第2章一元二次方程 期末复习综合练习题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2025-2026学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》 期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．解方程的适当方法是（   ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 3．将一元二次方程配方后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 4．若、是方程的两个根，则的值是（    ） A．1 B．0 C．2025 D．2026 5．若关于x的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 6．据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2025年7月至9月，新能源车月销量由126万辆增加到150万辆：设2025年7月至9月新能源车销量的月平均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等，并使打印区域的面积占纸张总面积的．若设应设置的页边距为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．关于x的一元二次方程有一个根为0，则k的值为 ． 9．已知代数式：与的值互为相反数，则整数x的值为 10．已知m，n是一元二次方程的两个根，则 ． 11．已知一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是，设其中一条直角边的长为，则根据题意可列方程为 ． 12．下表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是 ． 13．定义：如果一元二次方程(，，为常数，且)的两个实数根，满足，那么称这样的方程为“倒数方程”．已知关于的一元二次方程(为常数)是“倒数方程”，则的值为 ． 14．如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽，则可列方程为 ． 三、解答题 15．解下列方程． (1)； (2)． 16．已知关于x的一元二次方程． (1)试证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； (2)设，为方程的两个实数根，且，求m的值． 17．已知关于m的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况； (2)等腰的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为6，求m的值． 18．定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另个根大1，则称这样的方程为“邻根方程” (1)下列方程是“邻根方程”的是_________（填序号） ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求：请求出k的值． (3)若（，，均为常数，）是关于的“邻根方程”，则方程 是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 19．信阳浉河区浉河港镇被誉为“北国江南，江南北国”魅力茶乡，某村民在第一年承包种植茶树100亩，由于收成不错，于是每年都增加种植面积，到第三年共种植144亩． (1)求该村民种植茶树亩数的年平均增长率； (2)某茶叶旗舰店销售该品种茶叶，市场调查发现，当茶叶售价为300元/千克时，每周能售出50千克，售价每降低1元，每周可多售出2千克，为了尽量减少库存且让顾客得到实惠，该店决定降价促销，已知该茶叶的平均成本价为240元/千克，若使销售该种茶叶每周获利3600元，则售价应降低多少元？ 20．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． 参考答案 1．解：选项A：，最高次数为1，不符合； 选项B：，分母含未知数，不是整式方程，不符合； 选项C：，满足所有条件； 选项D：，最高次数为3，不符合． 故选：C． 2．解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：或， 解该方程的适当方法是因式分解法， 故选：D． 3．解：， 移项，得， 配方，得 （两边加一次项系数一半的平方）， 即， 故配方后的方程为 ． 故选：D． 4．解：∵、是方程 的两个根， ∴ ， ， ∴ ． 故选：D． 5．解：∵， ， 则设， ∴方程化为， ∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴方程有一个根为，即， ∴． 故选：A． 6．解：∵7月销量为126万辆，9月销量为150万辆，月平均增长率为x， ∴经过两个月增长，有． 故选：D． 7．解：设应设置的页边距为，则打印区域的长为，宽为， ∴打印区域的面积为， ∵打印区域的面积占纸张总面积的， ∴． 故选D． 8．解：是关于x的一元二次方程 的一个根 ∴把代入方程中得：， 即 解得：， ， ， ， 故答案为：． 9．解：∵与的值互为相反数， ∴， 化简得 ， 解得，， 所以，整数的值为． 故答案为：． 10．解：由根与系数的关系，得，， 则． 故答案为：2025． 11．解：设其中一条直角边的长为，则另一条直角边的长为 ． 直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半，即． 故答案为：． 12．解：通过观察表格可知：当和2时，， ∴方程的根是：，. 故答案为：，． 13．解：设方程的两个根为和， 根据根与系数的关系，有： 由倒数方程的定义， 代入得： 解得：， 经检验是原方程的解，且当时，原方程为，，原方程有两个实数根 故答案为：． 14．解：根据题意，得， 故答案为：． 15．（1）解：， ， ， ，， 解得：，； （2）解：， ， ， ，， 解得：，． 16．（1）证明：， 无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：，， ， 即， 解得，， 的值为0或． 17．（1）解：一元二次方程中， ，， ， ∵， 即， ∴，当时，， 方程有两个相等的实数根； 当时，， 方程有两个不相等的实数根． 方程有两个实数根． （2）方程，化为， ∴或， 解得， 当时，即， 那么， 此时三角形三边为3，3，6， ∵， 不满足三角形三边关系，舍去； 当或时，即， 此时三角形三边为3，6，6，满足三角形三边关系， ∴的值为6． 18．（1）解：①解方程得，， ， 方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ③解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：②④． （2）解： 方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ，，， ， ， 解得； （3）解：方程 是“邻根方程” 由题意可知，方程，，均为常数，有两个实数根， ， ，，均为常数，是关于的“邻根方程”， ， ， ， ， ， ， ， 方程是“邻根方程” 则， 方程的根为或． 19．（1）解：设该村民种植茶叶树亩数的年平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：该村民种植茶叶树亩数的年平均增长率为； （2）解：设售价应降低y元，根据题意得： ， 解得：， ∵为了尽量减少库存， ∴，答：售价应降低20元． 20．（1）解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同． ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴则， 根据题意得， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得， ∴秒时，四边形为矩形． （2）解：运动过程中，四边形可以为菱形，理由如下： 连接、， ∵点、分别从点、同时出发，速度相同， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形 在中，，， ∴ 即 解得， ∴运动时间为时，四边形为菱形． （3）解：点和点的距离可以是，理由如下： 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，有， 即， 解得，． ∴当运动时间为或时，点和点的距离是． 学科网（北京）股份有限公司 $