2025-2026学年人教版上学期七年级期末数学培优卷

2025-2026学年上学期七年级期末数学培优卷 一、单选题 1．下列说法正确的有（      ）个 ① 0是最小的正数； ② 任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③ 大于0的数是正数； ④ 字母既是正数，又是负数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是的计算过程，则图2表示的过程是在计算（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．0是单项式 B．的次数是6 C．的系数是2 D．的系数是1 4．北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．在冬季奥运会前，某赛场计划造雪，每天造雪量与造雪天数成反比例关系．具体如下表，则表中的值是（    ）． 每天造雪量 5000 5200 6500 造雪天数 50 40 A．50 B．52 C．60 D．65 5．如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A． B． C．0 D．1 6．若，且m，n异号，则的值为（   ） A．7 B．3或 C．3 D．7或3 7．一个由相同小立方块搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块的个数为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 8．求的值．可以采用下面的方法：令，由等式的基本性质二，等式两边都乘以．有，由等式的基本性质一，可将两个等式相减，有，所以，仿照上面的推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 9．将1，2，3，4，…，60这60个自然数，任意分成30组，每组两个数，将每组的两个数中的任意一个数记做a，另一个数记做b，代入代数式中进行计算，求出结果，30组分别代入后可求出30个结果，则这30个值的和的最大值是（　　） A．2730 B．1565 C．1735 D．1830 10．如图，过点画直线，若点，按如图所示规律排列，则点落在（   ） A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．直线上 二、填空题 11．长方形纸片绕它的一边旋转一周，形成一个 ；直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，形成一个 ；一枚硬币在桌面上竖直快速转动，形成一个 ． 12．（1）已知关于的方程是一元一次方程，则此方程的解为 ； （2）若代数式与的值相等，则 ． 13．小明有5 张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题． 0 （1）从中取出2张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为 ． （2）从中取出2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，商的最小值为 ． 14．有个连续的双数从小到大排列着，第二个数与第六个数的和是．这些排列的双数中，最小的一个是 ． 15．用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 16．已知点在线段上，点在线段的延长线上，若，，则 ． 三、解答题 17．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（1）计算： （2）若，化简 19．小深周末带妹妹去坪由少儿图书馆，在那里发现一个有趣的玩具，叫做索玛立方体，把索玛立方体拆分，可以拆成7个立体图形，如图所示． (1)如果用一个平面去截正方体，则截面有可能是________．（回答一种即可） (2)小深发现6号方块从正面看和从左侧看的图形都与7号是一样的，请在下图画出其从正面看和从左侧看的图形． (3)你能帮忙算出1号方块涂色的面积吗？（每个小正方体棱长为1厘米） 20．如图，已知点C在线段上，点分别在线段与线段上，且，． (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 21．如图，，，平分，平分． (1)求出及其补角的度数； (2)求出和的度数，并判断与是否互补； (3)若,,则与是否互补? 请说明理由． 22．某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ 23．【阅读理解】若数轴上两点所表示的数分别为a和b，则有： ①两点的中点表示的数为； ②两点之间的距离；若，则可简化为；若，则可简化为； 【解决问题】数轴上两点所表示的数分别为a和b，且． （1）直接写出：________；________；________． （2）点C在数轴上对应的数是c，且关于的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点P，使？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由． 【数学思考】 （3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，分别为的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？并说明理由． 24．新定义：若是关于的一元一次方程（）的解，是关于的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号 ； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“景元方程”，请求出的值； (3)如关于的方程是关于的一元一次方程的“景元方程”．请求出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期七年级期末数学培优卷 一、单选题 1．下列说法正确的有（      ）个 ① 0是最小的正数； ② 任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③ 大于0的数是正数； ④ 字母既是正数，又是负数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，解决本题的关键是掌握正负数的相关概念．根据正负数的意义逐一判断即可． 【详解】解：0既不是正数也不是负数；故①错误； 任意一个正数，前面加上一个“”号，就是一个负数，故②正确； 大于0的数是正数，故③正确； 字母a既是正数，又是负数是错误的，如果a是正数，就一定不是负数，故④错误； 故选：C． 2．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是的计算过程，则图2表示的过程是在计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数加法在生活中的应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据题意列出算式计算即可． 【详解】解：根据题意可知，一横表示，一竖表示，白色为正，黑色为负， ∴图表示：， 故选：D． 3．下列说法正确的是（   ） A．0是单项式 B．的次数是6 C．的系数是2 D．的系数是1 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的定义、单项式的系数与次数的定义，掌握以上的知识是解答本题的关键；本题根据单项式的定义、系数与次数的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A、0是单项式，此项说法正确； B、的次数是，此项说法错误； C、的系数是，此项说法错误； D、的系数是，此项说法错误； 故选A． 4．北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．在冬季奥运会前，某赛场计划造雪，每天造雪量与造雪天数成反比例关系．具体如下表，则表中的值是（    ）． 每天造雪量 5000 5200 6500 造雪天数 50 40 A．50 B．52 C．60 D．65 【答案】B 【分析】本题考查了用字母表示数，根据每天造雪量与造雪天数成反比例关系，得出,即可求解． 【详解】解：依题意，, 解得：， 故选：B． 5．如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查在数轴上表示有理数，关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解． 【详解】解：∵和刻度分别与数轴上表示和的两点对齐， ∴数轴的单位长度是， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：B． 6．若，且m，n异号，则的值为（   ） A．7 B．3或 C．3 D．7或3 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值、有理数的减法，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 先化简绝对值可得，再根据异号可得或，然后代入计算即可得． 【详解】解：，， ，， 异号， 或， 或， 故的值为7， 故选：A． 7．一个由相同小立方块搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块的个数为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查根据从不同方向看到几何体的图形，判断组成几何体立方块的个数．根据从上面看到的图形，得出最底层小立方体的个数，再根据从正面和左面看到的图形得出每一层小立方体的层数和个数，从而计算出总的个数即可． 【详解】解：从上面看最底层有4个小立方体，由正面看可得有2层，上面一层是1个小立方体，从左面看，一列是1个小立方体，另一列有2个小立方体，如下图所示： ∴搭成这个几何体的小立方块的个数是个， 故选：B． 8．求的值．可以采用下面的方法：令，由等式的基本性质二，等式两边都乘以．有，由等式的基本性质一，可将两个等式相减，有，所以，仿照上面的推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，灵活运用等式的性质进行变形是解题的关键． 令，由等式的基本性质二，等式两边都乘以5．有，由等式的基本性质一，可将两个等式相减，有，从而求得S即可解答． 【详解】解：令， 由等式的基本性质二，等式两边都乘以5可得： ， 由等式的基本性质一，将两个等式相减得： ，即， ∴． 故选：D． 9．将1，2，3，4，…，60这60个自然数，任意分成30组，每组两个数，将每组的两个数中的任意一个数记做a，另一个数记做b，代入代数式中进行计算，求出结果，30组分别代入后可求出30个结果，则这30个值的和的最大值是（　　） A．2730 B．1565 C．1735 D．1830 【答案】A 【分析】本题考查了去绝对值，整式的加减，代数式求值，数字类规律题，根据题意化简代数式是解题的关键． 设各组中的数的a比b大，然后去掉绝对值号化简为，所以当30组中的较大的数a恰好是31到60时．这30个值的和的2倍最大，再根据求和公式列式计算即可得解． 【详解】解：设这两个数的较大数为a，较小数为b，即， 则 ， ∴30组的和等于30个较大数的和的2倍， 则这30个值的和的最大值． 故选A． 10．如图，过点画直线，若点，按如图所示规律排列，则点落在（   ） A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．直线上 【答案】D 【分析】本题考查图形的变化问题，解答本题的关键是明确题意． 根据图形可以发现点的变化规律，从而可以得到点落在哪条直线上． 【详解】解：由图可得，到顺时针，到逆时针，每8个点为一周期循， ， 点落在直线上， 故选：D． 二、填空题 11．长方形纸片绕它的一边旋转一周，形成一个 ；直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，形成一个 ；一枚硬币在桌面上竖直快速转动，形成一个 ． 【答案】 圆柱 圆锥 球 【分析】本题考查点、线、面、体，解题的关键是掌握面动成体的原理． 根据面动成体的原理即可解． 【详解】解：长方形纸片绕它的一边旋转一周，形成一个圆柱； 直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，形成一个圆锥； 一枚硬币在桌面上竖直快速转动，形成一个球． 故答案为：圆柱，圆锥，球． 12．（1）已知关于的方程是一元一次方程，则此方程的解为 ； （2）若代数式与的值相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义． （1）根据一元一次方程的定义，未知数的指数为1且系数不为零，确定参数m的值，再求解方程即可； （2）根据代数式值相等列出方程，并求解即可． 【详解】（1）解：由于方程是一元一次方程，则未知数x的指数，且系数，解得． 所以原方程为， 解得． 故答案为：． （2）解：因为代数式与的值相等， 所以． 解得， 故答案为：． 13．小明有5 张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题． 0 （1）从中取出2张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为 ． （2）从中取出2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，商的最小值为 ． 【答案】 40 【分析】本题考查了有理数的乘法运算和除法运算，熟练掌握有理数的乘法运算和除法运算是解题的关键．根据有理数的乘法法则，要使乘积最大，应取同号两数，且积的绝对值最大即可，根据有理数的除法法则，要使商最小，应取异号两数，且商的绝对值最大即可． 【详解】解：（1）因为，， 所以， 所以从中取出2张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为40； （2）从中抽取2张卡片，要使这两张卡片数相除的商最小，则一个是正数，另一个是负数，且商的绝对值最大， 故应取和， 因为， 所以从中取出2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，商的最小值为． 14．有个连续的双数从小到大排列着，第二个数与第六个数的和是．这些排列的双数中，最小的一个是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设第三个数为，则第一个数为，第二个数为，第六个数为，根据题意列方程求出，即可求解． 【详解】解：设第三个数为，则第一个数为，第二个数为，第四个数为，第五个数为，第六个数为， 根据题意得， 解得：， 最小的一个是， 故答案为． 15．用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了相反数，根据题意，先计算括号内的运算，再根据新定义运算的规则进行解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 16．已知点在线段上，点在线段的延长线上，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差倍分，由可得，即得，再根据线段的和差关系即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据有理数的加减法则计算即可得解； （2）根据有理数的加减法则计算即可得解； （3）根据有理数的加减法则计算即可得解； （4）根据有理数的加减法则计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（1）计算： （2）若，化简 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的加减，绝对值，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先计算括号内的减法，然后运算乘除，最后运算加减解答即可； （2）根据题意得到，然后去绝对值，合并同类项解答即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∴ ． 19．小深周末带妹妹去坪由少儿图书馆，在那里发现一个有趣的玩具，叫做索玛立方体，把索玛立方体拆分，可以拆成7个立体图形，如图所示． (1)如果用一个平面去截正方体，则截面有可能是________．（回答一种即可） (2)小深发现6号方块从正面看和从左侧看的图形都与7号是一样的，请在下图画出其从正面看和从左侧看的图形． (3)你能帮忙算出1号方块涂色的面积吗？（每个小正方体棱长为1厘米） 【答案】(1)三角形或四边形或五边形或六边形（一种即可） (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图﹣三视图，几何体的表面积，截一个几何体，简单几何体的三视图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）正方体有6个面，截面共有4种情形； （2）从不同方向观察即可画出图形； （3）将正方体从上到下依次标号，则1号方块的三个小正方体分别为编号15，24，27，即可确定有7个面可以涂色． 【详解】（1）解：如果用一个平面去截正方体，则截面有可能三角形或四边形或五边形或六边形（一种即可）， 故答案为：三角形或四边形或五边形或六边形（一种即可）； （2）解：从正面看和从左侧看的图形如图所示： （3）解：将正方体从上到下依次标号，如图： 则1号方块的三个小正方体分别为编号15，24，27，类似于下图正面所对蓝色区域： ∴1号方块涂色面积为． 20．如图，已知点C在线段上，点分别在线段与线段上，且，． (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)5 (2)21 【分析】本题考查两点之间距离的计算方法，理解各条线段之间的和、差、倍、分的关系是解决本题的关键． （1）将，，转化为，进而根据进行计算即可； （2）根据（1）可推出，再代入求解即可． 【详解】（1）因为，， 所以， 因为， 所以， 所以; （2）由（1）可知， 所以， 即． 因为， 所以． 21．如图，，，平分，平分． (1)求出及其补角的度数； (2)求出和的度数，并判断与是否互补； (3)若,,则与是否互补? 请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，与互补，详见解析 (3)与不一定互补，详见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据以及补角的定义即可求值； （2）根据补角的定义和角平分线的定义即可得出答案； （3）根据补角的定义即可做出判断． 【详解】（1）解：， 其补角为． 答：的度数为，其补角的度数为． （2）解：与互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴与互补． 答：，，与互补． （3）解：与不一定互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∵的度数不确定， ∴与不一定互补． 22．某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ 【答案】(1)食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同 (2)方案二省钱，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意得到等量关系是解题的关键． （1）设食品加工厂购买千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同，再根据题意列出一元一次方程并正确解出即为本题答案； （2）分别列式求出两种方案分别多少钱，再比较大小即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设食品加工厂购买千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同， 方案一：费用为， 方案二：费用为 则由题意得：， 解得：， 答：食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同． （2）解：食品加工厂计划购买2500千克草莓， ∴方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴方案二更省钱． 23．【阅读理解】若数轴上两点所表示的数分别为a和b，则有： ①两点的中点表示的数为； ②两点之间的距离；若，则可简化为；若，则可简化为； 【解决问题】数轴上两点所表示的数分别为a和b，且． （1）直接写出：________；________；________． （2）点C在数轴上对应的数是c，且关于的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点P，使？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由． 【数学思考】 （3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，分别为的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？并说明理由． 【答案】 （1）；8；10 （2）存在；点P对应的数为0或16． （3）在运动过程中，的值不变，理由见解析 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点间距离公式与中点公式，非负性的性质，多项式的概念，一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据已知条件表示出点在数轴上表示的数． （1）根据非负性的性质即可求解a与b的值，再由数轴上两点间距离公式求解即可． （2）先求解出c的值，再根据，可确定点P可能在点A与点B之间，或点P可能在点B在右侧，列式求解即可． （3）设运动时间为t，先根据点的运动速度求出对应点在数轴上表示的数，再由中点坐标公式表示出对应点在数轴上表示的数，根据数轴上两点间距离公式分别表示，与即可． 【详解】解：【解决问题】 （1）∵，，， ∴，， 解得，； ∴数轴上两点所表示的数分别为和8， ∴． 故答案为：；8；10． （2）存在，点P对应的数为0或16． ∵多项式是三次四项式， ∴，解得， ∴点C在数轴上对应的数是， 设点P对应的数是p， ∵， 当点P在点A与点B之间时， ，，， ∴，解得； 当点P在点B的右侧时， ，，， ∴，解得； ∴存在点P，使，点P对应的数为0或16． 【数学思考】 （3）在运动过程中，的值不变．理由如下： 设运动时间为t， ∵点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动， ∴点E在数轴上表示的数为， ∵点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动， ∴点M在数轴上表示的数为， ∵点N从点B出发以每秒10个单位的速度向右运动， ∴点N在数轴上表示的数为， ∵点分别为的中点， ∴点P在数轴上表示的数为， 点Q在数轴上表示的数为， ∴，，， ∴， ∴在运动过程中，的值不变． 24．新定义：若是关于的一元一次方程（）的解，是关于的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号 ； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“景元方程”，请求出的值； (3)如关于的方程是关于的一元一次方程的“景元方程”．请求出的值． 【答案】(1)② (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，求代数式的值，新概念等知识，掌握新概念，理解一元一次方程的解，正确解一元一次方程是解题的关键； （1）分别求出各方程的解，根据“景元方程”的定义进行判断即可； （2）求出与的解，再根据题意即可求解； （3）求出的解，再根据求得，代入中，化简求得m与n的关系，即可求解． 【详解】（1）解：方程的解为：； 方程的解为，方程的解为或； 当时，，则方程①不是的“景元方程”； 当时，，则方程②是的“景元方程”； 故答案为：②； （2）解：， 整理得：， 解得：或； 方程整理得：， 解得：； 由于关于的方程是关于的一元一次方程的“景元方程”， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上，或； （3）解：解得：， ∵， ∴， 代入中，得， 整理得：， ∴， 解得：或， ∵， ∴当时，； 当时，； 综上，的值为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $