，整式的混合运算以及化简求值等知识，熟知相关知识并正确进行计算是解题关键． （1）分别根据算术平方根的定义，立方根的定义，绝对值的定义等知识化简，再进行加减计算即可求解； （2）根据整式的运算，先计算多项式乘多项式、多项式除以单项式，最后合并同类项即可求解； （3）先根据完全平方公式、单项式乘以多项式等知识计算括号内，括号内合并同类项后，再进行括号外的除法运算即可进行化简，再代入，计算即可求值． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ； （3）解： ， 当，时，原式． 21．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【答案】(1)是 (2)①；②A的值为1或3或4 (3) 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：不是． （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4． （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 22．如图，是的中线，是的中线． (1)若，的周长为24，求的周长； (2)若，求的面积． 【答案】(1)20 (2)8 【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线等分线段，等分面积． （1）由是的中线，得到，再结合的周长，，即可得到的周长； （2）由三角形中线的性质可得，，易得，即，最后再求的面积即可． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，， ∴ ∴， ∴， ∴的周长 （2）解：是的中线， ， ， ， 又∵是的中线， ， 又， ， ， 的面积是． 23．综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】 （）小明按照课堂上学习的方法在图先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】 （）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址问题”放在坐标系中，设计了如下问题：如图，在平面直角坐标系中，，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，请在图中画出点和点的位置，并求出点的坐标； 【拓展创新】 （）如图，在平面直角坐标系中，，，点线段上，且，交于点，求点的坐标． 【答案】（）画图见解析，；（）画图见解析，，；（） 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，平移的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （）先完成画图，再设，接着求出的坐标，求出，然后分别用表示出，，根据，列出关于的方程求解即可求得的坐标； （）在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所作，先得出的坐标，设，从而可用表示出的坐标，再求得，然后用、，再得到关于的方程求解，从而可得，； （）先说明，从而可得，，进而得出，再利用证明，根据全等三角形的性质可得，然后根据，得到关于的方程求解，进而求得． 【详解】（）解：画图如下： 设， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ； （）如图，在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所求． ∴由作图可知：与平行且相等， ∵直线与轴平行， ∴， ∵，即， ∴， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 解得， ，； （）如图，过点作交延长线于点，过点作轴于点， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得， ， ， ． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴．给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将关于直线对称得到点，则称点是关于轴和直线的双反射点． (1)已知点， ①若点，则关于轴和直线的双反射点的坐标是______； ②若点，其中，点关于轴和直线的双反射点，求线段的长度． (2)若点，，是否存在点，使得点A关于轴和直线的双反射点，满足，．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，正确理解题意是解题的关键． （1）①先求出点关于轴对称点的坐标，得出，再求出点关于直线的对称点的坐标，即可求解； ②先求出点关于轴对称点的坐标，得出，再求出点关于直线的对称点的坐标，即可求解； （2）过点作轴，过点作轴，连接、，根据直角三角形的性质和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，结合点的坐标得出，，，结合题意可得，分为点在点的上方和点在点的下方两种情况，分别求出点和点的坐标，结合，即可求解． 【详解】（1）解：①点关于轴对称点的坐标为， ∵直线与轴相交于点， ∴， ∴关于直线的对称点的横坐标为，纵坐标为， 即点关于轴和直线的双反射点的坐标是； 故答案为：； ②， 故点关于轴对称的点的坐标为； ∵直线与轴相交于点，， ∴， 故点关于直线的对称点的横坐标为，纵坐标为， ． （2）解：过点作轴，过点作轴，连接、，如图： 故，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，轴，轴， ∴，，，，， 故，，， ， 故点关于轴对称的点的坐标为； ∵点与点关于点对称， 故， 当点在点的上方时，点的纵坐标为， 即， 此时点在点的上方， 故， 即点的双反射点的坐标为， ∴点与点重合，， 即， ∴， 故当点在点的上方时，； 当点在点的下方时，点的纵坐标为， 即， 此时点在点的下方， 故，， 即点的双反射点的坐标为， ∴或， 当时，， 故不符合题意，舍去； 当时，， 故当点在点的下方时，； 综上，点的坐标为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期八年级期末数学培优卷 一、单选题 1．下列关于三角形的描述，正确的是（    ） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为，外角和为 C．锐角三角形的三个外角都是钝角 D．直角三角形只有一条高 2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是（   ） A．3 B．6 C．3或6 D．9 4．小彤发现一个关于x的分式满足下表信息，则分式可以为（　　） x的取值 … 2 … … 分式的值 … 0 … 无意义 … A． B． C． D． 5．若点关于x轴对称的点B在第二象限，且a为整数，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．如图，已知于点D，现有四个条件：①；②；③；④．那么不能得出的条件是（   ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 8．计算，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 9．如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，连接交于F，再将三角形沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 10．仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 二、填空题 11．两个连续奇数的平方差一定是 的倍数． 12．已知，则= ． 13．如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为 ． 14．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 15．如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是 ． 16．如图，在中，点P在边上方，连接，，当取得最小值时，的度数是 ． 三、解答题 17．如图，是的角平分线，．请说明的理由． 18．如图，已知直角，利用它作一个直角三角形，使该直角三角形的斜边等于已知线段a，一个锐角等于已知角． 19．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．计算： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：．其中，． 21．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 22．如图，是的中线，是的中线． (1)若，的周长为24，求的周长； (2)若，求的面积． 23．综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】 （）小明按照课堂上学习的方法在图先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】 （）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址问题”放在坐标系中，设计了如下问题：如图，在平面直角坐标系中，，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，请在图中画出点和点的位置，并求出点的坐标； 【拓展创新】 （）如图，在平面直角坐标系中，，，点线段上，且，交于点，求点的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴．给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将关于直线对称得到点，则称点是关于轴和直线的双反射点． (1)已知点， ①若点，则关于轴和直线的双反射点的坐标是______； ②若点，其中，点关于轴和直线的双反射点，求线段的长度． (2)若点，，是否存在点，使得点A关于轴和直线的双反射点，满足，．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $